UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA (INGENIERÍA CIVIL) (GEOTECNIA)

Transcripción

1 UNIVRSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA D MÉXICO PROGRAMA D MASTRÍA Y DOCTORADO N INGNIRÍA (INGNIRÍA CIVIL (GOTCNIA MODLACIÓN MDIANT CUACIONS DIFRNCIALS Y ROLOGÍA FRACCIONARIAS DL FNÓMNO D CRP N SULOS D ARCILLA RCONSTITUIDA TSIS QU PARA OPTAR POR L GRADO D: DOCTOR N INGNIRÍA PRSNTA: ARMANDO RAFAL HRMOSILLO ARTAGA TUTOR PRINCIPAL DR. MIGUL P., ROMO, ORGANISTA, INSTITUTO D INGNIRÍA, UNAM COMITÉ TUTOR DR. DANIL, RSNDIZ, NÚÑZ, INSTITUTO D INGNIRÍA, UNAM DR. FRAÍN, OVANDO, SHLLY, INSTITUTO D INGNIRÍA, UNAM DR. JORG, CARRRA, BOLAÑOS, POSGRADO D INGNIRÍA, UNAM DR. GUSTAVO I., TOLSON, JONS, POSGRADO C. D LA TIRRA, UNAM MÉXICO, D. F. (JUNIO 3

2 Jurado aignado: Preidene: Secreario: vocal: Dr. Reendiz Núñez Daniel Dr. Ovando Shelley fraín Dr. Romo Organia Miguel Pedro er uplene: Dr. Carrera Bolaño Jorge do uplene: Dr. Tolon Jone Guavo Izard Lugar o lugare donde e realizó la ei: Pogrado de la faculad de Ingeniería, UNAM Tuor de ei: Miguel P. Romo Organia FIRMA

3 A mi padre y hermano que durane odo ee iempo me han brindado u confiaza

4 AGRADCIMINTOS Agradezco: Al Dr. Miguel P. Romo por u invaluable aeoría en la dirección de ee rabajo de ei. A lo docore Jorge Carrera Bolaño, Daniel Reendiz Núñez, fraín Ovando Shelley y Guavo Tolon Jone por u valioo comenario y correccione en la reviión de ee rabajo. Al M. en I. Robero Magaña por comparir u experiencia y conocimieno durane mi eancia en el Iniuo de Ingeniería de la UNAM. Al Ing. nrique Gómez Roa, acual coordinador de la ección de Inrumenación del Iniuo de Ingeniería, por u colaboración en la modificacione en la inrumenación y realización de ofware de adquiición de dao. l Dr. Ovaldo Flore Carejón por odo el apoyo brindado durane mi eancia en el laboraorio de Geoecnia. A lo laboraoria Germán Aguilar Ramírez, Javier Hernández Lemu y Jaime Carrizoa lizondo, por u loable ayuda en la realización de lo enayo en laboraorio. Al Iniuo de Ingeniería de la UNAM por darme la oporunidad de formarme como fuuro inveigador. Al CONACYT por concederme una beca durane la realización de mi eudio de pogrado. A oda mi familia por brindarme u apoyo incondicional durane mi eudio de docorado.

5 RSUMN n ee rabajo e preenan concepo báico acerca del cálculo fraccional y la reología fraccionaria uilizado en el eudio del comporamieno vico-eláico de maeriale y la aplicación de dicha meodología en la modelación del fenómeno de creep. También e preena la olución de una ecuación diferencial fraccionaria que modela dicho fenómeno. La curva obenida de enaye, obre arcilla inéica, e reproducen adecuadamene uilizando la olución de la ecuación diferencial fraccionaria que modela el fenómeno de creep. Por úlimo e preenan comenario y concluione acerca del beneficio al emplear ecuacione diferenciale fraccionaria en la imulación de fenómeno y problema que e preenan en ingeniería. i

6 ABSTRACT In hi paper, baic concep abou fracional calculu and fracional rheology ued in he udy of vicoelaic behavior of maerial and he applicaion of hi mehodology in modeling he creep phenomenon are preened; alo he oluion of a differenial equaion fracional modeling hi phenomenon i commened. The curve obained by eing ynheic clay were adequaely reproduced uing he oluion of fracional differenial equaion ha model he phenomenon of creep. Finally, concluion and commen abou he benefi o ue fracional differenial equaion in he imulaion of phenomena and problem ha arie in engineering are preened. ii

7 PLANTAMINTO, OBJTIVOS Y ALCANCS n ee rabajo e realiza una inveigación eórico-experimenal acerca del empleo de ecuacione diferenciale fraccionaria en la modelación del fenómeno de creep en uelo, con lo iguiene objeivo: Morar la venaja de uilizar ecuacione diferenciale fraccionaria obre la ecuacione cláica para imular el comporamieno de uelo arcilloo omeido a una carga oenida durane iempo largo (fenómeno de creep Uilizar la reología fraccionaria como medio de planeamieno de la ecuación diferencial fraccionaria que mejor imula el fenómeno de creep en uelo arcilloo. Lo alcance del rabajo on: Planear arreglo reológico fraccionario para imular el fenómeno de creep en uelo. nayar muera cilíndrica de uelo omeida a carga conane correpondiene a diferene porcenaje del efuerzo máximo de reiencia de cada maerial in llegar a la falla. Para ello e uilizan cámara riaxiale inrumenada con enore de carga, deplazamieno y preión. Se uilizan re maeriale edimenado de lo que e exraen muera de arcilla inéica, coniuido por una mezcla de caolín y benonia. Deerminar lo valore de la conane vicoeláica y exponene fraccionario del arreglo reológico fraccionario que mejor ajuen a cada una de la curva regirada en la prueba de creep. l envejecimieno del uelo queda fuera de lo alcance de ea ei; u eudio e incluión de ee fenómeno en la ecuación diferencial que modela el fenómeno de creep puede rabajare en fuura inveigacione. La aporación principal del rabajo conie en la meodología necearia para uilizar el gran poencial de la ecuacione diferenciale fraccionaria para la imulación del fenómeno de creep; ee rabajo puede ener proyección en lo referene a la modelación de divero problema de ingeniería, ale como la conolidación de uelo y u comporamieno bajo imo y vibracione. iii

8 RSUMN ABSTRACT CONTNIDO PLANTAMINTO, OBJTIVOS Y ALCANCS CONTNIDO. INTRODUCCIÓN. Anecedene de reología aplicada. Reología cláica.3 Reología fraccionaria. ANTCDNTS D CÁLCULO FRACCIONARIO Y CUACIONS DIFRNCIALS FRACCIONARIAS 4. Preenación de concepo elemenale de Derivada fraccionaria baado en la inegral de Riemann-Liouville 5.. Derivada fraccionaria de la función exponencial 5.. Derivada fraccionaria de la funcione eno y coeno 6 a..3 Derivada fraccionaria de la función x 6..4 Inegral de Riemann-Liouville 9. La ranformada de Laplace.3 Función Miag Leffler.4 cuacione diferenciale fraccionaria 3 3. FUNDAMNTOS D VISCOLASTICIDAD 5 3. Maemáica preliminare 6 N 3.. Funcione de la clae Heaviide H Convolución de Riemann Convolución de Riemann-Sielje 8 3. Leye herediaria lineale efuerzo-deformación Hioria admiible de efuerzo y deformación Ley efuerzo-deformación lineal herediaria 3..3 Repreenación de leye herediaria lineale 3..4 Leye herediaria lineale iorópica 3..5 Repreenación de leye herediaria lineale iorópica 3..6 Relación enre la funcione de relajación y creep aociada Relacione efuerzo-deformación de la forma ecuación diferencial Pare de operadore diferenciale de orden N, del ipo de relajación o creep Tranformada de Laplace de una ley de operador diferencial Reología cláica Arreglo de Hooke y de Newon Arreglo de Kelvin-Voig y Maxwell Lo arreglo de Zener y Ani-Zener Arreglo de Burger Reología fraccionaria 35 i ii iii iv iv

9 3.5. Arreglo reológico fraccionario de orden uperior cuación coniuiva del arreglo FVMS Analii paramérico del modelo FVMS Analii paramérico del érmino J Analii paramérico del érmino J Analii paramérico del érmino J 4 4. ANTCDNTS DL FNÓMNO D CRP N SULOS Generalidade acerca del comporamieno de creep en uelo Ineracción Deformación rucura dependiene del iempo Proceo de reacomodo de parícula dependiene del iempo Modelo fenomenológico Comporamieno efuerzo deformación Comporamieno deformación- iempo Deformación en el uelo como un proceo de velocidad NSAYS D LABORATORIO Y AJUST D CURVAS UTILIZANDO L ARRGLO VISCO-LÁSTICO FRACCIONARIO 6 5. Mezcla de arcilla uilizada en lo enaye Anecedene de Sedimenación de uelo Reconiución, edimenación y conolidación de arcilla inéica xracción de muera naye de reiencia naye de creep Labrado, auración y conolidación de la muera naye de creep Ajue de la curva experimenale de creep con lo modelo reológico cláico y fraccionario Arreglo reológico de Burger Arreglo reológico de Burger fraccionario Comenario acerca de lo ajue realizado con lo modelo reológico cláico y fraccionario 8 6. CONCLUSIONS RFRNCIAS 88 APNDIC 9 A. Simbología de funcione y variable 9 A. pacio mérico 9 A.3 Fracción conínua 9 A.4 Planeamieno y olución de la ecuación diferencial fraccionaria FVMS 93 A.4. Arreglo de Kelvin fraccionario 9 A.4. Arreglo de Maxwell fraccionario 96 A.4.3 Arreglo de Burger fraccionario (FVMS 99 v

10 INTRODUCCIÓN. Anecedene de reología aplicada n la úlima década, la ecuacione coniuiva para maeriale vicoeláico que involucran derivada fraccionaria han cobrado un creciene ineré. l uo de arreglo coniuivo fraccionario e moivado en gran pare por el hecho de que e requieren meno parámero para repreenar el comporamieno vicoeláico de maeriale que lo requerido cuando e uan lo arreglo radicionale de orden enero. Lo arreglo fraccionario permien ano variar de una manera má amplia lo parámero reológico, como er manipulado uando la ranformada de Fourier y Laplace. Haa el momeno, e amplia la acividad experimenal (a nivel inernacional para deerminar el comporamieno reológico cláico de lo uelo. También e eá rabajando en la deerminación experimenal de propiedade reológica fraccionaria en maeriale vinculado con la induria del alimeno, agriculura (Neaman y Singer., 4, exile, e incluo en propiedade de ejido biológico (Jäger y Lackner, 8 que e emplean en bioingeniería, por ejemplo de areria y hueo humano (Rober e al., 6. A coninuación e preena un breve reumen de alguno rabajo que e han realizado en ee ema, referene a la reologia cláica y fraccionaria.. Reología cláica n el área de ineré vemo que e llevan a cabo eudio de caraceríica de reiencia de mezcla de uelo y afalo, bajo ciera condicione de efuerzo (Abdel-hady y Herrin, 7. Aplicando efuerzo conane e oberva la evolución de la deformacione en el iempo, por ejemplo prueba de creep. n (Sheldon, 8 e preenan eudio de maeriale vicoeláico que poeen mezcla de propiedade vicoa y eláica. Como e uual, eo e caraceriza mediane conjuno de reore y amoriguadore. n lo referene a acividade experimenale, e iene una amplia gama de inveigacione, como el eudio de propiedade reológica de uelo húmedo bajo efuerzo conane y ocilaorio (Teamra y Dani,. Se ha eudiado el efeco de cambio en la erucura del uelo por la acividad y proceo agrícola. También e han

11 inveigado la propiedade reológica de uelo, al enayar epecímene en prueba de orión con régimen cinemáico, (Mechyan y Talagyan, 5. Aigner e al., 9 realizaron eudio muli-ecala para predicción del comporamieno de mezcla de concreo y afalo. Se incluyen eudio del efeco de emperaura en la propiedade vicoeláica. n (Ariaranam e al., 3 e preena una evaluación de propiedade reológica de flujo de reorno en perforacione horizonale direccionale, muy úil en fracuramieno hidráulico..3 Reología fraccionaria n ee ema, e ienen rabajo obre vico-elaicidad en areria mediane experimeno de relajación (Craiem y Armenano, 7. Para el ajue de la curva experimenale e emplean prueba uniaxiale, y modelo de ecuacione diferenciale fraccionaria. También e han realizado eudio de vico-elaicidad en hueo, uilizando modelo reológico fraccionario (Liu y Xu, 8. Aí mimo, e ienen eudio con cálculo fraccionario donde e modelan ecuacione coniuiva ligada a eoría moleculare para decribir el comporamieno macrocópico de medio vico-eláico (Bagley, 986. n (Schmid y Gaul, e preena una implemenación para análii, uilizando el méodo del elemeno finio, de relacione coniuiva que involucran ecuacione diferenciale fraccionaria. Se iene que, con ee ipo de ecuacione, el número de parámero neceario para ajuar curva experimenale e menor que con ecuacione diferenciale con derivada de orden enero. También e han hecho eudio de maeriale con micro-erucura deordenada baado en geomería fracal y cálculo fraccionario (Carpineri e al., 4. Se analiza ambién el efeco del amaño de parícula en el comporamieno erucural de muera de maeriale heerogéneo y u relación con el número de parámero neceario para el ajue a curva experimenale; odo eo e muy úil en eudio de fracuramieno. n (Koh y Kelly, 99 e preena una aplicación de derivada fraccionaria para análii de modelo con ailamieno de bae; eo para analizar problema de ailamieno de vibracione. n ee rabajo de ei e preenan la eoría involucrada en el eudio del fenómeno de creep en uelo mediane la eoría de vicoelaiciadad y reología

12 fraccionaria; por ano, en el capíulo e preena la eoría correpondiene al cálculo fraccionario. n el capíulo 3 e preena brevemene la eoría de la vicoelaicidad y reologia fraccionaria. n el capíulo 4 e preena un breve reumen del eudio del fenómeno del creep en uelo, y finalmene, en el capíulo 5 e preenan lo análii experimenale y numérico de lo reulado obenido de prueba de creep en laboraorio al realizar lo ajue de la curva experimenale con el modelo reológico; la concluione correpondiene e preenan en el capíulo 6. 3

