6.4 Propiedades de la TL 359. y D f 2.t/ 1. Cuáles de las siguientes funciones cumplen las condiciones suficientes para la existencia de la TL?.

Transcripción

1 f hg kj kj kj kj 6.4 Propiedade de la TL 359 Ejemplo Oberve que la funcione. f./ ; i I. f./ i I i no e enero; 3. f 3./ i ; ; ; 3; ienen oda la mima TL, a aber F./. La gráfica de ea funcione e preenan a coninuación y y y y f./ y f./ y f 3./ i i i i Ejercicio 6.3. Exiencia de la TL. Solucione en la página 474. Cuále de la iguiene funcione cumplen la condicione uficiene para la exiencia de la TL?. a. f./ e co 3. b. g././. c. h./ co. cc i d../ I e i > : e i I e../ e i > : f../ bc. Máximo enero menor o igual a.. Suponga que do funcione f & g cumplen que f./! F./ & g./! G./, donde: F./ Qué e puede concluir acerca de f & g? e e con > I G./ con > : C 4 C Propiedade de la TL Con la propiedade de L y la TL de funcione pariculare que hemo vio haa el momeno, no enconramo en poición de poder calcular la TL de una buena canidad de funcione; ea iuación, i bien aifacoria, aún no e del odo uficiene para nuero propóio de aplicar L a la olución de E.

2 36 Ecuacione diferenciale La iguiene abla coniene la TL de funcione que hemo vio y alguna ora que veremo en ea ección. La ranformada de Laplace Función Tranformada f./ L f F./g! F./ Lf f./g Fórmula báica!! 3 n I n ; ;! nš nc 4 p! p p 5 r!.r C / rc 6 e a! a 7 co k! 8 en k! 9 coh k! enh k! n e a! e a en b! 3 e a co b! 4 u. a/! C k k C k k k k nš. a/ nc b. a/ C b. a/. a/ C b e a

3 6.4 Propiedade de la TL 36 A coninuación enliamo alguna propiedade adicionale que obendremo en ea ección: Propiedade de la TL Linealidad af./ bg./! af./ G./ Cambio de ecala f.a/! ( a F a 3 Primera propiedad de ralación e a f./! F. a/ 4 Segunda propiedad de ralación u. a/f. a/! e a F./ 5 Tranformada de una derivada f./! F./ f./ f./! F./ f./ f./ f.n/./! n F./ n f./ f.n /./ 6 erivada de una ranformada f./! F./ 7 Tranformada de una inegral Z f.u/du! F./ 8 Inegral de una ranformada f./! Z F.u/du e aquí en adelane, uaremo indiinamene la noación: Lf f./g F./ o bien f./! F./: Conervaremo ambién la relación enre minúcula y mayúcula para relacionar a la ranformada de una función con u ranformada invera. Aí mimo, en cada una de la funcione involucrada en la propiedade, upondremo que e aifacen la condicione de uficiencia para la exiencia de la TL.

4 36 Ecuacione diferenciale 6.4. Cambio de ecala Lf f.a/g! a F a con a > : (6. Si a > : Lf f.a/g e f.a/ d e u a f.u/ du a a e a u f.u/ du a F a : emo uado: u a du a di u a du d a : 6.4. Primera propiedad de ralación Para cualquier a R: L e a f./ e Œe a f./ d e. a/ f./ d F. a/i e decir, L e a f./ F. a/: (6. Enonce, la TL de e a f./ e la mima que la de f./, con un corrimieno hacia a. Por ejemplo: L e 3 3! 3. 3/ : 3 El ímbolo! a e ua ólo para indicar que hay que reemplazar la variable en oda u ocurrencia por a. Con ee reulado obenemo la iguiene fórmula: L e a n nš nš nc! a. a/ : nc L e a co b a C b! a. a/ C b : L e a en b b b C b! a. a/ C b : Ejemplo 6.4. Obener L e 3 co & L e 3 en. L e 3 co C L e 3 en C!C3!C3 C 3. C 3/ C :. C 3/ C : Ejemplo 6.4. Calcular L. C

