2) Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(1, 0), B(2, 3) y C(3, -2).

Transcripción

1 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas Vecores en R en R. Recas planos en el espacio Verifique los resulados analíicos mediane la resolución gráfica usando un sofware de Maemáica. ) Sabiendo que AB (- ) B( ) hallar las coordenadas de A. Sabiendo que CD (-4 -) C(- ) hallar las coordenadas de D. ) Hallar las coordenadas del érice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A( 0) B( ) C( -). ) Hallar las componenes de un ecor que enga la magniud la dirección θ indicadas a) π θ 6 ; b) π 6 θ 4) Dados los ecores a ( ) b (4 6) c (0 ) calcular las componenes del ecor a ½ b - c 5) Calcular la magniud dirección de los ecores u 5u si u ( 5 ) ( ) 4. 6) Hallar el alor de para que el ecor u ( / ) sea uniario. 7) Sean u i u ; b) u 8 i. Hallar un ecor uniario cua dirección sea la misma que la de a) 8) Un perro inena cruar a nado un río perpendicularmene a él. Si es capa de nadar con una elocidad de 6 m/seg la corriene del río llea una elocidad de 6 m/seg cuál es la elocidad efecia del perro? Cuál es su dirección? 9) En cada caso obener si es posible el ecor como combinación lineal de los ecores u 0) Indicar si el conuno de ecores es linealmene independiene o linealmene dependiene de acuerdo a la figura siguiene

2 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas ) Si A i su solución? B i 4 C i epresar C como combinación lineal de A B. Es única ) Dados los ecores a (- ) b ( ) c.a -.b a) represenarlos gráficamene b) son los ecores a b L.I.? c) son los ecores a c L.I.? d) escriba c como una combinación lineal de a b. ) Los ecores u (0 ) ( -) son L.I.? Epresar los ecores a ( ) b (- ) como combinación lineal de u. 4) Indicar de qué ipo es el ángulo enre los ecores ( ) (6 0). 5) Hallar a.b sabiendo que a ( -) que el módulo de b es 4 que el ángulo enre ellos es de 60º. 6) Dados los punos A( ) B(6) C(7 ) D( -) demosrar que el polígono ABCD es un recángulo calcular su perímero. 7) Dados los ecores u ( -) (- ) hallar a) el módulo del ecor u erificar la desigualdad riangular b) el ecor u c).u d) cos <u>. 8) Hallar para que los ecores ( -) (-4 ) sean orogonales. 9) Hallar ecores orogonales al (- ) ales que a) su primera componene sea b) su segunda componene sea 4 c) sea un ecor uniario. 0) Dados los ecores ( -4) u (6 ) hallar el alor de para que a) sean paralelos b) sean perpendiculares. ) Sean P () Q (57) R ( ) proección de RS sobre PQ. Graficar. S (). Calcular la proección de PQ sobre RS la ) Hallar las componenes de un ecor sabiendo que forma un ángulo de 45º con a (- -) que es perpendicular a b ( 0) ) Sean los punos A(5) B(-4) C(-7) a)hallar el área del riángulo ABC b)hallar analíicamene graficar la proección del ecor AB en la dirección de AC c)epresar si es posible el ecor AC como combinación lineal de los ecores AB BC

3 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas 4) Sean u i 5 α i. Hallar α al que a)los ecores sean orogonales; b) los ecores π sean paralelos; c) el ángulo enre los ecores sea 5) Sean u ecores de R que forman un ángulo de 45º enre ellos. Si el u cuál debe ser la longiud de para que sea perpendicular a u -? 6) Elia disinos alores reales de α β c muesre gráficamene que el ecor α i β es orogonal a la reca α β c 0. Luego demosrar analíicamene que los ecores α i β u β i α son orogonales eplique la no influencia de c en la deerminación del ecor perpendicular a la reca.. 7) Si ϕ es el ángulo posiio más pequeño enre los dos ecores diferenes de cero u demosrar que cos ϕ u. u. 8) Sean los ecores orogonales enre sí a ( ) b (4-6). Hallar las componenes de c ( ) en las direcciones definidas por a b. 9) Sea un ecor no nulo. Demosrar que si u es oro ecor Inerprear geoméricamene. w u u.. es orogonal a. 0) Sean A B ecores no nulos de dos dimensiones. Probar que son Linealmene Independienes si solo si no son paralelos. ) Sean A B ecores no nulos no paralelos de dos dimensiones. Probar que cualquier ecor V de ese espacio se puede escribir como combinación lineal de A B en forma única. ) a)represenar en R los siguienes punos P (00); R (); S (0) b) Si desde el puno P (5) se raan recas perpendiculares a los planos coordenados hallar las coordenadas del puno de inersección de cada reca con el plano coordenado. c) Hallar las coordenadas de los érices del paralelepípedo recángulo limiado por los planos coordenados los planos 5. Hallar además las longiudes de sus lados. ) Hallar la disancia enre los punos P Q siendo a) P (-47) Q (-49) b) P (-4) Q (-5) c) P (04) Q (-45) 4) Epresar las coordenadas del puno medio de un segmeno en relación a las coordenadas de los punos eremos de dicho segmeno. Usarla luego para deerminar el puno medio del segmeno AB donde A() B() 5) Aeriguar si los punos A (-4) B (5-0) C (6-74) deerminan un riángulo isósceles recángulo.