13 ANTCDNTS D CÁLCULO FRACCIONARIO Y CUACIONS DIFRNCIALS FRACCIONARIAS n ee capíulo e preenan alguno concepo báico de cálculo fraccionario, como la derivada fraccionaria y la ecuacione diferenciale fraccionaria, herramiena muy úile en la modelación de fenómeno naurale. l concepo de cálculo fraccionario no e nuevo; ha exiido por má de re iglo. una generalización de la diferenciación y la inegración ordinaria (enera a órdene no-enero (reale e incluo, complejo. l nacimieno del cálculo fraccionario e daa en 695. n ee año, L Hôpial planeó en una cara a Leibniz (Arafe e al., 8 la cueión de cómo e debería enender la expreión, inroducida por el propio Leibniz: D n n d f ( f ( n d i n fuee una fracción. Leibniz rabajó en el ema y la conideró derivada de orden general, ademá de inroducir la noación D / f ( x para denoar la derivada de orden /. Dede enonce deacado maemáico, como uler, Laplace, Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Lauren y Weyl, han conribuido al dearrollo del cálculo fraccionario. Mucho enconraron, uilizando u propia noación meodológica, la definicione que e ajuan al concepo de inegral o derivada de orden no enero. La definicione má conocida en el mundo del cálculo fraccionario on la de Riemann-Liouville y Grunwald-Lenikov (Arafe e al., 8. Hoy en día exie una vaa lieraura obre el ema llamado Cálculo Fraccionario (CF, Cálculo Fraccional o Cálculo Generalizado. n diina área de la ciencia e han ecrio divero arículo morando la má variada aplicacione (Denah, 3. nre la aplicacione má comune del CF e encuenran: reología, biología cuánica, elecroquímica, eoría de la diperión, difuión, eoría del ranpore, probabilidad y eadíica, eoría del poencial, elaicidad, vicoidad y eoría de conrol auomáico; do aplicacione má reciene on en maemáica financiera y en la eoría de fracale. Por ejemplo, e ha demorado que lo arreglo de orden fraccionario on má apropiado que lo de orden enero para decribir la propiedade de alguno maeriale como lo polímero. 4

14 Acualmene exien paquee dearrollado para el cálculo fraccionario y para el conrol auomáico fraccionario (como un ejemplo, la aplicación grauia Nineger para Malab, diponible en inerne. A coninuación e dará la definición formal de derivada fraccionaria, pero ane e preenan alguno cao imple que ayudan a comprender lo que e una derivada fraccionaria.. Preenación de concepo elemenale de Derivada fraccionaria baado en la inegral de Riemann-Liouville n maemáica e ingeniería eamo familiarizado con la idea de la derivada, cuya noación uual e, por ejemplo: df ( x d f ( x Df ( x, o D f ( x (. dx dx Pero qué ignificaría la media derivada de una función?: / / d f ( x D f ( x (. / dx Para comprender ea idea, aquí e preenan alguno ejemplo de derivada fraccionaria y u inerpreación... Derivada fraccionaria de la función exponencial Se comienza por examinar la derivada de la función exponencial por u implicidad (Arafe e al., 8. Se abe que: ax D e ae ax, D e ax ax a e,, n ax n ax D e a e, donde n e un enero. Reemplazando n por α e iene: D α ax α ax e a e (.3 en donde α puede er enero, real o complejo. inereane hacer noar que i α e un número real poiivo e raaría de una derivada y i fuee negaivo e raaría de una inegral. 5

15 .. Derivada fraccionaria de la funcione eno y coeno Se iene que: D en( x en( x, D en( x co( x, D en( x en( x (.4 Se oberva, que cada vez que e deriva la función eno, reula una función en (x deplazada π /. De manera que, derivando en (x n vece, la función e deplaza n *π /, e decir: nπ nπ D n en( x en x, D n co( x co x (.5 Reemplazando el enero poiivo n por un número arbirario α, e obiene la expreión de la derivada general de la funcione eno y coeno: α απ α απ D en( x en x, D co( x co x (.6..3 Derivada fraccionaria de la función Trabajando ahora con la derivada de la poencia de x, e iene que, para p enero: a x p D x D n x p x p, p p p p D x px, D x p( p x p n ( p ( p ( p n x p,,, Muliplicando numerador y denominador de (.7 por ( p n! e obiene: (.7 D D n n x x p p p ( p ( p ( p n ( p n( p n ( p n( p n p! ( p n x! p n que e la expreión general de x p n, (.8 D n x p. Para reemplazar el enero poiivo n por un número arbirario α, e ua la función gamma. a función fue inroducida por uler en el iglo XVIII para generalizar la función facorial z! para valore no enero de z. Su definición e: z Γ( z e d (.9 6

16 y iene la propiedad de que Γ ( z z!, para z N. nonce, (.8 puede arreglare de la iguiene forma: D n x p Γ Γ p n ( p x ( p n (. y hacer eo iene enido i n no e enero, de manera que uiuyendo n por α e iene: D α x p Γ para cualquier α. Γ( p ( p α x p α (. f ( x x Como un ejemplo, e preena el cálculo de la media derivada de la función: Uilizando la ecuación (., y evaluando para α / y p e iene: D x Γ Γ( ( / x Γ Γ( ( 3/ / / / x x π Si ahora, repeimo el mimo procedimieno con la función reulane, e iene que para α / y p / : / D / x π / π Γ Γ( / ( / / x / / π Γ ( / Γ( x D / / π x π π lo cual reularía i deriváramo f ( x x una vez en la forma en que normalmene abemo. n la figura. puede obervare la evolución de la derivada fraccionaria de la función f ( x x para valore de α enre y. De forma imilar, en la figura. e preena la gráfica de la evolución de la derivada fraccionaria aplicada a la función f ( x en( x para diino valore de α. Puede obervare como gradualmene e defaa la función en (x (derivada haa ranformare en co(x que e preciamene la primer dervivada de en (x. La barra de color en dicha figura indica el valor de la función derivada, para un iempo y un exponene fraccionario α. 7

17 Figura.. Gráfica de la derivada fraccionaria de f ( x x para diferene valore de α Figura.. Gráfica de la derivada de f ( x en( x para diferene exponene fraccionario α Con la ecuación (. puede exendere la idea de la derivada fraccionaria de un gran número de funcione. Sin embargo, aún no e ha preenado una definición formal de la derivada fraccionaria, pue lo cao ane mencionado on cao pariculare y ólo on 8

18 aplicable para ciero valore de α. Por ello, dede 695 a la fecha, de forma imilar, perona como Leibniz, Riemann, Liouville, Grunwald, Lenikov, ec. comenzaron a incurionar en el campo del cálculo fraccionario, llegando a definir de manera má general expreione para calcular la derivada fraccionaria (Weiein, Inegral de Riemann-Liouville Recordando alguna noacione de cálculo elemenal, la n-éima derivada de una función f eá definida recurivamene por: D x f [ ] n n ( x f ( x, D f ( x D D f ( x (,,... x Análogamene, la n-éima inegral de f eá definida por D x f x x n ( n ( x f ( x, D f ( x D f ( d (,,... x x n (. n (.3 Puede probare que la egunda inegral en (.3 (la cual e en eencia una inegral múliple e puede reducir a una inegral encilla y eá dada por: D f ( x x n ( x f ( d ( n! (,,... n x donde ( n! ( n ( n n (.4 l propóio e generalizar (. y (.4 uiuyendo n por un número real poiivo α. Para ello e hace uo de la ya conocida función gamma de uler. Para cualquier α >, la inegral fraccionaria de orden α de una función f (coninua e define como: cuando D f ( x Γ( α α ( x f ( d x α x (.5 La ecuación (.5 e llamada Inegral fraccionaria de Riemann-Liouville. Nóee que α n, la definición anerior e reduce a la fórmula uual dada en (.4. Por ejemplo, ea f ( x y α /. nonce: D ( / ( x ( d, Γ x / x ( / x / u ( du (con x-u π / / x π / 9

19 Remarcando e iene que D ( (lo cual ignifica que no e le eá ranformando a la x función mienra que D x ( x (lo cual e ólo una ani-derivada de. La derivada fraccionaria puede er definida en érmino de la inegral fraccionaria. Sea m el menor enero poiivo mayor o igual que un número poiivo α (por ejemplo, m cuando α /. nonce D e ólo la m-éima derivada uual y m α. Para m x cualquier α >, la derivada fraccionaria de orden α de una función f (coninua e define como: D α m ( m α f ( x D [ D f ( x ] x Nóee que (.6 x ( m α x x D e la inegral fraccionaria de orden m α. Coninuando con el ejemplo anerior, donde f(x, la derivada fraccionaria de orden / de f e D ( [ ] / / Dx ( Dx x / / / / x f ( x Dx π e reulado e aboluamene ineperado dado que la derivada uual de una conane e, lo cual ilura una de la mucha diferencia enre lo operadore de derivación cláico y fraccionario. π x. La ranformada de Laplace La ranformada de Laplace e una función de ranformación comúnmene uada en la olución de ecuacione diferenciale complicada. Con ella, e poible, en mucho cao, eviar rabajar direcamene con ecuacione de orden diferencial raladando el problema a un dominio en donde la olución e preena algebraicamene. La definición formal de la ranformada de Laplace eá dada por: L { f ( } e f(d fˆ( (.7 donde [ < < y f ˆ( e una función en la variable cuyo dominio cona de odo lo valore de para lo cuale la inegral (.7 exie, e decir, la ranformada de Laplace de una función f ( exie i (.7 e una inegral convergene. l requerimieno para que

20 uceda eo e que f ( no crezca a una velocidad mayor que la velocidad a la cual el érmino exponencial e decrece. También e muy uual uilizar la convolución de funcione, dada por (.8. f ( g( f ( τ g( τ dτ (.8 La convolución de do funcione en el dominio del iempo puede reular complicada de reolver, in embargo, en el dominio de Laplace (, la convolución e ranforma en una imple muliplicación de funcione como e muera en (.9: L { f ( g( } fˆ( g ˆ( (.9 Ora propiedad muy imporane de la ranformada de Laplace e u aplicación a la derivada de orden enero n de una función f (, la cual eá dada por: n n n d f ( n n k fˆ( f ( fˆ( n d k k ( k n k ( n k L f ( (. dada por: De forma análoga, la ranformada de Laplace aplicada a derivada fraccionaria eá α d f L d α k k d f ( { f ( } ( n α L α k d α k (. para odo α (exponene fraccionario de la diferencial, donde n e un enero al que ( n < α < n. Si e conideran la condicione iniciale igualada a cero (Harley e al., 995, la fórmula anerior e reduce a la expreión: α d f ( L α d α L { f ( } De manera que la derivada generalizada puede ahora expreare como: D α α [ L{ f ( }] (. f ( L (.3 La cual reula muy inereane, pue e ora forma de exprear la derivada fraccionaria de una función f (.

21 .3 Función Miag Leffler La olución de ecuacione diferenciale fraccionaria comúnmene e expreada en érmino de la función Miag-Leffler (MLF, por u igla en inglé o u derivada z (Diehelm e al., 5, que e una generalización de la función exponencial e. La función MLF eá definida por la erie de poencia: donde k z a, b( z (.4 k Γ a, b y z y cuya derivada e: ( b ak k ( k z ( b a[ k] da,b( z ' ( a,b z (.5 dz k Γ La función MLF juega el mimo papel en la ecuacione diferenciale fraccionaria al papel que juega la función exponencial en la ecuacione diferenciale ordinaria. Para el cao paricular, cuando lo parámero a y b on iguale a, la función MLF e reduce a la definición de la función exponencial: z k z z,( e (.6 k Γ ( k n la figura.3 e preena una uperficie generada con la función Miag-Leffler para diino valore de a maneniendo b.. Pueden obervare la forma variada que oma la función an olo variando uno de lo do parámero, lo que da mayore poibilidade en modelación de fenómeno y verailidad en la olución de ecuacione diferenciale, a diferencia que la función exponencial.

22 Figura.3. Gráfica de la función Miag-Leffler para diino valore de a, con b. La ecala de color indica el valor que oma la función para diino valore de a y Z.4 cuacione diferenciale fraccionaria n ea ecuacione, como u nombre lo indica, el orden de la derivada e fraccionario, y por ano aparecen en ella érmino con derivada fraccionaria. A manera de ejemplo, en lo que igue e preena una ecuación de ee ipo y u olucione para diferene cao: [ D α α ad bd ] y( donde α e el orden de la derivada (D fraccionaria, y u olucione on: (.7 y e a b q a k ( k (, a ( q k D ( a k α e e Γ ( k ( q α ( α e ( para para para a b a b a b (.8 3

23 Donde: q /α (.9 q q k q e ( b ( kα, b (.3 b k a e e la función exponencial, (, a La función a e ( ν, a Γ( ν urge de la inegral de x ν e ax ν e la función y Γ (z e la función gamma. a dx ν a e y e define como: a e γ ( ν, a Γ( ν en donde γ ( a, z e la función gamma incomplea definida por: γ ( a, z e z a d La funcione epeciale Γ (z, γ ( a, z, ( α, β z y (.3 reulan muy úile en la olución de ecuacione diferenciale fraccionaria, haciendo uo de la ranformada de Laplace, al como e verá má adelane en el capíulo de reología fraccionaria. l lecor inerado puede conular la referencia (Podlubny, 994 en donde e raa dealladamene la aplicación de la ranformada de Laplace en la olución de ecuacione diferenciale fraccionaria. 4

24 3 FUNDAMNTOS D VISCOLASTICIDAD l comporamieno de mucho maeriale bajo carga aplicada puede er aproximado medeiane relacione enre la carga o efuerzo y la deformación reulane. n el cao de maeriale eláico u relación, definida como la ley de Hooke, eablece que la deformación e inanánea y proporcional al efuerzo aplicado. n el cao de maeriale vicoo, la relación eablece que el efuerzo e proporcional a la aa de deformación y el deplazamieno depende de la hioria de carga. La vicoelaicidad e una propiedad que exhiben alguno maeriale que preenan ambo comporamieno, ano vicoo como eláico y en donde u relación ε -σ e dependiene del iempo. Tale maeriale e diinguen por morar la iguiene caraceríica: Diipación de energía, conocida como hiérei Relajación de efuerzo, en donde para una deformación conane, lo efuerzo denro de un cuerpo decrecen con el iempo Creep, en donde maneniendo un efuerzo conane, la deformacione en un cuerpo e incremenan con el iempo. De alguna manera, el creep e un comporamieno invero al de relajación de efuerzo. De acuerdo con la eoría de vicoelaicidad, un cuerpo vicoeláico puede coniderare como un iema lineal con lo efuerzo (o deformacione como una función de exciación (de enrada y la deformacione (o efuerzo como una función de repuea (alida. n ee enido, e abe que la funcione de repuea a una exciación expreada por la función ecalón de Heaviide h ( juegan un imporane papel dede un puno de via maemáico y fíico. Suele denoare por J ( a la repuea de deformación debida a un ecalón uniario de efuerzo de acuerdo a un enaye de creep, y G ( a la repuea de efuerzo debida a un ecalón uniario de deformación de acuerdo a un enaye de relajación. La funcione J ( y G ( on a menudo referida como la deformación por fluencia (creep compliance y módulo de relajación repecivamene, o implemene funcione maeriale de un cuerpo vicoeláico (Mainardi y Spada,. 5

