Una aplicación económica de los métodos discretos de optimización dinámica
|
|
- Rocío Chávez Castilla
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Una aplicación económica de lo méodo dicreo de opimización dinámica Alejo Macaya Faculad de Ciencia Económica Univeridad de Bueno Aire Febrero 6 Reumen A parir de un ejemplo económico e exponen diina forma de abordar un problema de opimización dinámica en iempo dicreo y en un conexo deerminíico.
2 I Inroducción En diina rama de Economía (macroeconomía, crecimieno, finanza), y dede hace alguno año con mayor regularidad, la écnica de opimización dinámica (cálculo de variacione, conrol ópimo, programación dinámica) ocupan un lugar deacado como herramiena de rabajo. Por ee moivo, creemo que el conocimieno de la mima e imporane para nuera formación. Al meno do caraceríica pueden reular deeable cuando comenzamo a eudiar eo ema. La primera, que el problema pueda raare en forma má o meno encilla, la egunda, que reule inrucivo. Con repeco al primer puno, uno de lo camino má imple e raar al iempo como una variable dicrea y fijar el horizone del problema, en ano que un problema de conumo y ahorro, que e preena con baane frecuencia en la aplicacione, puede reular inrucivo. Ea noa iene como objeivo abordar un problema de conumo y ahorro ineremporal a parir de diferene enfoque o camino poible de reolución. Concreamene, el problema conie en conocer cuál erá la ecuencia de conumo y ahorro de un agene que deea maximizar la uilidad ujea a ciera rericcione de preupueo y proceo exógeno para el ingreo y la aa de ineré. En lo cao que el iempo e una variable dicrea y el horizone e finio e pueden aplicar la écnica de opimización eáica (por ejemplo, bajo ciero upueo, la condicione de Kuhn-ucker caracerizan el puno críico) para reolver el problema, pueo que u dimenión e finia. El raamieno del problema requiere ambién, aunque no neceariamene, algún conocimieno de ecuacione en diferencia finia de primer y egundo orden. El puno cenral para aplicar uno u oro enfoque depende, principalmene, de cómo e rabaje con la rericcione. Si la rericcione e agregan la olución puede obenere a parir de un iema de ecuacione, en cambio i la ecuacione de movimieno e uiuyen en la función objeivo la olución e encuenra a parir de una ecuación en diferencia de egundo orden, mienra que i e uilizan ano muliplicadore como rericcione exien la olución urge depué de reolver un iema de ecuacione en diferencia de primer orden. Ora poibilidad e decomponer el problema en eapa y comenzar a reolverlo de adelane hacia ará. El problema con el que vamo a rabajar e encuenra raado de diferene forma y con diino upueo en Obfeld y Rogoff [996, pp. 75-7], Sargen [987, pp. -4], Sokey y Luca [989, pp. 6-7] y Varian [99, pp. 4-46], enre oro. Una vez conocida la olución (hallado el endero emporal para el conumo y lo acivo que hacen máxima la uilidad), el ejemplo puede exploare ambién para enconrar expreione má imple de la olución i aumimo ciero comporamieno en el iempo del ingreo o, in conocer la olución, analizar el comporamieno de la variable mediane un diagrama de fae. Ademá, eudiamo el problema de horizone infinio, ora forma de preenar la olución en érmino de la riqueza y la obención del valor máximo que alcanza la uilidad (función valor). La ección iguiene, que coniene el modelo de conumo y ahorro, correponde a la pare principal del rabajo. Incluimo una ercera ección con ora aplicación de la écnica de programación dinámica para la exracción de ciclo y endencia de erie emporale. Enre mediado de 9 y principio de 93 aparecen lo primero rabajo que aplican la écnica de cálculo de variacione para reolver problema económico dinámico [Evan, 94; Ramey, 98; Hoelling, 93]. al vez, lo do úlimo rabajo (epecialmene el primero de eo) hayan ido lo de mayor repercuión.
