PROYECTO FIN DE CARRERA. Segmentación de imágenes y teoría de grafos

Transcripción

1 PROYECTO FIN DE CARRERA Segmenación de imágene y eoría de grafo Suana M a Rodríguez Lázaro Julio de Deparameno proponene: Maemáica Aplicada Tuore: Carmen Tobar Puene Pedro M. González Manchón Auor: V o B o del uor coordinador: Suana M a Rodríguez Lázaro Carmen Tobar Puene

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3 Índice Inroducción I. Imagen, Segmenación y Energía.. Qué e una imagen? Qué ignifica egmenar una imagen? Energía Qué iene que ver egmenar con el concepo de energía? Alguno ejemplo de energía razonable Grafo 7.. Qué e un grafo? Camino Grafo dirigido Capacidade Rede Core de una red Coe de un core. Core mínimo Flujo en una red El valor de un flujo. Flujo máximo El coe del mínimo core e el valor del flujo máximo Qué e una red reidual? Relación enre Energía y Grafo 5.. Imagen y grafo Segmenación binaria y core de un grafo Energía repreenable por un grafo Cómo on la energía que e pueden repreenar por grafo? Término V p Término V p,q Energía de la abla El algorimo de Boykov/Kolmogorov 5.. Objeivo Inpu Oupu Definicione involucrada en el algorimo

4 ... Árbole S y T Nodo libre Nodo acivo y paivo Eapa del algorimo Final del algorimo Orden de recorrido de nodo y arco Orden de recorrido de lo nodo Orden de recorrido de lo arco Proceo del algorimo Reulado del algorimo Aplicación: egmenación de imágene 5.. Término dependiene de una variable Término dependiene de do variable Ejemplo prácico Concluione 5 Referencia 7

5 Inroducción En la iguiene figura podemo ver la imagen de do hígado, uno ano y oro enfermo. Figura : Un hígado ano y un hígado en el que e aprecia un umor Ea imágene, y la problemáica que conlleva el proceamieno de imágene en general, y médica en paricular, e el origen de nuero proyeco. En la imagen de la derecha e aprecia un hígado alerado, y ería imporane realar ea aleración mediane algún ipo de ofware, que pudiee delimiar con claridad la zona alerada, e decir, egmenarla. La egmenación e una écnica de raamieno digial de imágene que permie la eparación de la diferene pare de una imagen que perenecen o pueden perenecer a una mima erucura. E pare del raamieno y proceamieno general de imágene. En el cao de la imágene médica relacionada con el hígado, e por ejemplo imporane poder egmenar un hígado ano para poder calcular u volumen, un requiio neceario ane de una donación de un paciene ano, en el que prima donar y al mimo iempo conervar un volumen de hígado uficiene. La egmenación e la conecución de do area que on complemenaria: el reconocimieno y la delineación. El reconocimieno e la ubicación del objeo a eparar. La delineación e la deerminación de la exenión del objeo y u diferenciación del reo de la imagen.

6 El objeivo e enconrar méodo de egmenación que ean capace de delinear lo objeo de forma precia y an eficiene como lo podría hacer un radiólogo expero, y hacerlo de modo auomáico, in la inervención de ée. Exien diferene forma a parir de la cuale e puede obener una egmenación de una imagen (ecuacione en derivada parciale, geomería diferencial, ec). En nuero proyeco uamo como referencia el algorimo dearrollado por Yuri Boykov y Vladimir Kolmogorov, baado en la eoría de grafo. Una función de energía e báicamene un modo de evaluar la diina egmenacione que podríamo realizar. Un problema difícil conie en enconrar ea función de energía, que inenaría evaluar diino apeco de la imagen. Una energía razonable debería aignar bajo valore de energía a buena egmenacione del hígado, y alo valore de energía a egmenacione mala. Idealmene, nuera energía debería aignar el menor de lo valore a la mejor de la egmenacione. En ee proyeco, en cambio, parimo de una función de energía razonable, que aumimo ya dada. E enonce cuando aparece un egundo problema, clave en la egmenación; e raa de un problema de minimización, coniene en enconrar la egmenación con menor nivel de energía. Ee problema puede expreare en érmino de grafo, cuando la energía e de ipo ubmodular. Sin raar de er precio por el momeno, báicamene e conruye un grafo que iene por vérice a lo píxele de la imagen, juno con oro do vérice erminale ( y ), y e aigna una capacidad (un valor poiivo) a cada aria del grafo. La egmenacione binaria de la imagen (que diinguen en general objeo y fondo, hígado de lo no hígado, o un umor denro de un hígado), e correponden enonce con lo core del grafo, e decir, una parición de lo vérice de ée que agrupa uno con el vérice erminal (fuene) y el reo con el vérice erminal (umidero). El coe de un core del grafo e calcula umando la capacidade de la aria cuyo exremo e han agrupado, uno con, el oro con. Si la capacidade han ido aignada adecuadamene (coa que e ólo poible cuando la energía e de ipo ubmodular), e verifica enonce que, alvo una conane, la energía de una egmenación de la imagen e correponde con el coe del core correpondiene en el grafo. En reumen, para energía de ipo ubmodular, y al meno de modo eórico, podemo decir que el problema de enconrar la mejor egmenación e reduce al problema de enconrar el core con menor coe de un grafo con capacidade. Lo inereane de ee auno e el hecho de que eo puede hacere mediane algorimo, en iempo polinomial. La razón e que, de acuerdo con el Teorema de Ford ii