25 Lo valore límie del dominio de la funcione maeriale para y e relacionan con el comporamieno inanáneo (g: gla y de equilibrio (e de un cuerpo vicoeláico, de acuerdo a (Mainardi e al,. Por ano e uual denoar J g : J ( a la deformación inanánea y J e : J ( a la deformación de equilibrio, y de forma análoga G g : G( al módulo inanáneo y G e : G( al módulo de equilibrio. Amba funcione maeriale on no-negaiva. Ademá, para < < decreciene y G ( e una función decreciene., ( J e una función no A coninuación e preenan brevemene alguno apeco de la eoría de la vicoelaicidad y lo fundameno maemáico correpondiene. n ee capíulo e preena la noación maemáica uilizada por (Gurin y Sernberg, 96 en u rabajo On he Linear Theory of Vicoelaiciy. 3. Maemáica preliminare Se eniende f como una función en lo reale. Se ecribe f N C obre ( a, b, N denoa iempre un enero no negaivo, i la función f eá definida, e coninua, y e N N vece coninuamene diferenciable obre el inervalo ( a, b. Se dice enonce f C obre ( a, b i éa e definida y coninua obre ( a, b y i ano f como u derivada haa N obre ( a, b coinciden con funcione coninua obre ( a, b. Se ua la iguiene noación para la derivada de f y para lo valore de f y u derivada cuando el argumeno e : f ( n n d f (, f f n d (, o ( ( n n f f ( (3. por: La función de alo uniario (o ecalón Heaviide e denoa por h y eá definida h ( para odo en (, a, h ( para odo en [ a, Se omará a por conveniencia. ( Funcione de la clae Heaviide La iguiene generalización de la función Heaviide reula de mucha uilidad: N H 6

26 Definición Una función a f obre (,, f N H, i f eá definida obre (, y, b f e en N C obre, [, Por ora pare, i f N H, e ecribe o ( n ( n f f ( ( n,,,, N. (3.3 De acuerdo a lo anerior, cuando f N H, la funcione (n f ( n,,,, N pueden ener diconinuidade con alo finio en el origen, y (n f permanece para lo límie correpondiene hacia la derecha. A coninuación e preenan alguno concepo preliminare obre convolucione. Primero, e preenan la propiedade de la convolucione de Riemann ubecuenemene e eablecen ciera propiedade adapada obre la convolucione de Sielje. 3.. Convolución de Riemann Definición Sean ϕ y ψ funcione definida obre el inervalo [, y ea la inegral de Riemann ϑ ( ϕ( τ ψ ( τ dτ (3.4 la cual exie para odo en [,. nonce la función ϑ, aí definida en [,, e la convolución de Riemann de ϕ y ψ. También e ecribe: ϑ ϕ ψ (3.5 para denoar ea función. Propiedade de la convolución de Riemann La convolución de Riemann enre funcione e válida y exie i cumple con el iguiene eorema: Teorema Sean ϕ, ψ y ω en a ϕ ψ C obre [, ; C obre, [. nonce: y 7

27 b ϕ ψ ψ ϕ (conmuaividad c ϕ ( ψ ω ( ϕ ψ ω ϕ ψ ω (aociaividad d ϕ ( ψ ω ( ϕ ψ ( ϕ ω (diribuividad; e ϕ ψ implica que ϕ o ψ 3..3 Convolución de Riemann-Sielje Definición 3 Sean ϕ y ψ funcione definida en lo inervalo [, y (, repecivamene, y ea la inegral Riemann-Sielje ϑ ( ϕ( τ dψ ( τ (3.6 la cual exie para odo en (,. nonce la función ϑ, aí definida en (,, e la convolución de Sielje de ϕ y ψ. También e ecribe: ϑ ϕ dψ (3.7 para denoar ea función. Propiedade de la convolución de Sielje Teorema Sea ϕ en H. Sean ψ y ω H. nonce: a ϕ dψ H y ψ dω H b ϕ dψ ψ dϕ (conmuaividad c ϕ d( ψ ω ( ϕ dψ dω ϕ dψ dω (aociaividad d ϕ d( ψ ω ϕ dψ ϕ dω (diribuividad e ϕ d ψ implica que ϕ o ψ f ϕ dh g o ( d obre [, ϕ ψ ψ ϕ ϕψ La comprobacione de lo eorema y, aí como la exiencia de la invera de Sielje, pueden conulare en la referencia (Gurin y Sernberg, 96. 8

28 3. Leye herediaria lineale efuerzo-deformación n lo que igue e adopa la iguiene noación concerniene a funcione enoriale valuada de poición y/o iempo. Para ello, e uilizan lera en negrilla para deignar funcione cuyo valore on vecore o enore de alo orden. Aí, i la función v eá definida en ( a, b R, u valor v(x, en la poición x y el iempo e un enor conocido para cada ( x, en ( a, b R. Ademá, i lo valore de v on enore de orden N, e ecribe v para la componene de v en el marco coordenado X. i, j k La leye herediaria efuerzo-deformación aquí preenada on del ipo de relajación. a leye perenecen al ipo de clae general de relacione coniuiva caracerizada por la upoición de que la hioria de efuerzo en cada puno maerial del medio eá compleamene deerminada por la hioria de deformacione en el mimo iio. Siendo aí, ean σ y ε, con componene σ i, j y ε i, j funcione definida obre el inervalo (,, cuyo valore σ( y ε( on el enor de efuerzo en el iempo y el enor de deformacione infinieimale en el iempo repecivamene. La funcione σ y ε, la cuale mapean el inervalo (, en enore imérico de egundo orden, on referida como la hioria de efuerzo y la hioria de deformacione repecivamene. La clae de relación coniuiva bajo conideración puede er decria por la ecuación: σ Lε (3.8 donde L e una ranformación la cual aocia con cada hioria de deformacione ε una hioria de efuerzo σ. Con mira hacia la eoría lineal de vicoelaicidad, la ley de aociación (3.8 e ujea a ciera rericcione. Para ee propóio, como reula er fíicamene naural, la aención e limia inicialmene a hioria de deformacione coninua y e aume (in pérdida de la generalidad que el medio eá en u eado indeformado para odo en (,. 3.. Hioria admiible de efuerzo y deformación Definición 4 Una hioria de deformacione ε e admiible i ε e coninua en (, y ε en (,. La definición análoga aplica una hioria de efuerzo admiible. 9

29 3.. Ley efuerzo-deformación lineal herediaria Definición 5 Una ranformación L que aocia a cada hioria de deformacione admiible ε una hioria de efuerzo σ Lε e una ley herediaria i éa iene la iguiene propiedade. Sean ε y ε hioria de deformación admiible arbiraria y uponga que σ Lε y σ Lε. nonce: a Para cada par de número reale λ, λ L[ λ ε λ ε ] λ Lε λ Lε (linealidad b Para cada λ fijo, la relación ε ( ε ( - λ para odo en (, implica que σ ( σ ( - λ para odo en (, (invariancia a la ralación c Para cada fijo, ε ε en (,] implica σ σ en (,] (no reroacividad d Para cada fijo y cada α > exie un δ (α > al que ε ( τ < δ ( α para odo τ en (,] implica que σ ( < α (coninuidad De a cuerdo al poulado c, el cual ambién e referido como principio de caualidad, i do hioria de deformación coinciden haa un iempo, lo mimo ucede con la hioria de efuerzo aociada. Aí, lo efuerzo en cada inane de iempo dependen olamene de la deformacione en el iempo y de odo lo iempo previo; e decir σ( e un funcional de ε( ( < τ Repreenación de leye herediaria lineale A coninuación e preenan la condicione que debe cumplir una función enorial para que repreene una ley herediaria lineal. Teorema 3 xie una función enorial G definida en el inervalo (,, correpondiene a cada ley herediaria lineal L, con la iguiene propiedade: a G( e un enor de cuaro-orden con (, b G en (, G ( G ( G ( para cada en i, j,k,l j,i,k,l i, j,l, k c G e de variación acoada en cada ub-inervalo cerrado de (, d G e coninua a la derecha de (,, e decir, G( G( e Para cada par de hioria (admiible ( σ, ε aociado a ravé de L, e iene

30 i, j ε k, l dg i, j, k, l σ, la cual e equivalene a: ( τ σ ε ( τ dg. i,j k,l i,j,k,l La propiedade (a, (b, (c, (d y (e caracerizan únicamene a G, la cual e llamada función enorial de relajación correpondiene a L. n ingeniería e uual rabajar con ciero elemeno del enor de efuerzo o deformacione, por ejemplo, lo efuerzo principale o lo efuerzo corane, por lo que reula úil definir leye herediaria pariculare. A coninuación e preenan alguno eorema que permien definir leye herediaria iorópica Leye herediaria lineale iorópica Teorema 4 Una ley herediaria lineal e iorópica i y ólo i u correpondiene función de relajación enorial iene valore que on enore iorópico Repreenación de leye herediaria lineale iorópica Teorema 5 xien funcione reale G ( α, definida en (, a correpondiene a cada ley herediaria lineal iorópica L con la propiedade: a G ( α, e nula en (, y e de variación acoada (caraceríica de a funcione uave, in cambio bruco, aí como coninua hacia la derecha, en cada ubinervalo cerrado de (, ; b Para cada par de hioria admiible ( σ, ε aociada a ravé de L, e definen: S ij eij dg, σ ε dg kk kk (3.9 donde S y ij e on la componene de lo efuerzo y deformacione deviadore ij definido por: Sij 3 σ ij δ ijσ, kk eij ε ij δ ijε kk (3. 3 a Cabe mencionar que la propiedade (a y (b únicamene caracerizan a G ( α,, la cual e llamada función de relajación (ecalar correpondiene a L. Dicho de ora forma, cada par de funcione reale G ( α, definida en (, y a

31 eniendo la propiedad (a generan, en el enido de (3.9 y (3. una ley herediaria lineal iorópica. La relacione (3.9 on conocida como la ley inegral de relajación de la eoría lineal de ólido vicoeláico iorópico y la funcione de generación G, G on uualmene referida como la funcione de relajación en corane y compreión iorópica, repecivamene. Por ora pare, la relacione coniuiva de la forma: ε L σ (3. en donde L e una ranformación la cual aocia a cada hioria de efuerzo σ una hioria de deformacione ε, llamada ley efuerzo-deformación del ipo de creep. Por ano, el cambio de papele de lo efuerzo e hioria de deformacione en cada uno de lo eorema obre leye herediaria lineale del ipo de relajación da lugar a una erie de eorema concerniene a leye herediaria lineale del ipo de creep. n paricular, el Teorema 5 proporciona de ea manera la repreenación e ij Sij dj, ε σ dj (3. kk kk de la ley inegral de creep de la eoría cláica de vicoelaicidad, iendo J y J la funcione de creep en corane y compreión iorópica, repecivamene. A coninuación e preenan alguna propiedade adicionale de la leye inegrale de relajación (3.9 y creep (3.. Ya que amba relacione, para un marco de coordenada fijo y valore de i y j elegido, ienen una idénica erucura, e uficiene coniderar olamene la ley inegral de relajación ecalar σ ε dg obre (, (3.3 y la ley inegral ecalar de creep ε σ dj obre (, (3.4 n ee conexo, e aplican lo érmino de hioria de efuerzo y deformación a funcione ecalare σ, ε ; e llama a G (abreviadamene función de relajación y a J función de creep. Ademá, a la funcione G y J e le exige al meno que H.

32 n lo que igue e preena el eorema que aegura que exie una invera (única para la relación (3.3, en donde e incluyen la condicione uficiene para que (3.3 admia una invera de la forma (3.4. Para ello e neceia la iguiene definición de la ranformada de Laplace: Definición 6 (Tranformada de Laplace. Sea la función f C obre el inervalo [, y ea f( O[ exp(] cuando para algún número real. nonce la función > ~ f eá definida por: ~ f ( exp( f ( d, para odo al que Re( > (3.5 Donde f ~ denoa la ranformada de Laplace de f Relación enre la funcione de relajación y creep aociada A coninuación e preena la relación que exie enre la funcione aociada de relajación y de creep. Para ello e preena el iguiene eorema: Teorema 6 (Inverión de la ley de relajación, relación enre la funcione de relajación o y creep. Sea G H con G. nonce G iene una invera de Sielje eableciendo J G, e iene: a Para cada σ H exie un (único ε H al que ranformación (3.3 mapea el epacio en í mimo, b ε H y c J aiface la ecuación σ ε dg implica que ε σ dj ; σ ε dg G. Ademá,, por ano la J dg h (3.6 aí que para odo en [, : o ( G J ( G ( τ J ( τ dτ ; d Si G ( y ( J on [ exp( ] O cuando para algún, > G ~ ( J ~ ( para oda al que Re( > (3.7 A G relajación G. J e le conoce como la función de creep aociada con la función de 3

33 n el iguiene eorema e preena una forma alernaiva de la ley inegral de relajación. Teorema 7 Sea G H, ea ε H, y ea σ definida por (3.3. nonce: o dg( τ σ ( G ε ( ε ( τ dτ, para odo en [, ; (3.8 dτ a Si, en paricular, ε H, o dε ( τ σ ( ε G( G( τ dτ, para odo en [, ; (3.9 dτ b ε h implica que σ G ; c Si ε ( y ( G on [ exp( ] O cuando para alguna conane, ~ σ ( G ~ ( ~ ε ( (3. Para oda al que Re( > Reumiendo, e iene que la repuea general vicoeláica lineal para una dimenión epacial e define maemáicamene como una en la cual exie una función G ( al que la ecuación coniuiva que relaciona efuerzo con deformacione eá dada por σ ( G( τ dε ( τ, en donde σ ( denoa lo efuerzo (normale como una función del iempo, ε ( denoa la deformación como función del iempo y G (, llamada función de relajación, e caual y no depende de la coordenada epaciale. l principio fíico de caualidad impueo en la función de relajación G ( implica que la función e cero para iempo negaivo, por ano la relación coniuiva puede reecribire uando la inegral Riemann-Sielje como σ ( ( τ dε ( τ G, y éa en érmino de convolución como σ G dε. l comporamieno de maeriale lineale e aquel en el cual la uperpoición lineal de efuerzo lleva a una correpondiene uperpoición lineal de deformacione y vicevera. l érmino de función de relajación uado para la función G ( deriva de obervacione fíica de la repuea de lo efuerzo de un iema lineal ane una deformación conane aplicada. Bajo la hipóei de hioria cauale, pueden enere la iguiene relacione: 4

