FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Transcripción

1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL [Versión preliminar] Prf. Isabel Arraia Z. Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 1

2 Una función vecrial es cualquier función que iene n cm imagen (rang) un cnjun de vecres de R. r : D R Es decir, para cada númer de D, r() es un únic vecr de R que l pdems escribir r() (f 1 (), f (),...., f n ()). Pr esa razón, es habiual que la función r se dene r (f 1,...., f n ), dnde las funcines reales f i sn llamadas funcines cmpnenes de r. Ejempls: 1. r() (, 3), R, se expresa ambién cn las ecuacines paraméricas x, y 3. La imagen rayecria de r es una reca en el plan R. R n r() n Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real

3 . F() (cs, sen ), [0, π]. En ese cas, la rayecria de F es la circunferencia cenrada en (0, 0) de radi 1? 3. Cuál es la rayecria de G() (sen, cs ), cn [0, π]? Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 3

4 Ejercici: Cn la ayuda de calculadra, describa la curva en el espaci que definen las siguienes funcines vecriales: a) r() (1, + 4, 3 + ) b) r() (sen, 3, cs ) c) r() (cs, sen, ) Ejercici: Deermine el dmini de la función vecrial definida pr r() (ln(),, 1- ) Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 4

5 Limies y cninuidad n Sea r : D R, r (f 1,.., f n ) función vecrial, un pun de D y L (a 1,.., a n ) R. Ennces, lim r() L lim ε > 0, δ > 0 : 0 < - n r() L 0 < δ r() - L < ε Terema: lim r() L lim f i () a i, i 1,,..., n siempre que ds ls límies de la derecha exisan. Ejercici: Calcule, si exisen, ls siguienes límies, a) b) lim 0 lim 0 r() r() si si r() (e r(), (sen ( e, + π), e 1 Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 5 ) 3 3 +, 5sen )

6 n Sea r : D R, r (f 1,.., f n ) función vecrial y un pun de D. La función r es cninua en si y sól si lim r() r( ) Observe que, r cninua en lim f i f i () ( ), cninua en f i i 1,,..., n, i 1,,..., n Ejempls: 1. f() (3, 1/) es cninua en, R {0}. r() (, e, arcsen ) es cninua en [-1, 1]. 3. r() (sen, cs, an ) n es cninua en π. Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 6

7 Derivadas e inegrales Sea r (f 1,.., f n ) función vecrial. La derivada de r en es: dr r( + h) r() r' () lim d h h 0 siempre que ese límie exisa. r(+h)-r() Inerpreación gemérica: Sea C una curva en el espaci 3 R dada pr la función vecrial r, es decir, C esá frmada pr la puna del vecr en mvimien r(). El vecr r(+h)-r() iene la misma dirección que 1 (r(+ h) r()). Si h iende a cer, ese vecr se acerca a un que esá en la reca angene a la curva en el pun P deerminad pr r(). h P r() r () Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 7

8 El vecr r (), cuand exise y es disin de cer, se llama vecr angene a la curva C en el pun P. Y r'() el vecr T se llama angene uniari. r'() La reca angene a C en P es la reca que pasa pr P y es paralela al vecr angene r () ; su ecuacin (vecrial) es: w r() +λr'(), dnde r() P Terema: Sea r (f 1,..., f n ) función vecrial. Si f 1,..., f n sn derivables en, ennces r ambién l es y se iene que r ( ) (f 1 (),..., f n ()) Ejercici: Grafique la curva plana dada pr f() 0, el vecr psición f(1) y el vecr angene f (1). i+ ( ) j, Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 8

9 Ejercici: Encuenre las ecuacines paraméricas y la ecuación vecrial de la reca angene a la curva definida pr r() ( csπ, senπ, 4) en el pun P(0, ¼, 1). Terema: Sean u, v funcines vecriales derivables. 1) ) 3) 4) 5) 6) d d d d d d d d d d d d [u() + v()] [k u()] [f() v()] [u() [u(f())] v()] k u' (), [u() v()] u'() + f'()v() + u' () u' () k u' (f()) f'() v' () f()v' (), v() + R v() + u() u() f v' () func. v' () real Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 9

10 Ejercici: Si r es una función vecrial al que r() r() C, cn C cnsane, demuesre que r() r () 0. Inegración Sea r (f 1,..., f n ) función vecrial. Si f 1,..., f n sn cninuas en [a, b], ennces r()d b a r()d ( f ()d,..., f ()d ) 1 b f a 1 ()d,..., n b f a n ()d El erema fundamenal del cálcul asegura que b a r()d R(b) R(a) dnde R es una aniderivada de r, es decir, R () r(). Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 10

11 Lngiud de arc Supngams que la curva C en el espaci iene la ecuación vecrial r() (f(), g(), h()), a b, dnde f, g, h exisen y sn cninuas en el inerval [a, b]. La lngiud de arc de C en [a, b] es: s b a (f '(x)) + (g'()) + (h()) d π es π Una curva C puede represenarse mediane funcines vecriales de diversas maneras según sea la elección del parámer. Pr ejempl, b a r'() Pr ejempl, la lngiud de arc de la hélice dada pr, r() (b cs, b sen, 1 b ) enre 0 y 3 r1() (,, ); 1 y r(w) (e, e, e ); 0 w represenan la misma curva; ls parámers se relacinan pr e w. w w 3w d ln Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 11