3 II Conumo y ahorro ópimo bajo ceridumbre Conideremo el iguiene problema de un agene repreenaivo: Max { c, b } + = = β u( c ), β ( ρ ) ( ) ( ) +, ρ > b+ = + r y + b c =,,,,.a: b dado Donde b e la canidad de acivo al inicio del período mienra c e y denoan el conumo y el ingreo del período, repecivamene. oda ea variable e miden en unidade del bien de conumo. La aa de ineré e denoa por r. La función de uilidad, u( c ), depende del conumo, e coninuamene diferenciable, ericamene creciene y ericamene cóncava, con lim u c ( c) =. La uilidad fuura e decuena por un facor β, iendo ρ la aa de preferencia emporal o aa de impaciencia. La rericción de preupueo indica que lo acivo a comienzo del período + on iguale al ahorro bruo del período y + b c, capializado durane un período. anerior, ( ) En el período inicial el conumidor debe deerminar u plan de conumo, { } acumulación de acivo, { } conocida la ecuencia de ingreo laboral, { } agene) y ipo de ineré, {} c =, y b + =, dada la rericción de preupueo de cada período, y = (que aumimo fuera de conrol del r = (que uponemo conane en el iempo) y dada una canidad inicial de acivo b. Un endero con ea caraceríica e denomina de previión perfeca. Solución por programación no lineal El problema puede planeare en diferene forma como un problema de programación no lineal.. Muliplicadore de Lagrange eáico En ea verión uilizamo un muliplicador de Lagrange (o, a lo umo, do) para obener la condicione de primer orden. Pee a la exiencia de un número inicial de ( + ) rericcione, la agregación de éa e logra gracia a que lo acivo vinculan ecuacione de movimieno de período conecuivo... Horizone de iempo finio El problema anerior e puede ecribir como un problema con una erucura eáica i en lugar de uilizar como rericción la ecuación de movimieno para cada período empleamo una rericción agregada en el iempo. La rericción de preupueo e una ecuación en diferencia de primer orden en el nivel de acivo donde conideramo el conumo y el ingreo como funcione deconocida del iempo: ( ) ( ) b b r b r y c + = + Inegrando enre = y = obenemo: b + b = + y c + ( r) ( ), =
4 donde b + e la canidad de acivo o paivo que deja el conumidor al finalizar u vida. Nóee, in embargo, que i el conumidor muere a fine de lo preamia nunca earán dipueo a prearle en el úlimo período ( ). Por lo ano, b +. La relación anerior puede volvere a exprear de la iguiene manera: b + + = r = b + y c = + ( + r) + r El problema original puede enonce planeare como: Max { c}, b + = = β u ( c ).a: r ( + r) b + b + y + c = = + = + r b + Definimo la riqueza del conumidor en el período inicial como el valor de lo acivo iniciale má el valor preene de la corriene fuura de ingreo, e decir: W b + y + y. Uilizando ea definición de riqueza formamo ahora la = función de Lagrange: b + Max u( ) β c + µ W + c c { c}, b = + = ( + r) = La condición de primer orden (CPO) del problema e: u c µ = c : ( ) c : ( c ) β u µ = β u c µ = c : ( ) b + : µ + ( + r) b + µ : W + c c = ( + r) = La condición de holgura complemenaria e: b + : b = + µ + ( + r) 3
5 = u >. Si el muliplicador e uperior a cero enonce la condición de holgura complemenaria implica b + = (en el úlimo período el agene conume odo u acivo). La función de uilidad e ericamene creciene, por lo ano µ ( c ) Por oro lado, noemo que a parir de la CPO podemo depejar en cada ecuación el conumo como función del muliplicador. Para el cao de la función de uilidad u( c) = lnc ea ecuacione e ranforman en: c = µ c β ( r) µ = + β ( r) µ c = + c = β ( r) + µ c = β ( r) + µ Ee conjuno de ecuacione y la rericción e pueden ecribir como un iema de ecuacione lineale con ( + ) incógnia y ( + ) ecuacione. En lugar de formar el iema, reemplacemo el conumo de cada período en la rericción de preupueo agregada: W β =, reula el valor del muliplicador: µ = + β µ = β W El conumo de cada período e enonce igual a: c β = W β + β c = β ( + r) W β + ( ) β c = β + r W β + c = β + r W β + β ( ) 4
