TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas

Transcripción

1 Dinámica de Siema TEM : Méodo para el análii de iema..- Inroducción...- Solución de ecuacione diferenciale lineale...- Tranformada de Laplace..4.- Diagrama de bloque..- Mariz de Tranferencia.6.- Méodo numérico, imulación.7.- Problema. Inroducción En ee ema e aborda la decripción de divero méodo que permien obener la evolución emporal de la magniude fundamenale que definen un Siema Dinámico. l enfrenare a ee ipo de problema iempre e planean do eraegia alernaiva: la reolución analíica o la imulación numérica. La decripción de lo méodo analíico e juifica por do razone. En primer lugar repreenan una herramiena fundamenal para el análii; en egundo lugar, on una referencia fundamenal a la hora de ear lo reulado obenido por lo méodo numérico. Por oro lado, la aplicación de lo méodo numérico e ha generalizado gracia al uo del compuador y la aparición de programa de imulación. Dicho méodo uponen una herramiena fundamenal para imular iema dinámico cuando la écnica analíica no permien inegrar la ecuacione del modelo. En la primera pare del ema e inroduce el méodo analíico radicional. lo largo de ella e aclaran alguno concepo fundamenale como el Teorema de Unicidad y el Principio de Superpoición. imimo, e definen lo concepo de repuea libre y repuea forzada. ---

2 Dinámica de Siema En la egunda pare del ema e preena el méodo operacional para la reolución de ecuacione diferenciale. Baándoe en la Tranformada de Laplace e inroducen elemeno fundamenale como on la función de ranferencia y lo diagrama de bloque. Por úlimo, e decribe ucinamene la aplicación de alguno méodo numérico de inegración, que permien realizar la imulación y obener el comporamieno de iema ano lineale como no lineale.. Solución de ecuacione diferenciale lineale.. Teorema e unicidad y principio de uperpoición Enconrar el comporamieno emporal de un iema o la evolución emporal de la variable de alida equivale a, conocida la condicione iniciale, enconrar la olución a la ecuación diferencial que define el modelo de repreenación ecogido. En primer lugar e enunciarán do eorema que eablecen la condicione en la que e puede reolver una ecuación diferencial y ciera propiedade de la olucione. Poeriormene e inroducirán la principale écnica uilizada para enconrar dicha olucione.... Unicidad de la olucione Teorema de Eiencia y Unicidad: Supóngae una ecuación diferencial lineal en la forma: n i i d y f i d i u donde la funcione f i on coninua en el inervalo abiero I que coniene al puno a. Enonce, dado n número y o,..., y n-, que cumplen la condicione iniciale: y a y ; dy d d y d ; a y ; a y n d y ;...; a y n d Eie una y olo una olución y de la ecuación diferencial que cumpla la aneriore condicione iniciale. ---

3 Dinámica de Siema Si para una ecuación diferencial no eán definida la condicione iniciale, pueden enconrare infinia olucione a la ecuación. Una epreión que reuma ee conjuno de infinia olucione e denomina Solución General de la ecuación. La olución de la ecuación para una condicione iniciale dada, ha de perenecer a ea familia y e denomina Solución Paricular de la ecuación. Cuando e buca conocer el comporamieno emporal de un iema dinámico, eamo inereado en conocer la olución paricular de la ecuación diferencial en una circunancia concrea. Por ano, para obener el comporamieno emporal de un iema dinámico, e neceario que eé bien definido el problema de condicione iniciale, e decir, i el orden de la ecuación diferencial e n, e ha de diponer de n condicione iniciale. Obérvee que i el modelo viene dado por una ecuación de eado, erá neceario que eén definida oda la componene iniciale de la n componene del vecor de eado y, por ano, eguirán iendo necearia n condicione iniciale.... Principio de Superpoición Una de la caraceríica fundamenale de lo iema eudiado en ee ema e la linealidad.. Se dice que un iema dinámico e lineal i, uponiendo oda la condicione iniciale nula, dada la enrada g e g que producen repecivamene la alida y y y ver Figura. enonce, para una enrada c g c y e produce la alida c g c y. g SISTEM g SISTEM y y g cg SISTEM c y c y c Figura.. Siema lineal, principio de uperpoición De ea propiedad de Linealidad e puede deducir el Principio de Superpoición: Principio de Superpoición La repuea y de un Siema Lineal, debido a varia enrada g, g... que acúan imuláneamene, e igual a la uma de la ---

4 Dinámica de Siema repuea a cada enrada acuando ola, cuando oda la condicione iniciale del iema on nula. Ea propiedad permie reolver iema lineale con múliple enrada con olo coniderar la acción de cada una de ella de forma independiene Lineal. Cualquier iema que aifaga el Principio de Superproducción e un Siema.. Homogeneidad, Polinomio caraceríico y Solucione. ne de planear ninguna eraegia de olución para una ecuación diferencial e neceario la definición de una erie de érmino. Dada una ecuación diferencial lineal en la forma: n i i d y f i d i u e dice que la ecuación e homogénea i u, e decir, i adopa la forma: n i i d y f i. i d Si u e dice que la ecuación e no homogénea. Cuando e raa de enconrar una olución general a una ecuación diferencial no homogénea habrá que ener en cuena ambién u verión homogénea. demá, para el cao de la ecuacione que e conemplan a lo largo de ee capíulo, e decir ecuacione diferenciale con coeficiene conane lineale invariane en el iempo, conviene definir el concepo de Polinomio Caraceríico. Para ello e conidera el Operador Diferencial: í, por ejemplo, la ecuación diferencial: iene aociado u Polinomio Caraceríico n d n d D ;...; D n d d d y dy y g d d D D λ λ en alguno auore. y la llamada Ecuación Caraceríica D D ; Solucione: D - ; D