12 Para el mvimien a l larg de una curva, el parámer más cnveniene es el iemp. Sin embarg, para el esudi de las prpiedades geméricas de las curvas, el parámer adecuad es el parámer lngiud de arc s. Definición: Sea C una curva suave dada pr la función vecrial r() en un inerval [a, b]. La función lngiud de arc s es, s() r'(u) du a es decir, s() es la lngiud de la pare de C enre r(a) y r(). La lngiud de arc s se denmina parámer lngiud de arc. Y el erema fundamenal del cálcul asegura que, ds d r ' ( ) Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 1

13 Reparamerización en función del parámer s Cnsiderems la hélice dada pr r() (cs, sen, ). Reparamericems r() cn respec a la lngiud de arc medida desde el pun dnde 0. En ese cas, r () (-sen, cs, 1) y la función lngiud de arc s es: s() r'(u) du Y la reparamerización de r es 0 s 0 sen u+ cs u+ 1du Terema: Si C es una curva suave represenada pr r(s), dnde s es el parámer lngiud de arc, ennces Además, si es cualquier parámer para r al que, ennces debe ser el parámer lngiud de arc. Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 13 1 s r(s) cs( 1 s), sen( 1 s), 1 s r '(s) r '() 1 1

14 Curvaura Sea C una curva suave. La curvaura de C mide cuán rápidamene cambia la curva de dirección en un pun. Sea C una curva suave dada pr la función vecrial r. La curvaura de C es dt dt T'() κ d ds r'() r'() dt d ds d dnde T() es el vecr angene uniari. Es decir, la curvaura es la magniud de la razón de cambi del vecr angene uniari cn respec a la lngiud de arc. Ejercici: Calcule la curvaura de la curva C definida pr r()(,, - 3 /3), en cualquier pun y en (0, 0, 0). Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 14

15 Ejercici: Muesre que la curvaura de una circunferencia de radi a es 1/a. Terema: Si C es una curva suave dada pr la función r '() r''() vecrial r, la curvaura de C es κ 3 r'() Observacines: 1) El númer ρ 1 es el radi de curvaura; indica que la curva, κ en el pun, esa curvada cm un circul de radi ρ cenrad en el pun. ) Si C es la gráfica de una función y f(x) (curva plana), ds veces diferenciable, pdems describir a f cm r(x) (x, f(x)) y su curvaura se expresa f''(x) κ 3 1+ (f'(x)) ( ) Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 15

16 Vecr nrmal y binrmal Sea C una curva suave dada pr la función vecrial r(), I. En un pun dad de C exise una infinidad de vecres rgnales al vecr angene uniari T(); un de ells es T (). Definims el vecr nrmal uniari a l larg de C cm, N () T'() T'() El vecr B() T() x N() se llama binrmal uniari a l larg de C. Observe que en cada pun de C, ls vecres T, N, B sn uniaris y rgnales enre sí. Triedr de Frene Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 16

17 Plans nrmal, sculane y recificane El plan deerminad pr ls vecres N nrmal y B binrmal, en el pun P sbre la curva C se llama plan nrmal de C en P y esá frmad pr das las recas que sn rgnales al vecr angene T. El plan deerminad pr ls vecres angene T y nrmal N, se llama plan sculane de C en P. Es el plan que esá an cerca que cniene la pare de la curva que esá cerca de P. El círcul que esá en el plan sculane de C en P (que iene la misma angene que C en P), esá en el lad cóncav de C (hacia dnde apuna N) y iene radi ρ 1 ; se llama círcul sculane círcul de curvaura de C en P. κ Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 17 P

18 El círcul sculane es el que mejr describe la frma en que C se cmpra cerca de P; cmpare la misma angene, nrmal y curvaura en P. El plan deerminad pr ls vecres angene T y binrmal B, se llama plan recificane de C en P. Ejercici: Deermine las ecuacines de ls plans nrmal, sculane y recificane de la hélice circular r() (cs, sen, ) en el pun P (0,, π ) Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 18

19 Trsión Sea C una curva suave. La rsión de C mide el grad de rcedura de la curva, mide el desví de la curva respec del plan sculane. Definición: Sea C es una curva suave dada pr la función vecrial r. La rsión de C es el númer, τ() (r'() r''()) r'''() r'() r''() Ejercici: Deermine T, N, B, curvaura, rsión y las ecuacines de ls plans nrmal, sculane y recificane de la curva dada pr r() 3 3 (3-, 3, 3+ ) en el pun P(, 3, 4). Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 19

20 Mvimien en el espaci: Velcidad y aceleración Supngams que una parícula se mueve en el espaci de manera que su vecr psición en el iemp es r(). El vecr r ( + h ) r ( ) h prprcina la velcidad prmedi, sbre un inerval de iemp de lngiud h, de la parícula. El vecr velcidad v(), en el iemp, es v ( ) lim h 0 r ( + h ) r ( ) h r ' ( ) La rapidez de la parícula, en el iemp es la magniud del vecr velcidad, es decir, v(), que es igual a r (). Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 0

21 La aceleración de la parícula, en el iemp es la derivada de la velcidad v(), es decir, a() v () r () Ejercici: Deermine la velcidad, aceleración y rapidez de una parícula cn vecr de psición r() (, e, e ) Ejercici: Deermine ls vecres velcidad y de psición de una parícula que iene aceleración a() (0, 0, 1), velcidad inicial v(0) (1, -1, 0) y psición inicial r(0) (0, 0, 0). Cálcul III - Funcines vecriales de una variable real 1