6 c = β + r W β + β ( ) Por lo ano, el conumo e una función que depende del ipo de ineré, del facor de decueno ineremporal y (linealmene) de la riqueza inicial. La función de acumulación de acivo, b, la podemo obener a parir de la función de conumo hallada. Inegrando la rericción de preupueo ineremporal enre y y uilizando la condición inicial obenemo: b = b ( + r) + ( + r) ( y c ), = reemplazando, de acuerdo con el reulado obenido, β c por β ( + r) W volviendo a ordenar érmino reula la rayecoria emporal de lo acivo: β + β b = ( + r) b W ( r ) y β = Finalmene, para aegurar que el puno hallado ea un máximo del problema debemo verificar la condicione de egundo orden. En ee cao, dado que la función objeivo e ericamene cóncava (e una combinación lineal de funcione ericamene cóncava) y la rericción e convexa, ea condicione on uficiene para aegurar que el puno enconrado e un máximo global [Sydaeer y Hammond, pp , 996]. Aquí ermina la olución del problema de horizone de iempo finio. En mucha ocaione, por razone de menor complejidad en lo cálculo (enre ora), e rabaja con problema de horizone infinio... Horizone de iempo infinio La expreione ane obenida e implifican i conideramo que el horizone de iempo e infinio,. En ee cao, para que la región facible de conumo eé acoada e neceario aumir que el valor preene del ingreo ea acoado (en el largo plazo el ingreo no puede crecer a una aa uperior a la aa de ineré), de ea manera la riqueza del agene e finia. Ademá, obervando la rericción de preupueo agregada, ambién debemo exigir, para que el conumo no ea an elevado como el agene quiera, que en el largo plazo e aifaga: b + lim + = ( + r) Ee límie e conocido como condición de ranveralidad (o auencia de juego de Ponzi), e equivalene a la condición de holgura complemenaria para el problema de horizone finio. Dicha rericción indica que en el largo plazo lo acivo o paivo no pueden crecer a una aa uperior al ipo de ineré. La rericción agregada del agene reula er enonce: y b + La rericción de preupueo e puede ecribir c W = +. Ea rericción, cuya = ( + r) variable on el conumo de cada período, e lineal y, por lo ano, convexa (la rericcione de no negaividad del conumo, c, on ambién convexa). 5
7 c = b + y = + r = + r La función conumo, cualquiera ea el período de iempo, e igual a: ( ) ( β) c β r W = +, donde W b + y + y =, y la acumulación de acivo: ( ) ( β ) ( ), = b = + r b W + + r y que ambién puede expreare como: b = β ( + r) W y = En alguno cao la olución, en lugar de hacer referencia a la riqueza inicial, puede enconrare expreada en érmino de la riqueza del período corriene...3 Expreión de la olución en érmino de la riqueza corriene Vamo a explorar ahora cómo podemo exprear la olución pero en érmino de la riqueza de cada período W en lugar de la riqueza del período inicial W. Enendemo por riqueza del período a la uma de lo acivo iniciale de ee período má el valor preene de la corriene fuura de ingreo eperado a parir de ee período incluive. E decir: W b + y + y =+ Deplazándola un período hacia delane, la riqueza poee la iguiene erucura recuriva: uiuyendo =+ W b y y, b + por ( r) ( y b c ) + + y ordenando érmino, W+ ( + r) b + y + y ( + r) c =+, el érmino enre corchee e W, por lo ano: W+ ( + r) ( W c) Inegrando ea ecuación en diferencia enre y obenemo: ( ) ( ), = W = + r W + r c y reemplazando el conumo por la funcione ane enconrada (en el problema de horizone infinio) reula: 6
8 ( ) W = β + r W Por lo ano, la función conumo e puede ecribir como una función de la riqueza del período corriene: c = β W ( =,,, ) ( ) O en forma equivalene: c = ( β ) b + y + y =+ El agene conume en cada período una fracción ( β ) de la riqueza del período. El facor ( β ) puede inerpreare como la propenión marginal a conumir de la riqueza. En el apéndice moramo cómo e modifican ea fórmula para el problema de horizone finio...4 La función de uilidad indireca o función valor Reemplazando el conumo de cada período en la función de uilidad reula la uilidad indireca o función valor: ( β ) β β β β ( β) ( β) ln v( W ) = + ln + ln( + ) ln r + β W Nóee que ea función depende de variable exógena y la riqueza inicial.. Muliplicadore de Lagrange dinámico.. El problema Si uilizamo un muliplicador de Lagrange para cada una de la rericcione el problema puede expreare de la forma iguiene: { c, b, λ } + = { β ( c) + λ ( + r) ( y + b c) b+ } Max u = b dado.a: b + La CPO orden e: : β u c λ + r = ( =,,,, ) c ( ) ( ) λ : ( + r) ( y + b c ) b + = ( =,,,, ) b + λ ( r) : b + : + + λ = ( =,,,, ) λ Má la condición de holgura complemenaria: b = λ + Uilizando la primera y ercera ecuación reula: + r u c = u c ( ) ( ) ( ) β + 7