7 y Fulkeron, eo equivale a enconrar el flujo máximo, un problema para el que ya e conocían algorimo de reolución en iempo polinomial. Para enender la idea fundamenal de ea comparación, uno imagina la aria del grafo como ubería, y enonce la capacidad de ea aria mide en realidad la capacidad de dicha ubería. El flujo máximo e el valor del caudal mayor que podemo hacer circular enre la fuene y el umidero. Ee proyeco e cenra en un algorimo concreo, que calcula el flujo máximo (y por ano el coe mínimo del core, y por ende la egmenación de la imagen con menor energía), debido a Boykov y Kolmogorov. El objeivo del proyeco ha ido doble. Por un lado e ha eudiado en profundidad el arículo [], raando de reproducir de un modo claro, precio y aequible, la idea que coniene. La primera ección raa de deallar, pao a pao, la relación enre el problema original, la egmenación de una imagen, y cómo e refleja eo en el problema de core mínimo de un grafo con capacidade. En concreo preenamo una encilla hoja de cálculo en el que e dicuen re funcione de energía diina, uada para evaluar la dieciéi poible egmenacione de una imagen con cuaro píxele. En la expoición e han recorrido odo lo concepo involucrado, explicándolo con deenimieno, y poniendo encillo ejemplo de odo ello. El egundo objeivo ha ido el eudio deenido del algorimo de Boykov y Kolmogorov, con el que e han realizado ademá una erie de prueba, que e incluyen en una ección final del proyeco. Depué de explicar la diina eapa del algorimo, e preenó un ejemplo encillo de grafo, en el que e igue pao a pao la obención del máximo flujo y el mínimo core. Por úlimo e obiene la egmenación de una imagen uando la écnica eudiada. Se uan la energía propuea por Boykov. Se ha implemenado dede MATLAB uando el código fuene C++ faciliado por Boykov y diponible en la web. iii

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9 . Imagen, Segmenación y Energía.. Qué e una imagen? Una panalla Ω eá formada por píxele p. La imagen I la coniuyen eo píxele p juno con un nivel de gri I p para cada píxel. Formalmene una imagen I e una aplicación (aignación) I : Ω R [, ] p I p El valor I p e la inenidad de gri en el píxel p. Por ejemplo, una imagen x, coniuida por 9 píxele, ería la iguiene: Se vería apróximadamene una imagen aí:.. Qué ignifica egmenar una imagen? Imaginemo por ejemplo la imagen diagnóica del hígado de un paciene. En ea imagen queremo reconocer el hígado y un poible umor. Podríamo reconocer el hígado en negro, el umor en rojo y el fondo en blanco, para lo que neceiaríamo eiquea: L = {,, } = {negro, blanco, rojo} Una egmenación f e define como una aplicación

10 Proyeco Fin de Carrera f : Ω R L donde L = {,,,...n} e el conjuno de eiquea. En nuero proyeco rabajaremo excluivamene con egmenacione binaria. Una egmenación binaria e define como una aplicación: f : Ω R {, } y e noa por f p {, } al valor de la egmenación en el píxel p. E decir, f : Ω R {, } p f p El conjuno de poible egmenacione de una imagen e denoa por L Ω. Aí, en una imagen x coniuída por píxele, i a cada píxel le aignamo una eiquea que puede er ó, el número de egmenacione poible erá = 6. Si enemo N píxele, el número de poible egmenacione erá N... Energía Una energía e una aplicación E : L Ω R f E(f) E decir, una energía aigna a cada poible egmenación f un valor numérico E(f)... Qué iene que ver egmenar con el concepo de energía? Diponer de una energía e diponer de un modo de evaluar la calidad de la egmenacione. Para ello enendemo que una egmenación e mejor cuana menor energía aociada iene, e idealmene la mejor egmenación e correponde con aquella que iene menor energía aociada. Se raa pue de:. Enconrar una energía adecuada para evaluar la poible egmenacione.. Una vez que enemo una energía E, que e acepa como buena para evaluar la poible egmenacione, habría que enconrar la egmenación f con menor energía, e decir, al que E(f ) E(f) para cualquier ora egmenación f.

11 Segmenación de imágene y eoría de grafo En el enido del puno, podemo decir que la egmenación de imágene e un problema de opimización de energía..5. Alguno ejemplo de energía razonable Vamo a dearrollar un ejemplo encillo a parir de una imagen, formada por píxele, con lo iguiene valore de inenidad:.5.8 Compararemo re energía diina, para lo que uilizamo de opore para nuero ejemplo un archivo Excel, en el que repreenamo: La 6 poible egmenacione. Energía. El valor de la energía para cada egmenación f depende excluivamene de la diferencia enre la inenidad I p de cada píxel y el valor de la eiquea f p aignada al mimo. Con preciión, E(f) = p V p (f p ) iendo V p (f p ) = f p I p donde p recorre el conjuno de lo píxele. Se penaliza en ee cao que la eiquea ea muy diina del nivel de gri del píxel. En nuero ejemplo, el valor de la energía para la egmenación número e el má bajo, aí que la ercera egmenación ería la mejor. Energía. El valor de la energía para cada egmenación f iene en cuena la vecindad de cada píxel.un iema de vecindad a e aquel en el que conideramo que cada píxel iene vecino, a aber, derecha, izquierda, arriba y abajo. E(f) = p,q V p,q (f p, f q ) iendo V p,q (f p, f q ) = f p f q I p I q donde p, q van recorriendo la poible pareja de píxele vecino, ignificando eo que ambo eán uno a la derecha del oro, o uno encima del oro. En nuero ejemplo, el valor de la energía para la egmenacione 7 y 8 e el má bajo, aí que cualquiera de ea do egmenacione e ópima.

12 Proyeco Fin de Carrera Cuadro : Comparaiva de re energía Segmenacione Energía Energía Energía,,,5,,6,7,97,5,,, 5,, 6,,98 5, 7,99,, 8,,, 9,97,98,95,,96,99,97,96,9,99,99,97,97,,9,97 5,99,6,5 6,99,,

13 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5 Energía. El valor de la energía para cada egmenación f e obiene como uma de la do energía aneriore: E(f) = p V p (f p ) + p,q V p,q (f p, f q ) En nuero ejemplo, el valor de la energía para la egmenación 7 e el má bajo.

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15 Segmenación de imágene y eoría de grafo 7. Grafo.. Qué e un grafo? Un grafo e un par G = (V, E) de conjuno al que cada elemeno de E e un ubconjuno formado por do elemeno de V. Lo elemeno de V on lo vérice o nodo del grafo. Lo elemeno de E on la aria. La aria {p,q} normalmene e denoa por pq (ó qp). Do vérice p, q V on adyacene o vecino en G i pq E Figura : V = {,,,, 5, 6, 7} y E = {{, }, {, }, {, 5}, {, 6}, {, 7}, {6, 7}}... Camino Dado un grafo (V, E), un camino e un nuevo grafo P = (V, E ) con V = {x, x,..., x k } V y E = {x x, x x,..., x k x k } E, donde lo x i on odo diino. Se dice que lo vérice x y x k eán unido por el camino P, o que on lo vérice erminale de P. La longiud del camino e u número de aria. Un camino e noa por u vérice, e decir, P = x x...x k.

