CAPITULO VI LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 CAPITULO VI LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. Definición. Tranformada de Laplace Suponga que la función eá definida para y la inegral impropia Converge para exie para. Enonce la ranformada de Laplace de. y eá dada por Ane de dar alguna eoría que no facilie el rabajo, vamo a calcular la ranformada de Laplace de alguna funcione, uando ea definición. Ejemplo Calcule. Solución: Por definición Para. Ejemplo Calcule.. Solución: Uando la definición Obervación: no reula difícil inuir a parir de eo ejemplo la iguiene ranformada Para y. Dejamo al lecor la comprobación de ea fórmula (ugerencia ue inducción maemáica). Ejemplo: Calcule. Solución: Uando la definición Para. 9

2 Un par de ranformada paricularmene úile on la de la funcione rigonomérica y, que calculamo en el iguiene ejemplo. Ejemplo: Calcule y. Solución. Uando la definición Por oro lado ( ) De donde concluimo que Para. Y reomando la ranformada de Para. Obervación: podemo calcular la ranformada repreenación compleja. Como uando u Tenemo que ( ) ( ) ( ) De forma análoga uando Podemo calcular. 0

3 Ejemplo: Calcule { Solución: Por definición UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO }, donde { ( ) ( ) Tabla de ranformada báica de Laplace k k, 0, k conane. n n!, 0 n n =,,... e a a para > a en k k, k co k, k enh k k k coh k k n a n! e, a, n, n a )., 0 )., )., 4). 0 5). 0 6). k 7). k 8).,...

4 6. Propiedade de la Tranformada de Laplace Como la ranformada de Laplace e define en érmino de una inegral impropia que puede er divergene, exien funcione para la cuale no exie dicha ranformada, incluo hay funcione diconinua, como la del ejemplo anerior, que pueden ener ranformada; enonce, bajo qué condicione una funcione ienen ranformada de Laplace?. Ane de dar una repuea parcial a ea preguna debemo dar alguna definicione. 6. Definición: Funcione coninua a rozo Decimo que una función [ ] e coninua a rozo i eá definida y e coninua en odo [ ], alvo en un número finio de puno, para. Para cada [ ] lo límie Exien. Noe que, olamene uno de eo límie e perinene i uno de lo exremo de [ ]. e En general, el requiio de que eo límie ean finio en odo lo puno implica que la única diconinuidade de on diconinuidade de alo, del ipo que aparecen en la figura iguiene Inuiivamene podríamo penar que la funcione coninua a rozo on cai coninua o que no on demaiado diconinua. Ora de la idea imporane en el eudio de la exiencia de la ranformada de Laplace e que enendemo porque una función no crezca demaiado rápido.

5 6.4 Definición: Funcione de orden exponencial Decimo que la función [ e de orden exponencial i exien número, y ale que, para. Inuiivamene eo ignifica que la función ea por debajo de una función exponencial, como e muera en la figura iguiene. Obervación: alguna vece, para verificar que una función orden exponencial, conviene calcular el iguiene límie: e de Para algún valor de. Si e finio, enonce puede er cualquier número mayor que (y ee deermina ). Por oro lado, i, no e de orden exponencial. Ejemplo: Compruebe que e de orden exponencial. Solución: Para comprobar eo, apliquemo re vece la regla de L'Hôpial Para cualquier número poiivo. Por lo ano, i grande, y aí e de orden exponencial. e uficienemene Ejemplo: Compruebe que la función para cualquier valor de. Solución: Calculando el límie e de orden exponencial Siempre y cuando. De donde, para grande.

6 Obervación: no e difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función rigonomérica como,, con conane, on de orden exponencial, aí como, la uma y produco de un número finio de ea funcione. En general, i y on de orden exponencial la uma y el produco on de orden exponencial. Ejemplo: Compruebe que la función exponencial. Solución: Calculando el límie enemo que no e de orden Para cualquier valor de, con lo cual la función no e de orden exponencial. El iguiene reulado enuncia un reulado que parece obvio. 6.5 Teorema: Funcione acoada Sea [ una función acoada, enonce e de orden exponencial. Demoración Como e acoada para odo [ ]. Enonce para cualquier, con lo cual e de orden exponencial. Obervación: como y on acoada, on de orden exponencial. Una vez definido lo concepo de función coninua a rozo y función de orden exponencial ya eamo lio para enunciar una condición necearia para la exiencia de la ranformada de Laplace. 6.6 Teorema: Exiencia de la ranformada Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial, enonce la ranformada de Laplace de exie. E decir, exie un número al que exie para. Demoración Por er de orden exponencial exien número no negaivo, y ale que, para. Aí que 4

