Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA

Transcripción

1 Funciones Vecoriales Insiuo Poliécnico Nacional 1. Para cada función vecorial, calcule r' ( r ''( 1.1 r( (sin cos i cos j sink (Res r' ( cosi sin j cosk 1. r( (cos i e j (1/ k (Res. r'( sin i e j (1/ k. Uilice las siguienes funciones de aceleración para deerminar las funciones velocidad posición. Después, si es el caso, calcule la posición en el valor de dado..1 a( j k, v(1 5j, r(1 0. alcule la posición en ( Res. r ( j k 6 6. a ( ( *sin i ( *cos j 0k, v ( / 4 i jk, r ( / 4 ij k. alcule 4 la posición en ( Res. r( sin i cos j k 4. a( 4i 6j k, v (0 i j k, r (0 i 1 r( 1i j ( Res. k.4 a( (sin i (sin j k v ( / i 4j k r ( / ( Res. i j 1 r( sin( sin( 4 k a( ( e i ( 1 j k v ( 1 i r (1 k ( Res. i 1 j r( e k alcule la Longiud de las curvas dadas por las siguienes funciones vecoriales en el inervalo dado:.1 r( i j [0, ] (Res r( i j k [0, ]

2 . r( ( e cos i ( e sen j 1 4 (Res. ( e 4 e.4 r( cos i sen j (Res. /4 6.5 r( cosi sinj k [0, π/] (Res r( sini 5 j cosk, 10, 10 (Res , 1 r( i j k.8 r( ( i (ln j k 1 4 (Res ln(4.9 r( ( 1 i ( 1 j k en el inervalo [0, ] (Res Hallar la curvaura k de las curvas dadas por: r( i j k 4 / ( 1 4. r( 4i cosj sink ( k = /5 4. r( (4cos i ( j (4sin k ( k = 4/ r (sen i cos j k ( ( k = / r( cos i sin j k ( k = 1/ 4.6 r ( cos * i sin * j ( k = 1/ 4 5. alcule la curvaura en =4 de la función r( ( i ( e j (8 k. k (4 / (

3 Funciones de Varias Variables Insiuo Poliécnico Nacional 6. alcule las derivadas parciales de primer orden f f,. Resulados 7. alcule las derivadas parciales de segundo orden: af, b f, c f, d f Resulados

4 dw 8. alcule uilizando la regla de la cadena. d 8.1 w z z, 1, 1, z 8. w z,,, z e 8. w z, e cos, e sen, dw (Res. e (cos sin e (sin sin cos 1 d z e 9. alcule w s w uilizando la regla de la cadena. 9.1 w, 9. w, s, s, s, 1 s e, e, 0 s, 1 9. w sin(, s, s, s 0, / 9.4 w (Res., w s s s, s s s, 10. Uilice la regla de la cadena para hallar u u r z, w s u s donde w (Res. 0 s s r cos, r sin, z : (Res. r, u r u 11. Hallar la derivada direccional de la función en la dirección punos indicados f (, e,, P(, 0 (Res. 11. f (, sin(,, P(4, 1 1. alcule la derivada direccional de la función en el puno dado, en la dirección de v. (Res./ w z, (1,,, v = i j + k 1. Dada la función f (, e cos( deermine: 1.1 El gradiene en el puno (½, 0. (Res. (1/,0 (1,1 1. La razón de cambio máima. (Res La asa de cambio en la dirección de v 1 i j. (Res f

5 14. Suponga que en ciera región del espacio el poencial elécrico V esá dado por: 1 V (, z z donde V esá dado en Vols, z en cm En qué dirección a parir del puno P(,, -1, V crece con maor rapidez. 1 (Res. i j k En qué dirección a parir del puno P(,, -1, V decrece con maor rapidez. 14. uál es la razón de cambio máima a parir del puno (,, -1? (Res. 1/9 V/cm 14.4 Encuenre la razón de cambio del poencial en el puno P(,, -1 en la dirección del vecor v=i j+6k. (Res.8/ Suponga que en ciera región del espacio el poencial elécrico V esá dado por V (, e cos( vols, donde la disancia se mide en cm En qué dirección a parir del puno P(0, π/4, V aumena con maor rapidez. (Res. -j 15. Encuenre la razón de cambio del poencial en el puno P(0, π/4 en la dirección del vecor v i j. (Res. -1 V/cm 16. La emperaura en el puno (, de una placa meálica es T 7 4 i incremeno de calor en el puno (, 4. (Res. j. Encuenre la dirección de maor La emperaura de una placa esá dada por T En qué dirección a parir del puno (1, 1 la emperaura crece con maor rapidez? (Res. -½j 17. En qué dirección a parir del puno (1, 1 la emperaura decrece con maor rapidez? (Res. ½j 17. uál es la asa de crecimieno? 17.4 uál es la razón de cambio en el puno (1, 1, en la dirección de θ = π/4?