9 Ea ecuación e puede inerprear como una condición de arbiraje del conumo en el iempo: el agene eará indiferene enre demandar una unidad meno hoy y ( + r) unidade adicionale mañana (el rendimieno de ea unidad ahorrada) iempre que la deuilidad marginal corriene, u ( c ), ea igual a la uilidad marginal de ea unidade adicionale mañana,( + r) u ( c + ), en érmino de uilidad preene, β ( + r) u ( c + ). Luego, la re primera ecuacione e pueden volver a ecribir como: + r u c = u c ( ) ( ) ( ) β + ( ) ( ) + r y + b c b + = ( =,,,, ) Ee e un iema de ecuacione en diferencia de primer orden en el conumo y lo acivo. Vamo a uponer que el horizone de iempo e infinio. Una olución paricular del iema e obiene eableciendo condicione de conorno. La primera de ea proviene de la condición inicial del problema, b. La egunda e obiene a parir de fijar una condición erminal o de ranveralidad. La ercera ecuación, que e una ecuación en diferencia en lo muliplicadore, e puede inegrar y reula: λ = λ ( + r), reemplazando ahora λ en la condición de holgura complemenaria y aplicando límie obenemo nuevamene la condición de ranveralidad: + λ lim = b ( + r) Como ejemplo paricular, para hallar una olución explícia del modelo, vamo a uponer u c = lnc. El problema que reula e el iguiene: la mima función de uilidad que ane, ( ) β ( + r) c = c+ ( ) ( ) + r y + b c b+ = b dado b + lim = ( + r) En la primera ecuación el conumo e encuenra ailado del nivel de acivo. Inegrando enre el período inicial y un período cualquiera > obenemo: ( ) c = β + r c Inegrando ahora la egunda ecuación enre y, paando al límie cuando y uilizando la egunda condición de conorno: b + y + y = c + c =+ + r =+ + r Reemplazando la primera olución en la egunda, implificando érmino, depejando c reordenando érmino obenemo la función de conumo ane hallada: c = ( β ) b + y + y =+ 8
10 .. Diagrama de fae para horizone finio La primera figura, abajo, muera el diagrama de fae correpondiene al conumo y lo acivo para el problema de horizone finio, donde el ingreo e conane y uponemo β ( + r) > (el endero de conumo e creciene). La información que uilizamo para u conrucción e la iguiene: Parimo del iema deerminado por la CPO: c+ c = β ( + r) c b+ b = ( + r) c + r b + ( + r) y La línea de demarcación e obienen haciendo c y b igual a cero. En al cao urgen la iguiene relacione: c = = c ( ) c r r b y = + b = + La primera e una reca uperpuea al eje de abcia mienra la egunda ora reca (pero con pendiene inferior a la unidad) de ordenada al origen igual a y y que cora al eje de abcia en ( + r) r y. Luego, lo auovecore v = ( ) y v = ( β ) indican la direccione de movimieno donde la relación enre el conumo y lo acivo e lineal. El primer auovecor e horizonal (al como indican la línea de flecha) y el egundo poee pendiene ( β ) que dada la hipóei β ( + r) > implica que e encuenra por debajo de la reca de demarcación b =. Para un valor de b ( >, por ejemplo) a parir de la función conumo obenemo c : β + r c = b + y + + β ( + r) r Se puede demorar que c e encuenra por arriba de la reca deerminada por el egundo auovecor (véae el apéndice). Si aumimo que c pare por debajo de la línea de demarcación de b, enonce inicialmene el conumo y lo acivo aumenan haa b = y luego lo acivo comienzan a diminuir mienra el conumo igue creciendo. En el inane final e alcanza b =. 9
11 c ( b c ) ( W ) +, =, = b y c = c ( + r) r y b b Figura Conumo y acumulación de acivo. Supueo: u = ln( c), y y, β ( + r) > y finio. En la figura imulamo el comporamieno de lo acivo, del conumo y la riqueza para un nivel de ingreo conane a lo largo de 5 período, una aa de ineré de 6% y una aa de impaciencia de 4%. El conumidor pare con un nivel de acivo poiivo. La aa de ineré relaivamene ala con repeco a la de impaciencia e un fuere incenivo para ahorrar: lo acivo crecen má rápido que el conumo y la riqueza ambién aumena. Luego, debido a que la corriene fuura de ingreo diminuye cuando no acercamo al período final, la riqueza comienza a decender de la mima manera que lo hacen lo acivo. El conumo, in embargo, igue creciendo oenido por la diminución de la enencia de acivo. Nóee que en el úlimo período e conume la riqueza remanene. 5 Riqueza Conumo Acivo iempo Figura rayecoria de la riqueza, acivo y conumo. Supueo: y, r = 6%, ρ = 4%, = 5, b =,.