7 La primera inegral e una inegral definida, por ano exie. Para la egunda inegral noe que Ahora, como ( ) iempre y cuando, enemo que la inegral exie y con ello la ranformada. Obervación: el eorema anerior enuncia una condición uficiene y no necearia para la exiencia de la ranformada de Laplace, e decir, puede dare el cao de una función que no cumpla la hipóei del eorema, pero aún aí enga ranformada, como lo muera el iguiene ejemplo. Ejemplo: Compruebe que la ranformada { } exie, aún cuando no cumple la hipóei del eorema de exiencia anerior. Solución: Claramene iene una diconinuidad infinia en, con lo cual no e coninua a rozo en el inervalo [ ; pero Para calcular ea úlima inegral ea con lo cual Ahora noe que 5

8 ( ) ( ) ( ) ( ) Figura Donde e el cuadrado de lado, que e muera en la figura Oberve que i y on la regione que e mueran en la figura anerior enonce ( ) ( ) Con lo cual, omando el límie ( ) ( ) Y aí,. Por lo ano { } El iguiene ejemplo muera una función para la cual no exie la ranformada de Laplace. Ejemplo: Compruebe que Solución: Uando la definición { } no exie. 6

9 Y pueo que la inegral impropia diverge, la ranformada no exie. Obervación: la ora inegral e convergene para, pue La inegral diverge, pue, por el crierio de comparación para oda, con lo cual amba inegrale convergen o divergen; pero diverge. Ahora vamo a enunciar alguna propiedade de la ranformada. 6.7 Teorema: Linealidad de la ranformada Si y exien enonce para cualquier conane real. Demoración. E una conecuencia direca de la convergencia de la uma en inegrale impropia. [ ] Ejemplo: Calcule. Solución: Como por la propiedad de linealidad 7

10 Con la idea de aplicar la ranformada de Laplace a la olución de ecuacione diferenciale neceiamo calcular la ranformada de una derivada. 6.8 Teorema (Derivada de una Tranformada). n n n d f F, donde F n d f con n =,,..., Demoración: Por inducción obre n. 0 n F e f d df d d d e f d 0 0 e f d e f d e f d 0 0 f d f F d Supongamo que e cumple para n k k k n d f F k d Veamo que e cumple para n k k d f k f n d n k d d k f k k d F d d k F d k k k 8

11 9 NOTA: Para el cao n, obenemo una fórmula que no permie hallar la ranformada invera de ranformada que no la enemo en la abla de ranformada. F d d f o ea que f F f F Ejemplo. Hallar f ln Solución: f F d d ln d d uilizando fraccione parciale B A 4, 4 B A f e e e e

12 6.9 Teorema: Tranformada de una derivada Si e coninua a rozo y de orden exponencial en el inervalo [, enonce Demoración: Inegrando por pare Con un argumeno imilar podemo demorar que Ejemplo: Ue el reulado anerior para calcular Solución: Haciendo, enemo que y de aquí concluimo que El iguiene reulado generaliza la ranformada de una derivada. 6.0 Definición: Tranformada de una derivada Si on coninua a rozo y de orden exponencial en el inervalo [, enonce El iguiene eorema raa obre el efeco que iene en una ranformada la ecalación de una función. 6. Teorema: Propiedad de ecalación Sea una función coninua a rozo y de orden exponencial en [,, i, enonce ( ) 40

13 Demoración: Para comprobar ea propiedad baa hacer un cambio de variable, ( ) Ejemplo: Si calcule. Solución Uando la propiedad de ecalamieno ( ( ) ) 6. Corolario (Tranformada de la inegral). Si f e una función coninua a ramo para 0 y de orden exponencial enonce: f d F f 0 Demoración: omando g f f g f rg rdr 0 r dr F 0 f el eorema de convolución, enemo: 0 F f r dr f r g r 4

14 6. La ranformada invera de Laplace Al aplicar la ranformada de Laplace a una ecuación diferencial la converimo en una ecuación algebraica, la cual podemo reolver para, e decir,. Ahora, como i pudiéramo devolverno obendríamo la olución que bucamo. E decir, neceiamo de la ranformada invera, para hallar la función Enonce definamo la ranformada invera. 6.4 Definición: Tranformada invera de Laplace Si e la ranformada de Laplace de una función coninua, e decir,, enonce la ranformada invera de Laplace de, ecria e, e decir, Ejemplo: Calcule Solución: Pueo que enemo que Obervación exie un problema poencial al rabajar con la ranformada invera, puede no er única. En efeco, e poible que, iendo. Para nuero propóio eo no e an malo como parece, pue, i y on coninua y de orden exponencial en [, y, enonce ; pero, i y on coninua y de orden exponencial en [ y, enonce e puede demorar que la funcione y on cai iguale; eo quiere decir, que pueden diferir ólo en puno de diconinuidad. Ejemplo: Calcule, donde ea dada por { Qué e puede concluir? Solución: Uando la definición de ranformada Pero, aneriormene hemo comprobado que 4