5 6.4 Propiedade de la TL 363 Primero compleamo cuadrado en el denominador: Luego conideramo olamene Por lo ano: 9 4 C ( C 9 4. e acuerdo con la abla, la fórmula./ no da: 3 enh 3! 3 ( enh 3 3 : 9 4 ( 3 : 9 4 Aí concluimo que e 3 e enh 3 L 3 ( 3 ( C 9 4! C C 3 C e enh 3 : Ejemplo allar L n o. C 6 C Compleamo cuadrado en el denominador: Por lo ano: No ha reulado co! C 6 C C : co C e 3 e 3 co. Sabemo que:. C 3/ C! C 3 C 3. C 3/ C C 3. C 3/ C y no. Arreglamo ea diferencia de la iguiene manera:. C 3/ C Incorporamo ea idea para hallar:. C 3/ 3. C 3/ C. C 3/ C C 3. C 3/ C 3. C 3/ C : co 3 en C 3 C.co e 3 3 en /e 3 C 3. C 3/ C! C 3 3. C 3/ C. C 3/ C

6 n ml 364 Ecuacione diferenciale En conecuencia: L. C 3/ L n o C e 3.co C 6 C 3 en /: Ejercicio 6.4. Primera propiedad de ralación. Solucione en la página 474 En cada uno de lo ejercicio, calcular Lf f./g o bien L f F./g:. f./ 3 en 4 co 5.. f./ 3 4 C f./ e 4. C /. 4. f./ en co ˇ. 5. f./ en a. 6. F./ 5 C 4 C C F./ 8. F./ 9. F./. F./. F./. C / C 3 5. C / C 4 C 6 C C 5. 7 C C 4. C C C 5. C 3 C C. 3 C 4 C Segunda propiedad de ralación Ea propiedad permiirá reolver ecuacione diferenciale donde aparezcan funcione diconinua. Para enenderla e conveniene inroducir una función con la que eá erechamene relacionada, la función ecalón uniario de eaviide, que e una modificación de u./, ya coniderada ane. Función ecalón uniario de eaviide Ea función e define para a > como: u a./ u. a/ i < ai i a: (6.3 Cuya gráfica e y y u a./ a

7 qpo 6.4 Propiedade de la TL 365 E decir, dado un a > la función aigna el valor i e encuenra a la izquierda de a y el valor i e encuenra a la derecha de a. El efeco que iene ea función obre ora puede apreciare en el iguiene ejemplo. Ejemplo Sea la función f./ C. Comparar u gráfica con la gráfica de g./ u. /f. /. Para < e iene g./ y para enemo g./ f. / que repreena un corrimieno de unidade de la gráfica de f hacia la derecha. Al emplear ea conideracione hallamo que y f./ C g./ u. /f. / En general, el efeco geomérico que iene la muliplicación u. a/f.u a/ obre la gráfica de una función f e correrla a unidade a la derecha, proyecando enonce al eje aquella pare de la gráfica que e encuenre a la izquierda de a. Eablecemo la egunda propiedad de ralación. Para a > ; i f./! F./; enonce u. a/f. a/! e a F./: En efeco: Lfu. a/f. a/g a a e u. a/f. a/ d e u. a/ f. e f. a/ d a/d C a e u. a/ f. e.xca/ f.x/ dx x e a e x f.x/dx e a F./: a a/ d e x e a f.x/ dx Adviera que en paricular, i f./, e deduce que u. a/! e a.

8 r 366 Ecuacione diferenciale Ejemplo Calcular la TL de la función h./ que eá definida por i < I h./ i Œ; /: El cálculo de la TL e puede hacer mediane la definición, pero preenamo ora poibilidad que no puede ayudar en iuacione má complicada. No referimo a ecribir la función h mediane una combinación lineal de funcione ecalón uniario de eaviide para la cuale uilizamo lo número a de la definición (6.3 como aquello valore que aparecen en la propia función eccionada h; aí ecribimo h de la iguiene manera: h./ Au. / C Bu. /I donde A y B on facore que enconraremo por el méodo de coeficiene indeerminado.. Si <, enonce & <, por lo que u. / & u. /. Enonce, por definición de h./, e iene que h./ y por ora pare: h./ Au. / C Bu. / A./ C B./ A :. Si, enonce > &, por lo que u. / & u. /. Enonce, por definición de h./, e iene que h./ y por ora pare: h./ Au. / C Bu. / A./ C B./ B A : e ea manera h./ u. / u. /. Por lo ano, a parir de la propiedad de linealidad y de la egunda propiedad de ralación, hallamo: Lfh./g Lfu. /g Lfu. /g e e e e : g./ i a b En general, i f./, enonce f./ e puede exprear en érmino de u./ como i Œa; b f./ g./u. a/ g./u. b/: (6.4 Ejemplo Calcular la TL de la función f cuya gráfica e muera en la iguiene figura: y y f./ 3 La definición analíica de la función f e i < I f./ i < 3I i Œ; 3/ : que e puede ecribir como f./ i < i Œ; / C i 3I i Œ; 3 :