16 8 Proyeco Fin de Carrera Grafo dirigido Figura : Camino P = 67. Un grafo dirigido e un par G = (V, E) de conjuno al que lo elemeno de E on pare ordenado del conjuno de vérice V, e decir, E V V. Inuiivamene, un grafo dirigido e un grafo en el que e ha eablecido una dirección en cada aria. En un grafo dirigido la aria e noan como pare ordenado, e decir, por (p,q), ignificando éo que la aria eá dirigida de p a q Figura : V = {,,,, 5, 6, 7} y E = {(, ), (, ), (, ), (5, ), (, 6), (7, ), (6, 7)}... Capacidade Una función de capacidade de un grafo G = (V, E) e una aplicación c : E R + {+ } O ea, a cada aria e E e le aigna una capacidad no negaiva c(e). Una inerpreación de eo podría coniderar a la aria como ubería, y la capacidad podría medir el área de la ección raveral de cada ubería.

17 Segmenación de imágene y eoría de grafo 9.5. Rede Una red e un grafo con capacidade. Má formalmene, e un grafo dirigido G = (V, E) al que e le añaden do vérice fijo, V y una función de capacidade c : E R + {+ } Se noa por (G,,, c). Lo vérice y e denominan fuene y umidero repecivamene y no referimo a ello como lo vérice erminale. En una red e diinguen do ipo de aria: la aria erminale y la no erminale. Aria erminal: uno de u vérice e un vérice erminal, ó. Aria no erminal: ninguno de u vérice e erminal Figura 5: Ejemplo de una red. Aunque grafo y red on concepo diino, en mucha ocaione, cuando no hay lugar a duda, e habla de grafo en lugar de red..6. Core de una red Un core en una red (G,,, c) conie en eparar odo lo vérice en do ubconjuno, S y T, de modo que: V = S T S T = S T

18 Proyeco Fin de Carrera Lo core de una red e noan indicando lo do ubconjuno S y T. Ecribimo enonce C = (S, T). En la Figura 6 e muera el core en la red anerior definido por S = {,, } y T = {,,, }. Para indicar el core uilizamo una línea diconinua que paa por encima de la aria dirigida con primer vérice en S y egundo vérice en T Figura 6: Core en una red definido por S = {,, } y T = {,,, }. El número de core de una red con N vérice no erminale e N. En el ejemplo de la Figura 6 hay 5 = poible core..7. Coe de un core. Core mínimo Se denomina coe del core C = (S, T) a C = c(s, T) = p S,q T c(p, q), e decir, e la uma de la capacidade de la aria orienada (p, q) donde p S y q T. Por ejemplo, el coe del core de la Figura 6 e =. En una red, hablaremo de core mínimo para referirno al core con menor coe, de enre odo lo poible core. Como e verá poeriormene, el core mínimo del grafo de la Figura 5 e el definido por S = {,, } y T = {,,, } repreenado en la Figura Flujo en una red Un flujo en una red (G,,, c) e una función F : E [, + )

19 Segmenación de imágene y eoría de grafo verificando la iguiene condicione: El flujo que paa por cada aria e iene que er menor o igual que u capacidad: F(e) c(e) para oda aria e. Para odo vérice x, el flujo enrane coincide con el flujo aliene (véae la Figura 7): F(y, x) = F(x, z) para odo vérice x. y z x Figura 7: Aria enrane y aliene del vérice x. Ya hemo mencionado como viualizar una red en érmino de un iema de ubería, donde la capacidad de una aria ería el caudal máximo que opora la ubería. Igualmene pude penare en un enramado de auopia, con capacidade en función del número de carrile. Podríamo hablar aí del flujo de vehículo, y del flujo máximo de vehículo que opora el ráfico en dicha auopia. En la Figura 8 e repreena un flujo obre el grafo anerior. En cada aria aparecen do valore eparado por una barra a/b, que indican el flujo a y la capacidad b de la aria correpondiene. Por upueo, debe er a < b..9. El valor de un flujo. Flujo máximo Se denomina valor oal de un flujo F al flujo aliene de la fuene, que coincide con el flujo enrane al umidero: F(, V ) = x V F(, x) = x V F(x, ) = F(V, ).

20 Proyeco Fin de Carrera /5 / / / / /7 / / /6 / /5 7/9 Figura 8: Flujo en una red. El valor de un flujo F e denoa por F. Por ejemplo, el valor del flujo repreenado en la Figura 8 e nueve. En una red, hablaremo de flujo máximo cuando el valor de ée ea máximo paa ea red. Puede haber mucho flujo máximo, que endrán odo en común u valor de flujo. En el ejemplo de red morado en la Figura 9, eá repreenado un flujo máximo. Su valor de flujo e. /5 / / / / /7 / / /6 / /5 8/9 Figura 9: Flujo máximo en una red. Al coniderar la analogía enre una red y un iema de ubería, donde la capacidade de la aria e correponden con el caudal máximo de fluido que puede circular por la correpondiene ubería, cuál e la mayor canidad de fluido que podemo ranporar dede la fuene al umidero repeando la rericcione que marcan la capacidade? Ee e el problema coniene en enconrar el flujo máximo (max-flow). El valor de ee flujo ería la canidad de flujo que puede enrar por el nodo fuene y alir por el nodo umidero.

21 Segmenación de imágene y eoría de grafo.. El coe del mínimo core e el valor del flujo máximo El Teorema de Ford y Fulkeron eablece que el problema de máximo flujo en un grafo e equivalene al problema de mínimo core: el coe del core mínimo coincide con el valor del flujo máximo. Se han dearrollado algorimo conocido como min-cu/max-flow de reolución en iempo polinomial. Uno de ello, debido a Boykov y Kolmogorov [], e eudia poeriormene... Qué e una red reidual? Si una red eá definida por (G,,, c), y F e un flujo en la red, e define la red reidual aociada como (G F,,, c F ), donde:. G F e un grafo, denominado grafo reidual, definido como G F = (V, E F ), iendo E F = V V.. c F e la capacidad reidual en una aria (p, q) y e define como el máximo flujo adicional que puede ir de p a q uando la aria (p, q) y (q, p). En la Figura e muera la red reidual para el flujo definido en la Figura 8. Figura : Red reidual para el flujo definido en la Figura 8.