34 y ε d (3. d ( J ( τ dσ ( τ σ ( J ( J( τ σ ( τ dτ σ d (3. d ( G( τ dε ( τ ε ( G( G( τ ε ( τ dτ Como amba relacione on del ipo de convolución, la ecuacione (3. y (3. pueden raare convenienemene por la écnica de la ranformada de Laplace, por ano, aparecen la relacione en el dominio de Laplace: ε J ~ ~ σ ~ σ G ~ ~ ε, ~ ( ( (, ( ( ( ~ G ~ de la cuale e deriva la relación de reciprocidad: J ( ( 3.3 Relacione efuerzo-deformación de la forma ecuación diferencial n ea ección e preena un eudio de lo que radicionalmene e refiere a ley de operador diferencial de la eoría cláica de vicoelaicidad, por ejemplo, aquella relacione lineale efuerzo-deformación en la forma de ecuación diferencial. La relacione coniuiva de ee ipo urgen de la ley inegral de relajación (3.9 o de la ley inegral de creep (3. i la funcione de relajación creep a G ( α, o la funcione de J ( α, exhiben ciera degeneracione la cuale on caraceríica de un epecro de relajación o reardación finia. La mayor imporancia de la ley de operador diferencial e deriva del hecho de que éa admie una inerpreación en érmino de arreglo de elemeno reore y amoriguadore. Sin embargo, debe omare en cuena que ale arreglo, a pear de u coniderable valor heuríico, on de limiada uilidad para decribir ólido vicoeláico reale. n lo que igue e preena el cao de leye ecalare (unidimenionale. Por ano, reula conveniene preenar la iguiene noación. Se ua D para deignar al operador derivada repeco al iempo definido por: k (k D f f (3.3 donde f e una función del iempo (o de poición y iempo. Adicionalmene, e emplean lo ímbolo P (D, Q (D excluivamene para denoar lo operadore diferenciale lineale a 5

35 donde k ( D p D k, D P N k Q N k ( q D k (3.4 k p k y q k ( k,,,..., N on conane reale. Acordemene, lo polinomio P y Q ienen un grado no mayor a N. A coninuación e preena un eorema concerniene a la reducción de la ley inegral de relajación a una ley de operador diferencial. Teorema 8 (condicione uficiene para la reducibilidad de una ley inegral de relajación a una ley de operador diferencial. Sean σ, ε H N ( N y eán relacionada a ravé de una ley inegral de relajación (3.3, la G correpondiene iene la iguiene propiedade: G que H N y exien conane reale q y p ( r,,,...,n, con p, al r N P ( D G obre el inervalo (, (3.5 q nonce: a σ, ε aifacen la ecuación diferencial P ( D σ Q( Dε obre (, (3.6 donde q r N n r p n ( n r G ( r,,,..., N (3.7 b σ, ε cumplen con la condicione iniciale N r k N ( r k ( r k σ r ε ( k,,,..., N r k p r q (3.8 l Teorema 8 aegura la condicione uficiene para que una ley inegral de relajación pueda reducire a una ley de operador diferencial de orden N, del ipo de relajación. La demoración del Teorema 8 no e preena aquí, in embargo puede conulare en (Gurin y Sernberg, Pare de operadore diferenciale de orden N, del ipo de relajación o creep Definición 7 Si en (3.4 cada p o q, enonce el par de operadore N diferenciale lineale [ P ( D, Q( D ] e dice er de orden N. Si en paricular, p N N 6

36 { q }, e dice que [ P ( D, Q( D ] e de orden N y del ipo de relajación {creep}. Aí N que P ( D, Q( D e de orden N i al meno uno de lo do polinomio P y Q e de grado N. Noar que lo do ipo de pare de operadore diferenciale (y leye de operador diferencial no on muuamene excluivo. La iguiene definición reula muy úil y eablece la relación enre una ley de operador diferencial y una ley inegral: Definición 8 Sea [ P ( D, Q( D ] un par de operadore diferenciale de orden N y ea N G H. a Se dice que [ P ( D, Q( D ] perenece a una función de relajación G i σ, ε N H juno con σ ε dg obre (, (3.9 Implica P ( D σ Q( Dε obre (, (3.3 y N r k o N o ( r k ( r k p r σ qr ε r k ( k,,,..., N (3.3 b nonce e dice que la función de relajación G perenece a [ P ( D, Q( D ] i σ, ε N H juno con (3.3, (3.3 implican ( Tranformada de Laplace de una ley de operador diferencial A coninuación e preena un eorema concerniene a la conexión enre la ranformada de Laplace de una hioria de efuerzo y deformacione la cuale e relacionan a ravé de una ley de operador diferencial, para lo cual e hace referencia a la Definición 6. Por ano, recordando, la ranformada de Laplace aplicada a un operador diferencial eá definida por: k n n { D f } ~ f k r r f ( (3.3 r L 7

37 Teorema 9 Sea [ P ( D, Q( D ] un par de operadore diferenciale de orden N. Sean σ, ε H N que cumplen con la ecuación diferencial (3.6 y i N, la condicione iniciale (3.8. Ademá, ean σ ( y ( conane real. nonce, ε ambo [ exp( ] O cuando para alguna P( ~ σ ( Q( ~ ε ( (3.33 para odo al que Re( > La imporancia del Teorema 9 e deriva del hecho de que ée juifica la aplicación formal de la ranformada de Laplace a una ley de operador diferencial; formal en el enido de que e ignora la preencia de diconinuidade con alo en σ, ε y u derivada en el iempo. La validez de la aplicación formal de la ranformada e una conecuencia de la condicione iniciale (3.3. l iguiene eorema iene como objeivo morar la relación que exie enre la ranformada de Laplace de la función de relajación que perenece a un par de operadore diferenciale y lo operadore involucrado: Teorema Sean [ P ( D, Q( D ] de orden N ( N y ea [ ( D, Q( D ] N G H. Ademá, ean P pereneciene a la función de relajación G. nonce exie un número al que ~ Q( G ( (3.34 P( para odo al que Re( > n el cao de la función de creep J, e iene u cao invero: ~ P( J ( (3.35 Q( Por ciar un ejemplo, upóngae que e iene la ecuación diferencial: p p σ p σ q ε q ε ε (3.36 σ q 8

38 l problema e deerminar la función J aplicando la ranformada de Laplace. De la ecuación diferencial (3.36 e ve que lo operadore diferenciale P ( D y Q ( D on: P ( D p, pd pd Q ( D D q qd q, a lo que, aplicando la ranformada de Laplace e iene: P ˆ( p p p, Q ( q q q por ano, uando (3.35 e iene: ˆ ~ p p p J ( (3.37 ( q q q J ( e obiene aplicando la ranformada invera de Laplace a (3.37, realizando la operacione algebraica necearia en el dominio de Laplace. n lo que igue, e preenan alguno arreglo mecánico imple, en donde mediane arreglo de reore y amoriguadore e deermina la ecuación diferencial que gobierna el comporamieno para cada arreglo, y en la cual, aplicando la ranformada de Laplace pueden deerminare la funcione de relajación y de creep. 3.4 Reología cláica La reología e una pare de la mecánica del medio coninuo que eudia la relación enre el efuerzo y la deformación en lo maeriale que on capace de fluir. Una de la mea má imporane en reología e enconrar ecuacione coniuiva para modelar el comporamieno de lo maeriale. La reología puede dividire en do rama: la Macroreología, que eudia a lo cuerpo, lo cuale e conideran homogéneo, in enender u erucura y in hacer efuerzo para la propección, y la Microreología, que procura explicar, en érmino reológico, el comporamieno de lo cuerpo, pero eniendo en cuena u compoición erucural. decir, pariendo de primero principio. Por ano, puede decire que la Macroreología eablece la relacione enre la fuerza que le on aplicada a un cuerpo y la deformacione que on producida en él como una conecuencia, y la repeciva leye que eablecen la evolución con el iempo. Un arreglo reológico e enenderá como un iema con un comporamieno emejane al del maerial en eudio, uualmene inegrado por elemeno mecánico muy 9

39 imple (reore, amoriguadore, ec.. Por ejemplo, Terzagui explicó mediane un arreglo reológico el eado de efuerzo para cualquier iempo en uelo aurado de agua, bajo la premia de que en un uelo cien por cieno aurado de agua y in drenaje, el efuerzo ocahédrico aplicado e omado oalmene por el agua; una vez permiido el drenaje, el agua deja de omar dicho efuerzo y ée e omado conforme paa el iempo por el equeleo ólido (proceo de conolidación. Para enender el comporamieno vicoeláico lineal, reula de mucha ayuda coniderar el comporamieno de arreglo mecánico análogo má imple. o e conruyen a parir de reore lineale y amoriguadore dipueo en arreglo (en erie o paralelo o implemene olo. Puede noare que cuando do elemeno e combinan en erie (o paralelo, u deformación (o módulo de relajación on adiivo. De ahí que pueden eablecere la iguiene regla de combinación: la deformacione de fluencia e uman en erie, mienra que lo módulo de relajación e uman en paralelo. A coninuación e preenan alguno arreglo mecánico imple y u relacione efuerzo-deformación que gobiernan u comporamieno a lo largo del iempo. a b c d Figura 3. Arreglo mecánico imple. a reore de Hooke, b amoriguador de Newon, c reore y amoriguador en paralelo, Voig y d reore y amoriguador en erie, Maxwell. De acuerdo a Capuo y Mainardi (Capuo y Mainardi, 97, mencionada en (Mainardi y Spada,, lo cuerpo vicoeláico e pueden claificar conforme a u repuea inanánea (g: gla y de equilibrio (e en cuaro ipo, como e preena en la Tabla 3.. 3

40 Tipo J g J e G g G e I > < < > II > < III < > IV Tabla 3. Claificación de lo cuerpo vicoeláico 3.4. Arreglo de Hooke y de Newon l reore (Figura 3. (a e un elemeno eláico y para ée la fuerza e proporcional al deplazamieno. Ée repreena un cuerpo eláico perfeco que obedece la ley de Hooke (ólido ideal. e arreglo uele llamare modelo de Hooke. Si e denoa por el módulo eláico e iene: Modelo de Hooke: ( ε ( σ, y ( ( J / G n ee cao no e iene creep ni relajación, aí que la deformación de fluencia y el módulo de relajación on funcione conane: J ( J J ; G( G G g e / g e l amoriguador (Figura 3. (b e un elemeno vicoo (o diipaivo; el efuerzo e proporcional a la velocidad de deformación; ee repreena un cuerpo vicoo perfeco que obedece a la ley de Newon (fluido perfeco. Por ano ee arreglo e llamado como modelo de Newon. Si e denoa por η el coeficiene de vicoidad, e iene: G Modelo de Newon: ( y J G ( /η ( ηδ ( dε σ η, d n ee cao e iene un creep lineal ( J ( G δ ( J y una relajación inanánea con G / J η. Lo arreglo de Hooke y Newon repreenan lo cao límie de lo cuerpo vicoeláico del ipo ólido y líquido, repecivamene. 3

41 3.4. Arreglo de Kelvin-Voig y Maxwell l arreglo coniuido por un reore en paralelo con un amoriguador e conoce como modelo de Kelvin-Voig (Figura 3. (c. Para ee arreglo e iene la iguiene ecuación diferencial: dε η (3.38 d ( ε ( σ Cuya funcione olución on: ( τ J e ε J, ( G G ( J, τ ε η / G δ e, G e, G η donde τ e e conoce como el iempo de reardo. l arreglo coniuido por un reore en erie con un amoriguador e conoce como modelo de Maxwell (Figura 3. (d. Se iene la iguiene ecuación: ( dσ dε a η (3.39 d d σ y cuya funcione olución on: ( J J J g, a η J g, J η τ σ ( G e G, G η a, σ τ a, donde τ e conocido como el iempo de relajación. σ Lo arreglo Voig y Maxwell on por ano lo cuerpo vicoeláico má imple del ipo III y II repecivamene. l modelo Voig exhibe una deformación de creep exponencial (reverible pero no una relajación de efuerzo. Se conidera como un elemeno de reardación. l modelo de Maxwell exhibe una relajación de efuerzo exponencial (reverible y una deformación de creep irreverible. Se conidera como un elemeno de relajación Lo arreglo de Zener y Ani-Zener Con bae en una regla de combinación e pueden conruir lo arreglo má imple del ipo I y IV que requieren re parámero. 3

42 a b c d Figura 3. Repreenacione mecánica del arreglo de Zener: a y b, y del arreglo ani-zener: c y d, donde: a un reore en erie con Voig, b un reore en paralelo con Maxwell, c un amoriguador en erie con Voig, d un amoriguador en paralelo con Maxwell. l cuerpo vicoeláico má imple del ipo I e obiene adicionando un reore en erie a un arreglo de Voig o en paralelo a un arreglo de Maxwell (Figura 3. (a,b. Aí, de acuerdo a la regla de combinación e agrega una conane poiiva al arreglo de Voig para la deformación por fluencia y al arreglo de Maxwell para el módulo de relajación, de manera que e obiene J > y G >. Tal como dicho arreglo fue preenado por Zener g e bajo la denominación de Sólido ándar Lineal (SLS por u igla en inglé e iene: d d d d Modelo de Zener: a σ ( η ε ( /τ y J( J J [ e ε ], g /τσ ( G G e G a η J g, J a η, η, G e e, G a, τ a σ η τ ε Debe cumplire la condición de que < < η / a con el fin de que J y G ean poiiva y por ano J g < J < y G e < G <. Como una conecuencia, puede < e < g noare que para el modelo S. L. S. el iempo de reardo debe er má grande que el iempo relajación, eo e τ σ < τ <. < ε Ahora, el cuerpo vicoeláico del ipo IV má imple requiere de re parámero; eo e obiene agregando un amoriguador a lo arreglo de Voig en erie, y Maxwell en paralelo (Figura 3. (c,d. De acuerdo a la regla de combinación, e agrega un érmino lineal al arreglo de Voig para deformación por fluencia y un érmino impulo Dela al 33

43 arreglo de Maxwell para el módulo de relajación aí que e obiene J y G. g g Puede referire a ee arreglo como ani-zener. Se iene: d d d d d d Modelo de ani-zener: a σ ( η η ε ( /τ y J ( J J [ e ε ], η J, J η a η, η τ ε η η / τσ ( G δ ( G e G, G η G η η, a, a a a τ σ Debe cumplire la condición < η / η < a con el fin de que J y G ean poiiva. Como una conecuencia, e noa que para ee arreglo, el iempo de relajación debe er má grande que el iempo de reardo, eo e Arreglo de Burger τ ε < τ <, al conrario del arreglo de Zener. < σ n la lieraura de la reología, e coumbre coniderar el modelo de Burger el cual e obiene de agregar un reore o un amoriguador a la repreenacione de lo arreglo ani- Zener o Zener, repecivamene. Aumiendo la repreenación de creep, el reore o el amoriguador e agregado en erie, aí que el arreglo de Burger reula de una combinación en erie de lo elemeno de Maxwell y Voig. Por oro lado, aumiendo una repreenación de relajación, el amoriguador o reore e agregado en paralelo, aí que el arreglo de Burger reula de do elemeno de Maxwell dipueo en paralelo. Ver la Figura 3.3. a b Figura 3.3 Arreglo de Burger. a repreenación de creep, y b repreenación de relajación 34