9 6.4 Propiedade de la TL 367 Si ahora aplicamo en reulado (6.4 e iene: f./. /u. /. /u. / C u. / u. 3/ e aquí reula (por la linealidad de la TL:. /u. /. /u. / u. 3/: Lff./g Lf. /u. /g Lf. /u. /g Lfu. 3/g: Si ahora aplicamo la egunda propiedad de ralación y la fórmula! y u. obenemo: F./ e e e 3 : Cuando ocurre que lo argumeno de la funcione f. a/ y u. a/ no on lo mimo, e debe proceder como en el iguiene ejemplo. a e a/!, Ejemplo Calcular la TL de la función f./ en./u. /. Lo argumeno de la funcione eno y ecalón uniario u no on lo mimo. Como debemo hallar el mecanimo adecuado para hacerlo iguale, procedemo de la iguiene manera: f./ en./u. / enœ. / C u. / Œen. / co C en co. / u. / en. /u. /: Aplicando ahora la egunda propiedad de ralación: F./ e C : Ejemplo Calcular L u. 3/. En ee cao enemo f. 3/u. 3/ u. 3/, e decir, f. 3/, y e neceario que enconremo f./. Para ello baa con hacer el cambio de variable 3 x; x C 3. Aí: e decir, f./ C 6 C 9. Por lo cual: f.x/.x C 3/ x C 6x C 9; Lf f. 3/u. 3/g Lf f./ge 3 L C 6 C 9 e 3 Ejercicio Segunda propiedad de ralación. Solucione en la página 475 En lo iguiene ejercicio, calcular Lf f./g:. f./ u. /.. f./ co./u. /. C 3 i I 3. f./ i Œ; : [ C 6 3 C 9 ] e 3 : i < I 4. f./ i < 3I e i 3 :

10 368 Ecuacione diferenciale i < I i < I 5. f./ 3 i < 3I i 3 : en i I 6. f./ i < : b i a ai 7. f./ b i a 3aI i < a o bien > 3a: donde a, b conane poiiva. 8. Para a y conane, f./ ka i.k / < k, para k ; ; 3; Tranformada de una derivada La iguiene propiedad no permie aplicar la TL a la olución de una E. Si f./ e una función con derivada f./, enonce: Lf f./g emo inegrado por pare con: e f [./ d lím e f./ ] R R! f./. e d/: Lf f./g lím e R f.r/ R!! u e du e di dv f./ v f./: lím e f./ C! C e f./ d F./ f. C /: en donde el primer límie (R! e anula, y hemo denoado al egundo (! C por f. C /, ya que puede er que f no eé definida en, en cuyo cao e debe calcular u límie cuando! por la derecha; iempre que no haya confuión ecribiremo f./ en lugar de f. C /. E decir, L df./ Lf f./g F./ f./: (6.5 d Uilizando la fórmula (6.5 de nuevo, vemo que i f y u derivada ienen TL, e puede calcular: Lf f./g L df./ Lf f./g f./ ŒF./ f./ f./ d F./ f./ f./: E decir: Lf f./g F./ f./ f./: (6.6 Aí ambién: L f.3/./ L d d.f.// Lf f./g f./ [ F./ f./ f./ ] f./ Enonce: 3 F./ f./ f./ f./: Siguiendo ee razonamieno, obenemo en general: L f.3/./ 3 F./ f./ f./ f./: (6.7 L f.n/./ n F./ n f./ n f./ f.n /./: (6.8