15 con lo cual la funcione y ienen la mima ranformada, de ee modo, la ranformada invera de no e única. El iguiene reulado eablece el comporamieno de en infinio. 6.5 Teorema: Comporamieno de en infinio Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial en [, enonce Demoración Pueo que e coninua a rozo en [ neceariamene e acoada en ee inervalo; o ea, para odo [. De donde y aí cuando, de modo que cuando. Obervación: el reulado anerior e válido independienemene de que ea coninua a rozo o de orden exponencial, baa con que exie. Ejemplo: Porqué no exie una función al que? Solución: Suponga que exie, enonce por el eorema anerior lo cual e falo; por lo ano no exie al función. Obervación: con un argumeno imilar podemo concluir que no exien una función al que,,,, e decir, ea funcione no ienen ranformada invera. Por oro lado, una función racional e la ranformada de alguna función i el grado del numerador e menor que la del denominador. Lo iguiene reulado on úile en análii de iema de conrol auomáico, epecialmene cuando e razan gráfica. 4

16 6.6 Teorema Del valor inicial Si y exie y e igual a, enonce Demoración: Como y iempre y cuando Tenemo que ea coninua a rozo y de orden exponencial. iempre y cuando ea coninua por la derecha en. Ejemplo: Si, calcule. Solución: Uando el eorema del valor inicial Noe que no fue neceario calcular. 6.7 Teorema Del valor final Si y el límie exie, enonce Demoración: Análoga a la anerior. El iguiene eorema eablece la linealidad de la ranformada invera. 6.8 Teorema: Linealidad de la ranformada invera Sean y funcione coninua a rozo y de orden exponencial en el inervalo [ ale que y, enonce Ejemplo: Calcule Solución: Para uar la propiedad de linealidad de la ranformada invera de Laplace primero debemo expandir en fraccione parciale 44

17 45 ahora í El iguiene ejemplo ilura el proceo que vamo a uar en la olución de ecuacione diferenciale mediane Laplace. E un ejemplo que puede er reuelo de manera má eficiene con la écnica ya eudiada, pero el objeivo e aplicar alguna de la propiedade enunciada haa ahora e inroducir la écnica de olución de ecuacione diferenciale. Teorema. Para y k conane e iene: )., y, k k i > 0 ). n n n! y! n n n, i > 0 ). a e a, i > a 4). k en k k y k en k k, i > 0 5). k k co, i > 0 6). k en k k y k enh k k, i > k 7). k k coh, i > k 8). a n n e a n! y! n e a a n n, i > a Ejemplo: Con facore lineale en el denominador 7 C B A = A B C

18 46 = Ce Be Ae Pero por fraccione parciale 7 C B A Para hallar el coeficiene A, eliminamo de la fracción el facor correpondiene a A y en la pare reane uiuimo a por la raíz aociada a ee facor; lo mimo hacemo para lo coeficiene B y C., 7, 5 7, 5 7 C B A e e e 7 Ejemplo: Con facore lineale repeido E D C B A = A B C D E Ee e D e C B A!! E D C B A y por lo méodo de la fraccione parciale hallamo, 8 A, 6 B, 4 C, O D, 6 E luego e e 6! Ejemplo: Facore cuadráico, lo facorizamo en facore lineale en lo complejo. i i i C i B A

19 47 A B C i i i i Ce Be A en i Ce en i Be A co co en C B i C B e A co Hallamo lo coeficiene de la mima manera que en el ejemplo i i A i i i i i i B i i i i i I C en i i e 0co en e Ejemplo: Ue la ranformada de Laplace para reolver el problema de valor inicial Solución Aplicando ranformada de Laplace a ambo lado de la ecuación diferencial Ahora debemo de aplicar ranformada invera para hallar

20 Obervación: eá ecuación diferencial puede reolvere como una ecuación lineal con facor inegrane. 6.9 Teorema de ralación No e adecuado uilizar la definición cada vez que e quiera calcular una ranformada, por ejemplo, la inegración por pare involucrada al calcular, e baane edioa. Por ea razón vamo a enunciar alguno eorema que ahorran rabajo en el cálculo de ee ipo de ranformada. Si conocemo que, podemo calcular la ranformada de como una ralación, de a, como lo enuncia el iguiene eorema. 6.0 Teorema. Primer eorema de ralación Si e un número real y exie, enonce donde. Forma invera del primer eorema de ralación: { } Demoración La prueba e inmediaa a parir de la definición Obervación: i conideramo a como una variable real, enonce la gráfica de e la mima de raladada unidade obre el eje. Si, la gráfica de e deplaza unidade a la derecha, mienra que, i, la gráfica e ralada unidade a la izquierda. Para enfaizar en la ralación e acoumbra ecribir donde ignifica que e uiuye por en. Ejemplo: Calcule Solución: Uando el primer eorema de ralación Ejemplo: Ue la forma invera del primer eorema de ralación para calcular 48