44 De acuerdo a la claificación general, el arreglo de Burger eá coniuido por cuaro elemeno del ipo II, y definido por cuaro parámero. Se iene: d d d d Modelo de Burger: a a σ ( η η ε ( /τ y, J( J J J [ e ε ], g d d d d J g, a J, η J, a τ ε a η Pueden conruire arreglo má complejo de vario elemeno (reore y amoriguadore, pero la olución de la ecuación diferencial reulane puede llegar a complicare, por lo que en ee enido, la ecuacione diferenciale fraccionaria aplicada a la reología fraccionaria ofrecen una alernaiva de modelación, ya que e requieren meno parámero, y por ano meno elemeno (reore y amoriguadore fraccionario para imular un problema de vicoelaicidad. A coninuación e expone la eoría de la reología fraccionaria. 3.5 Reologia fraccionaria Lo arreglo reológico, ale como lo arreglo cláico de Kelvin-Voig y Maxwell (Figura 3.4 pueden modificare para er raado como modelo reológico fraccionario; e le llama al arreglo fraccionario de Kelvin-Voig FVM (en inglé: fracional Voig model y al de Maxwell FMM (en inglé: fracional Maxwell model. o arreglo dan mayor verailidad en la imulación del comporamieno de maeriale complejo, ale como lo uelo, debido a que reulan er má eficiene ya que requieren de meno parámero que un modelo cláico equivalene para imular un maerial vicoeláico. Recordando, la repreenación mecánica de lo arreglo Kelvin-Voig y Maxwell e: a b Figura 3.4 Arreglo reológico de: a Kelvin-Voig y b Maxwell 35

45 La ecuación diferencial del arreglo Kelvin-Voig (cláica expreada con la derivada enera e: ε σ ε η (3.4 Ahora, ecribiendo la mima ecuación pero con derivada fraccionaria (Meral e al., reula: α ε σ ε η (3.4 α donde α e el exponene fraccionario arbirario. n la ecuacione (3.4 y (3.4 e oberva la generalización de un arreglo cláico a uno fraccionario. La conane y η (módulo de rigidez y vicoidad repecivamene, que repreenan la propiedade vicoeláica del maerial, aparecen en amba ecuacione, lo que cambia e el orden de la derivada en el érmino de velocidad de deformación α ε / α en donde α e un número real que repreena el orden de la derivada, que en el cao de la ecuación cláica vale. ricamene hablando, cuando α < no puede hablare de una velocidad de deformación, por lo que u enido fíico deaparece. Sin embargo, como e verá a coninuación, lo que implica una derivada fraccionaria de la deformación e una ranición enre un ólido perfeco (reore, para un valor de derivada fraccionaria igual a cero y un elemeno de Newon (amoriguador, para un valor de derivada fraccionaria igual a uno, lo cual implica que iene ambo comporamieno. Por ano, un elemeno amoriguador fraccionario e una generalización de un elemeno vicoo a uno vicoeláico fraccionario. De acuerdo a H. Schieel y A. Blumen (Schieel y Blumen, 993, un elemeno amoriguador fraccionario puede enendere como un arreglo finio (en realidad e infinio pero puede acoare de reore y amoriguadore como el preenado en la Figura 3.5. De forma imilar, pueden generalizare lo arreglo como lo de Kelvin y Maxwell. n la Figura 3.6 e preena el equema generalizado de Maxwell. 36

46 Figura 3.5 Diagrama de un arreglo mecánico finio uado para imular un elemeno amoriguador generalizado Figura 3.6 Diagrama de un arreglo mecánico finio uado para imular un modelo de maxwell generalizado Má adelane e preena la ecuación diferencial fraccionaria correpondiene al arreglo reológico fraccionario de Burger, el cual requiere de cuaro conane vicoeláica y re exponene fraccionario. Se le llama de orden uperior (Liu e al., 6 ya que el orden de la derivada fraccionaria mayor e β γ, el cual puede alcanzar un valor máximo de i e conidera que la derivada fraccionaria pueden omar valore enre y Arreglo reológico fraccionario de orden uperior Si e conruyen arreglo en erie y en paralelo a parir de lo modelo FVM y FMM e obienen arreglo reológico fraccionario de orden uperior, al como lo arreglo de Zener y Burger, lo cuale no permien una imulación má compleja del comporamieno vicoeláico de lo maeriale (Liu y Xu, 6. n la Figura 3.7 e preena el equema de lo arreglo Kelvin-Voig y Maxwell en erie (FVMS, en inglé: fracional Voig-Maxwell in erie, arreglo que irvió de puno de parida para realizar lo análii en ee rabajo. 37

47 Figura 3.7 Arreglo en erie (FVMS 3.5. cuación coniuiva del modelo FVMS n el modelo FVMS e ienen lo arreglo FVM y FMM conecado en erie y por ano e ienen do ecuacione imulánea como e muera a coninuación (Liu y Xu, 6: en el cuerpo de Kelvin-Voig, la ecuación diferencial e: γ σ η D ε ( ε ( (3.4 ( y en el cuerpo de Maxwell, la ecuación e: σ en donde : η α β D σ ( η D ε ( (3.43 ( iempo σ ( e el efuerzo aplicado como función del iempo i α D e la derivada fraccionaria con exponene α i y η on lo módulo de rigidez y vicoidad, repecivamene i α, β y γ on lo exponene fraccionario ( ε ( ε, on la funcione de deformación para lo cuerpo de Kelvin y Maxwell repecivamene Por oro lado, e iene que la deformacione en odo el cuerpo on: ( ε ( ε ( (3.44 ε y en ee arreglo σ ( σ ( σ (. Suiuyendo (3.4 y (3.43 en (3.44, y haciendo lo arreglo algebraico neceario, e iene: 38

48 39 ( ( ( ( ( ( ( c c D D c D c D D c D σ σ η σ σ σ ε ε β γ α γ α β γ β (3.45 donde, /η c, /η c La olución de la ecuación diferencial del arreglo FVMS para el fenómeno de creep puede obenere aplicando la ranformada de Laplace: ˆ( ˆ( ˆ( ˆ( ˆ( ˆ( ˆ( c c c c c σ σ η σ σ σ ε ε β γ α γ α β γ β (3.46 decir, ( ˆ( ( ˆ σ c c c c ε c β γ α γ α β γ β η (3.47 Donde e el parámero de ranformación, ( ( { } ( : ˆ d f f L f e e la función imagen de ( f. De (3.47 e obiene: ˆ( ( ˆ( ˆ( ˆ( c ε σ η σ η σ γ β β α (3.48 Aumiendo que ( σ H σ (una función del ipo ecalón, puede obenere: ( ˆ( ˆ( c J γ β β α η η σ ε (3.49 La ranformada invera de Laplace érmino a érmino de la ecuación (3.49 reula: ( ( (, ( γ γ γ γ β α β η β η α β c J Γ Γ (3.5 donde ( b a, e la función Miag-Leffler, una generalización de la función exponencial, y ( x Γ e la función gamma. Cuando α, β y γ on igual a, la ecuación (3.5 e reduce a la olución de la ecuación diferencial cláica (3.5, con derivada enera:

49 e η J ( η ( Análii paramérico del modelo FVMS n ea ección e preena un análii paramérico de la ecuación (3.5, con el objeo de obervar la enibilidad de dicha ecuación ane la variación de lo exponene fraccionario y la conane vicoeláica. Para faciliar la obervación de la variación de lo parámero fraccionario la función J ( e analizará eparando cada uno de u re érmino, de al forma que: J ( J ( J( J ( Por lo que el efeco oal de J ( erá la uma algebraica de lo re érmino Análii paramérico del érmino J n primer lugar, e preena el análii paramérico del egundo érmino de la ecuación (3.5, ( J / β η ( / Γ β. n la Figura 3.8 e preena la gráfica ridimenional de J ( variando y β. A manera de ejemplo, el valor de η e fijó en. Puede apreciare la variación de la función J ( al variar ano el iempo como el exponene fraccionario β. Cuando β, J ( e compora como una función conane con valor / η.. Al variar el exponene fraccionario enre cero y uno -, la función J ( e compora como una parábola dependiene del parámero β y la función Γ. Cuando β, J ( e compora como una reca con pendiene igual a.. Inerpreacion fíica. Cuando β, el elemeno fraccionario e compora como un ólido perfeco (elemeno de Hooke, mienra que cuando β el elemeno fraccionario e compora como un fluido (elemeno de Newon. Para valore inermedio, <β<, e iene una ranición uave, en donde paricipan combinado en un arreglo jerárquico elemeno amoriguadore y reore como el morado en la Figura 3.5. n dicho arreglo, dependiendo del valor de la conane vicoeláica, reulará el valor de β para un 4

50 elemeno amoriguador fraccionario equivalene. Por ano, cuando β e incremena la paricipación de lo elemeno vicoo (amoriguadore. β Figura 3.8 Análii paramérico del érmino η Γ β Análii paramérico del érmino J (. η l primer érmino de la ecuación (3.9, ( / β α / Γ β α, preena el mimo J ( comporamieno que el del cao anerior, para J (, con la diferencia de que ahora ée e ve afecado por el exponene fraccionario α. Para cumplir con la condicione de eabilidad (Schieel y Blumen, 993, debe de cumplire que β α. Por oro lado, i e fijan lo valore de α y β para que e cumpla la igualdad β α reula de gran uilidad para imular la deformación inanánea en lo maeriale, ya que u conribución a la función J ( en ee cao e de una función ecalón con valor /. l efeco de la conane fraccionaria η y en el primer y egundo érmino de la ecuación (3.5 e de ecala Análii paramérico del érmino J A coninuación e muera el análii paramérico del ercer érmino de la función J(, J ( γ ( γ / η γ, γ c, donde c /η. A manera de ejemplo, lo valore de y 4

51 η e fijan en, dando c. n la Figura 3.9 e preena la variación de la función J ( al variar lo parámero y γ. Obervando la gráfica de dicha figura puede apreciare que cuando γ, la función oma la forma de una conane con valor igual a J (. 5. Cuando γ., J ( oma la forma de una parábola ainóica, en ee cao a un valor de.. Para valore inermedio, < γ <, la función J ( oma la forma de parábola ainóica a conane con valore inermedio a lo preenado para γ. y γ.. Como puede obervare en ee érmino, aparece la función Miag-Leffler (via en el capíulo y como cao pariculare de dicha función e ienen la iguiene funcione: Cuando. γ, (,, Z exp( Z Z (3.5 Cuando. γ, (,, Z (3.53 Z Inerpreación fíica. Puede inerpreare fíicamene como la deformación dada en el elemeno amoriguador fraccionario eá reringida por el elemeno eláico (reore; en ee cao la deformación en el arreglo no e inmediaa, i no que exie un iempo de reardo, en donde depué de ciero iempo la deformación máxima e alcanza. Cuando γ., e iene el arreglo cláico de Kelvin y la deformación máxima la rige el elemeno eláico. n ee cao, la función J ( iende a una aínoa con un valor conane de.. Cuando γ. el arreglo e ranforma en un arreglo de do elemeno eláico en paralelo, por lo que la deformación e inmediaa y no exie un iempo de reardo. La función J ( adquiere un valor máximo inanáneo, en ee cao de.5 debido a la conribución de lo do elemeno eláico, la cual e maniene conane en el iempo. 4

52 Figura 3.9 Análii paramérico del érmino / γ γ η ( c * γ, γ, variando γ, c. Finalmene, e preena el efeco de la relación c /η en la repuea de la función J (. n la figura e preenan la gráfica de J ( variando la relación /η para γ., γ. 5 y γ.. Figura 3. Análii paramérico del érmino / γ γ η ( c * γ, γ, variando c /η, γ.. 43

53 Figura 3. Análii paramérico del érmino / γ γ η ( c * γ, γ, variando c /η, γ. 5. Figura 3. Análii paramérico del érmino / γ γ η ( c * γ, γ, variando c µ /η, γ.. J ( Puede obervare que la variación con el iempo e parabólica con aínoa en.; de hecho, la gráfica ridimenional muera un plano que e forma al variar ano el iempo como /η. También e oberva, de la re gráfica, que dependiendo el 44

54 valor de γ, J ( iene un inicio diino (para para cada valor de la relación c. /η La conane vicoelaica fraccionaria ienen un mayor efeco en el ercer érmino de la ecuación (3.5 debido a que aparece la relación c /η denro de la función Miag-Leffler. La uma algebraica de la funcione J (, J ( y J ( de la ecuación (3.5 dará el efeco oal obre la función J (. Con el análii paramérico ane preenado e iene una mejor comprenión del comporamieno que exhibe J ( al variar principalmene lo exponene fraccionario, ya que dependiendo del valor que omen éo, J ( puede evolucionar en el iempo de forma muy variada. 45

55 4 ANTCDNTS DL FNÓMNO D CRP N SULOS l fenómeno de creep en uelo reula de gran ineré para lo ingeniero civile, ya que ée e preena durane el proceo de conrucción y el iempo de vida de edificacione en donde lo aenamieno durane largo periodo, debido al flujo de maeriale, pueden cauar evero daño en la conruccione. Lo uelo arcilloo on maeriale exremadamene complejo; en ello, la parícula de arcilla influyen en la fíica, mecánica y fiicoquímica de dicho maeriale. Lo uelo arcilloo exhiben la propiedade reológica de creep y relajación, en donde el creep e el má fácilmene obervable. Debido a la nauraleza compleja de eo maeriale exien vario apeco que influyen en u comporamieno ane el creep, ale como: compoición (conenido de parícula de arcilla hioria de efuerzo cambio de emperaura ambiene bioquímico, enre mucho oro. Aunque el fenómeno de creep e conoce dede hace mucho iempo, debido a la obervación de deformacione en conruccione anigua y alude naurale, la inveigacione obre ee fenómeno comenzaron a parir de la miad del iglo XIX debido a la creciene acividad en la conrucción de edificio. n nuero día, podemo enconrar mucho ejemplo del fenómeno de creep. Un cláico ejemplo de ee fenómeno e el aenamieno diferencial que ha ufrido la Torre de Pia, en Ialia. Su conrucción comenzó en el año 73 y e erminó en 36. Durane el periodo de conrucción y depué, por mucho año má, lo aenamieno en dicha erucura e hicieron preene. n la Figura 4. e preena un equema de la orre y lo aenamieno que ha ufrido dede u conrucción. 46

56 Figura 4. Aenamieno debido al fenómeno de creep, orre de Pia, Ialia (modificada de (Havel, 4 l comporamieno de creep en uelo arcilloo bajo compreión riaxial de epecímene ha ido eudiado por mucho inveigadore con el afán de enender dicho fenómeno y poder caracerizarlo. l primer ema deacado del fenómeno de creep apareció en Bae and foundaion de V. Karlovich en 869 (e menciona en la ei de Franišek Havel, Creep in Sof Soil, 4. n 966 Alan W. Bihop preenó relacione compreión riaxial, en arcilla de Londre. εɺ en prueba de creep drenada en Lo inveigadore Murayama y Shibaa (958, 96 preenaron un eudio deallado de deformación prolongada de arcilla bajo enaye riaxiale. También e reporaron conribucione a la caracerización del creep en lo arículo de Chrienen and Wu (964, Vyalov and Mechyan (969, Borja (99. Una de la principale conribucione al eudio del comporamieno del creep deviador de uelo bajo condicione no drenada fue hecha por Singh and Michell en u publicación General re-rain funcion for oil en 968; en u rabajo, ello inrodujeron una nueva ley de deformación en un iema coordenado (ver 47