11 6.4 Propiedade de la TL 369 Ejemplo Calcular Lf co g, uando la fórmula de la ranformada de una derivada. Como e bien abido d en co, enonce: d Lf co g L d d en Lf en g en C : Ejemplo 6.4. Calcular Lf n g, uando la fórmula de la ranformada de una derivada. Como dn d n n, por la fórmula de la raformación de una derivada, enemo: L n n L d d n Lf n g n I e decir, nl n Lf n g Lf n g n L n : La mima fórmula recuriva (6.5 que obuvimo en la página 35. Ejemplo 6.4. eerminar la TL de la función y./, olución del PVI Tenemo: y ambién: y C ay C by f./ con y./ & y./ : Lf y./g Y./ y./ Y./ Lf y./g Y./ y./ y./ Y./: e ea manera, al aplicar TL en ambo lado de la E reula: de donde: Lf y C ay C byg Lf f./g Lf y g C alf y g C blf yg Lf f./g Y./ C ay./ C by./ F./. C a C b/y./ F./: Y./ F./ C a C b : Como e puede apreciar, mediane la aplicación de la TL y algo de álgebra, enemo cai reuelo el PVI. Salvo por un pao: hay que aplicar la ranformación invera para obener aí la olución y./ L F./ : C a C b En cao pariculare la conane a, b erán conocida; la función f./ eará dada (y aún puede er, lo mimo que la condicione iniciale, que no iempre amba erán cero. Ejemplo 6.4. Reolver el PVI y C y C 4y con y./ & y./. Aplicando (6.5 y (6.6 reula: de donde: Lf y g Lf y./g y./ Y./ & Lf y./g Y y./ y./ Y./ C I

12 37 Ecuacione diferenciale y C y C 4y y./ & y./ L >. Y C / C.Y / C 4Y. C C 4/Y : Oberve que la TL ranforma un PVI en una ecuación algebraica, donde Y e una función de, aún deconocida. epejamo Y de la ecuación previa:. C C 4/Y Y./ C C 4. C / C 3 : Para la úlima igualdad hemo uado C C 4 C C C 3. C / C 3. Por lo ano: y./ L. C / L. C / L C L C 3. C / C 3. C / C 3. C / C 3 e L n o p e 3 p3 L C 3 C. p 3/ e co p 3 p 3 e en p 3: Ejemplo Reolver el PVI y C 9y ; con y./ & y./ 3. Tenemo ahora: y la E depué de aplicar la TL queda: Lf y./g Y./ y./ y./ Y C 3 Y C 3 C 9Y. C 9/Y C 3 Y./ C 3 C 9 y./ L C 3 L n o C 9 C L 3 C 9 C 9 co 3 C en 3: Como e puede apreciar en lo ejemplo aneriore, la TL no ofrece oro méodo para enconrar la olución a E lineale, iempre y cuando ea facible el cálculo de la ranformada invera de la función Y./ obenida. Para ee úlimo pao e requieren conocer la propiedade de la TL y de la ranformada invera para complear el proceo. Ejercicio Tranformada de una derivada. Solucione en la página 475 Reolver lo iguiene PVI: dx d C x ; con x./. d y d C 4y ; con y./ & y./. d x d C 3dx d C x con x./ & x./. d z d C dz d C 5z, con z./ 4 & z./ 3. d 3 x d 3 C x, con x./, x./ 3 & x./ 8. d 3 y d 3 d y d, con y./ ; y./ & y./.

13 6.4 Propiedade de la TL erivada de una ranformada Ea propiedad e úil cuando e requiere calcular ranformada invera de funcione F./ para la cuale e puede obener u derivada o u inegral definida. aremo uo de ea propiedad para calcular la TL de funcione racendene. La propiedad eablece: Si f./! F./; enonce n f./!. / n F.n/./; para n ; ; 3; Para demorar ea propiedad noemo que, bajo condicione adecuada, e aiface el iguiene reulado, llamado con frecuencia regla de Leibniz. d d Bajo ee upueo, enemo enonce: g.; / d: E decir: d d F./ d d e f./ f.// e f./ d Lf f./g: Lf f./g d d F./ d Lf f./g: (6.9 d e manera imilar, L f./ Lf f./g d d Lf f./g d d Coninuando con el razonamieno, podemo concluir en general: O de ora forma: Ejemplo Calcular Lf coh g. Si ecribimo irecamene de la propiedad e deprende que Lf coh g d d F./ d d ( d d F./ d d F./: Lf n f./g. / n F.n/./: (6. L F.n/./. / n n f./: (6. F./ Lf coh g 4 ; ( 4./ 4 C /. 4/. 4/ : Ejemplo Calcular L. C /. En primer lugar bucaremo una función F./ al que F./ F./. C /. d/. C /. Tenemo:. C / :