4 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas 6) Hallar los alores de ales que el puno () dise de (00) en 5. Graficar. 7) Deerminar los punos del ee Y que equidisan de P (0) Q (-). Graficar. 8) Calcular el produco cru enre u siendo a) u i ; b) u ai b ; ci d a b c d reales c) u i 7 ; i 7 d) u i 8 ; i 4 e) u ai a a ; bi b b a b reales 9) Sean u i i calcular el área del paralelogramo deerminado por u.. Comprobar que el ecor uχ es orogonal a u a 40) Calcular el área del riángulo de érices A () B (0) C (). Ídem para el deerminado por i ; i 4) Hallar dos ecores uniarios orogonales a u i a i 4. 4) Demosrar que uχ u ( u. ) 4) Sean u 5 i i w 4 i. a) Mosrar que los ecores son linealmene independienes. b) Hallar las proecciones del ecor u en la dirección del ecor w. 44) Enconrar odos los ecores de longiud perpendiculares al plano deerminado por u i i 45) Calcular el olumen del paralelepípedo deerminado por los ecores w 7 u i i 46) Calcular el olumen del paralelepípedo deerminado por los ecores P (-) Q (-4) S (--5) PQ PRPS 47) Aeriguar los alores de α para los cuales los ecores siguienes son coplanares (Linealmene dependienes) si a) u i α i w i b) u α i i w i α 48) Hallar la ecuación ecorial paramérica caresianas paraméricas siméricas si es posible de la reca dada por

5 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas a) pasa por A(46-7) es paralela a u 5 i 9 4 b) pasa por los punos R() S(5-) c) pasa por B(-56) es paralela al ee X d) pasa por C(4-) es perpendicular al plano YZ 49) Hallar la ecuación del plano dado por a) pasa por el puno (5) es perpendicular a n i 4 b) coniene a los punos (5) ; () (-4) c) pasa por el puno (-5) es paralelo al plano - 4 d) pasa por el puno (6) es perpendicular al ee Y e) coniene a las recas R (-5) (-) S (4)(--6) 5 f) coniene a la reca R (-5) (-) S 6 g) pasa por el origen coniene a la reca S del puno anerior h) pasa por (8-) es perpendicular a la reca R del puno f) i) pasa por los punos (-) () es paralelo al ee Y ) coniene a (4-5) es paralelo a los ecores (-) (-) 50) Un plano iene ecuación a) hallar un ecor normal de longiud unidad b) los segmenos en que cora a los ees c) la disancia del origen al plano d) las coordenadas del puno Q del plano más próimo al origen 5) Dibuar los siguienes planos a) -0; b) -0; c) 0; d) 0; e) 46 5) Hallar la ecuación caresiana del plano que pasa por (-) es paralelo al plano dado por la ecuación 4. Cuál es la disancia enre los dos planos? 5) Hallar el ángulo formado por los planos 54) Hallar la ecuación del plano paralelo al dado por -40 sabiendo que el puno (-) equidisa de ambos. 55) Indicar cuáles de las siguienes recas esán conenidas o son paralelas al plano 4

6 Álgebra Geomería Analíica Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas Prof. Gisela Saslas a) b) c) ) Demosrar que la inersección de los planos 5-5; ---0 esá siuada en el plano ) Dados P(-) Q(-) R(-) hallar a) la reca que coniene al lado QR del riángulo PQR b) longiud de la mediana correspondiene al lado PR c) la reca que coniene a la alura correspondiene al lado PQ d) la ecuación de la mediari correspondiene al lado PR e) la ecuación de la reca que coniene a la bisecri del ángulo PQR 58) Para qué alores de A D la reca esá siuada en el plano A - 4 D 0? 59) Hallar una fórmula para calcular la disancia de un puno a una reca del espacio. (Sugerencia eprese el seno de un ángulo en función del módulo del produco cru enre ecores). Uilice la fórmula para a)calcular la disancia enre P(6) la reca que pasa por los punos Q(-70) R(5-) b)calcular la disancia enre el puno P(79) la reca a lo largo del ecor i que pasa por el origen. 60) Indicar la posición relaia de las recas L R L R 7 5 L R

7 Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas 6) Hallar la ecuación ecorial de la reca que pasa por T(--4) esá conenida en el plano - 0 es perpendicular a la reca L 4 6) Enconrar la ecuación del plano que pasa por el puno Q(-) es paralelo a la reca L del eercicio anerior a la reca ) Parameriación de un plano Sean los ecores del espacio u α i son números reales dados β donde α β a) hallar la ecuación del plano deerminado por los ecores el origen de coordenadas los eremos de dichos ecores) u (es decir el plano deerminado por b) Sea w su r donde s r son escalares. Probar que para cualquier elección de s r el eremo de w esá en el plano deerminado por u 64) Probar que uχ ( Χ w) es coplanar con w para cualquier ecor u 65) Hallar las ecuaciones canónicas de la reca que pasa por el puno M(-4-) por el puno medio del segmeno de reca conenido enre los planos