57 Figura 4.4. De acuerdo con eo inveigadore, la gráfica del logarimo de la velocidad de deformación como una función del logarimo del iempo e lineal en auencia de rupura. Caagrande y Wilon (95 reporaron eudio de creep bajo carga oenida y u efeco en la reiencia al corane, realizado en arcilla de la ciudad de México. La prueba e realizaron bajo condicione de compreión no confinada; la reiencia al corane de la arcilla de la ciudad de México e redujo cerca de un 8% de u valor normal en 3 día. n el libro Fundamenal of oil behaviour de Jame K. Michell (Michell, 5 e encuenra un capíulo referene al eudio de lo efeco del iempo en la reiencia y deformación en uelo. n la Figura 4. e preenan curva de creep correpondiene a diferene maeriale y condicione de carga, aí como una repreenación ípica del comporamieno de lo uelo ane el fenómeno de creep (Figura 4.3, dependiendo lo efuerzo aplicado. Puede decire que a parir del iglo paado el fenómeno de creep en uelo arcilloo e coniderado uno de lo principale problema de la mecánica de uelo. 4. Generalidade acerca del comporamieno de creep en uelo n general, el comporamieno de lo uelo arcilloo ane la acción de carga oenida durane un iempo puede ener re fae (Michell, 5: ª la primaria, en la cual al inicio e iene una aa de deformación ala, ª ecundaria, en donde la aa de deformación diminuye y e maniene má o meno conane durane un periodo de iempo y 3ª la eapa erciaria, en donde la aa de deformación aumena y el maerial e aproxima a la falla. n la Figura 4. e preenan alguna curva de creep, regirada para diferene ipo de uelo (Marínez y Díaz-Rodríguez, 9, modificada de (Michell, 5. n la figura e muera el comporamieno ípico de la arcilla durane una prueba de creep. De acuerdo a lo efuerzo acuane, el comporamieno de creep puede dividire en: volumérico: cauado por un efuerzo volumérico conane. Normalmene e preena depué de la fae primaria en la conolidación, lo que e conoce como conolidación ecundaria. Se eniende por efuerzo volumérico al incremeno de la fuerza que acua por unidad de area. 48

58 deviador: cauado por un efuerzo deviador conane. Aquí pueden o no preenare la re fae, dependiendo del nivel del efuerzo deviador. Por ano, uno de lo principale problema en el cao de comporamieno de creep deviador e deerminar lo nivele de efuerzo para lo cuale e preenan la fae ecundaria y erciaria. Figura 4. Curva de creep, exhibida para diferene uelo (modificada de Marínez y Díaz-Rodríguez, 9 49

59 Figura 4.3 Fae de creep (modificada de Figura 4.4 Gráfica (Michell, 5 (Modificada de (Marínez y Díaz- Rodríguez, 9. A coninuación e preenan alguna caraceríica generale obervada en el fenómeno de creep y relajación de efuerzo en uelo. Como e mencionó previamene, lo uelo exhiben ano creep como relajación de efuerzo. Por oro lado, la relajación de efuerzo e el decremeno de efuerzo en el iempo maneniéndoe una deformación conane. La relación enre la deformación por creep y el logarimo del iempo puede er lineal, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. La magniud de lo efeco (del creep o relajación pueden incremenare debido al incremeno de plaicidad, acividad y conenido de agua del uelo. Por ello, mucha arcilla aciva uualmene exhiben repuea muy grande dependiene del iempo (por ejemplo: emecia> illia> kaolinia. o e debe a que para la parícula má pequeña, mayor e la uperficie epecífica y mayor e el agua adorbida. Lo uelo normalmene conolidado exhiben mayor efeco del creep que lo uelo obreconolidado 3, in embargo, la forma báica del comporamieno e la mima para odo lo uelo, ya ean inalerado, remoldeado, húmedo, eco, ec. Un incremeno en el nivel de efuerzo deviador implica un incremeno en la aa de deformación de creep. Cuando un uelo falla bajo carga oenida, e le conoce como falla por creep. Suelo que eá omeido a una carga que e la máxima que ée ha oporado en oda u hioria. 3 Suelo cuya carga acual e menor a la máxima que ée ha oporado en oda u hioria. 5

60 La repuea de creep uualmene e divide en re eapa: al oenere la aplicación de una carga, hay un periodo de creep raniorio durane el cual la aa de deformación decrece con el iempo, eguida por deformación de creep con aa conane durane un periodo. Para maeriale ucepible a la falla por creep, la aa de deformación e acelera produciendo la falla. n la Figura 4.5 e preena un ejemplo de velocidad de creep como una función de lo efuerzo en enaye de creep no drenado obre muera de ilia remoldeada. Para bajo nivele de efuerzo, la velocidad de creep e muy pequeña y de poca imporancia. Para efuerzo deviadore muy cercano a la reiencia del maerial, la velocidade de deformación e ornan muy ala y dan una eñal de que e eá aproximando a la falla. Para mucho uelo, exie una relación caraceríica enre la aa de deformación y el iempo, como la preenada en la Figura 4.6, correpondiene a una erie de prueba de creep drenada en compreión riaxial obre una arcilla de Londre (Bihop, 966, y en la Figura 4.7 para prueba de creep no drenada bajo compreión riaxial obre arcilla de Oaka (Murayama and Shibaa, 958. Para cualquier nivel de efuerzo, expreado como un porcenaje del efuerzo de reiencia, el logarimo de la aa de deformación decrece linealmene con el incremeno del logarimo del iempo. La pendiene de ea relacione iene un valor que ocila enre -.8 y - para prueba no drenada. La falla, para efuerzo mayore e preena en ea relacione cuando la pendiene cambia de igno (Figura 4.7 La preión de poro puede incremenare, decrecer o manenere conane durane el creep; eo depende de la condicione bajo la cuale e encuenre el maerial, como cambio volumérico en la erucura del uelo, condicione de drenaje, ec. n general, la arcilla blanda aurada bajo condicione no drenada on muy ucepible a la pérdida de reiencia durane el creep, debido a la reducción de lo efuerzo efecivo cauada por el incremeno de la preión de poro con el iempo. Al repeco e han realizado vario eudio repeco a ee fenómeno, como lo preenado en el arículo de Holzer, 97, en donde e realizaron vario análii de 5

61 la variación de la preión de poro durane prueba con carga oenida (creep para condicione no drenada. La deformación debida a efuerzo oenido comúnmene produce un incremeno en la rigidez bajo la acción de ubecuene incremeno de efuerzo, como e preena en la Figura 4.8. o refleja el reajue erucural dependiene del iempo conocido como envejecimieno, que igue lo cambio en el eado de efuerzo. Figura 4.5 Variación de la velocidad de deformación de creep con el efuerzo deviador creep no drenado de ilia remoldeada. (modificada de (Michell, 5 5

62 Figura 4.6 Relación enre la aa de deformación y el iempo durane el creep drenado en una arcilla de Londre (modificada de (Michell, 5 Figura 4.7 Relación enre la aa de deformación y el iempo durane el creep no drenado en una arcilla de Oaka (modificada de (Michell, 5 Figura 4.8 feco de carga oenida en (a comporamieno efuerzo- deformación y reiencia, y (b comporamieno en compreión unidimenional 4. Ineracción Deformación rucura dependiene del iempo n realidad, curva an uave como la preenada previamene para deformacione y velocidad de deformación como funcione del iempo pueden no iempre er aí. Pueden ocurrir alo en la reorganización de la erucura, reflejando una caraceríica eocáica de la deformación, al como puede obervare en la Figura 4.9 para el creep de una arcilla inalerada, diaomácea, lacure y obreconolidada. n 99, Ter-Sepanian (Michell, 53

63 5 ugirió que hay cuaro nivele de deformación: ( a nivel molecular, la cual conie del deplazamieno de unidade de flujo obrepaando barrera de energía, ( deplazamieno muuo de parícula como reulado de falla de conaco, pero in reacomodo, (3 nivel erucural de deformacione en el uelo involucrando el reacomodo muuo de parícula, y (4 deformación a nivel de agregado. Figura 4.9 Dearrollo de creep in uniformidad (modificada de Michell, Proceo de reacomodo de parícula dependiene del iempo l creep puede llevar a un reacomodo de parícula para una configuración má eable. La fuerza de conaco enre parícula ienen componene, ano normale como angenciale, aun i el efuerzo aplicado macrocópicamene e iorópico. Si, durane el proceo de creep hay un incremeno en la proporción de un efuerzo deviador aplicado el cual e llevado a cabo por la fuerza relaiva normale enre parícula a fuerza angenciale enre parícula, enonce la velocidad de creep decrecerá. Aquí, la velocidad a la cual el nivel 3 de deformación ocurre no neceia er uniforme debido a la nauraleza paricular de lo uelo; eo reflejará una erie de reajue erucurale ale como parícula encimándoe obre y alrededor una de ora, dando lugar a una ecuencia irregular de dao de puno obenido en una prueba de creep como lo morado en la Figura Modelo fenomenológico La obervación de curva experimenale de creep obenida a parir de prueba realizada obre muera bajo condicione de creep o relajación ha llevado a mucha eoría, la cuale pueden er decria como modelo empírico. Generalmene, eo modelo eán baado en el eudio del comporamieno del uelo omeido a divera condicione 54

64 efuerzo-deformación en el iempo (curva de efuerzo conra deformación inanánea, deformación conra iempo y efuerzo conra iempo. e comporamieno puede er decrio finalmene por una ecuación de eado ( ε ( f ( σ (, o σ ( f ( ε (,, la cual puede er puramene empírica, fíica o una combinación de amba. n un principio, lo modelo fenomenológico má imple fueron aquello con lo cuale e inenaba explicar el comporamieno ane creep de maeriale (uelo. o modelo eran puramene empírico, inenando caracerizar la curva efuerzo-deformación o deformación-iempo mediane regreión. Obviamene, la aplicación de eo modelo era poible olo bajo ciera condicione. Lo modelo moderno baado en el comporamieno fenomenológico de uelo uan canidade fíica o inenan darle un enido fíico a lo parámero uado, lo cual lo hace má generale, aplicable a mucho má cao Comporamieno efuerzo deformación - iempo La hioria efuerzo-deformación juegan un papel muy imporane en el comporamieno de creep, ya que ée eá ampliamene relacionado con el eado de efuerzo-deformación y la condicione de fronera en el medio. Por ejemplo, en un cao de conolidación unidimenional, e endrá creep volumérico, en donde la conolidación ecundaria (creep e preena una vez que e haya diipado compleamene la preión de poro en el uelo; aquí ólo e preenará la fae primaria de creep (ver Figura 4.3, in llegar a preenare la fae ecundaria y erciaria. Por ano e neceario comprender y evaluar el eado de efuerzo-deformación para enender el correpondiene comporamieno de creep Comporamieno deformación- iempo De acuerdo a lo efuerzo acuane e poible dividir el comporamieno de creep en volumérico y deviador (o corane. Aquí, el creep volumérico e cauado por un efuerzo volumérico conane, mienra que el creep deviador e cauado por efuerzo deviador conane. Ora forma de dividir el comporamieno de creep e muera en la Figura 4.3 ane via, el cual e baa en el comporamieno de la deformación en el iempo. De acuerdo a la forma de la curva de deformación en el iempo, el creep puede dividire en la fae primaria, ecundaria y erciaria. La fae primaria comúnmene e llamada ranioria o de devanecimieno, la cual puede er definida como aquella en donde la aa de deformación decrece coninuamene con el iempo. La fae ecundaria e denoa por una 55

65 deformación a aa conane (flujo de maerial. Para el cao de la fae erciaria o fae acelerada, la aa de deformación eá creciendo coninuamene, lo cual acabará en la falla por creep. Generalmene, el creep volumérico coniirá ólo de la fae primaria de la deformación por creep debido a que ée iende a eabilizare. l creep deviador puede o no coniir de la re fae, dependiendo de la movilización por corane. Si el efuerzo deviador e bajo, enonce ólo ocurrirá la fae primaria, pero depué de exceder ciero nivel de efuerzo e preenará la fae ecundaria, la cual podría caer en la fae erciaria y por ano, e preenará la falla. De acuerdo a la eoría cláica de la conolidación de uelo aurado, éa e divide en do fae, la primaria y la ecundaría, en donde la fae primaria raa de la diipación del exceo de preión de poro con el iempo, depué de aplicare un incremeno de carga, mienra que la fae ecundaria eá aociada principalmene al reacomodo de la parícula minerale del uelo y agregado, deformación denominada uualmene como flujo pláico (creep. Baándoe en la eoría cláica de la conolidación unidimenional, la fae primaria puede expreare con la ecuación diferencial: u u C v z (4. n donde u repreena el exceo de preión de poro, e el iempo, z la diancia a una uperficie de drenaje, y c v e el coeficiene de conolidación, el cual eá dado por: C v kh( e a γ Donde v w k h e el coeficiene de permeabilidad, compreibilidad, y γ w peo epecífico del agua. v v (4. a de/ dσ e el coeficiene de La fae primaria ambién puede expreare en érmino de la deformación: ε ε C (4.3 z z n donde z e la profundidad y C e el coeficiene de difuividad de deformación (Janbu, 965. Lo modelo má imple de la fae de conolidación ecundaria (creep volumérico que generalmene correponden a la fae primaria de creep (de acuerdo al comporamieno de la 56

66 deformación-iempo de creep eán baado en la aproximación de curva de deformación en el iempo. n ee cao, dicha aproximación puede er mediane funcione exponenciale o logarímica como la iguiene: χ ε ( C [ exp( ] (4.4 ε ( L ( λ (4.5 n donde C,, χ, L y λ on parámero deerminado experimenalmene. La ecuación (4.4 fue propuea por F. Kohlrauech en 863 (Havel, 4 para la decripción del creep en fibra de crial reforzado. Depué ea fue uada ampliamene en la eoría de creep en concreo y uelo arcilloo. La ecuación logarímica (4.5 fue ugerida por K. Buiman (Havel, 4. Para la evaluación de la conolidación ecundaria en uelo, e común uilizar el coeficiene de compreión ecundaria C α, el cual puede definire a parir de la variación de la relación de vacío e 4 con el iempo para un incremeno de carga dado, ver Figura 4.. a b Figura 4. Variación de e con el log( bajo un incremeno de carga. Definición del coeficiene de conolidación ecundaria. C α e log log e log (4.6 4 La relación de vacío e define como el cociene enre el volumen de vacío Vv y el volumen de ólido V evv/v. 57