5 Dinámica de Siema... Solución de la ecuacione homogénea La olución de una ecuación diferencial homogénea dependerá de lo valore de la raíce del Polinomio Caraceríico. E decir de la olucione de: u i a D i i Dependiendo de que valore adopen éa e pueden dar vario cao: * Si la raíce on oda diferene, la olucione vienen dada por un conjuno de n funcione linealmene independiene cuya forma e: D D y e, y e, yn donde Di on la raíce del Polinomio Caraceríico. La olución general de dicha ecuación erá una combinación lineal de la aneriore funcione. e Du Ejemplo: d y dy y d d Ecuación caraceríica: D D ; Raíce: D ; D Solucione y e ; y e Comprobación: d e d de d e e e e Por ano, la Solución General de ea ecuación e: y g C e C e donde C y C on do conane. Cuando e rae de enconrar una olución paricular, ea conane omarán valore deerminado por la condicione iniciale. ---

6 Dinámica de Siema * Si la raíce e repien, el conjuno de olucione viene dado por e DI, e Di,..., ui e Di donde u i en la muliplicidad de la raíz D i. Ejemplo: d d y dy y d Ecuación caraceríica: D D ; Raíce: D - doble. Solucione: y e ; y e La Solución General de ea ecuación e: y g C e C e Eien ambién oro ipo de poible olucione, dependiendo de i aparecen raíce compleja o raíce compleja repeida. No e deallan ea poibilidade pue no e objeo de ee ema dearrollar con dealle ee méodo de olución de ecuacione diferenciale.... Solución de la ecuación no homogénea Si e deea obener la olución paricular de una ecuación diferencial no homogénea para una condicione iniciale deerminada e neceario: bucar primero la olución general de la ecuación homogénea y deerminar u olución paricular para la condicione iniciale dada e lo que e llama repuea libre de un iema; poeriormene e buca y una olución paricular normalmene para oda la condicione iniciale iguale a cero para la ecuación no homogénea e lo que e llama repuea forzada del iema. La Repuea Libre e una combinación lineal de oda la olucione de la Ecuación Homogénea donde lo coeficiene de la combinación eán deerminado por la condicione iniciale del problema. --6-

7 Dinámica de Siema Ejemplo: Se raa de enconrar la repuea libre y L del iguiene problema d y dy y g d d dy Condicione iniciale: y ; d Ecuación caraceríica: D D ; Raíce: D ; D Solución General Homogénea: Y H e Be Suiuyendo: y L dy d dy d e e Be Be B B B B B ; La repuea libre e: y e l La Repuea Forzada e la olución cuando oda la condicione iniciale on nula y el iema e encuenra omeido a la eñal de enrada u. Normalmene e difícil deerminar. Eien diino méodo enre lo que cabe ciar el méodo de lo coeficiene indeerminado, en el que la olución paricular depende mucho del ipo de función u y e encuenra abulada. El objeivo de ee eo no e deallar ee ipo de méodo, por lo que parece perinene remiir a bibliografía má epecializada en olucione de ecuacione diferenciale Edward y Penney, 99 a aquella perona que e encuenren inereada en ee ipo de méodo. e Como e ha dicho aneriormene, la Solución Complea para un iema decrio por una Ecuación Diferencial con coeficiene conane e obiene umando la Repuea Libre y la Repuea Forzada. --7-

8 Dinámica de Siema Ejemplo : d y dy y g d d dy Condicione iniciale: y ; d coniderando que g ce. para >. La olución a la ecuación homogénea ya fue obenida en el ejemplo anerior. Para obener la Solución Forzada e upone una olución del ipo D D y f Be Ce ; coniderando condicione iniciale nula: y f Be Ce B C dy d p por ano: B -C C. Be Ce B C Calculando la egunda derivada de la función: d y f Be Ce d y uiuyendo el valor de la egunda derivada, de la deriva y de la función en aí : la ecuación diferencial: y f d y dy y g d d e La Solución Complea erá : y y l y f e e g e g e e y e.. Repuea ranioria y eado eacionario. La Repuea Complea puede iempre eparare en una repuea cuyo valor cobra imporancia cuando e e, denominada repuea de Eado Eacionario o Permanene, y ora repuea, cuyo valor cobra imporancia durane lo primero --8-

9 Dinámica de Siema --9- inane en lo que e realiza la ranición dede el eado inicial a la configuración final, e la llamada Repuea Tranioria. En el cao del ejemplo anerior pueden idenificare claramene amba repuea e y..4 Solución a la ecuación de eado La olución de una ecuación maricial de eado viene dada por : τ τ τ d u B e e r r r donde e e una Función Maricial definida como :...!! I e con I mariz idenidad de la mima dimenión que. Ejemplo: Encuenre la evolución de y para el iguiene modelo de eado con la condicione iniciale -; ; B ; u g ce. para >. Solución: En ee cao:. Por ano: K K ; en conecuencia: e τ τ τ e y la olución e obiene: R. Tranioria R. Eacionaria