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23 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5. Relación enre Energía y Grafo.. Imagen y grafo Una panalla Ω eá formada por píxele p. La imagen I la coniuyen eo píxele p juno con un nivel de gri para cada píxel I p. I I I I I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 A parir de la imagen I conruimo un grafo G = (V, E), coniderando cada píxel de la imagen como un nodo o vérice del grafo, y añadiendo do vérice exra y, aí que V = Ω {, }. v v v v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 Figura : Vérice del grafo aociado a una imagen formada por 9 píxele. Recordar que y on lo llamado vérice erminale. Se diinguen do ipo de aria: la aria erminale y la no erminale. Aria erminal ó -link: uno de u exremo e un vérice erminal ó. Aria no erminal ó n-link: ninguno de u exremo e un vérice erminal... Segmenación binaria y core de un grafo La egmenacione binaria de la imagen e correponden exacamene con lo core del grafo (hay un core por cada egmenación y vicevera).

24 6 Proyeco Fin de Carrera v v v v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 Figura : Grafo aociado a una imagen. Se han omiido alguna de la aria -link. Toda egmenación binaria f, define un core C(S, T) en el grafo de modo que, i v i e el vérice correpondiene al píxel p i, enemo f(p i ) = v i T f(p i ) = v i S Dada una egmenación f, el core correpondiene e denoa por C f. Recíprocamene, i C e un core, la egmenación correpondiene e denoa por f C. Equemáicamene: Segmenación f Core C f Core C Segmenación f C Aí, por ejemplo, dada la imagen I definida aneriormene, una egmenación de la mima puede er que e correponde con el core en el grafo de la Figura. El número de poible egmenacione de la imagen I e N, iendo N el número de píxele. Ée e el mimo número de core poible en el grafo... Energía repreenable por un grafo Dada una imagen I y una energía E E : {, } N R,

25 Segmenación de imágene y eoría de grafo 7 v v v v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 Figura : Core en el grafo correpondiene al ejemplo de egmenación. conruimo una red (G,,, c). La función de capacidade debe definire de modo que, para cualquier egmenación f {, } N, el valor de la energía E(f) coincida con el coe del core correpondien C f, alvo una conane. O ea, E(f) = K + C f. E decir, e lo mimo calcular la energía de una egmenación que calcular el coe del core correpondiene, alvo el valor de ea conane. Como ejemplo, conideremo una imagen con do píxele y la energía definida por la abla I I p \p 8 9 Veamo que ea energía eá repreenada por el grafo de la Figura. La abla demuera que el grafo repreena a la energía, iendo el valor de la conane K de la definición. Lo cuaro poible core del grafo eán repreenado en la Figura 5... Cómo on la energía que e pueden repreenar por grafo? La energía que e uilizan en la egmenación de imágene on de la forma V p (f p ) + V p,q (f p, f q ). p p,q

26 8 Proyeco Fin de Carrera 5 v v 8 Figura : Grafo que repreena la energía anerior. E(f) Segmenación Core C (,) S = {,, }, T = {} (,) S = {, }, T = {, } 8 (,) S = {, }, T = {, } 8 9 (,) S = {}, T = {,, } 9 Cuadro : Energía de una egmenación y el coe del core correpondiene. C 5 C C v v 8 C Figura 5: Core en el grafo de la Figura. Lo érmino V p indican la preferencia de eiquea del píxel p y eán baado en la inenidad. Lo érmino V p,q indican la ineracción enre píxele vecino [], []. Si cada uno de lo érmino de la energía puede repreenare por grafo, la energía vendrá repreenada por el grafo con capacidade igual a la uma de la capacidade parciale.

27 Segmenación de imágene y eoría de grafo 9... Término V p Lo érmino dependiene de un único píxel, V p, on iempre repreenable por grafo. Sólo e ienen aria -link, iendo u capacidade (Figura 9) c(, p) = máx{, V p () V p ()}, c(p, ) = máx{, V p () V p ()}. máx{v p () V p (), } p máx{v p () V p (), } En efeco: Si V p () V p (), Figura 6: Grafo aociado al érmino de la energía V p. El coe del core definido por lo conjuno S = {} y T = {, p} e. El valor de la energía para la egmenación correpondiene a ee core (f p = ) e V p (). El coe del core definido por lo conjuno S = {, p} y T = {} e V p () V p (). El valor de la energía para la egmenación correpondiene a ee core (f p = ) e V p (). Enonce, V p (f) = K + C f para oda egmenación con K = V p ()). Si V p () V p (), El coe del core definido por lo conjuno S = {} y T = {, p} e V p () V p (). El valor de la energía para la egmenación correpondiene a ee core (f p = ) e V p (). El coe del core definido por lo conjuno S = {, p} y T = {} e. El valor de la energía para la egmenación correpondiene a ee core (f p = ) e V p ().

28 Proyeco Fin de Carrera Enonce, V p (f) = K + C f para oda egmenación con K = V p ().... Término V p,q Lo érmino de la energía dependiene de do píxele, V p,q, no iempre on repreenable por grafo. Kolmogorov y Zabih [] eudian la condicione que deben cumplir eo érmino para er repreenable, demorando que la condición necearia y uficiene e que ea ubmodular. Eo e raduce en V (, ) + V (, ) V (, ) + V (, ). Una forma encilla de comprobarlo e ecribir la energía V p,q de la forma V p,q (f p, f q ) = a + a p f p + a q f q + af p f q. Lo coeficiene a, a p, a q y a e obienen de la ecuacione V (, ) = a V (, ) = a + a q V (, ) = a + a p V (, ) = a + a p + a q + a, de donde e obiene a = V (, ) a q = V (, ) V (, ) a p = V (, ) V (, ) a = V (, ) + V (, ) V (, ) V (, ). p a q a Figura 7: Repreenación por un grafo del érmino af p f q, con a. Lo érmino a p f p y a q f q de V p,q dependen cada uno de ello de un ólo píxel y, como e ha vio, e pueden repreenar por grafo con aria -link. El érmino que depende

29 Segmenación de imágene y eoría de grafo de lo do píxele, af p f q, e repreenable por grafo i y ólo i a, con capacidade (véae la Figura 7 en la página anerior): c(p, q) = a, c(q, ) = a. Obervar que la condición a = V (, ) + V (, ) V (, ) V (, ) e equivalene a la condición de ubmodularidad. Ejemplo Conideramo la energía definida para una imagen con do píxele via al inicio de la ección: p\q 8 9 Al er a =, e una función ubmodular y por lo ano repreenable por grafo. Siguiendo el procedimieno decrio, un grafo lo podemo obener de la iguiene forma. Se iene: a = E(, ) =, a p = E(, ) E(, ) =, a q = E(, ) E(, ) =, a =. Luego, E(f p, f q ) = f p + f q f p f q. Al er a =, cada uno de lo érmino e puede repreenar por un grafo, iendo la uma de odo ello un grafo que repreena a la energía E (Figura 8). En la abla puede comprobare ea afirmación. La conane K de la definición de energía repreenable por grafo e K = 5.

