Control en régimen dinámico de la M.I. 1 INTRODUCCION Pág MODELO DINAMICO DE UN MOTOR DE INDUCCION Pág. 2

Transcripción

1 INTRODUCCION AL CONTROL EN REGIMEN DINAMICODE UN MOTOR DE INDUCCION G. CASARAVILLA R. CHAER I.I.E 1992

2 INDICE 1 INTRODUCCION Pág. 1 2 MODELO DINAMICO DE UN MOTOR DE INDUCCION Pág. 2 Camp magnéic generad pr una bbina. Pág. 2 Camp en el enrehierr generad pr re bbina. Pág. 4 Vecr epacial. Paaje de d a re crdenada. Pág. 5 Magneizane en el enrehierr. Pág. 5 Muua enre d bbina, cuy eje frman un ángul θ. Pág. 6 Muua enre d grup de bbina girad un ángul ε. Pág. 8 Mariz de muua de una Máquina de Inducción. Pág. 9 Par elécric en un iema elecrmecánic. Pág.10 Par de la Máquina de Inducción. Pág.12 Ecuacine elecrmagnéica de la Máquina de Inducción. Pág.14 Ecuacine Dinámica de la Máquina de Inducción. Pág.15 Mdel de la Máquina de Inducción en Crdenada de Camp. Pág.15 Paaje de d a re crdenada. Pág.18 3 BIBLIOGRAFIA Pág.18 4 APENDICES Pág.19 Apéndice 1 : Cálcul inermedi. Pág.19

3 1 INTRODUCCION Pág. 1

4 2 MODELO DINAMICO DE UN MOTOR DE INDUCCION 2.1 Camp magnéic generad pr una bbina Se upne la máquina cn enrehierr unifrme cn lngiud radial h cm e muera en la figura 1. e 1 e el eje de la bbina y erá el eje dede el cual e medirán l ángul. L cnducre de la bbina ienen imería axial repec a e 1. L cnducre de la bbina earán diribuid en la ranura, per a l efec de implificar el análii, upndrem que la diribución de epira e n(α), queriend indicar cn ell que en la pición α y cn el ángul barrid pr dα hay n(α) dα barra de epira. h rr enrehierr ear e1. Se aumirá que n(α) e inuidal, en al ca e dice que la bbina iene diribución inuidal de epira Fig. 1. Cre de la M.I. Sea N el numer al de epira de la bbina, e deberá cumplir: π N = n( α) d α n( α) = N. e n ( α) [1] 2 α=0 Para calcular el camp H en la pición a, upndrem que la permeabilidad del hierr e l uficienemene ala cm para afirmar que H = 0 en el cuerp del ear y del rr. Ademá cm en el aire B y H n clineale y B e perpendicular a la uperficie de hierr, upndrem que B e radial y l cniderarem piiv cuand e aliene del rr. Pág. 2

5 Supndrem ademá que B(α) = - B(π + α) e e cumple dad que la bbina preena imería repec del plan perpendicular a u eje que paa pr el cenr del rr, de manera equivalene n(α) = n(π - α). Cm h e pequeñ cmparad cn el radi del rr pdem upner que el camp magnéic e cnane al aravear el enrehierr en frma radial, quedand deerminad u valr pr la pición angular del enrehierr. Cn da ea upicine y eligiend el camin de inegración que e muera en la figura 2 para el cálcul de H(α) enem: η= π+ α H.dp = 2 h H( α) = n( η) I ig (en η) dη η= α [2] camin de inegracin Siend I la crriene pr la bbina, piiva en el enid que el fluj generad bre el eje iene la mima dirección que la rienación dada al eje. h rr enrehierr ear e1. I ig( en η) e la crriene pr un cnducr que e encuenra en la pición α = η, cn el ign adecuad para calcular l ampareepira encerrad pr el camin de inegración. Evaluand la inegral benem: Fig. 2. Camp de una bbina H( α ) = N 2 h I c α [3] Ee reulad n permie repreenar a la crriene magneizane cm un vecr de magniud N I egún el eje de la bbina. Si e 1 e el eje de la bbina, direm que N I e 1 e el "vecr de crriene magneizane" de la bbina. Pág. 3