12 ..3 Un proceo paricular para el ingreo Como cao paricular upongamo que el ingreo igue un proceo auorregreivo de primer orden, y = λ y, con λ >, enonce: iempre que λ ( r) + r c = ( β ) b + y + r λ, + <. El conumo depende del ingreo corriene, reponde poiivamene al aumeno de la aa de crecimieno del ingreo y negaivamene al crecimieno del ipo de ineré. Solución por cálculo de variacione Si uiuimo la rericción preupuearia en la función de uilidad llegamo al problema iguiene: Max { b } + = =.a: b r b b β u y + dado b + La CPO e obienen derivando con repeco a b + : β u r b b + y b u r b b b + β + + y =, ( =,,,, ) + r + r r b b+ + b β y u + ( = ) + r La condición de holgura complemenaria e: b + β u ( c ) = + r Si e finio, ea úlima ecuación y el upueo de uilidad ericamene creciene implican b + =. Analicemo ahora el problema de horizone infinio. La primera ecuación implica β ( + r) u ( c ) = u ( c ). Reemplazando en la anerior y omando límie reula la condición de ranveralidad 3 : b + lim + = ( + r) Paemo a reolver la ecuación en diferencia de egundo orden que obuvimo inicialmene 4. La condicione de conorno on la mima que ane. 3 Una prueba formal de ea condición puede enconrare en Sokey y Luca [989, pp ]. 4 Nóee que ea ecuación poee el mimo orden que la ecuación de Euler de cálculo de variacione.
13 Si uponemo la mima función de uilidad que en lo cao aneriore reula la iguiene ecuación en diferencia finia: ( ) ( β) β ( ) ( ) β ( ) λ = + > y λ ( ) β = b r b r b r y r y La raíce caraceríica on: r = + r. Ea ecuación en diferencia puede reolvere a parir del méodo de variación de la conane [Aiub, pp. -, 985], aunque hay oro méodo diponible [Blanchard y Ficher, pp. 6-66, 989]. Dado lo valore de la raíce y la condicione de conorno, para que la olución de la ecuación complea ea acoada e neceario emplear la mayor raíz para inegrar lo valore fuuro de la variable cuyo comporamieno e exógeno. La olución general puede repreenare en la forma iguiene: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) b = m + r + m β + r + λ f λ f λ λ + = = Donde m y m on do conane que e deerminan a parir de la condicione de f + r y β + r y. La uma enre corchee on iguale a: conorno en ano ( ) ( ) + y + + r y = + r y + y + y = =+ + r + r ( ) ( λ ) β ( ) β ( ) ( β) ( ) + β ( ) ( ) β ( ) ( ) β ( ) + r + r y+ + r y= + r y + r y, = reemplazando en la olución y ordenando érmino obenemo: ( r) β y β + ( ) β ( ) = + r + r β b = m + r + m + r y + y Supongamo que para deerminar la conane fijamo do condicione de conorno, b y b +. Una vez enconrado lo valore de éa evaluamo la mima para. Efecuando ea operacione obenemo: b lim m = lim + lim lim + + ( + r) ( β ) ( + r) b + m = b + y y lim + = + r β y ( r) + El upueo acerca de la aa de crecimieno del ingreo y la condición de ranveralidad implican: lim m lim = = + = β m b y y Suiuyendo la conane en la olución reula:
14 b r b y y que ambién e puede exprear como: = β ( + ) + = + r = + r b = β ( + r) W y, =, La función conumo e obiene reemplazando la expreión recién enconrada en c = y + + r r b b. Operando de ea forma obenemo: ( ) ( ) ( ) ( β) c = β + r W 3 Solución por programación dinámica 3. Inroducción al méodo Para inroducir el méodo de programación dinámica vamo a morar cómo e puede ecribir el problema en eapa. La función de uilidad e la mima que en lo ejemplo aneriore. El planeo del problema e el iguiene:. { c, W } + =.a: ( c ) + β ( c ) + β ( c ) + + β ( c ) + β ( c ) Max u u u u u ( ) ( ) W = + r W c W > W + + Para implificar