30 Proyeco Fin de Carrera E(f i ) Segmenación Core C (,) S = {,, }, T = {} 5 (,) S = {, }, T = {, } 9 8 (,) S = {, }, T = {, } 9 (,) S = {}, T = {,, } Cuadro : Segmenacione de una imagen y core del grafo. p + p + p q = p p Figura 8: Conrucción del grafo aociado a la energía.... Energía de la abla En la primera ección comparamo re energía diferene:

31 Segmenación de imágene y eoría de grafo Energía : lo érmino V p (f p ) = f p I p iempre on repreenable por grafo, al er érmino que dependen de un olo píxel. V p () = I p p V p () = I p Figura 9: Grafo aociado al érmino de la energía V p (f p ) = f p I p. Energía : lo érmino V pq (f p, f q ) = f p f q I p I q no on iempre repreenable por grafo. La energía eá definida por p\q I p I q I p I q I p I q I p I q La condición de ubmodularidad, imprecindible para que una energía ea repreenable por grafo, e: a = V (, ) + V (, ) V (, ) V (, ) En nuero cao, a = I p I q con lo que, para que la energía ea repreenable por un grafo iene que cumplir que I p I q,

32 Proyeco Fin de Carrera para odo par de píxele vecino p y q. Como ea condición no e cumple iempre, la energía no e repreable por grafo y no podemo uilizar la écnica de mínimo core preenada. Energía : no e repreenable por grafo por no erlo la energía.

33 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5. El algorimo de Boykov/Kolmogorov.. Objeivo La egmenación de imágene e baa en la opimización de una función de coe o energía. Cuando ea energía pueden repreenare mediane grafo, cada egmenación de la imagen e correponde con una parición del conjuno de vérice del grafo, iendo la parición o core de coe mínimo la que minimiza la energía, y por lo ano proporciona la egmenación bucada. Lo algorimo de parición / de grafo, como el dearrollado por Boykoy/Kolmogorov objeo de nuero eudio, proporcionan una egmenación binaria de la imagen, e decir, la eparación objeo/fondo. Eo algorimo bucan el core de coe mínimo, a ravé del máximo flujo. Vamo a raar de explicar el algorimo dearrollado por Yuri Boykov y Vladimir Kolmogorov baándono en u arículo de referencia [], uando como hilo conducor el grafo de la Figura : Figura : Grafo ejemplo... Inpu Mariz B de capacidade de la aria -link.

34 6 Proyeco Fin de Carrera B Mariz A de capacidade de la aria n-link... Oupu Valor de Flujo máximo. A 6 5 Core con coe mínimo: eiqueado de cada nodo ( o )... Definicione involucrada en el algorimo... Árbole S y T Según la erminología báica del algorimo de Boykov, en un grafo, e manienen do árbole no uperpueo S y T, con raíce en lo nodo y. En la Figura el árbol S eá formado por el nodo raíz y lo nodo, y y ano lo nodo como la aria que lo componen eán realado en rojo. El árbol T eá formado por el nodo raíz y lo nodo,. Tano lo nodo como la aria que lo componen eán realado en color verde. En el árbol S, el enido de la aria va de padre a hijo. En el árbol T, el enido de la aria va de hijo a padre (para eguir lo marcado por el grafo).

35 Segmenación de imágene y eoría de grafo Figura : Árbole S (en rojo) y T (en verde) en el grafo.... Nodo libre Todo lo nodo del grafo que no eán en lo árbole S y T on llamado nodo libre. En la figura el nodo e un nodo libre Figura : Árbole S (en rojo) y T (en verde) y nodo libre (en negro).... Nodo acivo y paivo Lo nodo que forman pare de un árbol pueden er acivo o paivo. Lo nodo acivo repreenan el borde exerior en cada árbol, on lo nodo por lo que el árbol puede crecer. Lo nodo paivo repreenan la cara inerna, por ello el árbol no puede crecer. De ahora en adelane i lo nodo de un árbol on acivo eán repreenado por un círculo de puno del color del árbol al que perenecen. En la Figura, el árbol S eá formado por lo vérice {,,, }, en el que el nodo e un nodo acivo, mienra que lo nodo, y on nodo paivo. En el árbol T, lo nodo y on acivo.

36 8 Proyeco Fin de Carrera Figura : Nodo acivo y paivo.... Eapa del algorimo El algorimo ieraivamene repie la iguiene re eapa: Eapa de Crecimieno: Se realizan la iguiene accione: Lo árbole S y T e expanden. Lo nodo acivo exploran nodo vecino a ravé de aria de capacidad poiiva con el objeivo de añadirlo a lo árbole S ó T. Solamene e añaden cuando lo nodo explorado on nodo libre, paando a converire en nodo acivo cuando e incorporan al árbol S ó T. Cuando odo lo nodo vecino de un nodo acivo on explorado, dicho nodo acivo e conviere en paivo. La eapa de crecimieno ermina cuando, en nuera exploración de nodo vecino, enconramo un arco cuyo nodo origen perenece al árbol S y el nodo deino perenece al árbol T, formando un camino de a. Eapa de Camino: e pare del camino enconrado en la eapa de crecimieno anerior. En ea eapa paamo la mayor canidad de flujo a ravé del camino enconrado. Alguna aria pueden llegar a ear aurada, por lo que alguno nodo pueden llegar a ear huérfano, dando lugar a la úlima fae de nuero algorimo y que comenamo a coninuación, la adopción. Eapa de Adopción: e inena enconrar oro padre válido para cada huérfano denro de lo árbole originale de búqueda S ó T al que perenecía el nodo ane de quedare huérfano. Lo nuevo padre deben perenecer a lo mimo árbole de búqueda S o T del huérfano. Aí mimo el padre debe ear conecado a ravé de un arco no aurado. Si no e poible enconrar un nuevo padre, e declara nodo libre. Se declaran odo lo nodo hijo como libre. La eapa ermina cuando no quedan huérfano, y por ano, la erucura de lo árbole S y T e reauran.