10 Dinámica de Siema --- τ τ d g g g d g τ τ τ τ g d g τ g g. TRNSFORMD DE LPLCE. El méodo que e inroduce en ee aparado coniuye la bae del análii de lo Siema Dinámico. De hecho una de la aplicacione má imporane e la caracerización de Siema Lineale Invariane en el Tiempo, o ea, aquello decrio por Ecuacione Diferenciale con coeficiene conane. La ranformación de Laplace e un méodo operacional que permie ranformar una ecuación diferencial de variable real en una ecuación algebraica de variable compleja. parir de aquí la olución de la ecuación puede enconrare uilizando méodo algebraico, como lo empleado al reolver ecuacione convencionale. La olución final e obiene aplicando la abla de ranformada en enido invero. La Figura. reume la aplicación del méodo. Figura.. Méodo operacional para la reolución de ecuacione diferenciale.. Reviión de número complejo. Se da nombre de número complejo a un par de número reale e y umado en la forma: iy z, donde i e la unidad imaginaria pura i definida en la forma: i parir de un número complejo e definen la iguiene magniude:

11 Dinámica de Siema Número complejo z z y z iy y θ arcg módulo argumeno Se denomina número complejo conjugado de z al número z iy Eien diina forma de ecribir un número complejo. Por un lado e iene la forma recangular : z iy z z coθ jenθ. Por oro, la forma polar: z iθ z e La relación enre ea do forma de ecribir un número complejo queda repreenada en la Figura.: Figura.. Repreenación de un número complejo Una de la propiedade má úile de lo número complejo e el llamado Teorema de Euler: iθ iθ z e co θ jenθ ; z e co θ jenθ de donde puede ecribire: coθ iθ iθ e e ; enθ e iθ e j iθ... Variable compleja. Una Variable Compleja e un número complejo cuya pare real e imaginaria on variable: Por ano: σ jω : σ e la pare real ω e la pare imaginaria σ ω Modulo o magniud ω σ arg arcg rgumeno o Fae. ---

12 Dinámica de Siema... Función compleja Una función compleja e una función con una pare real y ora imaginaria: donde F jfy F F Fy F Modulo Fy F arcg rgumeno F lo largo de ee capíulo e verán con frecuencia funcione de variable compleja epreada en forma de cociene de polinomio como el que igue a coninuación: F k z z z... zm p p... p n.. Definición de Tranformada de Laplace. Sea f una función real de la variable real, definida para >. Se denomina Tranformada de Laplace de f a la inegral f e d donde e una Variable Compleja σ jw y e uele denoa por : [ f ] F L Puede definire ambién la Tranformada Invera de Laplace. Sea F la Tranformada de Laplace de f para >. Se denomina Tranformada Invera de F L - [F] a la inegral de conorno : f πj c c j F e d j > o Calcular la ranformada mediane la propia definición puede er en divera iuacione un procedimieno complicado. Lo que e uele hacer e uar la abla de pare de ranformada. Dicha abla e uilizan para calcular ranformada y ranformada invera, eniendo en cuena que: L [ f ] F ; L [ F ] f ---

13 Dinámica de Siema.. Tabla ---

14 Dinámica de Siema --4-

15 Dinámica de Siema..4 lguna propiedade de la ranformada de Laplace. º- Linealidad L L Si f F, f F Enonce y a y a conane. L a f a F a F a f Ejemplo: Calcular la ranformada de f e > º En primer lugar e calcula la ranformada del primer umando: L [ ] bucando en la abla idenificamo n! n a n n a aí e a aplicando aquí la Linealidad -> L [ ] F º En egundo lugar e calcula la ranformada del egundo umando: L[ e ] bucando en la abla e inmediao que e a a aí [ e ] F L F F F ---

16 Dinámica de Siema º- Derivación real d d Si f F enonce f F f Ejemplo: Calcular la ranformada de la deriva de la función eno df d f ω ω enω F ω ω coω F ω en Puede confirmare ee reulado con olo mirar la abla: L ω ω [ ω coω] ωl[ coω] º- Tranformada de la Inegral F Si f F enonce: ] L[ f τ dτ f d 4º-Teorema del Valor Inicial Si f F enonce f lim f lim F para > º- Teorema del Valor Final Si f F enonce f lim f lim F 8º- Rerao en el Tiempo Tralación en el iempo. Si f F enonce u f e F --6-

17 Dinámica de Siema 9º- Tralación en la Frecuencia. Si f F enonce e a f F a 4 Ejemplo: Calcular la ranformada de f e co > Mirando la abla y coniderando la ralación en frecuencia: L e co 4! L plicando la propiedad de la linealidad la ranformada oal e la uma dela ranformada: F Funcione Singulare. Lo iema uelen eciare con ciera funcione ingulare que facilian el eudio de la repuea emporal: Ecalón Uniario u para > para < L[u] Figura.4. Función ecalón La eñal ecalón uele uilizare para coniderar una enrada cuyo valor aparece a parir del inane y que e maniene conane a parir de ee momeno. Rampa Uniaria. E la inegral del Ecalón Uniario. Suele uilizare para imular iuacione en la que la eñal de enrada evoluciona de forma creciene en el iempo a parir del inane. --7-