21 Solución UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO Ejemplo: Calcule Solución: Para uar la forma invera del primer eorema de ralación debemo complear el cuadrado en el denominador Ejemplo: e en Solución: en en e ya que en Ejemplo: Solución: Ejemplo: Solución: e = en e co e en 49

22 6. Función ecalón UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO En ingeniería e común enconrar funcione que correponden a eado de í o no, o bien acivo o inacivo. Por ejemplo, una fuerza exerna que acúa obre un iema mecánico o una enión elécrica aplicada a un circuio, puede ener que upendere depué de ciero iempo. Para raar de forma efeciva con ea funcione diconinua conviene inroducir una función epecial llamada función ecalón uniario. 6. Definición: Función de Heaviide La función ecalón uniario o función de Heaviide [ e define como u (-a) { 0 a Obervación: la función de Heaviide e definió obre el inervalo [, pue eo e uficiene para la ranformada de Laplace. En un enido má general para. Ejemplo: Trazar la gráfica de la función. Solución: La función eá dada por y u gráfica e muera en la figura iguiene { Figura 50

23 Cuando la función de Heaviide e mulilplica por una función, definida para, éa función e deaciva en el inervalo [, como muera en iguiene ejemplo. Ejemplo: Trazar la gráfica de la función. Solución: La función eá dada por { Figura La función de Heaviide puede uilizare para exprear funcione coninua a rozo de una manera compaca, como e muera en el iguiene ejemplo. Ejemplo: Al aplicar enre 0 y quedando la función u gráfica 6.. g u a la función en runca la función en g en como lo muera la π Figura 5

24 Ejemplo: Ue la función de Heaviide para reecribir la función { Solución: Para reecribir la función baa uar la definición de la función Heaveide { Obervación: la función e ecribe uando la función de Heaviide como { 6. Teorema: Tranformada de la función Heaviide La ranformada de la función de Heaviide e Demoración: Uando la definición de ranformada En el primer eorema de ralación no permiió calcular la ranformada de una función al er muliplicada por una función exponencial, el egundo eorema de ralación no permiirá calcular la raformada de una función que e muliplicada por una función ecalón. 6.4 Teorema: Segundo eorema de ralación Si y, enonce Forma invera del egundo eorema de ralación: Demoración: Uando la definición 5

25 ( ) Obervación: podemo uar el egundo eorema de ralación para calcular la ranformada de Laplace de la función haciendo : Ejemplo: Calcule Solución: Para poder uar el egundo eorema de ralación debemo complear a Ejemplo: Calcular { }, donde { Solución: Oberve que la función puede reecribire como con lo cual 5

26 Ejemplo: Calcule Solución: Para poder uar el egundo eorema de ralación debemo complear de forma adecuada el érmino ( ) Como lo mueran lo ejemplo aneriore alguna vece e neceario umar y rear alguno érmino con la idea de poder uar el egundo eorema de ralación. Pero exie una forma alernaiva que no evia el ener que hacer eo. Ejemplo: Hallar u a a e u a u a e Ejemplo: Hallar u en Solución: u en u en en Pero en en co en co co u co e co e a 54

27 Ejemplo: Hallar Solución: como A e e B A, B u e e u e 6.5 Corolario: Forma alernaiva al egundo eorema de ralación Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial en [, enonce Demoración Uando la definición Ejemplo: Calcule Solución: Uando la forma alernaiva del egundo eorema de ralación ( ) Lo iguiene ejemplo mueran el uo del egundo eorema de ralación en u forma invera. Ejemplo: Calcule Solución: 55

28 En ee cao y con lo cual ( ) ( ( )) ( ) ( ) Ejemplo: Calcule Solución: Primero hallemo la decompoición en fraccione parciale con lo cual ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo: Calcule Solución Como el dicriminane de e negaivo, no e facorizable en y debemo complear el cuadrado. En ee puno debemo uar el primer eorema de ralación para calcular cada una de la ranformada invera de la iguiene forma: 56

29 Y de aquí ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Ejemplo: Calcule Solución: Ee ejemplo combina lo do eorema de ralación ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 6.6 Teorema: Muliplicación por Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial en [, enonce Ejemplo: Calcule Solución: Aplicando el eorema anerior para, enemo que ( ) 57