lo cálculo ahora inerpreamo W como el ock de acivo del período En el úlimo período el problema del conumidor conie en elegir u nivel de conumo para ee período y el nivel de acivo que deearía dejar ra erminar u vida: Max u c c, W+ ( ).a: W ( r) ( W c ) + = + El nivel de conumo que maximiza la uilidad e elegir (recordemo que W + ): c = W W + = La uilidad derivada del nivel de acivo del úlimo período, v ( ) v ( W ) u( W ) = ln( W ) W, e igual a: Ea e la función valor del período final. Nóee que dede el puno de via del úlimo período,, W viene dado del período. Reuelo enonce el problema del conumidor en el úlimo período paemo a reolver el problema que enfrena en el período : Max u c, W ( c ) β v ( W ) + 3
15 o,.a: W = ( + r) ( W c ) Suiuyendo la rericción en la función objeivo: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max u v Dada la funcione de uilidad y valor: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max ln ln La CPO orden e: u ( c) β ( + r) v ( + r) ( W c) =, Depejamo c : c = W + β W β ( + r) + β = W, β + = c r W c ( r) ( + ) ( ) Reemplazando lo valore hallado en la función objeivo obenemo la función valor para el período : β ( + r) β v ( W ) = u W β v W β + + +, ( W ) = ( + β ) ( W ) ( + β) + β ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Volvemo a operar de la mima forma en el período para enconrar c y W. Max u c, W ( c ) + β v ( W ).a: W = ( + r) ( W c ) Suiuyendo la rericción en la función objeivo: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max u v Reemplazando por la función de uilidad y la función valor del período : { ( ) ( ) ( ) ( ) } ( c ) + β ( + β) ( + r) ( W c ) + β + β ( + r + β ) Max ln c ln ln ln ln Obenemo la CPO: c = W + β + β β + =, c r W c ( β) ( + ) ( ) 4
16 W β ( + β ) ( + r) + β + β = W ( W ) = ( + β + β ) ( W ) ( + β + β ) + ( β + β ) ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Siguiendo con el procedimieno podemo enconrar c 3, W y v : c = W + β + β + β W ( ) ( r) β + β + β + = W + β + β + β ( W ) = ( + β + β + β ) ( W ) ( + β + β + β ) + ( β + β + β ) ( + r) + ( β) v3 3 ln 3 ln 3 ln ln Supongamo que llegamo al período, haciendo = el problema e puede ecribir: Max u c, W+ ( c ) + β v ( W ) + +.a: W ( r) ( W c ) + = + Por inducción complea e puede demorar que c, W + y v poeen la iguiene forma: c = W + β + + β W ( ) ( r) β + β + + β + = W + β + + β + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) W = + β + + β W + β + + β + β + β + + β ) ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Luego, en el período inicial el conumo, lo acivo y la uilidad indireca on iguale a 5 : c β = W β + β W = β ( + r) W β β β β β β v( W) = ln( W) ln + ln( + r) + ln( β ) β β β β β 5 La uma S = ( β + β + + β ) de la ecuación e S β e puede ecribir como S = β S + β, luego, la olución β + β β β =. β β β 5
17 Si el horizone de iempo e infinio la función valor converge a la función ane obenida: ln ( W ) ln ( β ) β v( W) = + + ln ( + r) + ln( β ) β β ( β ) Nóee que éa función valor depende de variable exógena y de la riqueza del período pero no depende explíciamene del período de iempo coniderado. Haciendo ender a infinio en v ( W ) obenemo: ln ( W ) ln ( β ) β v( W ) = + + ln ( r) ln( β ) β β + +, ( β ) que e independiene de. 3. Forma general del méodo El procedimieno ane eguido no indica que podemo, en principio, reducir la dimenionalidad del problema i a parir de coniderar reuelo el problema dede el período + en adelane bucamo la olución para el período : Max u c, W+ { ( c) + β v( W+ )} ( ) W+ = R W c.a: W > Donde v( W + ) e el valor máximo de la corriene de uilidad para el problema que e inicia en + y R ( + r). Reemplazando la ecuación de movimieno en la función objeivo obenemo la iguiene ecuación funcional 6 : ( W) = { ( W R W+ ) + β ( W+ ) } v Max u v W+ Noemo que i el conumo e nulo enonce W+ = R W mienra que i e igual a lo acivo del período, W + =, por lo ano W+ R W. El problema conie en hallar v W al que luego de aplicar el operador una función ( ) ( v) Max u ( W, W ) β v( W ) W R W nuevamene la mima función ( ) { } + obre ea función deconocida obengamo v W con que parimo. En ee enido, lo que eamo bucando e un puno fijo del operador (en un epacio de funcione). Un procedimieno que uele eguire para hallar dicha función e el que igue. 3.. Ieración de la función de valor Parimo de una función inicial y aplicamo uceivamene el operador para ver hacia que función converge. El operador enonce acúa de la iguiene manera (ahora no e neceario diinguir el período de iempo y por eo uilizamo el aceno para denoar el próximo período): j+ ( W) = { ( W R W ) + β j( W )} v Max u v W R W 6 Ea ecuación e conoce con el nombre de ecuación de Bellman (véae, por ejemplo, Sargen [987, p. ] o el rabajo original de Bellman [p., 965]). 6
18 Donde R + r. Supongamo que iniciamo la area con v ( W ) : Enonce v éa en el problema: W = y ( W) ln( W) A parir de la CPO obenemo: v ( W) = Max { ln( W R W )} W R W =. Aplicamo la egunda ieración luego de reemplazar ( W) = { ( W R W ) + β ( W )} v Max ln ln W R W β R W = W, uiuyendo en la función objeivo: + β ( W) = ( + β) ( W) ( + β) + β ( β + R) v ln ln ln ln Si aplicamo nuevamene el operador a parir de ee reulado obenemo: ( W) = ( + β + β ) ( W) ( + β + β ) + ( β + β ) ( β + R) v3 ln ln ln ln v n + W e igual a: Por el principio de inducción complea podemo probar que ( ) v ( W) α ln( W) ln( α ) γ ( lnβ lnr) n+ = n n + n + Donde: αn = β αn + α = n β γn = β γn + β β Eo coeficiene convergen a: limn αn = β lim n γ n = β ( β ) γ = v W = lim v W = ln W + ln + ln + ln R * Por lo ano, ( ) n n( ) ( ) ( β) β β ( β ) ( β ) Ahora, ademá de verificar que ea función e un puno fijo del operador vamo a enconrar la función que relaciona W con W. β β v( W) = Max ln ( W R W ) + ln ( W ) ln ( β) ( ln β ln R) W R W β ( β ) De la CPO reula: W = β R W Volviendo a uiuir W = β R W en la función objeivo obenemo la mima función * v W = v W. Por oro lado, reemplazando W = β R W en la c = β W. con que parimo: ( ) ( ) rericción de preupueo alcanzamo la función conumo: ( ) 7
19 3.. Ecuación de Euler A parir de la ecuación de Bellman podemo obener ambién la condición cláica dada por la ecuación de Euler. Aplicando la condición de primer orden a dicha ecuación: W + : R u ( c) + β v ( W+ ) = Supongamo que conocemo la función v( ) y ea e diferenciable. El eorema obre envolvene no permie conocer cómo cambia la uilidad en el máximo i modificamo un parámero del problema [Sydaeer y Hammond, pp , 996]. Derivando con repeco a lo acivo iniciale reula: v ( W ) = u ( c ) Deplazando éa un período hacia delane y uiuyendo en la primera: u c = R u c ( ) ( ) β + Ea ecuación en diferencia má la rericción de preupueo forman, nuevamene, el mimo iema de ecuacione en diferencia que en lo cao aneriore. Reemplazando la rericción en la primera: ( W ) ( R W+ β R u W+ R W+ ) u =, que e la ecuación de Euler de cálculo de variacione. III Suavizado de erie emporale y = el problema conie en decomponer la mima en una Dada una erie