6 Cn ea definición, H(u) = N I 2 h e.u 1 [4] e decir, el camp H egún la dirección del verr u e el prduc ecalar enre el vecr de crriene magneizane de la bbina cn el verr, dividid pr el dble del eper del enrehierr. 2.2 Camp en el enrehierr generad pr re bbina. Supngam re bbina cuy eje e encuenran eparad 120 epacial-elécric cm e muera en la figura 3. Ea bbina n la que crrepnden a una máquina de un par de pl pr l que l grad epacial-elécric cinciden cn l mecánic. El camp H egún la dirección de un verr u erá H(u) = 1 2 h ( ) N I e + N I e + N I e.u [5] Obervar que el camp e el que reularía de una bbina cn vecr de crriene magneizane igual a la uma de l vecre magneizane de la re bbina. De l anerir e deprende que el camp en el enrehierr e indenificable cn un vecr de d crdenada, eguidamene inrducirem una nación cn númer cmplej cm manera de repreenar vecre de dimenión d, nación que faciliara enrmemene la deduccine del mdel del mr de inducción. e2 e3 120 e1 Fig. 3. Siema rifáic de bbina Pág. 4

7 2.3 Vecr epacial. Paaje de d a re crdenada Sean I 1 I 2 I 3 re magniude reale. Definirem a = e j γ ; γ = 2 π / 3 i = I 1 + a I 2 + a 2 I 3 Cn ea definicine direm que i e el vecr epacial aciad cn la variable reale I 1 I 2 I 3. Dich vecr epacial erá repreenable en el plan cmplej pr l que llamam a la ranfrmación paaje de re a d crdenada. I1 X = [ 1 a 2 a ] I = I 2 I3 i = X I [6] El vecr epacial aciad a la re variable reale que l deerminan n e un far cm uualmene e eniende. 2.4 Magneizane en el enrehierr Tmand la ecuación [5] H(u) = 1 2 h ( ) N I e + N I e + N I e.u [7] cn la nación inrducida, l eje de la re bbina n idenificable cn l iguiene vecre epaciale: pr ear la bbina cm muera la figura 3. e 1 = 1 e 2 = a e 3 = a 2 Cuand hacem la ranfrmación al plan cmplej, el eje real de dich plan cincide cn e 1. Pág. 5

8 Lueg u = e j α pr l que H(u) = N 2 h ( ) XI. j α e = N 2 h i. jα e [8] El prduc ecalar de d cmplej verifica la frma Re( z). Im( z) Re( w) Re{z * w } = * Re{z w} Im( w) = [9] pr l an H( α) = 1 2h N Re { i -jα e } [10] 2.5 Muua enre d bbina, cuy eje frman un ángul θ Supngam que la bbina 1, de N1 epira ea recrrida pr una crriene I 1. La bbina 2 de N2 epira e araveada pr la línea del camp generad pr la bbina1. El eje de la bbina 2 e encuenra girad un ángul q en enid anihrari del eje de la bbina 1. (ver figura 4). e2 - Pr l an i e 1 = 1, marem e 2 = e j θ e1 -- Pág. 6