18 Dinámica de Siema ru para > para < L[r] Figura.. Función rampa uniaria Función Impulo: δ E una eñal que vale iempre cero, ecepo en, momeno en la que la función alcanza un valor infinio. δ para para L[δ] Figura.6. Función impulo Una caraceríica de ea función e que u inegral definida a lo largo de R e igual a δ La función impulión no eie como fenómeno real, in embargo ea función puede coniderare como el límie de una eñal pulo, de ampliud /d, que comienza en a y ermina en ad, cuando d iende a cero. Ee ipo de eñal uele empleare en iema mecánico para repreenar una ineracción, que iene lugar en un breve inervalo de iempo, en la que e produce la ranferencia de impulo, energía ec...6 Función de Tranferencia Una de lo principale objeivo de la eoría de iema conie en eablecer la relacione enre la eñale enrada y la eñale de alida. Ea relacione, como e verá, depende de la nauraleza y configuración del iema, iendo independiene del --8-

19 Dinámica de Siema ipo de eñale de enrada que e conideren. El concepo de función de ranferencia permie deerminar dicha caraceríica propia y eablece un mecanimo que permie conocer a priori el ipo de comporamieno y repuea del iema eudiado. La Función de Tranferencia de un iema decrio por Ecuacione Diferenciale Lineale Invariane en el Tiempo, e define como la relación enre la ranformada de Laplace de la alida y la ranformada de Laplace de la enrada, cuando oda la condicione iniciale on nula. Por ano, dado un iema definido por la ecuación diferencial: a n n d K a b f L bm d m d f d Si e conideran condicione iniciale nula, aplicando la ranformación de Laplace e poible ecribir: n a X n m K a X b F L bm F Sacando facor común X y F e poible enconrar la relación enre amba ranformada: X bm G F a n m n K b L a Dado que la función de ranferencia e eprea como cociene de do polinomio, e frecuene ecribir eo como produco de monomio: G k z z z... zm p p... p n Lo puno puno en lo que G e llaman cero, en ee cao z z, , z Lo puno en lo que el denominador e hace cero, e decirg,e llaman polo, en ee cao p,..., p pu. Si el Denominador coniene facore del ipo p k enonce p e un polo múliple de orden κ. Si κ el polo e llama polo imple. Ejemplo: Calcular la función de ranferencia a parir de la ecuación diferencial dy d df y f d ; -> Y F

20 Dinámica de Siema G Y F Merece la pena realizar una erie de comenario obre la función de ranferencia: - La aplicación del concepo definido de Función de Tranferencia queda limiado a iema decrio por Ecuacione Diferenciale Lineale e Invariane en el Tiempo. - La función de ranferencia e la ranformada de Laplace de la repuea del iema a la eñal impulo con condicione iniciale nula. δ SISTEM y δ Figura.7. Repuea impulional En efeco, a parir de la definición puede ecribire Dado que con lo que Y G F S L[ ] F δ Y G y g L [ G ] La función g e denomina repuea impulional del iema, y e ora forma de decripción eerna de un iema dinámico, ya que e poible enconrar a parir de ella la repuea del iema a cualquier eñal de enrada. En efeco, la repuea emporal puede ecribire en la forma: y g τ f τ dτ - La Ecuación Diferencial de un iema, puede obenere a parir de G d cambiando por. d ---

21 Dinámica de Siema Ejemplo: Y U G ; -> Y Y Y U U aí d y d dy d du y u d 4- La Ecuación Caraceríica correponde al Denominador de la Función de Tranferencia. - La raíce del Numerador on lo cero del iema y la raíce del Denominador on lo polo del iema. Ejemplo: Deerminar la función de ranferencia del iema elécrico de la figura Figura.8. Circuio con fuene de corriene coninua En el ema anerior e vio que la ecuación que modelaba el comporamieno del iema era: R di d La ranformada de la epreión e: dvi I C d R I I C Sacando facor común y depejando la función de ranferencia queda: I C G V RC Oberve que el iema iene un cero en y un polo en RC i V i ---

22 Dinámica de Siema Ejemplo: Deerminar la función de ranferencia del iema mecánico de la figura. Figura.9. Siema de maa con reore y amoriguador En el ema anerior e vio que la ecuación que modelaba el comporamieno del iema era: m y µ y k y F La ranformada de la epreión e: m Y µ Y k Y F Sacando facor común y depejando la función de ranferencia queda: G Y F m µ i k..7 Cálculo de la repuea de un iema a una eñal de enrada La ranformada de Laplace permie enconrar la repuea de un iema a una enrada epecífica cuando la condicione iniciale on nula e decir obener la repuea forzada: parir de la definición de Función de Tranferencia e puede ecribir: Y G F y e puede calcular implemene calculando la ranformada Invera: y L [ Y ] L [ G F ] ---

23 Dinámica de Siema Ora alernaiva e uilizar la función impulional: y g τ u τ dτ El iguiene ejemplo ilura el procedimieno para calcular la repuea forzada de un iema. Ejemplo : Calcular la repuea de un iema mecánico decrio por: m k f donde : m maa y k conane eláica, cuando la fuerza de enrada e igual a la eñal impulo y u condicione iniciale on nula. La enrada la eñal impulo, por ano: m k δ con condicione iniciale nula. La función de ranferencia : X k X F ; G m m k m k m Por ano: y L [ G F ] Como [ L δ :. y puede vere en la abla que : L ω ω m k m enω k k i hace ω ; ω e poible ecribir: m m ---

24 Dinámica de Siema enonce X k m m m k m k m k m k m en i e implifica e poible ecribir km k m en..8 Cálculo de ranformada invera El méodo má aplicado en el cálculo de la Tranformada Invera de Laplace e el llamado méodo de epanión en fraccione parciale. Primero e conidera que F puede epreare de forma racional : N F D Para hacer la epanión, debe cumplire que grado [ ] grado[ D ] conrario e realiza la diviión R D. N D [ ] N <. En cao R C y luego e realiza la epanión de D coninuación e inroducen la écnica de epanión en fraccione múliple mediane ejemplo. Báicamene pueden enconrae do cao:.- F coniene polo imple: F como grado [ ] grado[ D ] N e divide: --4-