37 Segmenación de imágene y eoría de grafo 9 Depué de complear la eapa de adopción el algorimo vuelve a la eapa de crecimieno, y repie ea eapa ieraivamene...5. Final del algorimo El algorimo ermina cuando lo árbole S y T no pueden crecer má, e decir, no ienen nodo acivo. Lo árbole eán eparado por aria aurada. Eo conlleva que e alcanza el flujo máximo. El correpondiene mínimo core lo definen lo nodo de lo árbole S y T. Si quedan nodo libre, e decir, i algún vérice del grafo no eá en alguno de lo árbole, el coe mínimo e alcanza para má de un core. En ee cao el algorimo aocia la eiquea a odo lo nodo libre..5. Orden de recorrido de nodo y arco Tomando como puno de parida la marice A y B definida aneriormene vamo a aclarar en qué orden e van a recorrer lo nodo, y eando en cada nodo en qué orden e recorren lo arco que ienen como origen dicho nodo..5.. Orden de recorrido de lo nodo. Todo lo nodo acivo pereneciene al árbol S: e recorren lo nodo acivo pereneciene al árbol S egún el orden deerminado por la mariz B.. Todo lo nodo acivo pereneciene al árbol T: e recorren lo nodo acivo pereneciene al árbol T egún el orden deerminado por la mariz B..5.. Orden de recorrido de lo arco Para cada nodo acivo e recorren odo lo arco cuyo origen ea dicho nodo en el orden deerminado de la iguiene forma. Tomamo como bae la mariz A. Para cada columna de dicha mariz, i exien elemeno de dicha columna con valor diino de, e forma el arco de origen el índice de la fila del correpondiene elemeno y como deino el índice de la columna que eamo recorriendo. Aí por ejemplo, en la mariz A de nuero ejemplo, i recorremo la columna, enemo como elemeno diino de cero la capacidad correpondiene al arco a. Una vez recorrida oda la columna de ea mariz A e recuperan lo arco iguiendo el méodo LIFO (úlimo en enrar, primero en alir).

38 Proyeco Fin de Carrera.6. Proceo del algorimo El ejemplo que explicamo e el reflejado en la imagen :. Siuación Inicial: Árbole S = {}, T = {} Nodo libre {,,,, }. Nodo acivo en S: {}, nodo acivo en T: {} Nodo paivo en S: {}, nodo paivo en T: {}. Eapa de crecimieno: e recorre el árbol S. Como el nodo e acivo, el árbol S crece por el nodo añadiendo lo nodo, y que paan a er acivo e hijo de. El nodo paa a er paivo. Se recorre el árbol T. Como el nodo e acivo, el árbol T crece por el nodo añadiendo lo nodo y que paan a er acivo e hijo de. El nodo paa a er paivo. Se iene la iguiene iuación, que queda reflejada en la Figura. Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {,, }, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {}, nodo paivo en T: {} ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL ACTIVO 5 a a S TERMINAL ACTIVO 7 a a a S TERMINAL ACTIVO a 6 T TERMINAL ACTIVO - a 5 T TERMINAL ACTIVO Eapa de crecimieno: e empieza a recorrer el árbol S por el nodo. A ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor ) llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado un camino. Ee camino queda definido yendo de padre a hijo por el árbol S, dede el nodo erminal haa el nodo, y de hijo a padre por el árbol T, dede el nodo haa el nodo erminal. E decir, el camino enconrado que une lo árbole de búqueda e: 5

39 Segmenación de imágene y eoría de grafo Figura : Eapa crecimieno. En la Figura 5 e muera la iuación acual de lo árbole en el grafo y el camino de a enconrado Figura 5: Camino 5.. Eapa camino: el flujo máximo que e poible paar de S a T a ravé de ee camino iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e crea el grafo reidual, que ería el morado en la imagen Figura 6: Grafo Reidual (eapa ). 5. Eapa adopción: depué de la eapa camino la capacidad de la aria que une el nodo raíz con el nodo e. Eo quiere decir que no e poible paar flujo

40 Proyeco Fin de Carrera dede el nodo raíz al nodo a ravé de la aria inicial que lo unía. El nodo e húerfano, dando pao a la fae de adopción. En ea fae de adopción e inena enconrar un nuevo padre para el nodo denro del mimo árbol de búqueda T, y en nuero ejemplo el nuevo padre e el nodo. La iuación de lo nodo y arco depué de la fae adopción e la iguiene: Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {,, }, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {}, nodo paivo en T: {} ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL ACTIVO a a S TERMINAL ACTIVO 7 a a a S TERMINAL ACTIVO a 6 ACTIVO a 5 a T TERMINAL ACTIVO -9 - El árbol T maniene lo mimo nodo que en el pao anerior, pero el padre del nodo ahora e, no como ane. En la Figura 7 e muera la iuación acual del grafo Figura 7: Eapa adopción (eapa 5). 6. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo el árbol S por el nodo. Se comienza de nuevo el recorrido a ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor ) y llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado de nuevo un camino. Ee camino queda definido yendo de padre a hijo por el árbol S, dede el nodo erminal haa el nodo, y de hijo a padre por el árbol T, dede el

41 Segmenación de imágene y eoría de grafo nodo haa el nodo erminal. E decir, el camino enconrado que une lo árbole de búqueda e: Eapa camino: el flujo máximo que e poible paar de S a T iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e obiene el grafo reidual morado en la Figura 8. El valor del flujo oal e. No quedan nodo huérfano, por lo que no hay eapa de adopción Figura 8: Grafo reidual (eapa 7). La iuación de lo nodo y arco e la iguiene: Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {,, }, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {}, nodo paivo en T: {} ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL PASIVO a a S TERMINAL ACTIVO 7 a a a S TERMINAL ACTIVO a 6 T ACTIVO a a T TERMINAL ACTIVO -8 a 8. Eapa crecimieno: e igue recorriendo el árbol S por el nodo. Se empieza de nuevo por el arco a. Como la capacidad del arco a e no iene lugar ninguna acción.