30 El iguiene ejemplo muera una combinación del primer eorema de ralación y el eorema anerior. Ejemplo: Calcule Solución: Primero aplicamo el eorema de muliplicación por el de ralación y luego ( ) Ejemplo: Calcule el valor de la iguiene inegral Solución: Por el eorema de muliplicación por, enemo que ( ) De donde obenemo que y omando Exie un cao epecial del eorema anerior, cuando muy úil en el cálculo de ranformada invera., que e 6.7 Corolario: Muliplicación por Si, enonce Ejemplo: Calcule { ( )} Solución: Si ( ) por el corolario enemo que {( ( )) } 58

31 6.8 Teorema: Diviión por Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial en [ al que el límie exie, enonce Demoración Sea enonce aplicando ranformada de Laplace a ambo lado enemo que Inegrando e decir, Obervación: la conane de inegración debe ecogere de forma de al que. El iguiene ejemplo muera una aplicación de ee eorema. Ejemplo: Calcule Solución Tenemo que con lo cual Ejemplo: Calcule el valor de la iguiene inegral Solución: Si 59

32 enonce [ ] ( ) ( ) De donde ( ) y omando el límie cuando, enemo que 6.9 Convolución y ranformada Como hemo vio, la ranformada de Laplace e lineal, e decir, la ranformada de una uma e la uma de la ranformada, enonce cabe pregunare i e iene algo imilar para el produco, la repuea e no. En general la ranformada no conmua con la muliplicación ordinaria, o ea, la ranformada de un produco no e el produco de la ranformada, pero podemo definir un nuevo produco generalizado bajo el cual eo e ciero. 6.0 Definición: Convolución La función, donde e el conjuno de funcione coninua en el inervalo [ dada por e conoce como la convolución de y La convolución iene mucha de la propiedade de la muliplicación ordinaria, como veremo en el iguiene eorema. 6. Teorema: Propiedade de la convolución Sean y funcione coninua en el inervalo [, enonce. (ley conmuaiva). (ley diribuiva). (ley aociaiva) 4. Demoración: La demoración de ea propiedade e muy imple. Haremo la primera de ella y dejamo la reane al lecor. 60

33 Obervación: in embargo, exien alguna propiedade de la muliplicación ordinaria que la convolución no iene. Por ejemplo, no e ciero en general que ; para ver eo, noe que Ejemplo: Calcule la convolución de y. Solución: Uando la definición e inegración por pare, enemo que [ ] Ejemplo: Calcule la convolución de la funcione. Solución: Uando la definición e inegración por pare y ( ) [ ] [ ] Obervación: para calcular la inegral del ejemplo anerior, hemo uado la idenidad Ora idenidade que pueden er úile en el cálculo de inegrale imilare on El iguiene eorema eablece un reulado de mucha imporancia eórica y prácica, como veremo. 6. Teorema de convolución Si y exien para, enonce Obervación: La forma invera del eorema de convolución 6

34 e muy imporane en la olución de ecuacione diferenciale, pue no puede eviar el cálculo de fraccione parciale compleja. Ejemplo: Calcule Solución: Uando el eorema de convolución enemo que Obervación: como ya hemo calculado el reulado obenido aneriormene ( ) podemo corroborar como obuvimo en el ejemplo anerior. Lo iguiene ejemplo mueran el uo de la forma invera del eorema de convolución para el cálculo de ranformada invera. Ejemplo: Calcule la iguiene ranformada invera Solución. Uando el eorema de convolución Obervación: en ee ejemplo el uo de fraccione parciale reula viable, pue Lo iguiene ejemplo mueran iuacione donde el uo de fraccione parciale puede er realmene complejo, comparado con el uo del eorema de convolución. Ejemplo: Calcule la iguiene ranformada invera Solución: Uando el eorema de convolución, enemo 6

35 ( ) Obervación: en ee ejemplo la expanión en fraccione parciale no e an imple ( ) Ejemplo: Calcule la iguiene ranformada invera Solución: Uando convolución [ ] El iguiene corolario e úil en el cálculo de la ranformada de una inegral. 6. Corolario Tomando en el eorema de convolución enemo que { } donde Demoración: { } Ejemplo: Calcule la iguiene ranformada { } Solución: Uando el corolario anerior y el eorema de muliplicación por, enemo que 6

36 { } UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO ( ) 6.4 Funcione periódica E muy común, epecialmene en aplicacione ligada a circuio elécico, la preencia de una fuerza exerna periódica. E uual ener volaje en forma de onda diene de ierra, onda en ecalón, ec. Por lo que e neceario calcular u ranformada. 6.5 Teorema: Tranformada de una función periódica Sea [ una función coninua a rozo y de orden exponencial en el inervalo [. Si e periódica, con periodo, enonce Demoración Uando la definición Ejemplo: Calcule, donde e la función periódica diene de ierra que e muera en la figura iguiene. 64