6 18. Suponga que en ciera región del espacio, el poencial elécrico V esá dado por V (, z 5 z En qué dirección V aumena más rápidamene en el puno P(, 4, 5 (Res. 8i+6j+1k 18. uál es la maor razón de cambio en P? (Res Encuenre la razón de cambio del poencial en P(, 4, 5 en la dirección del vecor v=i+j k. 19. El campo magnéico B, en el puno (, z denro de un recipiene, medido en cenímeros, esá dado por la ecuación B e cos( sen( z. alcule en el puno (, 0, -: 19.1 La dirección del cambio máimo. (Res. i + j 19. La razón de cambio máimo. (Res La razón de cambio del campo en la dirección v i j k. (Res Dada la función f (, z sin( z ln( deermine en el puno (1, 1, π: 0.1 El gradiene. (Res. i j k 0. La razón de cambio máima. (Res La asa de cambio en la dirección de v i j k. (Res Suponga que la emperaura en un puno en el espacio esá dada por T (, z, 1 z donde T esá medida en grados cenígrados ; ; z esán en meros. 1.1 En qué dirección aumena más rápido la emperaura respeco puno (1, 1,? 5 (Res. ( i j 6k 8 1. uál es la asa máima de incremeno? (Res v i j? 1. uál es la razón de cambio en la dirección de k. Eaminar la función para localizar los eremos relaivos punos silla aplicando el crierio de la segunda derivada..1 f (, (Res. puno silla:(0, 0, mínimo: (1,1.. f (, 48 4 (Res. puno silla:(0, 0, máimo: (1/, 1/ f (, 4 1 (Res. puno silla:(0, 0, máimo: (4/, 4/.4 f (, 6 (Res. puno silla:(0, 0, máimo: (-,

7 .5 f (, (, f (, (Res. mínimo: (,1, máimo:(-,-1, punos silla:(1,, (-1,- f (Res. puno silla:(0, 0, mínimo: (1, 7 (Res. puno silla:(0, 0, mínimo: (9/4, /. Se consrue una caja recangular cerrada con un volumen de 160 cm empleando res ipos de maeriales. El coso del maerial para el fondo la apa es de $0.18 por cm, el coso del maerial para el frene la pare rasera es de $0.16 por cm, el coso del maerial para los oros dos lados es de $0.1 por cm. Aplique el crierio de la segunda derivada : a Deermine la función de coso (, donde son la longiud el ancho de la caja respecivamene. b alcule las dimensiones de la caja de modo que el coso de los maeriales sea el mínimo. (Res. Largo=5.745cm, Ancho=4.088cm, Alo=6.46cm c alcule el coso de la caja. (Res. $ Aplique el méodo de los muliplicadores de Lagrange para enconrar los eremos con resricciones de la función dada: 4.1 f (,, sujea a (Resulado: Máimo: f, 10, Mínimo: f, f, 4. ( sujea a f (Resulado: Máimo: f 1,1 f 1, 1 1, Mínimo: 1, 1 f 1, Encuenre res números posiivos cua suma sea 100 cuo produco sea un máimo. Aplique el méodo de los Muliplicadores de Lagrange. 6. Se disponen de 0 meros de cerca para encerrar un campo recangular. alcule el largo ancho de la cerca para que el área encerrada sea lo más grande posible. Aplique el méodo de los Muliplicadores de Lagrange. 7. Se han asignado $100,000 para consruir una ciserna recangular. El concreo para consruir la base los lados iene un coso de $100 por m el maerial para consruir la apa cuesa $00 por m. Se busca obener el máimo volumen. Aplique el méodo de los muliplicadores de Lagrange deermine: a La función objeivo la ecuación de resricción b Las dimensiones de la ciserna para obener el máimo volumen c El volumen de la ciserna

8 8. Se diseña una laa cilíndrica con apa que conendrá 1 liro de líquido. Deermine el radio (r la alura (h de la laa de al forma que se uilice la mínima canidad de meal. Uilice el méodo de los muliplicadores de Lagrange. (Resulado: h cm, r cm 9. Se diseña una laa cilíndrica con apa que conendrá 1 liro de líquido. La apa el fondo se consruirán con un meal que cuesa $.0 por cm. El cosado se formará con un meal que cuesa $.5 por cm. Se busca que el coso de fabricación sea el mínimo. Uilice el méodo de los muliplicadores de Lagrange deermine: 9.1 La función objeivo la ecuación de resricción. 9. El radio (r la alura (h para que el coso sea el mínimo. (Resulado: h = 9.40 cm, r = 5.87 cm 9. El coso de la laa. (Resulado: $ Inegrales Múliples 0. Evalúe las siguienes inegrales: ( 1 8 dd sin (Res. 57 ( 1 dd (Res. 0/ (1 cos (Res. dd cos( sen( 0 (Res. dd Uilice una inegral doble para calcular el área de la región limiada por las gráficas de las funciones indicadas. En casa caso haga un dibujo de la región R. 1.1 Región limiada por = 0, = 0, 4, en el primer cuadrane. (Res.16/ u. 1. Región limiada por =, = + (Res. 9/ u 1. Región limiada por =, = (Res. 1/4 u 1.4 Región limiada por = + 1, = + 1 (Res. 1/ u 1.5 Región limiada por 4,. (Res. 9/ u