67 donde e e el cambio de relación de vacío, y el iempo. La magniud de la deformación ecundaria puede calculare como: donde S log C α H (4.7 C Cα (4.8 α e p e p e la relación de vacío al final de la conolidación primaria y H e el epeor de la capa de arcilla. l aenamieno por conolidación ecundaria e má imporane que por conolidación primaria en uelo orgánico y en uelo inorgánico alamene compreible. n arcilla inorgánica preconolidada, el índice de compreión ecundaria e muy pequeño y iene una menor imporancia prácica (Braja,. La aa de compreión ecundaria repeco a la primaria para un epeor dado del erao de uelo e dependiene de la razón del incremeno del efuerzo ( σ repeco al efuerzo efecivo inicial σ. Para aa pequeña σ /σ la aa de compreión ecundaria repeco a la primaria e mayor. 4.4 Deformación en el uelo como un proceo de velocidad La deformación y falla a corane en un uelo involucran un reacomodo de parícula dependiene del iempo. Por ano, ale proceo on ucepible de eudiar como proceo de velocidad a ravé de la aplicación de la eoría de la aa de reacción abolua (en inglé: Abolue reacion rae (Glaone e al., 94, mencionada en el libro de Michell, 5. a eoría involucra ambo puno de via: la nauraleza fundamenal de la reiencia del uelo y la forma funcionale de la influencia de vario facore en el comporamieno del uelo. Lo dealle del dearrollo de ea eoría, la cual eá baada en mecánica eadíica, pueden enconrare en lo rabajo de yring (936, Glaone e al. (94, aí como en la lieraura de la fiicoquímica. La adapación de ea eoría al eudio del comporamieno de uelo puede enconrare en Abdel-Handy y Herrin (966, Anderland y Dougla (97, Chrienen y Wu (964, Michell (964, Michell e al. 58

68 (968, Murayama and Shibaa (958, 96, Noble and Demirel (969 y Feda (989, 99, enre oro. La idea báica de la eoría del proceo de velocidad e que lo áomo, molécula y/o parícula llamada unidade de flujo, eán reringida de movimieno enre í por barrera de energía la cuale eparan poicione de equilibrio diinguiéndoe por una energía poencial mínima, como la morada en el equema de la Figura 4.. Figura 4.. Barrera de energía y barrera de acivación l deplazamieno de unidade de flujo a nueva poicione requiere de la adquiición de una energía de acivación F de magniud uficiene para vencer la barrera. La energía poencial de una unidad de flujo puede er la mima ra el proceo de acivación, o má grande o má baja que aquella que enía inicialmene. Como una analogía de ee proceo, en la Figura 4. e muera la roación de re bloque. n cada cao e debe cruzar una barrera de energía. nonce el creep e explicado como un proceo acivado mecánicamene el cual depende del nivel de efuerzo. Generalmene, la concepción baada en parícula e aplica con má frecuencia a maeriale granulare que a uelo arcilloo. 59

69 Figura 4.. jemplo del proceo de acivación: a eado eable, b incremeno de eabilidad, y c decremeno de eabilidad l méodo del elemeno diino (diinc elemen mehod, ambién conocido como méodo del elemeno dicreo fue dearrollado como una aproximación baada en parícula. La experimenación numérica de conjuno granulare en do dimenione fue realizada por Cundall y Srack (98 (mencionado en (Havel, 4. Baado en u experiencia, ello dearrollaron un méodo del elemeno diino el cual fue poeriormene exendido a 3D. llo moraron, enre ora coa, la nauraleza diconinua de la deformacione inerna de dicho conjuno. Hoy en día lo méodo del elemeno diino on uado y modificado por mucho inveigadore. 6

70 5 NSAYS D LABORATORIO Y AJUST D CURVAS UTILIZANDO L MODLO VISCO-LÁSTICO FRACCIONARIO l principal propóio de ea ei e morar la aplicabilidad de la ecuacione diferenciale fraccionaria al modelado del comporamieno de uelo incluyendo el creep. Para ello e dieñó una erie de prueba obre epecímene de mezcla de benonia y caolín formado en el laboraorio que e enayaron en cámara riaxiale equipada con enore de preión y deplazamieno, conecado a una compuadora que regira odo lo eveno durane lo enaye. l ofware de adquiición de dao de la cámara riaxiale de alambre, originalmene dieñado para enaye de reiencia, fue complemenado para poder realizar lo enaye de creep (Hermoillo e al.,. Lo enaye de creep realizado on del ipo de creep generado por un efuerzo deviador. 5. Mezcla de arcilla uilizada en lo enaye Para la coniución de uelo e uilizaron do minerale de arcilla: benonia ódica y caolín. Se enayaron varia mezcla haa obener ciero valore de lo índice de plaicidad (IP 5. A coninuación e preena una abla de la mezcla y lo índice de plaicidad correpondiene deerminada en laboraorio. Maerial (mezcla de arcilla Limie líquido LL (% Límie pláico LP (% Índice de plaicidad IP (% Benonia (% Benonia (7 % Caolín (3% Benonia (5 % Caolín (5% Benonia (3 % Caolín (7% Caolín (% Tabla 5. Mezcla de caolín y benonia n la Tabla 5. puede obervare el epecro de valore del índice de plaicidad deerminado para dicha mezcla. Durane la deerminación de eo índice e obervó que el manejo de la muera con porcenaje de benonia mayor al 5 % e vuelve complicado (mezcla adherene opegajoa. Por ello, e decidió uar mezcla con meno de 5% de benonia. De eo do maeriale e propuieron diina mezcla para lograr 5 l índice de plaicidad (IP e el rango de humedade en el que el uelo iene un comporamieno pláico. Por definición, e la diferencia enre el Límie líquido (LL y el Límie pláico (LP: IPLL-LP. 6

71 muera con de índice de plaicidad fácile de manipular. A coninuación e preena una abla con lo índice de plaicidad aproximado de vario epecímene enayado. Maerial (porcenaje de arcilla Nombre de la mezcla Índice de plaicidad IP (% Benonia ( % Caolín (9% M 5. Benonia ( % Caolín (8% M 48.5 Benonia (3 % Caolín (7% M Tabla 5. Mezcla de caolín y benonia uilizada para la edimenación de arcilla inéica 5.. Sedimenación de uelo Burland (99 raa el ema de edimenación y compreibilidad de uelo arcilloo naurale y reconiuido. n dicho arículo e preenan relacione y gráfica de la propiedade inríneca de uelo reconiuido (relación de vacío, compreibilidad, ec. y u límie de Aerberg. La arcilla fueron reconiuida, con conenido de agua ( w enre el valor del límie líquido ( w y.5 previamene el aire. L w L, fueron conolidada habiendo exraído n la referencia (Win, 8 e preena un reumen de eudio previo de edimenación y conolidación de uelo. l proceo de edimenación y conolidación del uelo preena re zona fundamenale: zona de clarificación, zona críica y 3 zona de compacación (ver Figura 5.. n dicha referencia e preenan la ecuacione de coninuidad que modelan la fae ólida y fluida durane el proceo de edimenación y conolidación, aí como la ecuacione de equilibrio y la ecuación de movimieno para el fluido (ley de Darcy. l procedimieno cláico que e igue en laboraorio para reconiuir uelo ha ido decrio por (Nava, 7 e (Ibarra,. 6

72 Figura 5. Zona de edimenación en coninuo engroamieno (modificada de (Burland, Reconiución, edimenación y conolidación de arcilla inéica Para la edimenación y conolidación de la mezcla de arcilla e hicieron modificacione al equipo de edimenación y conolidación de uelo del Laboraorio de Geoecnia, el cual originalmene conaba de un ubo y bae de lucia. La maa de uelo era omeida a incremeno de carga mediane un váago y pea, como el equema morado en la Figura 5.. l concepo fue modificado para que en vez de conolidar el uelo mediane incremeno de carga, la conolidación e realizara mediane un gradiene hidráulico. Para aplicar un gradiene hidráulico, fue neceario ellar lo ubo con una apa de acrílico y perno, como e muera en la Figura 5.3. La preíon en el agua e generó con una cámara de preión neumáica. l moivo de conolidar mediane un gradiene hidráulico fue para eviar uilizar pea, la cuale pueden generen fuerza de fricción con lo ubo de lucia i e ladean, y lograr una mejor diribución de la preión aplicada. l gradiene hidraúlico e generó al preurizar lo ubo de conolidación y abriendo una válvula en el inferior que diipó dicha preión. Se acondicionaron cinco ubo como el morado en la Figura 5.4 con lo cuale e conolidaron imuláneamene la mezcla. 63

73 Figura 5. Siema de edimenación y conolidación con pea Figura 5.3 Modificación del equipo para conolidar por gradiene hidráulico. Figura 5.4 Foografía del modelo real modificado en el aller de Mecánica del Iniuo de Ingeniería La mezcla e verieron en cada uno de lo conolidómero, mezclando con agua y calenando previamene el maerial para acelerar el proceo de exracción del aire conenido 64

74 en la mezcla, uilizando un garrafón de vidrio; odo ello para eviar en lo poible la formación de cavidade en el maerial en la eapa de edimenación. Figura 5.5 Preparación de la mezcla de benonia y caolín Figura 5.6 Verido en garrafón y exracción de aire de la mezcla con agua caliene Figura 5.7 Vaciado de la mezcla en el conolidómero Una vez vaciada la mezcla en lo equipo de edimenación e dejó repoar y edimenar el maerial por gravedad. Depué de alguno día de edimenación, cuando ya fue apreciable la fronera enre la maa de uelo y el agua e elló el iema con la apa de lucia, para poeriormene aplicar preión de agua a cada uno de ello. Para el funcionamieno de lo equipo de edimenación e realizaron la conexione necearia enre la cámara de preión y lo conolidómero; la preión e aplicó a cada una de la cámara mediane reguladore de preión. n la Figura 5.8 e preena el arreglo de cinco conolidómero; a la derecha de la imagen puede obervare una de la cámara neumáica con la que e aplicó la preión de agua a cada ubo. Con cada una de la mezcla e llevó un regiro del aenamieno de la maa de uelo durane vario mee. La preión del agua e fue incremenando con regularidad haa alcanzar una preión cercana a kgf/cm, aplicada en la uperficie del maerial. Con ello e logró la generación de un gradiene hidráulico con el cual la arcilla e conolidaron dede la bae a la uperficie, pue fue en la bae en donde e uvieron lo mayore efuerzo efecivo, iendo éo nulo en la uperficie del maerial. 65

75 Figura 5.8 Siema de conolidómero, cámara y reguladore de preión 5..3 xracción de muera Una vez que e obervó que la conolidación del maerial había ceado e procedió a exraer un erao de maerial por cada mezcla. Para ello, dejo de aplicare preión de agua en la uperficie, dejándoe diipar el exceo de preión de poro conenida en la muera. Poeriormene e reiraron lo perno y la apa uperior e inferior de lo ubo; hecho eo, e invirió la poición de lo ubo de conolidación para ejercer una preión mediane un émbolo de madera por la pare inferior (correpondiene a la pare uperior del erao de arcilla, como e aprecia en la Figura 5.9 (a. 66

76 b a c Figura 5.9 xracción de erao de arcilla inéica Teniendo ya un erao de aproximadamene 5 cm de epeor e realizó un core horizonal con una cuerda de acero (ver Figura 5.9 (b y c. l erao de arcilla e dividió en re eccione para u almacenamieno (ver Figura 5.. La re eccione e envolvieron en mana de cielo y e cubrieron con cera para impedir la pérdida de humedad (ver Figura

77 Figura 5. Trazo obre erao de arcilla para u eccionamieno Figura 5. Preparación de un erao de arcilla para u almacenamieno l equipo uilizado para realizar la prueba ano de reiencia como de creep no drenado fueron la re cámara riaxiale de alambre del laboraorio de Geoecnia, del Iniuo de Ingeniería. n la Figura 5. e preena un equema del iema de alambre por el cual e ranmien la carga a la muera de uelo (Sanoyo y Reéndiz, 97. n la Figura 5.3 e preena la foografía de una de la re cámara riaxiale, con una muera de arcilla monada. Ane de comenzar con la erie de prueba e calibraron odo lo enore para garanizar un regiro ópimo. Figura 5. quema de cámara riaxial de alambre Figura 5.3 Cámara riaxial de alambre 68

78 5. naye de reiencia Previo a lo enaye de creep e realizaron enaye de reiencia del ipo CU (conolidada no drenada para deerminar la carga máxima de reiencia (P correpondiene a cada epécimen. Durane la eapa de conolidación e deerminó que el efuerzo de preconolidación promedio para odo lo maeriale fue enre.3 y.4 kgf/cm, por lo que lo enaye de creep e realizaron a un efuerzo efecivo de kgf/cm para garanizar que el creep e dearrollara obre el ramo virgen de la curva de compreibilidad. También e obervó que la permeabilidad en el enido radial y verical de la muera cilíndrica no era la mima, eo debido al proceo de edimenación y conolidación de la mezcla de arcilla; durane ee proceo, e muy probable que, por el ipo de microerucura, la parícula de lo minerale e hayan orienado de al manera que e preenó una erucura del ipo dipera. l efeco de la fronera ambién e hizo preene, ya que e obervó que exiieron aimería en el flujo y filración de agua, provocando que la fuerza de filración originada no fueran imérica en el enido verical e incluo radial. 5.3 naye de creep Se realizó una erie de enaye de creep obre diina mezcla de benonia-caolíon edimenada con el fin de obervar el comporamieno de dicho maeriale ane la acción de una carga oenida durane ciero iempo y in drenaje. n ee rabajo cada mezcla e idenifica como: M a la mezcla % de benonia con 9 % de caolín, M a la mezcla % de benonia con 8 % de caolín, y M 3 a la mezcla 3 % de benonia con 7 % de caolín Labrado, auración y conolidación de la muera n ea erie de prueba e uilizaron muera de la mezcla M, M y M 3. La muera correponden a una profundidad de enre y 3 cm. De ea muera e labraron varia probea cilíndrica de 3.5 cm de diámero por 8.5 cm de alo aproximadamene, ver Figura 5.5; oda la probea e auraron, verificando el valor de la B de Skempon 6, que en general, fue uperior al 96 %; odo lo maeriale e conolidaron a un efuerzo efecivo de. kgf/cm. 6 Paramero uilizado en mecánica de uelo para deerminar que an aurado eá un uelo. 69

79 Figura 5.4 Labrado de muera cilíndrica Figura 5.5 Muera monada y proegida en membrana de láex De lo re maeriale e deerminaron en laboraorio lo índice de plaicidad iguiene: Maerial LL(% LP (% IP (% G M M M Tabla 5.3 Propiedade índice de re mezcla de arcilla 5.3. naye de creep Una vez conolidada la muera y habiendo obenido previamene la carga de reiencia, e realizaron 6 enaye de creep del maerial M, 5 enaye del M y 3 del M 3, aplicando diferene porcenaje de la carga de reiencia (P, correpondiene a cada maerial. A coninuación e preena una abla en donde e reumen la caraceríica de cada una de la muera y la carga a la que fueron omeida. l efuerzo deviador σ d e calculó dividiendo la carga (P enre el área ranveral de la probea. 7