9 Fig. 4. Muua enre d bbina El camp generad en el enrehierr pr la bbina 1 e: µ B = µ H B( α) = 2h N 1 Re { -jα I 1 e } [11] El fluj de dich camp enlazad pr la epira 1 de la bbina 2 que iene una de la barra en la pición ( θ - ε ) y la ra en ( θ + ε ) e calcula cm: r y l n el radi y larg del enrehierr φ = B. n d [12] S θ+ ε N φ( ε) = B( α)lrd α = 1I1lr µ -jα Re(e )dα 2h θ-ε θ+ ε θ-ε θ+ ε N1I1lr φ( ε ) = µ Re{ -j e d α } = µ 2h θ-ε N I lr 2h Re{j e - je } α 1 1 -j( θ+ ε) -j( θ- ε) N φ( ε ) = 1I1lr µ -jθ -jε ε µ θ Re{je (e - j N I lr e )} = 1 1 -j Re{e en ε} 2h h N I lr φ( ε ) = 1 1 µ en ε -jθ Re{e } [16] h para calcular el fluj al enlazad pr la bbina 2 realizam una inegración bre la variable e a l efec de ener en cuena da la epira, para l cual upndrem que la bbina 2 ambién iene diribución inuidal de epira. π 2 N 2 = n( ) d n( ) = N ε=0 2 ε ε ε. in( ε) 1 Se hace nar que dada la imería de el plane, mam cm una epira d cnducre que n cinciden cn un vuela real, la cual ería de pa diameral. Pág. 7

10 pr l an 12 ε= π = ( ) N j =0 2 en d = N N I lr θ ε 2h ε= π φ φ ε ε ε µ Re{e } en ε dε ε=0 2 φ = µ 12 N1N2I1lrπ -jθ Re{e } 4h N1N2lrπ φ12 = M c ( θ ) I 1 cn M = µ [20] 4h Ennce la muua enre la d bbina e puede exprear cm * M( θ ) = M Re{e 1 e 2 } [21] en dnde e 1 y e 2 n l eje de la bbina, θ e el ángul que frman dich eje y M e una cnane que depende del numer de vuela de la bbina, de la lngiud del rr l, del radi r del rr y del eper del enrehierr h. Pr ra pare i enem en cuena que el iema real n endrá acplamien perfec, e define el facr de acplamien glbal η al que: M( θ) = M η Re{e e } [22] 1 * Muua enre d grup de bbina girad un ángul ε. Sean, el grup que llamarem S, cniuid pr la re bbina eaórica de la máquina de eje ( 1 ), ( a ) y ( a 2 ) y el grup que llamarem R frmad pr la re bbina rórica cuy eje n ( e j ε ), ( e jε a ) y ( e jε a 2 ). La bbina de S n de N epira mienra que la de R n de Nr epira. Bucarem la mariz de muua de ee iema, que e ajua a la iguiene ecuación: φ = M r Ir [23] Pág. 8

11 e decir que en la fila 1 de dicha mariz earán la muua enre la bbina 1 del grup S y cada una de la del grup R que endrán facr de acplamien h que pr imería upndrem cnane para da la fae. * j j j 2 { [ ] } η * j { } fila 1 = M η Re 1 e,e a,e a = M Re 1 X e análgamene para la fila 2 y 3 enem: ε ε ε ε [24] * j { } η 2* j { } fila 2 = M η Re a X ε e y fila 3 = M Re a X ε e [25] * jε { } M = M η Re X. X e = L K( ε ) [26] r habiend definid: * j { } L = 3 2 M η y K( ε ) = 2 3 Re X X ε e [27] K ( ε) = 2 3 c( ε) c( ε + γ) c( ε + 2 γ) c( ε + 2 γ) c( ε) c( ε + γ) c( ε + γ) c( ε + 2 γ) c( ε) [28] 2.7 Mariz de muua de una Máquina de Inducción. Si definim φ φ I = I φ = r I r M( ε) = M M r M M r rr [29] endrem que φ = M( ε) I [30] generalizand el reulad de la ección anerir Pág. 9