37 Figura Solución: El período de ea función e dada por y u ranformada eá ( ) ( ) ( ) 6.6 Función impulo uniario Alguno iema mecánico uelen ear omeido a una fuerza exerna (o a una enión elécrica en el cao de lo circuio elécrico) de gran magniud, que olamene acúa durane un iempo muy coro. Por ejemplo, una decarga elécrica podría caer obre el ala vibrane de un avión; a un cuerpo ujeo a un reore podría dárele un fuere golpe con un marillo, una peloa (de beibol, de golf o de eni) inicialmene en repoo, podría er enviada velozmene por lo aire al er golpeada con violencia con un objeo como una bae de beibol, un baón de golf o una raquea de eni. La función impulo uniario puede ervir como un modelo para al fuerza. 65

38 6.7 Definición: Impulo uniario La función [ dada por { Donde, e conoce como la función impulo uniario. La gráfica de la función ecalón para y e muera en la figura iguiene. Obervación: para valore pequeño de, e iene que e una función conane de gran magniud que ea aciva por un iempo muy coro alrededor de. Figura 6.8 Teorema: Área bajo la función impulo La función impulo uniario aiface la propiedad y de aquí u nombre. Demoración En la prácica e conveniene rabajar con oro ipo de impulo llamado función de Dirac 6.9 Definición: Función dela de Dirac La función dela de Dirac eá dada por 66

39 Obervación: la función dela de Dirac, no e una función, realmene e lo que e conoce como una función generalizada (o diribución) Teorema: Propiedade de la función dela La función dela de Dirac aiface la iguiene propiedade { El iguiene eorema eablece la ranformada de Laplace de la función dela de Dirac 6.4 Definición: Tranformada de dela Para Demoración: Para iniciar la prueba debemo ecribir la función impulo uniario en érmino de la función ecalón uniario ( ( ) ( )) De donde enemo que { ( )} { ( )} ( ) ( ) ( ) con lo cual ( ) Obervación: a parir de e razonable concluir que. Eo reafirma el hecho de que no e una función ordinaria, pueo que e epera que cuando. 67

40 Ejemplo: Calcule Solución: Claramene 6.4 Teorema: Tranformada de Para, enemo que Demoración Uando la definición de ranformada y la uiución que ( ), enemo Ejemplo: Calcule Solución. Uando el eorema anerior ( ) Ejemplo: Calcule Solución: Uando el primer eorema de ralación, enemo que { } { } Ejemplo: Calcule donde e la función de Beel de orden cero dada por la erie Solución. Aplicando ranformada de Laplace [ ] [( ) ] 68

41 Obervación: en ee ejemplo hemo uado que Para. 69

42 70 Taller 6.. Laplace pare Uilizando lo eorema vio obre ranformada, efecuar lo iguiene ejercicio. Ejercicio. Morar que en e e co Ejercicio. Morar que en e e co 5 4 Ejercicio. Morar que en an Ejercicio 4. Morar que en an Ejercicio 5. Morar que en e an Ejercicio 6. Morar que en co 8 Ejercicio 7. Hallar dr enr 0 Ra: Ejercicio 8. Hallar 4 Ejercicio 9. Hallar Ejercicio 0. Morar que Ejercicio. Hallar e 5

43 Ejercicio. a) Si f e coninua a ramo y de orden exponencial y i f lím exie, enonce donde F f 0 f F d b). Morar que f d F 0 0 d c). Hallar. enbx e ax b dx Ra: g 0 x a. ax bx e e b dx Ra: ln 0 x a e e ln ln. Morar que, con co ar a 4. Morar que dr ln 0 r 5. Morar formalmene, que i x 0 enonce a) enx co x x d f x d e 0 0 x f ; b) Ejercicio. Morar que e a). U e en e c). U en e d). U co b). en U 7

44 6.4 Aplicacione De La Tranformada A Ecuacione Diferenciale Con Condicione Iniciale. Pao: Aplicar la ranformada a ambo lado de la ecuación. Aplicar el eorema de la ranformada de la derivada. y Y y 0 y Y y0 y0 donde Y y Coneguir una función en, e decir, depejar Y Hallar la ranformada invera: y Y Ejemplo 5. Hallar la olución de y Solución: y y 4 e Y 4 Y Y y 4y 4y y0 y0 4Y y0 4Y 4Y 4Y! y Y! 4! 4 6, y 0 0 0! 6! 5 e 0! e 4 y Ejemplo 6. Hallar la olución de y en y d, y 0 0 Solución: 0 y en y d Y Y Y y0 Y 0 7