25 Dinámica de Siema --- S aí F Polo - y - B La conane y B e denominan reiduo de la función en el polo correpondiene y e calculan como igue : Se muliplican ambo lado de la epreión por B Si e evalúan ambo lado de la epreión para - Para calcular B e muliplican ambo lado de la epreión por y e evalúan para -: B í queda: F y uando la abla e e f δ >.- F coniene polo múliple: F

26 Dinámica de Siema Se calcula muliplicando izquierda y derecha por evaluando para - Se calcula derivando una vez la epreión anerior d d d [ ] [ ] d y evaluando en -: e calcula derivando do vece la epreión original y evaluando: d d d [ ] [ ] d í y uando abla f F e e > Ejemplo: Calcular la ranformada invera de F No hay que realizar la diviión ya que grado N < grado D --6-

27 Dinámica de Siema --7- Polo : C B F primero e calcula B y C 8 8 C B Se calcula ahora muliplicando izquierda y derecha por C B evaluando en Para calcular e deriva la epreión anerior C C B B evaluando en 9 9 aí 8 9 F con lo que, uando la abla, e obiene: e e u f 8 9 >

28 Dinámica de Siema..9 plicación de la Tranformada de Laplace a la reolución de Ecuacione Diferenciale. La idea fundamenal del méodo conie en omeer a la ecuación diferencial a la ranformada de Laplace. Una vez hecho eo, en la epreión obenida aparece la ranformada Y de la función incógnia y al y como i e raara de una incógnia en una ecuación radicional. En ee puno, el méodo conie en depejar Y y eprearla en función de odo lo érmino conocido. a la epreión obenida e le aplica la ranformada invera y de ea manera e alcanza el valor de y. Para faciliar la comprenión del méodo e preena un ejemplo: Sea la ecuación homogénea: 6 con la condicione iniciale ; Si e aplica la Tranformada de Laplace a la ecuación : X aí la ecuación diferencial e ranforma en : X X X 6X e decir: X 6 uiuyendo valore X 6 Para calcular la repuea e bucan lo polo de X ± ± j Son do polo complejo conjugado, por ano e puede ecribir: --8-

29 Dinámica de Siema --9- j B j X calculando lo reiduo j j j j j j y j j j j j B j j B aí j j j j X dado que: j e j j L y que

30 Dinámica de Siema L j j e j el reulado e: como e j e j jen ; la olución e: j X je e e e en j ea mima olución e puede llegar aplicando la herramiena de cálculo imbólico de MTLB. Para ello en primer lugar hay que definir lo elemeno imbólico que e uilizarán: depué e inroduce la función a inverir y e calcula la ranformada invera ym''; ym''; f-/^*6; gilaplacef; para ver el reulado de forma má eéica e uiliza el comando prey: preyg / / / / - ep-/ / - - ep-/ - / - olución que coincide con la obenida aneriormene. Si e quiiera obener una repreenación gráfica baaría con hacer: la gráfica obenida e: :.:; yubg,,; plo,y ---

31 Dinámica de Siema Figura.. Repreenación gráfica de la olución a la ecuación diferencial Hay que eñalar que e raaba de olucionar una ecuación homogénea, la olución que e ha obenido e correponde con una repuea libre. En el cao de raare de una ecuación no homogénea habría que añadir la repuea forzada que e calcularía a parir de la función de ranferencia. Por ano, En érmino generale la olución de una ecuación diferencial involucrará ano érmino debido a la repuea libre, cómo érmino debido a la repuea forzada. En conecuencia puede ecribire de forma general que la olución de una ecuación diferencial LTI aplicando la ranformada de Laplace adquiere la forma: d L [ G F ] L D D K D d.4 DIGRMS DE BLOQUES n n d d Loa iema reale uelen ear formado por diino ubiema, cada uno de lo cuale preenan u correpondiene enrada y alida. Lo Diagrama de Bloque coniuyen una herramiena gráfica y abreviada de eprear la repreenación eerna un iema global mediane la iluración de la relacione que e eablecen enre lo ubiema que lo componen. De ea forma la enrada de ciero ubiema e correponden con la alida de oro y vicevera. El preene aparado eá dedicado a obener diagrama de bloque de lo iema y a implificarlo de manera que ea poible obener la función de ranferencia a parir de la función de ranferencia de cada uno de lo elemeno que lo componen. ---

32 Dinámica de Siema En general un Diagrama de Bloque conie en una configuración epecífica de cuaro ipo de elemeno: Bloque Puno de Suma Puno de Toma Flecha que repreenan la eñal de Flujo Unidireccional F Puno de uma G Bloque X Puno de Toma H Figura.. Diagrama de bloque El bloque repreena una operación que e efecúa obre una eñal de enrada para generar la eñal de alida. Para el cao de repreenación de iema mediane funcione de ranferencia, éa e iúan denro del bloque, con lo que la operación maemáica que e efecúa obre la enrada e el produco. F G X X F G Figura.. Operación con funcione de ranferencia La canidade en el dominio del iempo e ecriben en minúcula; y cuando e uan bloque para la ranformada e ecriben en mayúcula..4. Bloque en Cacada Cualquier número finio de bloque en erie e puede combinar algebraicamene por medio de la muliplicación de Funcione de Tranferencia e decir la cadena de bloque de la iguiene figura: U G G X G Figura.. Bloque en cacada ---