12 M( ε) = K(0) L K(- ε) L K( ε) L K(0) [31] Lr Para deducir la egunda fila de M(ε) e mó la bbina eaórica cm ( e jε ), ( e jε a ) y ( e jε a 2 ) y la rórica cm ( 1 ), ( a ) y ( a 2 ) l cual juifica uar la mima definición de K(ε). Pr ra pare e marn facre de acplamien glbal η y η r que n mayre 2 a η, pudiend definir en ea cndicine (marem para implificar N1 = N2) ( ) ( ) L = 1 + σ L L = 1 + σ L [32] r r dnde y r e definen cm facre de fuga de ear y rr repecivamene. Lueg e define el facr glbal de fuga cm: σ = 1-1 ( 1 + σ )( 1 + σ ) r [33] 2.8 Par elécric en un iema elecrmecánic Si upnem que el iema e cnervaiv, (cn l cual eam depreciand la hiérii del maerial magnéic), la energía almacenada en el camp magnéic e puede exprear en función de la variable (I, ε), dnde I e el vecr de crriene I 1, I 2,... I n de l circui que frman el iema y e e una crdenada que idenifica la pición angular de la pare giraria del iema. Supndrem l circui cn reiencia nula, y pr l an, da la energía que ingrea en frma elécrica, e ranfrma pare en la energía del camp y pare en aumenar la energía cinéica de la pare móvil. 2 El facr de acplamien de una bbina e máxim cn ig mim, repec al que iene cn ra bbina del circui Pág. 10

13 Para calcular la energía del camp, crrepndiene al pun ( I, ε ), prcederem a inegrar la pencia que ingrea en frma elécrica, maneniend e cnane. Si M(ε), e la mariz de muua del iema, endrem que la pencia elécrica e: cm ε = ce. W e = I d [ M( )I] φ = I d ε [34] d M( ε ) = 0 y W = I M( ) d e ε I [35] Tmand un camin de inegración P() = I cn en el inerval [0, 1] c =1 =0 e =1 U (I, ε) = W = I M( ε)i = 1 2 I M( ε)i [36] =0 c U (I, ε) = 1 2 I M( ε )I [37] U ε e la "Energía del camp Magnéic". Para calcular el par, realizam un deplazamien virual en el que variam e en de, maneniend I cnane ( di = 0 ). δ W e = δu c + δwmec 1 δu c = Uc I ε = (, ) ε I. M( ε). I ε 2 ε δw = C. ε mec e ε [38] lueg W = I e d M( )I = I M( )I + M( )I I ε I [ ε ] [ ε ] ε [ ε ] [39] Pág. 11

14 eniend en cuena que δ W = W δ δε = ε δ δi = I δ e e [40] W e = I [ M( ε)i ] δε = I [ M( ε)i] δε [41] ε ε depejand C e C e = 1 2 I M( ε )I [42] ε Siend C e el par elécric ejercid bre la pare móvil. De la ecuación e deprende que la crriene en la bbina y la pición relaiva de éa, deerminan el valr del par elécric. 2.9 Par de la Máquina de Inducción Cm e deerminó en el pun 2.6, la mariz de muua para la MI e: M( ε) = K(0) L K(- ε) L K( ε) L K(0) [43] Lr aplicand la frmula deducida para el par, enem: [ ] r C e = 1 2 I I,I. M( ε ). ε I [44] r C e = L 2 I K( ) I r + Ir K(- ) I ε ε ε ε [45] Pág. 12

15 uilizand la igualdade 3 y 5 del Apéndice 1 ε j ( ) * C e = L I K( ) I r = 2 3 L I Im X e X I r ε ε [46] jε ( ) C e = 2 3 L Im I X e X I * r [47] ( ) jε * jε ( r) ( r ) C e = 2 3 L Im X I e X I = 2 3 L Im i e i jε ( r ) C e = 2 3 L Im i i e * * [48] [49] En ea úlima expreión del par mr elécric en la máquina de inducción, l vecre epaciale de la crriene de ear y de la crriene de rr eán referid a u repeciv iema de crdenada. Dich iema de crdenada cmpleja eán defaad un ángul ε cm de ve en la figura 5. w crdenada rrica r. crdenada earica Fig. 5. Siema de crdenada Pág. 13