45 Y y y UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO Y en en( ) Ejemplo 7. Hallar la olución de, y 0 0 Solución: y Y d d y! y Y y0 d d Y Y y0 y0 Y! d Y Y! d Y Y Y Y Y Y 5 F.I e d e ln 5 C Y 4 y C 4, E.D lineal de primer orden d C C!! C Ejemplo 8. Hallar la olución de y' ' y 0 Solución: d y' ' Y ( y' ' Y d, y 0 0 7

46 74 Y y y Y d d 0 0 Y Y Y Y Y d d Y Y Y Y Y Y Y Y Y F.I. ln e d e, E.D. lineal del primer orden e F I.. C F I e Y 0.. e C e C Y...!...!!! n n n C...!...!!! 5 4 n n n C Y y Y y...!!... 4! 4!!!!!!! 4 n n C n n

47 Taller 6.. Laplace pare Reolver lo iguiene ejercicio por ranformada de Laplace. Ejercicio. y y y 4 ydr 6e 4 6 4, y Ejercicio. y 6 y 9 yr dr, y 0 0 Ejercicio. y co yrco rdr, y 0 Ejercicio 4. y y y 0 Ejercicio 5. y y y 0 Ejercicio 6. y y f 0 0, y 0 Ejercicio 7. y y f y 0 y , y y, Ra., y 0 0, y 0 4 donde f f y 4 donde f enu, 5y 6y U Ra. y co en U en U y 0 Ejercicio 8. y, y, y 0 y 0 0, 0 Ejercicio 9. y y e co, Ra. y e co e en ) Ejercicio 0. Hallar i. f rf r 0 enr f i: dr ii. 4 f rdr f 0 iii. f e r f r 0 dr Ra: f en 8 8 y 4 4 Ra. f e e e e Ejercicio. Sea x la olución de la ecuación de Beel de orden cero. x xx0 al que x 0 y x 0 0. Demorar que a) x J 0, b) Morar 0 formalmene xdx J 0 x cox co d J, c) Morar formalmene 0 75

48 Problema de aplicación : Un cuerpo de 40 libra de peo eá ujeo a do reore iguale y a un amoriguador. Si a parir del repoo e le aplica una velocidad de y un agene exerno le comunica una fuerza conane de libra. Encuenra la ecuación de movimieno. La conane de cada reore e de la conane del amoriguador e de : Solución lb Condicione iníciale:,, en Planeamieno de la ecuación diferencial Suiuyendo ( ) Realizando operacione para dejar la deriva de mayor orden libre de coeficiene: Aplicando la ranformada a oda la ecuación omando en cuena la condicione iníciale 76

49 Facorizando la ranformada y depejándola Aplicando la ranformada invera { } Como no hay fórmula direca para reolver la expreión, debemo implificarla en una uma de fraccione parciale má encilla Reolviendo, e obienen la ecuacione { Con lo que e obiene Por lo que la ranformada invera queda La olución e: Haciendo [ ] Se obiene: 77

50 Problema de aplicación : una fuerza de 400 N eira m un reore. Depué el exremo de ee reore e fija una maa de 50 Kg y pare de la poición de equilibrio a una velocidad de 0 m/ hacia arriba, deduzca la ecuación del movimieno. Solución: Dao: Modelación maemáica Simplificando Aplicando la ranformada de Laplace Facorizando Depejando Aplicando la ranformada invera { } 78

51 6.44 Modelación De Siema Con La Tranformada De Laplace Problema de aplicación : SUSPENSIÓN DE UN AUTOMÓVIL Maa del auomóvil Fuerza de enrada f m Deplazamieno alida del iema Z b MODELACIÓN MATEMÁTICA F ma dz( ) d z( ) f ( ) k z( ) b m d d El rol de la ranformada de Laplace, converir la ecuación diferenciale a ecuacione algebraica Supenión de un auomóvil dz( ) d f ( ) k z( ) b m d z( ) Aplicando la ranformada de Laplace a cada érmino (coniderando condicione iníciale igual a cero. F( ) k Z( ) b Z( ) m F( ) Z( ) m b k Z( ) función de ranferencia F( ) m b k La función de ranferencia Repreena el comporamieno dinámico del proceo, y no indica cómo cambia la alida de un proceo ane un cambio en la enrada Z( ) d 79

52 Y ( ) Cambio en la alida del proceo X ( ) Cambio en la enrada del proceo Y ( ) X ( ) Diagrama de bloque Repueadel proceo Función forzane Enrada del proceo (función forzane o PROCESO Salida del proceo (repuea al eímulo) Supenión de un auomóvil Enrada (Bache o hueco) Salida (deplazamieno del auomóvil.) Repreenación gráfica 0 x Enrada (Bache o hueco) x 0 4 Salida (deplazamieno del auo.) 80