33 Dinámica de Siema e equivalene a U G X Figura.4. Bloque global con G G G G.4. Bloque en Paralelo Una configuración de bloque como lo de la figura P X Y P X ± P X P Figura.. Bloque en Paralelo puede implificare cómo: P ± P y Figura.6. Bloque en paralelo implificado Oberve la imiliud con la operación algebraica conocida como obener facor común..4. Simplificación de un bucle E frecuene enconrare erucura en bucle como la iguiene F G X H Figura.7. Diagrama de bloque de un bucle negaivo ---

34 Dinámica de Siema El reulado de ea erucura puede ecribire: X G F X H. Si e depeja X de ea epreión, el bucle puede er reecrio en la forma F G G H X Figura.8. Diagrama de un bucle negaivo implificado Si el bucle iene igno poiivo: G X H Figura.9. Diagrama de un bucle poiivo e implifica en la forma: F G G H X Figura.. Diagrama de un bucle poiivo implificado Cualquiera de la do erucura aneriore puede converire en una erucura de realimenación uniaria como la iguiene: F /H G H X Figura.. Reducción a un bucle de realimenación uniaria E imporane realar que cuando aparece un diagrama con realimenación uniaria como el morado en la iguiene figura: --4-

35 Dinámica de Siema F G X Figura.. Diagrama con realimenación uniaria La implificación e realiza uponiendo que el boque iuado en la realimenación e igual a uno, con lo cual el diagrama queda implificado en la forma: F G G X Figura.. Diagrama con realimenación poiiva implificado.4.4 Reordenamieno de Puno de Suma La erucura de adición de la eñale X, Y y X W que e muera en la figura W Z Y Figura.4. Confluencia de eñale a un puno de uma puede epreare algebraicamene: forma: Z W ± X ± Y por ano, puede er ecria en la W Z X Y Figura.. Reordenación del puno de uma ---

36 Dinámica de Siema Ejemplo: Deerminar la función de ranferencia del iema mecánico de la figura a parir de un diagrama de bloque Figura.6. Siema de maa con reore y amoriguador parir de la ecuación de newon m y F e poible eablecer un diagrama original: F m Y Figura.7. Diagrama de bloque para la maa La fuerza oal aplicada e la uma de la fuerza de enrada, de la fuerza debida al muelle y de la fuerza debida al amoriguador. El diagrama de bloque que repreena al muelle e: Y -k F k Figura.8. Diagrama de bloque del muelle El diagrama de bloque que repreena al amoriguador e: Y µ F a Figura.9. Diagrama de bloque del amoriguador --6-

37 Dinámica de Siema El diagrama de bloque general queda: µ F m X k Figura.. Diagrama de bloque de una maa con reore y amoriguador Reordenando lo puno de uma el diagrama de bloque queda: F m X k µ Figura.. Diagrama de bloque ra reorienar lo puno de uma Pueden idenificare claramene do bucle de realimenación. Para implificarlo e reuelve en primer lugar el bucle má inerno, el diagrama queda al y como e oberva en la iguiene figura: F m k X µ Figura.. Simplificación del primer bucle Por úlimo e implifica el bucle correpondiene a la realimenación del amoriguador obeniendo un bloque final que coniene la función de ranferencia: --7-

38 Dinámica de Siema F m k µ X Figura.. Bloque que coniene la función de ranferencia Como puede comprobare, el reulado obenido coincide con la epreión preenada en lo ejemplo de la ección anerior..4. Superpoición de enrada múliple Si en un Siema Lineal eán preene múliple enrada, de acuerdo al principio de uperpoición cada una e raa independienemene, de al forma que el comporamieno final del iema e obendrá como uma de lo comporamieno que endría el iema i cada una de la enrada acuará en oliario. Para implificar un diagrama con múliple enrada e procede de la iguiene forma: Igualar oda la enrada a cero, ecepo una. Simplificar el diagrama de bloque y obener la función de ranferencia repeco de ea enrada. Repeir lo pao aneriore para oda la enrada. Sumar la alida de lo bloque enconrado, cada uno de lo cuale eá afecado por u correpondiene enrada. --8-

39 Dinámica de Siema Ejemplo: Enconrar la funcione de ranferencia X X ; F F F G X G G F G 4 Figura.4. Siema con múliple enrada En primer lugar e conidera F F G X G G G 4 Figura.. Diagrama de bloque para la enrada F Obérvee, que el bucle negaivo e ha converido en poiivo debido a que había do igno meno conecuivo. El bucle obenido permie ecribir una de la funcione de ranferencia bucada: X F G G G G G4 coninuación e conidera que F con lo que el diagrama queda: F -G G G 4 X G Figura.6. Diagrama de bloque para la enrada F Oberve, cómo denro del bloque uperior ha aparecido un igno meno. El diagrama anerior permie ecribir la ora función de ranferencia bucada: --9-