9 . Evalúe la inegral la región. (Res. 1/54 da sobre la región encerrada por las curvas R,. Haga un dibujo de. Evalúe la inegral sen da sobre la región encerrada por las curvas de la región. (Res. sin(4 cos(4,. Haga un dibujo 4. Uilice una inegral doble para calcular el área de la región limiada por las gráficas de = sen, = cos, = π/4, = 5π/4. (Res. u. / 5. Usar coordenadas polares para evaluar la inegral dd (Res Usar coordenadas polares para evaluar la inegral dd 1 1 e 1 1. (Res. ( e 1 7. Aplique una inegral doble en coordenadas polares para calcular el área del cardiode definido por r 1 cos. Hacer un dibujo de la región. (Res. u G 8. Evalúe la inegral riple z dv, donde G es la caja recangular dada por: G = {(, z 0 1, -1, 0 z } (Res. 7/4 9. Usar una inegral riple para hallar el volumen del sólido limiado inferiormene por el plano z = 0 superiormene por el elipsoide dado por 4 4 z 16. Hacer un dibujo del sólido. (Res. u 40. Uilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del cilindro 1, limiado superiormene por la esfera z 9 e inferiormene por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido. (Res u

10 41. Uilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen inerior al cilindro 4, limiado superiormene por la esfera z 16 e inferiormene por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido. (Res u 4. Uilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen inerior al cilindro 4, limiado superiormene por el plano z 10 e inferiormene por el paraboloide del sólido. (Res. u z 4. Hacer un dibujo 4. Uilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen inerior al cilindro 4, limiado superiormene por el plano z = 5 e inferiormene por el paraboloide sólido. (Res. 4 u z 1. Hacer un dibujo del 44. En los siguienes problemas emplee una inegral riple en coordenadas esféricas para deerminar el volumen del sólido que esá acoado por las gráficas de las ecuaciones que se indican. En cada caso haga un dibujo del sólido z 1 (esfera, z 9 (esfera (Res z (cono, z 9 z (cono, z u (esfera sobre el plano XY (Res u. (esfera sobre el plano XY (Res. u z (cono, z (plano, sobre el plano XY (Res. 9 8 u z (cono, z (plano, sobre el plano XY (Res. 8 u. Divergencia Roacional de un campo Vecorial 45. alcule la divergencia roacional del campo vecorial: F(, z ( e sin i ( e cos j. (Res. ro F(, z k, div F(, z e sen e sen 46. alcule el roacional del campo vecorial dado por F(, z ( i ( z j zk. (Res alcule el roacional del campo vecorial dado por F(, z ( z i j zk evalúe en el puno (1,, 1. (Res. j k. 48. alcule la divergencia del campo vecorial dado por F (, z ( z i (z j ( z k en el puno (, -1,. (Res. 11.

11 Inegrales de Línea Teorema de Green. 49. Evalúe la inegral de línea ds, donde es la curva dada por las ecuaciones paraméricas =4sen, =4cos, z=, en el inervalo 0 π/. (Res Evalúe la inegral de línea senz ds donde es la curva dada por las ecuaciones paraméricas =cos, =sen, z=, en el inervalo 0 π c 51. Evalúe la inegral de línea 0 1. (Res. 4 (6 d 4d donde es la curva dada por r( ( i ( j ; 5. Evalúe la inegral de línea d ( d donde esá formada por los segmenos de reca (0,0 a (,0 de (,0 a (,. (Res. 17/ c z 5. Evalúe la inegral de línea e ds, donde es el segmeno de reca de (0, 0, 0 a (1,,. 14( e 6 1 (Res Evalúe la inegral de línea ( ln d, donde es el arco de la parábola (Res ln(. 5 de (1, 1 a (, Evalúe la inegral de línea c ds, donde es la parábola de (0, 0 a (1, Evalúe la inegral de línea por los méodos siguienes: a Direcamene b Aplicando el Teorema de Green 7.1 d d donde es el riángulo con vérices (0, 0, (1, 0, (1,. (Res. 1/ 7. e d e d donde es el cuadrado con vérices (0,0, (1,0, (1,1, (0,1. c

12 57. Aplique el Teorema de Green para evaluar las siguienes inegrales: 57.1 ( e d ( cos d, donde es la fronera de la región limiada por las parábolas,. (Res. 1/ 57. ( d ( d, donde es la fronera de la región limiada por las curvas. (Res. 16/15, 57. ( d ( d donde es la fronera de la región limiada por 1. (Res. 5π 57.4 ( d d donde es la curva descria por las ecuaciones desde (0, 0 a (1, 1 desde (1, 1 a (0, 0. (Res. -/5,