Puente de Bassano (Palladio, 1569), Viaducto Longdon-Upon-Tern, Gales (1796) y Firth of Forth, Escocia (1890)

Transcripción

1 cálculo II eiccpc prácica 6. ranformada de laplace curo 2009/0, fecha de enrega 6/03/0. Como e conocido, la viga e una pieza lineal horizonal que, apoyada en uno o má puno opora la carga que obre ella acúan gracia a u capacidad de reiir flexione. Al conrario que el puene arco que rabaja a compreión, el puene viga rabaja a flexión, que aunque no ea el único efuerzo que aparece í que e el má imporane. La flexión e ano mayor cuano mayor e la carga y la luz enre lo apoyo, y crece con repeco del cuadrado de ea úlima. Dado que la capacidad reiene de la viga e función de u módulo de elaicidad y del momeno de inercia de la ección, ademá de bucar maeriale de ala reiencia e precian eccione de máxima inercia y mínimo peo. La forma naural de aumenar inercia y reducir peo repeco de una loa maciza, e en primer lugar la uilización de loa aligerada ineriormene. De ahí e paa a uilizar viga con ección en doble T, con má inercia y meno peo. Para eguir con el proceo de aligeramieno del alma e puede recurrir a la viga celoía y riangulada. Ea úlima coexien con la viga cajón como la ipología má uuale para grande puene viga. La olución en puene viga e la má encilla para alvar un río, baa con ender el ronco de un árbol (la madera iene reiencia a racción) obre u cauce para poder cruzarlo. E por ello por lo que la olucione en puene arco y puene viga han coexiido radicionalmene a lo largo de oda la hioria y lo iguen haciendo en la acualidad. La viga cajón precian de una ecnología má refinada que la de celoía, que ya e conruían en el Renacimieno. Andrea Palladio ( ) maerializó vario puene de viga de madera riangulada obre lo que ya exiían precedene durane la edad media en el nore de Europa y en lo códice de Leonardo. Lo puene de viga riangulada uvieron u mayor dearrollo durane el iglo XIX en EEUU y Europa. En un principio fueron de madera pero prono paaron a er meálico. Como grande hio de lo puene de viga riangulada cabe mencionar lo de Firh of Forh, Ecocia, (890), de 52m de luz y el puene Québec (97), de 548 m de luz. Depué de eo récord hiórico de luz, el proagonimo paaría a lo puene airanado. Puene de Baano (Palladio, 569), Viaduco Longdon-Upon-Tern, Gale (796) y Firh of Forh, Ecocia (890) Aunque durane el. XIX y principio del XX la ipología predominane era la de puene de viga riangulada, a parir de la egunda guerra mundial eo han perdido u preponderancia a favor de lo de viga de alma llena. La viga cajón de alma llena on en la acualidad la olución de puene viga ano en hormigón preenado, como en puene meálico y mixo. El primer puene viga meálico que e conruyó fue de alma llena y e conemporáneo de lo primero arco meálico. Se raa del Longdon-Upon-Tern, Gale (796), de 56 m de luz, obra de Thoma Telford. El oro gran hio de la conrucción de puene de alma llena on lo puene de Conway (849) y Briannia (850), ambo en Gale y con una luce de 25 y 42 m repecivamene. Ambo puene on obra de Rober Sephenon, hijo de George Sephenon el invenor de la locomoora de vapor.

2 El puene Briannia eá reuelo con una viga cajón meálica de alma llena, a ravé del inerior de la cual circula un ferrocarril y upuo una gran innovación debido ano a la ipología de la ección, una viga cajón de hierro forjado de parede delgada, como al procedimieno de conrucción. Lamenablemene ra el incendio que e produjo en el Briannia en 970 e añadieron una mulea en arco a la erucura original, que raicionan la idea original de puene viga. Via generale y ección cajón del puene Briannia (850) Se quiere evaluar la deformada de uno de lo vano cenrale del puene Briannia por acción de una carga única en cenro luz. Para ello e va a aumir que e puede modelizar como una viga de ección conane biemporada en u exremo. La ecuación de la deformada ( x) y de una viga biemporada de longiud L omeida a una carga conane en cenro luz de P unidade viene dada por el problema diferencial de cuaro orden P L y iv L = δ x EI 2 P y ( 0 ) = y ( 0) = y( L) = y (L) = 0 donde E e el módulo de la elaicidad del maerial, I e el momeno de inercia de la ección, ambo conane, y δ e la función dela de Dirac. Se pide reolver la ecuación diferencial anerior para la condicione de conorno dada. y x 2. Dada la función periódica enoidal emirecificada de la figura, e pide: (junio 2006) f() π/ω 2π/ω 3π/ω a) Dar la expreión de f() en érmino de la función ecalón uniario de Heaviide b) Calcular la ranformada de Laplace de la función obenida en a) c) Reolver la ecuación diferencial y = f ( ), haciendo y = f ( )d d) Reolver la ecuación diferencial anerior ranformando ambo miembro, depejando y obeniendo la ranformada invera. Comprobar que el reulado e el mimo al obenido en c) ( junio 2008)

3 3.- En la página 26 del ercer apéndice del Zill (D. Zill, M. Cullen, Ecuacione diferenciale con problema de valore en la fronera, Thompon Learning. Méjico D.F., 2002) aparece la iguiene abla de ranformada de Laplace. Se pide demorar lo puno 9, 24, 28, 34, y 39.

4 (egundo parcial 2007)

5 4.- Reolver mediane el méodo de la Tranformada de Laplace el problema diferencial ( 2) y 3y + 2y = δ x El cálculo de la ranformada invera e llevará a cabo por: a) Decompoición en fraccione imple b) Produco de convolución Comprobar que amba expreione on iguale (junio 2009) 5.- Sea la función ( ) pide: f, exenión impar de la función co x definida en el inervalo 0 < < π, e f() π 2π 3π a) Dar la expreión de f() en érmino de la función ecalón uniario de Heaviide b) Calcular la ranformada de Laplace de la función obenida en a) c) Obener la ranformada de Laplace de f() como función periódica y comprobar que el reulado e idénico al obenido en b) (egundo parcial 2009)

6 cálculo II eiccpc cálculo II abla de ranformada de laplace f ( ) F ( ) n a e en k co k enh k coh k ( a) u ( a) Γ n + n+ a k + k + k k k k ( ) e a a δ e f f ( a) F a a f ( ) F a a u a e a F f ( ) F( ) f ( 0) f ( τ ) dτ F( ) f ( ) F ( ) F σ dσ e a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f ( ) ( ) T ( ) = f ( T ) f ( ) e d f + T e 0 F G ( τ ) g( τ ) ( ) ( ) f * g = f dτ 0