14 37 Ecuacione diferenciale onde, in pérdida de generalidad (ver el iguiene dearrollo podemo omar la conane de inegración como cero. e ea forma: ( L. C / L d d. C / Obervemo la poición del facor. /. E decir, L. C / (. /L en : en : C Ejemplo Calcular L arcan (. Eamo bucando f./ al que f./ L arcan ( Si conideramo que F./ arcan (., al derivar, hallamo: d d F./ ( C./ C I donde hemo muliplicado numerador y denominador en./ por. Si uamo la propiedad 6.9, enemo: Enonce por el eorema de Lerch: Lf f./g d d F./ Lf en g: C f./ en f./ en : Ejemplo eerminar L f ln g. Si ecribimo F./ ln, enemo: d d F./ d d ln : Aí, por la propiedad de derivación de una ranformada: Lf f./g d d F./ Lf g; donde f./! F./: Tenemo, por el eorema de Lerch: f./ f./ L f ln g :

15 6.4 Propiedade de la TL 373 Ejercicio erivada de una ranformada. Solucione en la página 475 Calcular L f F./g o bien Lf f./g egún ea el cao.. f./ en a.. f./ co a. 3. F./ ln ( C. 4. f./ enh & f./ coh Tranformada de una inegral Ea propiedad eablece que i f./! F./, enonce f.u/ du! F./ : Z Si definimo g./ f.u/ du, enonce, por el eorema Fundamenal del Cálculo: g./ d d f.u/ du f./ & g./ f.u/ du : Por lo ano: F./ Lf f./g Lf g./g G./ g./: e donde F./ G./, y de aquí: G./ Lf g./g L n Z f.u/ du o F./ : Ejemplo Calcular L. 3 C 4 Obervamo que: ( 3 C 4. C 4/ C 4 F./ : Por lo ano, donde: e ea manera: F./ C 4 L & L en u du 3 C 4 f.u/ du; 3 C 4 f./ L f F./g L ( ( co u en : C 4 4. co /:

16 374 Ecuacione diferenciale Ejemplo Reolver la ecuación inegro-diferencial Z f./ C f.u/ du. Aplicamo TL en ambo miembro: L n Z o f./ C f.u/ du Lf g Lf f./g C L n Z o f.u/ du Lf g F./ C F./ ; donde f./! F./. e aquí: F./ C F./ F./. C / F./ C : Al calcular la ranformada invera, obenemo el reulado deeado: f./ L e : C Ejercicio Tranformada de una inegral. Solucione en la página 475 En cada uno de lo ejercicio, calcular Lf f./g o bien L f F./g. Z. f./ e 3 en d.. f./ e 3 Z en d. 3. F./ e. 4. F./. C / Inegral de una ranformada Eableceremo ahora la iguiene propiedad: Si f./! F./, enonce L f./ F.u/du: Para convencerno de la validez de ea fórmula, obervemo que, por una pare para > : Lf f./g L Por ora pare, uando el eorema Fundamenal del Cálculo: f./ dd L f./ dd L f./ F./: (6. d F.u/ du d F.u/ du F./: (6.3 d d Z e (6. y (6.3 e igue que, como L f./ y F.u/ du ienen la mima derivada, enonce deben er iguale, excepo poiblemene por una conane adiiva. Que dicha conane e cero e puede ver omando el límie, cuando! lím! ( f./ e d lím F.u/ du C C! C C C : Cabe eñalar que una premia para la validez de ee argumeno e que la función F debe er coninua para odo mayor que algún número real a.

17 6.4 Propiedade de la TL 375 Ejemplo 6.4. allar la TL de f./ en y, a parir del reulado obenido, deerminar el valor de la inegral impropia en d: Tenemo: L n en o F.u/ du lím R!.arcan R arcan / du u C lím arcan u R! arcan : Para deerminar la inegral impropia relacionamo el reulado anerior con la definición de TL y hallamo: L n en o en e d arcan : Si en el reulado anerior omamo, obenemo: en e d arcan ; R de donde: en d : Ejercicio Inegral de una ranformada. Solucione en la página 475 En cada uno de lo ejercicio, calcular Lf f./g o bien L f F./g.. f./ co 3.. f./ e 3 en. 3. f./ enh. 4. F./. / Tranformada de una función periódica Recordemo que una función f e periódica con periodo p > i aiface: f. C p/ f./, para oda : Para el cálculo de la TL de una función de ee ipo, enemo: Lf f./g p e f./ d p.nc/p e f./ d C e f./ d C C p np e f./ d C Si ahora, omamo la inegral./, y hacemo el cambio de variable u C np (con lo cual d du; hallamo que np u &.n C /p u p. Enonce, por la periodicidad de f :.nc/p np e f./ d p./ e.ucnp/ f.u C np/ du p e np e u f.u/ du:

18 wv u wv wv u u wv u 376 Ecuacione diferenciale e ea manera: Lf f./g p e f./ d p p e f./ d C e p e f./ d C C e np e f./ d C. C e p C C e np C / p e f./ d: (6.4 En el úlimo reulado hemo omado en cuena que la variable de inegración e muda, e decir: p e u f.u/ du p e f./ d: Ahora bien, lo que aparece enre parénei en (6.4 e una erie geomérica, con razón r e p, para la cual e iene, en cao de convergencia, el iguiene reulado: C r C r C C r n C r i j r j < : En nuero cao, con j r j e p < (para >, obenemo finalmene: ep Lf f./g e p p e f./ d: (6.5 Obervamo que ea fórmula e en ciero enido la mima que aparece en la definición de TL con do paricularidade: la primera e que ólo e inegra a lo largo de un periodo, la egunda e que e inroduce el facor e. p Ejemplo 6.4. Calcular la TL de la función f cuya gráfica e muera en la iguiene figura: y y f./ 3 Primero, obervamo que e iene una función periódica con periodo p y que la expreión analíica de ea función en el inervalo.; e i I f./ i < : Luego, de acuerdo con el reulado recién expueo: [ Lf f./g e f./ d e./ d C e e [ e e C ] e e C e. e / ] e. / d [. e / C.e e / ]. e /. e /. e /. e /. C e /. e / e. C e / :

19 x zy x zy x zy x zy 6.4 Propiedade de la TL 377 Aunque ée e un reulado perfecamene válido, odavía e poible dar una expreión alernaiva; ólo debemo recordar que la función angene hiperbólica e define por e x anh x ex e x C e : x Si en la úlima expreión muliplicamo numerador y denominador por e hallamo finalmene: Lf f./g e. C e / e e e e.e C e / anh( : Ejemplo 6.4. Un iema maa-reore, con m kg y con k 8 N/m, e encuenra inicialmene en repoo y en equilibrio. Para, una fuerza de exciación con periodo p y cuya gráfica e muera a coninuación, impula a la maa. eerminar la poición de éa en cualquier inane. y 4 y f./ 3 4 Sea x./ la poición de la maa en cualquier inane, enonce éa puede deerminare mediane la olución del iguiene PVI: o bien donde f./ mx C kx f./ con x./ & x./ I x C 8x f./ con x./ & x./ I 4 i < ; f. C / f./ para odo : i < Obervación. La función de exiación iene una infinidad de diconinuidade de alo, por lo cual la écnica de olución de E eudiada en capíulo aneriore on poco úile; requerimo uar TL. Aplicando enonce TL en la E: Lf x g C Lf 8xg Lf f./g Œ X./ x./ x./ C 8X./ e donde x./! X./. Ahora la inegral en el miembro derecho queda: e f./ d e f./ d C e f./ d 4 e f./ d; e d 4 e 4. e / : Con ee cálculo, e incorporando la condicione iniciale x./ x./, hallamo: ( 4 e ( X./ C 8X./ X./. 4 e C 4/ e. e /. C e / / X./. 4 C 4/. C e / :

20 378 Ecuacione diferenciale e donde X./. C 4/ C e : Para el cálculo de x./ neceiamo hallar L f X./g, por lo cual procedemo en do eapa:. eerminar L.. C 4/. Expreamo ralación. C e e ea manera, calculamo en primer lugar L inegral, e iene: L como una uma infinia de érmino, y aplicamo la egunda propiedad de L d en d. C 4/ C 4.. Por la propiedad de la ranformada de una C 4/ co co C. co /: Ahora, expreemo C e como una uma infinia de érmino. Para ello, recordemo que C r C r C C r n C con j r j < : r Si en ee reulado conideramo r e, enonce para > e iene j r j e < ; por lo ano: e ea manera: x./ L f X./g L L Reula que. C 4/ C e e C e e 3 C. C 4/ C e L L e. C 4/ C L e. C 4/. e C e e 3 C / L e 3. C 4/. C 4/ C x./ Œ co u. /Œ co. / C u. /Œ co. / u. 3/Œ co. 3/ C o bien que x./ Œ co C. / n u. n/œ co. n/. / n u. n/œ co. n/ : n n 6.5 Aplicación de la TL para reolver E En ea ección, preenamo con dealle la manera en que uilizaremo la TL para obener la olución de un PVI. Con ee méodo podremo no ólo reolver PVI con E lineale, como la coniderada en lo capíulo 4 y 5, ino ambién oro ipo de PVI que no e han planeado ane en ee libro.