16 2.10 Ecuacine elecrmagnéica de la Máquina de Inducción. La ecuacine elécrica de el ear y rr n: U = R I + d φ [50] U = R I + d φ r r r r La ecuacine magnéica n: φ = M I + M I r r [51] φ = M I + M I r r rr r Aplicand X a ea ecuacine u = R i + d ϕ [52] u = R i + d ϕ r r r r ϕ = Li + j ε L e ir [53] ϕ r = -j ε L e i + Lr ir 2.11 Ecuacine Dinámica de la Máquina de Inducción Pág. 14

17 Tmand la expreine via, agregand la ecuacine mecánica y rabajand cn una máquina cn p pare de pl enem: u = R i + L d i + L d jε ( e ir) [54] u = R i + L r r r d -jε ( e ) i + L d i r r jε ( r ) C e = p. 2 3 L Im i i e * d ε = p. ω J d ω = C - C ( ε, ω,) e L [55] 2.11 Mdel de la Máquina de Inducción en Crdenada de Camp Haa aquí hem llegad cn la ecuacine dinámica de la máquina en función de vecre epaciale en crdenada de ear y en crdenada de rr. Traarem de exprear dicha ecuacine en un iema de crdenada que ea lidari cn el vecr de fluj róric. De la ecuacine dinámica = L e i + L i = L i + L r L i e e ϕ r -jε r r r j ε -j ε [56] Pág. 15

18 cn l que pdem pner ϕ r = L i e mr -jε [57] mr r r i = i + L L i e Se define i mr cm el vecr de crriene magneizane rrórica, expread en crdenada de ear. El vecr de fluj rric, en crdenada de ear e: jε pr l que ϕ r = ϕ r e jε [58] ϕ r = L imr [59] Lueg e puede exprear mr mr j i = I e ρ [60] El ángul ρ n da la infrmación necearia para ubicar el vecr de crriene magneizane i mr y pr an la de el fluj róric. Al iema de crdenada lidari cn el vecr de camp l llamarem "iema de crdenada de camp" " iema dq" (de direca y cuadraura) el cual vem repreenad en la figura 6 en dnde e definen: dθ = ω dρ = ω 1 mr dε = ω [61] Si querem la expreión de i mr y de i en la crdenada dq enem que dq -jρ i = i e = I + j I d q [62] mr dq mr -jρ i = i e = I mr Pág. 16

19 w wmr r - dq - Fig. 6. Siema de crdenada r y dq Habiend definid I d la cmpnene direca e I q la cmpnene en cuadraura de la crriene eaórica en el referencial dq. Teniend en cuena que u r = 0, uiuim i r en dicha ecuación, eparam en pare real e imaginaria y benem: I + τ d I = I mr r mr d [63] d ρ = τ r I q I mr + ω Lueg, haciend el cambi a crdenada dq, la expreión del par queda: C e = 2 3 L 2 L r I I [64] q mr Pág. 17

20 y pr úlim, mediane peracine imilare, la ecuación que deermina la enión eaórica queda: d d σ τ d d τ σ ω ( σ) τ I + I = u R + I d I mr q mr [65] d q σ τ q q τ σ ω τ ( σ) ω I + I = u R - I - 1- I mr d mr mr 2.13 Paaje de d a re crdenada Se puede demrar, que i I 1 + I 2 + I 3 = 0, el cambi de crdenada e reverible y la cmpnene reale que deerminan el vecr epacial de una erna e calcula cm: I = 2 3 Re { * X i } [66] 3 BIBLIOGRAFIA 1.- W. Lenhard. "Cnrl f Elecrical Drive" Pág. 18

21 4 APENDICES Apéndice 1 : Cálcul inermedi X X = 0 [1] X * X = 3 [2] K ( ε) = K(- ε ) [3] jε * { } K( ε) = 2 3 Re e X X [4] ε j * j { } ( ) K( ε) = 2 3 Re j ε e X X = 2 3 Im X X ε e [5] * j X. K( ε) = ε e. X [6] -j X. K ( ε) = ε e. X [7] Pág. 19