42 Proyeco Fin de Carrera 9. Eapa crecimieno: e coninúa el recorrido por lo arco con origen el nodo. En ee cao e recorre el arco a. Como el nodo perenece al árbol S no iene lugar ninguna acción. El nodo paa a paivo.. Eapa crecimieno: e igue recorriendo el árbol S por el nodo. A ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor ) llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado un camino como en cao aneriore que une lo árbole de búqueda S y T y e: 7 8. Eapa camino: el flujo máximo que e poible paar de S a T iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e obiene el grafo reidual de la Figura 9. El valor oal del flujo e Figura 9: Grafo reidual (eapa ). No quedan nodo huérfano por lo que no hay eapa de adopción. La iuación de lo nodo y arco e la iguiene: Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {, }, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {}, nodo paivo en T: {}

43 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5 ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL PASIVO a a S TERMINAL ACTIVO 5 a a a S TERMINAL ACTIVO a 6 T ACTIVO a a T TERMINAL ACTIVO -6 a a. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo el grafo por el nodo a ravé del arco a. Como la capacidad e no hace nada.. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo el grafo por el nodo a ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor ) y llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado de nuevo un camino que une lo árbole de búqueda S y T. E 5 6. Eapa camino: El flujo máximo que e poible paar de S a T iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e obiene el grafo reidual de la Figura. El valor del flujo oal e Figura : Grafo reidual (eapa ). No quedan huérfano, por lo que no hay eapa de adopción y e paa a la eapa de crecimieno. La iuación de lo nodo y arco e la iguiene. Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {, }, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {, }, nodo paivo en T: {}

44 6 Proyeco Fin de Carrera ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL PASIVO a a S TERMINAL ACTIVO a a a S TERMINAL ACTIVO a 6 T ACTIVO a a a T TERMINAL ACTIVO -5 a a 5. Eapa crecimieno: e ha erminado de recorrer el nodo y paa a er paivo. Se coninúa recorriendo el árbol S por el nodo a ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor 6) y llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado de nuevo un camino que une lo árbole de búqueda S y T. E Eapa camino: el flujo máximo que e poible paar de S a T iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e obiene el grafo reidual de la Figura. El flujo oal e 9. Figura : Grafo reidual (eapa 6) 7. Eapa adopción: El nodo e huérfano y e inena enconrar un nuevo padre para el nodo denro del árbol de búqueda S. El nuevo padre e el nodo. La iuación de lo nodo y arco depué de la fae de adopción e la iguiene y e muera en la Figura : Árbole S = {,,, }, T = {,, } Nodo libre {}.

45 Segmenación de imágene y eoría de grafo 7 Nodo acivo en S: {}, nodo acivo en T: {, } Nodo paivo en S: {,, }, nodo paivo en T: {} ARBOL NODO PADRE TIPO TR_CAP ARCO R_CAP S TERMINAL PASIVO a a S TERMINAL PASIVO a a a S ACTIVO a T ACTIVO a a a T TERMINAL ACTIVO - a a a Figura : Grafo reidual y árbole S y T (eapa 7) 8. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo el árbol S por el nodo a ravé del arco a (con capacidad poiiva de valor 6) y llegamo al nodo. Como el nodo perenece al árbol T hemo enconrado de nuevo un camino que une lo árbole de búqueda S y T. E 9. Eapa camino: El flujo máximo que e poible paar de S a T iene el valor. Se diminuye del valor de la capacidade iniciale y e obiene el grafo reidual de la Figura. El valor del flujo oal e.. Eapa adopción: El nodo e huérfano y e inena enconrar un nuevo padre para el nodo denro del árbol de búqueda S. No e encuenra padre para el nodo con lo que e conviere en nodo libre. (Figura )

46 8 Proyeco Fin de Carrera Figura : Grafo reidual (eapa 9). Figura : Grafo reidual (eapa ).. Eapa crecimieno: e ha erminado de recorrer el árbol S. Se empieza a recorrer el árbol T dede el nodo, comenzando por el arco a. Llega al nodo, perenece a T y no hace nada.. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo dede el nodo por el arco a. Tiene capacidad con lo que no hace nada. El nodo paa a paivo.. Eapa crecimieno: e recorre el árbol T dede el nodo, comenzando por el arco a. Llega al nodo, perenece a T con lo que no hace nada.. Eapa crecimieno: e coninúa recorriendo el árbol T dede el nodo, comenzando por el arco a. Llega al nodo, que como e un nodo libre paa al árbol T, como nodo acivo. 5. Eapa crecimieno: e ha erminado de recorrer el nodo, por lo que paa a er paivo. A parir del nodo no puede crecer má el árbol T, por lo que paa a er nodo paivo. 6. El algorimo ermina al no quedar nodo acivo. La iuación final puede vere en la Figura 5.

47 Segmenación de imágene y eoría de grafo 9 Figura 5: Grafo reidual y iuación final..6.. Reulado del algorimo Lo árbole S y T dan el core mínimo Árbole S = {,, }, T = {,,, } Nodo libre {}. Nodo acivo en S: {}, nodo acivo en T: {} Core mínimo: nodo en S (eiquea ): vérice {, } nodo en T (eiquea ): vérice {,, } El flujo máximo iene un valor de, que e el coe del core mínimo que e muera en la Figura Figura 6: Core mínimo en el grafo con coe.

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49 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5. Aplicación: egmenación de imágene En ea ección comprobamo experimenalmene el algorimo min-cu/max-flow eudiado, aplicándolo a la egmenación de imágene. El primer pao e, dada la imagen a egmenar, definir una energía apropiada, e decir, una energía para la que la buena egmenación de la imagen enga valor mínimo. Para poder uilizar la écnica de core de grafo y el algorimo preenado, ea energía debe de er repreenable por grafo, y por lo ano ubmodular. A coninuación, debe enconrare un grafo que repreene la energía. Ee grafo queda definido por la marice de capacidade de la aria -link y de la aria n link. La alida del algorimo no da la egmenación de la imagen. Uilizamo energía que on uma de érmino dependiene de un píxel y de érmino dependiene de do píxele y eán repreenada como E(f) = p V p (f p ) + p,q V p,q (f p, f q ). Lo érmino dependiene de un píxel, baado en la inenidad del píxel, miden lo que e devía ea inenidad de la inenidade media del fondo y del objeo. Lo egundo érmino penalizan la diconinuidade enre píxele vecino. Uilizaremo la energía propuea en []. 5.. Término dependiene de una variable El érmino V p mide cómo la eiquea aignada al píxel p e aproxima a la inenidad obervada I p. Se puede medir eimando la probabilidad de que el píxel p, con inenidad dada I p e eiquee como (objeo) ó (fondo), P(I p ) y P(I p ) repecivamene. Conocida ea probabilidade, e conideran lo érmino de la energía: V p (f p ) = ln(p(i p f p )) con f p {, }. Para eimar ea probabilidade, Boykov e al. [] y [] proponen marcar manualmene una emilla en la imagen a egmenar. Ea emilla e correponden con do ubconjuno O y B de píxele que on pare del objeo y del fondo repecivamene. Se uan la inenidade de lo píxele de ea emilla para obener hiograma para el objeo y para el fondo de la imagen, que permien obener P(I p ) y P(I p ). Ea probabilidade pueden eimare auomáicamene, uilizando écnica que permien obener lo hiograma del objeo y del fondo de la imagen.