53 Problema de aplicación 4: NIVEL EN UN TANQUE q i Flujo de : Alura A Área del anque q o Flujo de alida MODELACIÓN MATEMÁTICA R Reiencia de la válvula Flujo que enra Flujo que ale = Acumulamieno dh( ) qi ( ) qo( ) A d h( ) R q ( ) o dh( ) qi ( ) h( ) A R d El rol de la ranformada de Laplace, converir la ecuación diferenciale a ecuacione algebraica dh( ) q i ( ) h( ) A R d Aplicando la ranformad de Laplace Qi( ) H ( ) AH ( ) R Qi( ) H ( ) ( A ) R H ( ) R Función de ranferencia Qi ( ) AR A R 8

54 Problema de aplicación 5: CIRCUITO ELÉCTRICO MODELACIÓN MATEMÁTICA di( ) e i ( ) L Ri( ) i( ) d i( ) d eo ( ) d C C El rol de la ranformada de Laplace, converir la ecuación diferenciale a ecuacione algebraica di( ) ei ( ) L Ri( ) i( ) d i( ) d eo ( ) d C C Aplicando la ranformada de Laplace di( ) { e i ( ) L Ri( ) i( ) d } { i( ) d eo ( ) d C C } ( ) L I( ) R I( ) I( ) I( ) Eo( ) C C E i Combinando la ecuacione (depejando para ) Ei ( ) L C Eo ( ) R C Eo ( ) C C E ( ) E i Eo ( ) E ( ) L C i E ( ) ( ) L C o R C R C o 8

55 Problema de aplicación 6: Deermine la carga y la corriene en un circuio en erie en el cual la inducancia e de Henry la reiencia e de 0 Ohm la capaciancia e de 0.0 Farad. Al cual e le aplica una enión de 0 Sen 0 vol. Solución La caída de enión en cada dipoiivo del circuio eá dada por: Aplicando la Ley de Kirchhoff Eo e Al uiuir ( ) Aplicando la ranformada Facorizando la ranformada 8

56 Depejando la ranformada Aplicando la ranformada invera Simplificando la expreión a una uma de fraccione parciale Reolviendo enemo que,, y Suiuyendo e iene 84

57 Problema de aplicación 7: Conidere el circuio cuando el inerrupor e cierra en con V C. Obener la corriene en el circuio. Solución: Aplicando la Ley de Kirchhoff Eo e Como: () Suiuyendo en () Muliplicando por Aplicando la ranformada de Laplace { } { } { } [ ] 85

58 Ahora, en ee ejemplo, e no dice UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO [ ] Eo e: Por ano Noa [ ] [ ] [ ] Agrupando érmino y reando de ambo lado: ( ) Aplicando la ranformada invera enemo La grafica de la olución e 86

59 Tranformada de Circuio: Reiencia Análii de la Caída de Tenión Análii para Corriene Inducancia Capacior 87

60 Taller 6.. Laplace pare Uilice ranformada de Laplace para reolver lo problema con valore iníciale de a4 ) ;, ) ;, ) ;, 4) ;, 5) ;, 6) ;, 7) ;, 8) ;, 9) ;, 0) ;, ), ;, ), ;, ), ;, 4), ;,, 5) Una maa unida a un reore (con conane ), recibe un impulo en un inane. Muere que lo problema con valore iníciale ;, Y ;, Tienen la mima olución. Aí el efeco de conie en proporcionar a la parícula un momeno inicial 6) Deermine la corriene en un circuio en erie, cuando,,, [ ] e 7) Deermine la corriene en un circuio en erie, cuando,,, [ ] e 88

61 8) Aplique la ranformada de Laplace para calcular la carga en el capacior de un circuio en erie, cuando,, y e la que aparece en la iguiene figura E E e Figura figura 9) Ue la ranformada de Laplace para deerminar la carga en el capacior de un circuio en erie, cuando,, y e la que aparece en la iguiene figura E 0) una fuerza de 900 N eira.5 m un reore. Depué el exremo de ee reore e fija una maa de 00 Kg y pare de la poición de equilibrio a una velocidad de 5 m/ hacia arriba, deduzca la ecuación del movimieno. ) Una pea de 4 lb eira f un reore. Dicha pea pare del repoo a 8 in arriba de la poición de equilibrio y el movimieno e produce en un medio que preena una fuerza de amoriguamieno numéricamene igual a por la velocidad inanánea. Con la ranformación de Laplace encuenre la ecuación del movimieno. 89