Flujo en Redes. Algoritmos y Estructuras de Datos III

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Manuel Cano Acosta
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1 Flujo en Rede Algorimo y Erucura de Dao III

2 Flujo en Rede Definicione: Una red N = (V, X ) e un grafo orienado conexo que iene do nodo diinguido una fuene, con grado de alida poiivo y un umidero, con grado de enrada poiivo. Una función de capacidade en la red e una función c : X R 0.

3 Flujo en Rede

4 Flujo en Rede

5 Flujo en Rede Definicione: Un flujo facible en una red N = (V, X ) con función de capacidad c, e una función f : X R 0 que verifica:. 0 f (e) c(e) para odo arco e X.. Ley de conervación de flujo: f (e) = e In(v) e Ou(v) para odo nodo v V \ {, }, donde f (e) In(v) = {e X, e = (w v), w V } Ou(v) = {e X, e = (v w), w V } El valor del flujo e F = e In() f (e) e Ou() f (e).

6 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0)

7 Flujo en Rede Problema: Deerminar el flujo de valor máximo F que e puede definir en una red N = (V, X ). Definicione: Un core en la red N = (V, X ) e un ubconjuno S V \ {}, al que S. Dado S, T V, ST = {(u v) X : u S y v T } Propoición: Sea f un flujo definido en una red N = (V, X ) y ea S un core, enonce F = f (e) f (e) donde S = V \ S. e S S e SS

8 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0)

9 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0)

10 Flujo en Rede F = (9,0) (0,) (,) (,0) (,0) (0,0) (,0) (8,) (0,) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0)

11 Flujo en Rede Definición: La capacidad de un core S e define como c(s) = c(e). e S S Lema: Si f e una función de flujo con valor F y S e un core en N, enonce F c(s). Corolario (cerificado de opimalidad): Si F e el valor de un flujo f y S un core en N al que F = c(s) enonce f define un flujo máximo y S un core de capacidad mínima.

12 Flujo en Rede C =

13 Flujo en Rede C =

14 Flujo en Rede C =

15 Flujo en Rede C = 8 F = (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0)

16 Flujo en Rede C = 8 F = 8 (9,9) (0,0) (,0) (,) (,0) (0,9) (,) (8,8) (0,9) (,) (,0) (,) (,0) (0,0) (0,)

17 Flujo en Rede - Camino de Aumeno Definicione: Dada una red N = (V, X ) con función de capacidad c y un flujo facible f, Definimo la red reidual, R(N, f ) = (V, X R ) donde (v w) X, (v w) X R i f ((v w)) < c((v w)) (w v) XR i f ((v w)) > 0. Un camino de aumeno e un camino orienado P de a en R(N, f ).

18 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

19 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

20 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

21 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

22 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

23 Flujo en Rede - Camino de Aumeno Definicione: Dada una red N = (V, X ) con función de capacidad c y un flujo facible f, Para cada arco (v w) en el camino de aumeno P, definimo ((v w)) = { c((v w)) f ((v w)) f ((w v)) i (v w) X i (w v) X Y (P) = mín e P { (e)}

24 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f )

25 Flujo en Rede - Camino de Aumeno N (9,) (0,0) (,) (,0) (,0) (0,) (,) (8,8) (0,8) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (0,0) R(N, f ) (P) =

26 Flujo en Rede - Algorimo de camino de aumeno Enrada: Dada una red N con función de flujo f, la red reidual R(N, f ) = (V, X R ). S := {} mienra / S y (v w) X R y v S y w / S hacer an(w) := v S := S {w} fin mienra i / S enonce reornar S core de V i no reconruir P enre y uando an a parir de reornar P camino de aumeno fin i

27 Flujo en Rede - Algorimo de camino de aumeno Propoición: El algorimo de camino de aumeno deermina un camino de aumeno i exie, y i no llega a incorporar a en S e porque no hay camino de aumeno. El algorimo de camino de aumeno no dice en que orden deben incorporare lo nodo a S.

28 Flujo en Rede Propoición: Sea f un flujo definido obre una red N con valor F y ea P un camino de aumeno en R(N, f ). Enonce el flujo f, definido por f ((v w)) i (v w) / P f ((v w)) = f ((v w)) + (P) i (v w) P f ((v w)) (P) i (w v) P e un flujo facible obre N con valor F = F + (P). Teorema: Sea f un flujo definido obre una red N. Enonce f e un flujo máximo no exie camino de aumeno en R(N, f ). Teorema: Dada una red N, el valor del flujo máximo e igual a la capacidad del core mínimo.

29 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron Enrada: Red N = (X, V ) con función de capacidad c : X R +. definir un flujo inicial en N (por ejemplo f (e) := 0 para odo e X ) mienra exia P := camino de aumeno en R(N, f ) hacer para cada arco (v w) de P hacer i (v w) X enonce f ((v w)) := f ((v w)) + (P) i no ((w v) X ) f ((w v)) := f ((w v)) (P) fin i fin para fin mienra

30 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0)

31 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) R(N, f )

32 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) R(N, f )

33 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,0) R(N, f )

34 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,0) R(N, f )

35 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

36 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

37 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

38 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

39 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

40 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,0) (,0) (,) (,0) (,0) (,0) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

41 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,) (,) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

42 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron (,) (,) (,0) (,0) (,) (,) (,) (,) (,0) (,) R(N, f )

43 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron Teorema: Si la capacidade de lo arco de la red on enera el problema de flujo máximo iene un flujo máximo enero. Teorema: Si lo valore del flujo inicial y la capacidade de lo arco de la red on enera el méodo de Ford y Fulkeron realiza a lo umo nu ieracione, iendo enonce O(nmU), donde U e una coa uperior finia para el valor de la capacidade. Si la capacidade o el flujo inicial on número irracionale, el méodo de Ford y Fulkeron puede no parar (realizar un número infinio de pao). Si no e epecifica el orden en el que e eligen lo arco y nodo a marcar en el algorimo de camino de aumeno, el número de ieracione puede er no polinomial repeco del amaño del problema.

44 Flujo en Rede - Algorimo de Ford y Fulkeron σ = ( )/ Ieración Camino de aumeno + σ + σ + σ + σ σ k + k +,,,,,,,,,,, + σ + σ σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ k + k + k +,,,,,,,,,,,,,,,, k +,,,,,,

45 Flujo en Rede - Modificación de Edmond y Karp Ua BFS en el algorimo de camino de aumeno para marcar nodo. La complejidad del algorimo e O(m n). Hay oro algorimo má eficiene (má complicado).

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