y por consiguiente R ={ P 0 P 1, P0 P 2, P0 P 3 } un sistema de referencia afín. b) La matriz construida con los vectores de la base B={ P 0

Transcripción

1 .- Sean (R,R,f) el epaci afín uual ridimeninal real, R {P, P, P, P } y R, {Q, Q, Q,Q } d referencia afine de (R,R,f) de bae aciada B{ P P P P, P P } y B { Q Q, Q Q, Q Q } iend P (,,-), P (,,-), P (,4,-) y P (,5,-), Q (,,), Q (,,), Q (,,) y Q (,,). a) Prbar que R {P, P, P, P } e una referencia afín de (R, R, f). b) Calcular la crdenada del vecr v (, -,) repec de la bae B{ P P, P P, P P } de R (R). c) Calcular la crdenada de Q (,,) repec R. d) Calcular la ecuacine del cambi de la referencia afín R a R. e) Si un pun iene pr crdenada (,,) repec de R. Cuále n u crdenada repec de R? f) Si un plan iene pr ecuación xy repec de R. Cuál e u ecuación repec de R? a) Cnideram l vecre: P P (,,-), P P (,,), y P P (,,) y calculam el deerminane de { P P, P P, P P } y pr l an iema libre que cniuye una bae de R y pr cniguiene R { P ; P P, P P, P P } un iema de referencia afín. b) La mari cnruida cn l vecre de la bae B{ P P, P P, P P } e la mari del cambi de bae de B a B : P, lueg [] v B' 7 5 c) Obenem el vecr de pición P Q (,-,) y l expream repec de la bae B, reuland el vecr de ralación P Q 7 B. 5 d) Debem deerminar l vecre de pición de l pun Q, Q,Q repec de R y ecribir u crdenada repec de la bae B. Q Q P ; Q Q P ; Q Q P B - B B Finalmene el cambi de iema de referencia de R a R e: x x ' y 7 y' 5 '

2 e) Suiuyend la crdenada del pun A(,, ) en la ecuación anerir: x' x' 7 y' y' 7 5 ' ' 5 (,,-) n la crdenada del pun A repec de R. f) Del cambi de iema de referencia de R en R depejam x, y, en función de x, x x' y, : y 7x' y' ' y uiuyend dich valre en la ecuación xy, 5 x' y' ' reula: y' ' - Deerminar la pición relaiva de la d reca: x y r 8xy ; bx b x y a egún l valre de l parámer a y b. 8 rang(m) rang i b 5 b i b 5 8 a 8(5-b)(a-).Pr an, b b b 5 a i a y b 5 el rang(m*) 4 y la reca r y e cruan. i a y b 5 r(m) y r(m*) y la reca n cincidene. i a y b 5 r(m) y r(m*) y la reca n ecane. i a y b 5 r(m) y r(m*) y la reca n paralela..- Dada la reca x k y y x y, hallar: a) El valr de k para que ean ecane. b) Para el valr benid, la ecuación del plan que la cniene. c) Pryección de la reca xy- bre el plan anerir. SOLUCIÓN : a) De cada reca cncem un pun y u vecr direcr: r A (,, k ); v(,, - ) B ( -,, ); w (,, ) { } frmam el vecr AB El valr de k erá igual a 4 b) La ecuación del plan pedida e: y { } - -k (-,,-k) y el prduc mix AB,v,w.

3 x y x-5y- c) Se frma el plan perpendicular al plan anerir, π, y que cniene a la reca dada uiliand un vecr perpendicular a π y la prpia reca dada. x y 5 7x5y9 La reca pedida e la inerección de amb plan: x-5y- ; 7x5y9 4.-Encnrar la ecuacine de una reca que e apya en d reca r y y paa pr el pun P(,,). x r y xy ; x y Deerminarem d plan que cnengan a cada reca y al pun P. El plan π e biene cn el vecr de r, v (,,-), el pun A (,,) y P: i j k v AP ( -, -, -7 ) el ha de plan paralel erá: xy7. k y que cnenga al pun P, erá: xy7. π Para bener σ e uilia el ha de plan que cniene a : () x (-) y que para P reula y pr an σ 5x-y. Pr cniguiene π y σ frman la reca pedida. 5.- Hallar l plan biecre de l plan cncurrene: x - y - 5 y x - y - e indicar cuál crrepnde al ángul agud y cuál al bu. L plan biecre e bienen cm lugar geméric de l pun que equidian de amb plan, d(x, π ) d(x, σ ) x y 5 xy x y 5 ± ( x y ) Primera lución: α x y 8 Segunda lución: β 4x 5y Deerminand l ángul: (,, ).(,, ) c( πα, ) πα, (,, ).(,,) 45 c( πβ, ) πβ, 4 5 Lueg el plan agud e β y el bu α.

4 .- Dada la reca de ecuacine: x 7 x r y 4; y-9 4 Hallar: a) la ecuacine paramérica de la perpendicular cmún. b) el valr de la mínima diancia enre ella. a) Se cnidera un pun genéric de cada reca A(-7,-4,4) y B(,-9,--), a cninuación e frma el vecr AB ( - 8, -,- - - ) y e impne la cndición de perpendicular a amba reca mediane el prduc ecalar igual a cer. AB. v -4- > /9 AB. w 4- > 9/9 La lución cniuye el vecr rgnal y l pun que miden la mínima diancia enre la reca. 9 9 b) d(r,) d(a,b) AB 9 x y Encnrar el área del riángul que iene cm vérice l pun de inerección del plan de ecuación xy cn l eje crdenad. L pun inerección cn l eje n: Si y y, ennce, A (,, ) Si y x, ennce, B (,, ) Si y y x, ennce, C (,, ) l vecre AB ( -,, ) y AC ( -,, ) frman un paralelgram cuya área e el módul del prduc vecrial. AB AC ( 4,, ) (Uiliar CROSS ( AB, AC )) y el área del riángul ABC e: S AB AC (Uiliar ABS( AB AC )) 8.- Dada la reca r: x y, x - - ; y : x, y -,, e pide: a) Hallar la ecuación de una reca que ea paralela al eje OX y cre a r y a. b) Hallar k para que la reca benida y el plan kx y - k k frmen un ángul de. 4

5 5 a) Se cnidera un pun genéric de cada reca A y B, a cninuación e frma el vecr AB ( -, -, - ) y e impne la cndición de paralelim al eje OX, deerminand l pun de inerección cn r y. λ y 4 x b) Tenem el vecr direcr del eje OX, v (,, ) y el vecr n rgnal al plan. k k 4k k n v v.n c(v, n) en ±