40 Dinámica de Siema G G G4 G G G X F G 4 Con lo cual la repuea del iema puede epreare cómo: X F G G G G G Que como diagrama de bloque queda: 4 F G G G G4 G G G 4 F F F X F X F X Figura.7. Diagrama de bloque con múliple enrada implificado.. MODELO DE ESTDO Y FUNCIÓN DE TRNSFERENCI: MTRIZ DE TRNSFERENCI En el ema anerior e decribió una écnica para ecribir un modelo de eado a parir de una ecuación diferencial. No obane, no e conideró la poibilidad de que éa involucrae derivada de la eñal de enrada. En ea ección e reuelve ee problema haciendo uo de alguna propiedade de lo diagrama de bloque y de la funcione de ranferencia. Generalmene, la obención de un modelo de eado a parir de una función de ranferencia oma el nombre de realización. eien diina écnica de realización: direca, en paralelo, encacada, ec. quí e dearrolla de forma gráfica la realización en cacada. Se uiliza un ejemplo para demorar el méodo. Conidere el iema repreenado por la ecuación diferencial: d y dy df d d d f --4-

41 Dinámica de Siema E poible repreenar ee iema mediane el diagrama de bloque: F Y Figura.8. Diagrama de bloque ee diagrama puede recribire en la forma: X F Y Lo cual puede er epreado como do ecuacione en la forma: d d d f ; y d d d Ea do ecuacione pueden er ranformada en un modelo de eado donde y d on la variable de eado iendo y la variable de alida: d ; d ; f d ; y [ ] [ ] f.. Pao de modelo de eado a función de ranferencia: la mariz de ranferencia Una vez e ha deallado el méodo para ranformar una función de ranferencia en modelo de eado, e decribe a coninuación un méodo para enconrar una función de ranferencia, o mariz de ranferencia i e raa de un iema con ma de una alida, a parir de un modelo de eado. --4-

42 Dinámica de Siema --4- Supóngae un modelo de eado en la forma: u B d d r r r u D C y r r v Se deea obener una repreenación eerna que vincule el vecor de alida con el vecor de enrada. Para ello, e aplicará la ranformada de la place a amba epreione: U B X X r r r U D X C Y r r r Depejando de la primera ecuación el valor de X : U I B X r r donde I repreena la mariz idenidad de la mima dimenión que. Suiuyendo el valor de X en la egunda ecuación: [ ] U D B I C Y r r Oberve que ea epreión define una relación enre la enrada y la alida en la forma: [ ] U G Y r r donde [ ] G eá definida egún: [ ] [ ] D B I C G [G] e denomina mariz de ranferencia. Eá claro que i la alida e un vecor de m componene, y la enrada un vecor de p componene la mariz de ranferencia e de orden m p. La fila k de la mariz de ranferencia coniene la funcione de ranferencia de la alida k repeco de cada una de la p enrada. Si la alida e una ola función, e decir e raa de una ola alida, no de un vecor, la mariz de ranferencia erá de dimenión p y conendrá la funcione de ranferencia de dicha alida repeco de cada una de la enrada,i olo hay una enra la mariz de ranferencia erá de orden y olo conendrá una función de ranferencia.

43 Dinámica de Siema --4- Ejemplo: Enconrar la mariz de ranferencia para la alida definida en el iguiene modelo de eado: u & & u y y Solución: Se calcula la mariza I- I Se obiene la mariz invera: [ ] [ ] [ ] de dj I I dj T T Ι Recuerde que i a b c d H adj d c b a H Calculando: [ ] [ ] D B I C G : [ ] G [ ] G Por ano e poible ecribir: [ ] U Y * *

44 Dinámica de Siema Oberve cómo al calcular [G] e neceario inverir la mariz I- y por lo ano calcular u deerminane. Dicho deerminane reula er un polinomio en, que finalmene dividirá a odo lo érmino de la mariz de ranferencia. E decir, dicho deerminane coincide con el cociene de oda la funcione de ranferencia y por ano e raa de la ecuación caraceríica del iema. Finalmene, e muy imporane deacar que la raíce de dicho polinomio coinciden con lo auovalore de y con lo polo la funcione de ranferencia, por ano, dado un modelo de eado, e poible conocer u polo, implemene calculando lo auovalore de la mariz..6 Méodo numérico, imulación La inegración no analíica de ecuacione diferenciale puede realizare de diina forma. En iempo en lo que aún no eaban dearrollado lo microproceadore, e uilizaban écnica de inegración analógica. Ea écnica coniía en dearrollar circuio elecrónico cuya ecuación diferencial era equivalene a la del iema que e deeaba eudiar. El dearrollo de lo compuadore propició la aplicación de lo méodo numérico que haa enonce habían ido aplicado mediane lápiz, papel y mucho meiculoidad. La aplicación de écnica numérica e hoy en día el méodo má comúnmene uilizado para la imulación de proceo en lo que e ven involucrao modelo de iema lineale y no lineale. Eo méodo permien inegrar el modelo maemáico, obeniendo la evolución emporal de la función incógnia in neceidad de diponer de una epreión analíica que la defina. La inegración mediane méodo numérico e baa en la aplicación de un algorimo epecífico que conviere el modelo baado en ecuacione diferencial en un modelo baado en ecuacione en diferencia. La olución e obiene uilizando operacione ieraiva. El iempo e dicreiza y la ieracione erminan cuando e complee el inervalo de iempo que e deea imular. En conecuencia, el reulado erá una erie emporal de valore que aproima lo valore que oma la eñal incógnia a lo largo de una ecuencia de inane deerminado: [,... f ] -> iempo dicreizado [,... f ] -> eñal incógnia --44-