80 Maerial Muera Alura H (cm Diamero D (cm Peo de la muera Wm (gr Conenido de humedad ω (% (inicial Conenido de humedad ω f (% (final B Skempon (% Carga P (kgf fuerzo deviador σ d (kg/cm M M M M M M M M M M M M M M Tabla 5.4 Reumen de caraceríica correpondiene a cada muera y efuerzo deviador aplicado σ d 5.4 Ajue de la curva experimenale de creep con lo modelo reológico cláico y fraccionario n ea ección e preenan lo ajue de cada una de la curva obenida en laboraorio para lo re maeriale M, M y M 3. Primero, e mueran lo ajuee de la curva, obenida de lo enaye de creep con el maerial M, uilizando el arreglo cláico de Burger, uno de lo arreglo má comune de la reología cláica; dicho arreglo e compone de do arreglo báico conecado en erie: un arreglo de Kelvin y un arreglo de Maxwell. Como e verá poeriormene, dicho arreglo on inuficiene para la imulación del fenómeno de creep en arcilla, pue la curva de creep no pueden reproducire adecuadamene para oda la hioria de iempo. Má adelane e mueran lo ajue de la curva experimenale obenida de lo maeriale M, M y M 3 uando el modelo reológico fraccionario aí como lo parámero fraccionario obenido a parir de dicho ajue. Finalmene, e hacen comenario acerca de la venaja de uar arreglo reologico fraccionario obre lo cláico Arreglo reológico de Burger Recordando, el modelo reológico de Burger reula er un cao paricular del modelo reológico fraccionario (FVMS cuando lo exponene fraccionario α, β y γ ienen valor igual a uno, por ano la ecuación (5.5 e reduce a la olución cláica de la ecuación diferencial con derivada enera: 7

81 e η J ( η (5. Realizando lo ajue de la curva experimenale, con el modelo cláico de Burger, e preena el problema de que ee arreglo no puede reproducir aifacoriamene el fenómeno de creep para largo iempo, eo debido a que lo elemeno que conforman dicho arreglo reológico no on uficiene. Si e oberva la ecuación (5. puede vere que exie una reacción inanánea dada por la componene / y /, má una repuea lineal con el iempo / má una repuea con un iempo de reardo /η dada por la componene / e ( / η. n la figura 5.6 y 5.7 e preenan lo ajue correpondiene a la curva de creep obenida de la prueba realizada en el maerial M (la línea coninua on la funcione ajuada. Puede apreciare que el arreglo reológico, en general, reproduce bien el comporamieno del maerial haa iempo menore a minuo. Por ano, para imular el comporamieno del maerial para iempo largo, ee arreglo no reula de mucha uilidad. Figura 5.6 Ajue de la curva experimenale de creep mediane el arreglo reológico cláico de Burger. Cálculo de J(. 7

82 Figura 5.7 Ajue de la curva experimenale de creep mediane el arreglo reológico cláico de Burger. Cálculo de la deformación longiudinal ε(. Pueden proponere arreglo generalizado, en donde un número finio de cuerpo como lo de Maxwell y Kelvin e conecan en erie, por ejemplo lo morado en la figura 5.8 y 5.9. Figura 5.8 Arreglo generalizado de Kelvin Figura 5.9 Arreglo generalizado de Maxwell 73

83 La olucione de la ecuacione diferenciale correpondiene a lo arreglo generalizado mencionado aneriormene on: J ( η n k k ( e k η k, cuerpo de Kelvin generalizado (5. J ( n k η, cuerpo de Maxwell generalizado (5.3 k Lo reulado al uilizar la ecuación (5. on lo mimo que lo preenado en la Figura 5.6, ya que la paricipación de cada cuerpo de Kelvin e uma linealmene al arreglo oal. l arreglo de la Figura 5.9 puede reducire finalmene a un arreglo de Maxwell, ya que el rabajo de cada amoriguador reula en uno ólo, con una conane igual a la uma de oda la conane /ηk. Por ano, e concluye que e neceario formar arreglo de elemeno vicoeláico má complejo, cuya ecuacione diferenciale reularían muy difícile de reolver. He aquí una de la principale venaja de uilizar ecuacione diferenciale fraccionaria, ya que u planeamieno y reolución on de ciera facilidad y reproducen con mucha aproximación lo comporamieno obervado en la prueba de laboraorio Arreglo reológico de Burger fraccionario n ee aparado e preenan lo ajue que e hicieron uilizando el modelo generalizado de Burger, el cual cona de un cuerpo de Kelvin-Boig y uno de Maxwell colocado en erie (FVMS. Recordando lo preenado en el capiulo, el modelo reológico fraccionario correpondiene e : Figura 5. Modelo reológico fraccionario (FVMS 74

84 cuya ecuación diferencial e: D D α γ β γ ε ( c σ ( c β D ε ( α D σ ( c γ D σ ( η β D σ ( c c σ ( y la función olución de la ecuación diferencial fraccionaria de creep e: (5.4 J ( en donde β α β γ, ( ( ( γ γ γ c Γ β α η Γ β η : iempo σ ( : e el efuerzo aplicado como función del iempo, en ee cao conane i y η i : on lo módulo de rigidez y vicoidad, repecivamene. α, β y γ on lo exponene fraccionario (Hermoillo e al,. a,b (Z e la función Miag-Leffler, una generalización de la función exponencial, y ( x Γ e la función gamma, y J ( ε ( / σ (. (5.5 Con la ecuación (5.5 e realizaron lo ajue a cada una de la curva obenida de la prueba de creep. Para el ajue de curva e uilizó una herramiena numérica en Malab llamada CFTOOL la cual eá dieñada para realizar ajue de erie de dao con funcione definida por el uuario, deerminando lo valore de la conane de la función que mejor ajuan a dicha erie (minimiza una función de diancia enre la erie de dao y la función definida por el uuario. e procedimieno eá relacionado con el concepo de mérica (ver Apéndice A. n la abla 5.5 y 5.6 e preena un reumen de lo parámero obenido para la mezcla M, M y M 3. naye de creep, Mezcla M : Caolín 9 %- Benonia % Carga (kgf α β γ Ε [ kgf / cm ] 4.5 Ε [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ] 9 8 Tabla 5.5 Tabla de parámero fraccionario obenido con el ajue de curva, maerial M 75

85 Noar que lo valore de α y β de la abla 5.5 ienen un valor igual a. o e debe a que e hizo cumplir la relacion α β para ener una repuea inmediaa al aplicar la carga, y el valor β α correpondió al mejor de lo ajue calculado por el programa CFTOOL. También e oberva que γ e el único exponene fraccionario el cual cambia conforme la magniud de la carga oenida. o mimo e oberva en la abla 5.6 y 5.7. o ignifica que en el modelo propueo (ver ec. 5. rabajan un elemeno eláico (con β α, un elemeno vicoo (con β y uno fraccionario (γ. Ademá, e ve que para carga pequeña y haa un ciero nivel, el valor de la conane ( iene un valor igual a γ γ cero; eo implica que el ercer miembro de la ecuación 5. ( / η / η que γ, γ ( correponde al arreglo de Kelvin fraccionario rabaja ólo como un amoriguador γ fraccionario ( / η ya que la función Miag-Leffler ( γ γ oma un valor igual a. (, z naye de creep, Mezcla M : Caolín 8 %- Benonia % Carga (kgf 3kg 4 kg 5 kg 6 kg 7 kg 8 kg α β γ Ε [ kgf / cm ] Ε [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ] Tabla 5.6 Tabla de parámero fraccionario obenido con el ajue de curva, maerial M naye de creep, Mezcla 3 (M 3 : Caolín 7 %-Benonia 3% Carga (kgf α...9 β...9 γ...6 Ε [ kgf / cm ]...4 Ε [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ] η [ kgf / cm ]... Tabla 5.7 Tabla de parámero fraccionario obenido con el ajue de curva, maerial M 3 76

86 n la abla aneriore puede noare que para el amoriguador fraccionario del cuerpo de Maxwell e ienen valore de la conane η muy grande repeco a lo demá lo cual indica que ee elemeno no influye en el comporamieno vico-eláico del modelo por ener una vicoidad que iende al infinio. Como e mencionó aneriormene lo valore de α y β on iguale a, lo cual implica que el primer érmino en la ecuación (5.5 iene un valor conane / que correponde a la repuea eláica inanánea de la probea al aplicar una carga inanánea. Para carga cercana a la de reiencia e iene una deformación inanánea mayor y la conane adquiere un valor pequeño que influye en el comporamieno a largo plazo en la curva iempo-deformación y en ee cao el arreglo ya rabaja como un Kelvin fraccionario. n la Figura 5. e preenan la curva deformación-iempo regirada durane lo enaye de creep para el maerial M, correpondiene a diferene magniude de carga. n general e oberva que la deformación aumena conforme la magniud de la carga aumena. Cada una de la curva e ajuó uilizando el modelo fraccionario ya decrio. La curva ajuada e preenan en la Figura 5.. Figura 5. Curva experimenale, enaye de creep. Maerial M 77

87 Figura 5. Curva ajuada, enaye de creep. Maerial M Habiendo obenido lo parámero fraccionario de cada una de la curva, pudo calculare la velocidad de deformación para cada uno de lo enaye y en la Figura 5.3 puede vere la repreenación gráfica de la evolución de la velocidade de deformación con el iempo. Figura 5.3 Curva iempo-velocidad de deformación. Maerial M 78

88 n la figura e preenan la gráfica, equivalene a la ya morada, para lo enaye realizado obre el maerial M. Figura 5.4 Curva experimenale, enaye de creep. Maerial M Figura 5.5 Curva ajuada, enaye de creep. Maerial M 79

89 Figura 5.6 Curva iempo-velocidad de deformación. Maerial M n la figura 5.7 y 5.8 e preenan la curva de deformación-iempo regirada y ajuada repecivamene para el maerial M 3. n la Figura 5.9 e preenan la curva de velocidad de deformación conra el iempo correpondiene a cada uno de lo enaye realizado para dicho maerial. Figura 5.7 Curva regirada en lo enaye de laboraorio 8

90 Figura 5.8 Curva ajuada con el modelo reológico fraccionario Figura 5.9 Curva iempo-velocidad de deformación 8

91 n general, de lo enaye de creep preenado puede comenare lo iguiene: Al aplicar una carga inanánea, hay una repuea cai inmediaa del maerial a deformare con una velocidad de deformación que decrece rápidamene con el iempo haa eabilizare. Por ano, puede coniderare que exie una repuea inanánea inicial má una repuea vicoeláica que e dearrolla con el iempo. Se oberva que la curva enran en egunda fae enre. y.5 minuo; e vilumbra al final de lo regiro que la curva podrían ear enrando en ercera fae, lo que ignifica que e hubiee llegado a la falla i e hubiee oenido la carga durane un iempo má largo. De la gráfica velocidad de deformación-iempo preenada, correpondiene a cada maerial, e oberva una pendiene conane y negaiva, como e preena en la lieraura écnica (ver capíulo 4. Debe enere en cuena que al modelar el fenómeno de creep con ecuacione diferenciale fraccionaria e eá uilizando implíciamene un arreglo jerárquico de vario elemeno (eláico y vicoo en cada elemeno fraccionario (Schieel e al., 995. De lo parámero vicoeláico fraccionario obenido mediane lo ajue, puede concluire que el modelo reológico fraccionario (FVMS e idóneo para eudiar y modelar el comporamieno de lo uelo arcilloo omeido a una carga oenida la cual origina que e preene el fenómeno de creep. Por lo obervado en lo ajue, en general, puede decire que para modelar el comporamieno de lo uelo analizado mediane reología fraccionaria, baaría un arreglo en erie de re elemeno: un elemeno eláico (reore, má un elemeno vicoo (amoriguador má un elemeno vicoo fraccionario (amoriguador fraccionario. o para carga menore al 7% de la carga de reiencia, porque para carga mayore e requiere de un cuerpo de Kelvin fraccionario. 5.5 Comenario acerca de lo ajue realizado con lo modelo reológico cláico y fraccionario Recordando lo preenado en el capíulo 3, para poder realizar lo ajue de la curva haa ahora preenado, mediane reología cláica, haría fala un arreglo jerárquico en 8

92 83 ecalera de elemeno eláico y vicoo (ver figura 3.5 y 3.6. llo implica ener un arreglo fracal como el morado en la figura 5.3, en donde e ha agregado un elemeno vicoo (amoriguador en la pare uperior. Figura 5.3 Arreglo fracal de elemeno para imular el fenómeno de creep. Figura modificada de (Schieel e al., 993 l planear una ecuación diferencial que correponda a ee arreglo y reolverla reula un ano cuano complicado. n el arículo (Schieel y Blumen, 993 e preena la ranformada de Laplace de la ecuación diferencial que modela a un arreglo que imula un amoriguador fraccionario, en donde la pare derecha de la ecuación e preena como una fracción coninua (ver apéndice A.3: n n n n / / / / / / ~ ( ~ ( η η η η η η σ ε cuya repreenación compaca e: ~ ( ~ ( n n n n η η η η η η σ ε (5.6

93 Aniranformar la ecuación (5.6 reula de ciera complejidad, in embargo, en el arículo (Schieel y Blumen, 993 e prueba que cuando n iende a un número uficienemene grande, la ecuación (5.6 e aproxima aifacoriamene con la ecuación (5.7, la cual correponde preciamene a la ranformada de Laplace de la ecuación diferencial fraccionaria que modela un amoriguador fraccionario: ~ γ ( γ γ σ η ~ ε ( (5.7 La paricipación de cada uno de lo elemeno puede eimare por medio de lo valore que oman la conane vicoeláica a ravé de la ecuacione (5.8 y (5.9. n la figura e aprecia la paricipación de lo primero 3 elemeno reológico (ano para reore como para amoriguadore, coniderando, ólo como un ejemplo, que y η. Γ( ( γ γ γ k k (5.8 Γ Γ( γ ( γ γ ηk η k (5.9 Γ Reula inereane noar que para un exponene fraccionario γ menor a.5, la paricipación de lo elemeno reológico crece parabólicamene, mienra que para un exponene fraccionario mayor a.5, exie un decaimieno exponencial. Para un exponene fraccionario igual a.5 la paricipación de cada uno de lo elemeno ería conane, pueo que el érmino γ k en la ecuacione (5.8 y (5.9 adquiere el valor de la unidad. Figura 5.3 Paricipación de lo elemeno eláico ( i para un exponene fraccionario γ.75 Figura 5.3 Paricipación de lo elemeno eláico ( i para un exponene fraccionario γ.35 84