50 Proyeco Fin de Carrera 5.. Término dependiene de do variable Normalmene e rabaja con vecindad a cuaro o a ocho, e decir, cada píxel ineracciona con lo cuaro píxele má próximo a él (arriba, abajo, izquierda y derecha) o con ocho (lo cuaro aneriore y lo cuaro en diagonal). Lo érmino dependiene de do variable on érmino de regularización de la imagen, que penalizan la diconinuidade enre píxele vecino. Uilizamo la denominada energía de Po, que viene definida por: iendo V pq (f p, f q ) = B pq δ fp f q = { Bpq i f p f q i f p = f q, ( ) Ip I B pq exp q, σ donde σ e un parámero que debe eimare. Cuando la inenidade de lo píxele on muy diferene, o ea I p I q > σ, el valor de B pq e pequeño. Sin embargo, cuando la inenidade on imilare, o ea I p I q < σ, enonce el valor de B pq e muy grande. Eo coincide con lo que queremo: i do píxele vecino ienen inenidade muy diina, uno e objeo y oro e fondo, y por lo ano la energía debe er pequeña. Mencionar finalmene que la energía de Po on iempre repreenable por grafo. 5.. Ejemplo prácico Para ver una aplicación prácica de egmenación de imágene ineraciva, uando el algorimo de máximo flujo al y como eá decrio en el arículo [], preenamo un ejemplo encillo en el que parimo de una imagen de una moneda (véae la Figura 7). Ea imagen e encuenra en lo direcorio predeerminado de MATLAB. Para la implemenación del algorimo de Boykov hemo uado la librería dearrollada en C++ que él mimo proporciona en el iguiene enlace: hp://pub.i.ac.a/ vnk/ofware.hml. Ea librería devuelve el máximo flujo y el eiqueado que correponde a cada píxel de la imagen. Se implemena en el proyeco de MATLAB copiando oda la erucura de direcorio de la mima en el direcorio principal de nuero proyeco MATLAB, y podemo acceder a ella dede MATLAB a ravé de la ejecución del iguiene codigo: mex -g maxflowmex.cpp maxflow-v./graph.cpp maxflow-v./maxflow.cpp

51 Segmenación de imágene y eoría de grafo Figura 7: Imagen a egmenar. La ejecución de ee código genera un fichero llamado maxflowmex.cpp que, de forma informal, digamo que e el enlace enre el código MATLAB y el código C++ de la librería. La generación de ee fichero maxflowmex.cpp no ha ido de vial imporancia para el dearrollo del ejemplo del algorimo morado en ee proyeco, ya que no ha abiero la poibilidad de explorar el código fuene de la librería C ++ uando la ejecución en modo DEBUG dede MATLAB. Seleccionamo manualmene un conjuno de píxele O de la imagen, que con eguridad e encuenran en el objeo. Hacemo lo mimo para el fondo, eleccionando un conjuno B. A eo píxele e le llama emilla []. Como reulado obenemo la egmenación de la Figura 8.

52 Proyeco Fin de Carrera Figura 8: Imagen egmenada.

53 Segmenación de imágene y eoría de grafo 5 6. Concluione Lo objeivo de ee proyeco han ido do. Por un lado, eudiar la relación enre la egmenación de una imagen y la obención del mínimo core en una red. Por oro, eudiar el algorimo de min-cu/max-flow preenado por Boykov y Kolmogorov. Se han preenado lo diino concepo relaivo a la egmenación de una imagen por minimización de una energía, aí como lo concepo neceario obre grafo. Pariendo de una energía adecuada, que hemo upueo dada, e ha relacionado egmenación de la imagen con core de un grafo. Aí, el mínimo de la energía, que no proporciona la egmenación bucada, e correponde con el coe de mínimo core en el grafo, iempre que la energía ea ubmodular. Enconrar el core de coe mínimo equivale a enconrar el flujo de valor máximo, que puede er calculado, en iempo polinomial, mediane el algorimo min-cu/max-flow eudiado. Para el dearrollo del ejemplo del algorimo morado en ee proyeco ha ido de mucha imporancia MATLAB y la generación del fichero llamado maxflowmex.cpp, ya que ha ido el enlace enre el código fuene de MATLAB y el código fuene C++ de la propia librería, pudiendo eguir (con la ejecución en modo DEBUG) la diferene eapa del algorimo y lo reulado arrojado por el mimo para el ejemplo propueo.

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55 Segmenación de imágene y eoría de grafo 7 Referencia [] Boykov, Y. y Funka-Lea, G.: Graph Cu and Efficien N-D Image Segmenaion. Inernaional Journal of Compuer Viion 7(),pp.9-6. [] Boykov, Y. y Jolly, M-P.: Ineracive Graph Cu for Opimal Boundary & Region Segmenaion of Objec in N-D Image. Inernaional Conference on Compuer Viion, vol. I, pp.5-,. [] Boykov, Y. y Kolmogorov, V.: An Experimenal Comparion of Min-Cu/Max-Flow Algorihm for Energy Minimizaion in Compuer Viion IEEE. Tranacion on Paern Analyi and Machine Inelligence. Sepember. [] Kolmogorov, V. y Boykov, Y.: Wha meric can be approximaed by geo-cu, or global opimizaion of lengh/area and flux. In: Compuer Viion, 5. ICCV 5. Tenh IEEE Inernaional Conference on. Volume., IEEE (5), pp