45 Dinámica de Siema Como e deallará má adelane, para la imulación numérica de un iema dinámico e epecialmene úil la repreenación mediane modelo de eado, ya que el problema e reduce a reolver ecuacione diferenciale de primer orden. l igual que con lo méodo analíico, una correca imulación numérica requiere de la epecificación complea de la condicione iniciale y de la eñale de enrada. Ee echo erá de gran imporancia a la hora de elaborar el diagrama de flujo del algorimo de imulación..6. lgorimo para la imulación de iema dinámico d d Lo algorimo cláico de inegración permien enconrar la erie que cumple: f Eo méodo e baan en la eimación de la pendiene de la función incógnia en el inervalo definido por el pao de inegración, h], [ h] [. De ea forma el valor de la función en el iguiene inane de iempo e eima en la forma: h donde h e denomina pao de inegración. h d d [ h] Lo diferene méodo de inegración e caracerizan por la forma en que e eima el valor de d d [ h], El primer problema que e planea para la inegración del modelo de un iema dinámico e encuenra en el ipo de modelo uilizado. Habiualmene lo modelo e eprean mediane ecuacione diferenciale de orden mayor que uno, mienra que, como ya e ha indicado, lo algorimo realizan la inegración de ecuacione de primer orden. Ee conraiempo e upera gracia a la ranformación de la ecuación diferencial de orden n en un modelo de eado de n variable. Como e ha aclarado en capíulo aneriore, un modelo de eado repreena una ecuación diferencial maricial de primer orden, lo que ignifica que lo méodo de inegración numérica pueden aplicare in problema. En efeco, i el modelo de eado viene dado en la forma:, --4-

46 Dinámica de Siema f, L,, g, Lg M M n f, L,, g, Lg m m donde g...g m repreenan m poible enrada, la inegración de dicho modelo e realiza aplicando a cada una de la variable el méodo de inegración elegido. La pendiene de cada una de la variable de eado e calcula de acuerdo con: di d f i, L,, g, Lgm Una primera enaiva de inegración que coincide con el méodo de Euler e hacer: h h f i El algorimo que e muera en la figura.9 repreena una eraegia para la inegración del modelo de eado referido aneriormene. En primer lugar hay que fijar la condicione iniciale y ener definido el valor de la enrada en cada uno de lo inane de inegración. En cada ieración la condicione iniciale erán lo valore obenido en la ieración anerior, con lo cual, en cada pao de inegración hay que acualizar ano dicho valore como la variable iempo. El méodo de inegración evalúa la diina funcione f i y calcula el valor de cada una de la variable de eado para el iguiene inane de iempo. El lgorimo finaliza cuando alcanza el valor f. En el próimo aparado e comenan alguna de la caraceríica má deacable de lo principale méodo de inegración. i i --46-

47 Dinámica de Siema Figura.9. lgorimo de inegración numérica de un modelo de eado.6. lgorimo de inegración Lo diino algorimo de inegración e diferencian en la forma en que eiman d d [ h]. El algorimo má encillo conocido e el de Euler. Como e indicó en el, aparado anerior mediane ea écnica la pendiene e eima a parir del modelo de eado en la forma: di d f i, L,, g, Lgm En el cao de raare de un modelo lineal, el algorimo de inegración de Euler permie enconrar una epreión maricial en diferencia con olo coniderar que: --47-

48 Dinámica de Siema g B por lo que e puede ecribir una epreión dicrea en la forma: [ ] g B h I h Si e deea realizar una inegración que aplique el méodo de Euler con un error admiible, hay que uilizar pao de inegración muy pequeño, lo que en deerminada ocaione upone un aumeno de la carga compuacional. Cabe ciar como mejora de ea écnica el llamado méodo de Euler hacia ará y una combinación de ambo, denominado algorimo rapezoidal. Ora écnica muy uilizada para inegrar iema lineale e el méodo de la eponencial de una mariz. Como e ha deallado en eccione aneriore, la olución de la inegración de una modelo de eado lineal para un iempo inicial diino de cero, puede obenere egún la epreión: τ τ τ d u B e e r r r Si e deea obener una olución baada en ea epreión e conveniene ranformar el modelo lineal egún e decribe a coninuación. Para ciero ipo de enrada enrada conane a ramo o coninua y lineale a ramo el modelo lineal puede er epreado en la forma: z z En efeco, el modelo: f. omeido a una enrada conane como e el cao de la función ecalón, puede er ecrio en la forma:. z z con z, donde z coniene al vecor de eado y una variable auiliar para generar la enrada. En ee cao como B, la olución puede epreare como: z e z epreión que dicreizada queda: z e h z h

49 Dinámica de Siema Una evaluación baane aproimada e obiene uilizando lo re primero érmino del dearrollo de la eponencial maricial: e I!! Ee méodo e baane úil para la inegración de iema lineale cuya enrada puede decomponere en ramo reco, aproimándola mediane eñale rampa. Por úlimo, uno de la écnica de inegración má conocida e el méodo de Ruge- Kua. En él, el valor de la pendiene de cada variable forma: di d donde [ h] k i *k i *k i k4 i/6, k i f i [... n, g... g m ]; di d k i f i [ k /... n k n /; g h/... g m h/]; k i f i [ k /... n k n /; g h/... g m h/]; k4 i f i [ k... n k n ; g h/... g m h/]; [ h] e eiman en la, Ee méodo e de epecial ineré para la inegración de iema no lineale. MTLB aplica verione mejorada de ee ipo de écnica en la que e adapa el pao de inegración, de forma que el coe compuacional e reduce eniblemene