emporal { } componene cíclica, { c }, y ora de endencia o crecimieno, { } = Min { g } = ( c) + λ ( g g) ( g g) = = g = al que 7 :.a: y = g + c =,,, En Economía ee méodo para obener la endencia de una erie e conoce como filro de Hodrick y Preco (véae Hodrick y Preco [997]). La conane λ penaliza la variabilidad en la componene de crecimieno: cuano má elevado e λ, má uave e el comporamieno de la erie olución. Reemplazando la rericción en la función objeivo: { g } = ( y g) + λ ( g g + g) Min = = El problema poee la iguiene erucura recuriva [Bellman, pp , 965]: 7 Por lo general la erie original e ranforma aplicando logarimo naural. Aquí y e eniende que e una erie ya ranformada. La endencia, g, e el logarimo de la endencia de la erie original ( g ln x), por lo ano g g ln x ln x = ln x x = ln + δ δ, donde δ < e la aa de crecimieno de x enre ( ) ( ) y, e la aa de crecimieno en ee inervalo. 8
20 { } ( g g ) = ( y g ) + λ ( g g + g ) + ( g g ) f, Min f, + g 3 Ejemplo: { } {,5,} y = = y λ = 4 Aplicando de manera recuriva la ecuación anerior obenemo: g =, 57 g =, g =, g = y g = La erie original, la endencia y el ciclo aparecen graficado en la figura c() y() g() - iempo Figura 3 Decompoición de una erie en ciclo y endencia. 9
21 Apéndice..3 rayecoria de la riqueza y conumo en función de la riqueza para finio A parir de la definición de riqueza: W b + y + y, =+ operando de la mima manera que para le cao de horizone infinio llegamo a: ( ) ( ) W + r W c, inegrando enre y obenemo: ( ) ( ) = W = + r W + r c, reemplazando el β conumo por la función hallada ane: c = β ( + r) W β + y reolviendo l aerie geomérica reula la rayecoria de la riqueza: + β β W = ( + r) W + β Suiuyendo pare de ea expreión en la rayecoria del conumo obenemo: c = β ( β) W β β + Finalmene, nóee que haciendo = reula que el conumo del período final e igual a la riqueza del mimo período: c = W... Prueba: c e encuenra por encima de la rama del egundo auovecor. La componene del egundo auovecor on v = ( β ). Dado que el cenro de coordenada de lo auovecore e encuenra en ( ( + r) r y,), cuando b = b (medido con repeco al cenro de coordenada (, ) ), v( b) = b + ( + r) r y y v ( b) = ( β ) b + ( + r) r y (medido con repeco al cenro de coordenada de lo auovecore). Por lo ano no pregunamo i c > v ( b ), e decir: β + r + r c = b + y > b + y = v b β ( + r) r r Noemo que e verifica la deigualdad. omando lo érmino individualmene: ( β ) ( ) + + b > b, e verifica e forma inmediaa. β (i) ( β ) β + β + r + r (ii) y ( β ) y + + > β ( + r) r r volviendo a ordenar la deigualdad obenemo: β ( r) hipóei., implificando érmino y >, que e verifica por
22 Referencia Aiub, A. (985). Ecuacione en Diferencia Finia, Ediorial El Coloquio, Bueno Aire. Bellman, R. (965). Inroducción al Análii Maricial, ediorial Reveré, Barcelona. Blanchard, O. J. y S. Ficher. (989). Lecure on Macroeconomic. MI Pre, Cambridge, Maachue. Evan, G. C. (94). he Dynamic of Monopoly, American Mahemaical Monhly 3 (febrero): Hodrick, R. J. y E. Preco (997). Powar U.S. Buine Cycle: An Empirical Inveigaion, Journal of Money, Credi and Banking 9 (Febrero): -6. Hoelling, H. (93). he Economic of Exhauible Reource, he Journal of Poliical Economy, vol. 39 (abril): Luca, R. E., N. L. Sokey con E. C. Preco (989). Recurive Mehod in Economic Dynamic, Harvard Univeriy Pre, Maachue. Obfeld, M y K. Rogoff (996). Foundaion of Inernaional Macroeconomic, MI Pre, Maachue. Ramey, F. P. (98). A Mahemaical heory of Saving, he Economic Journal 38 (diciembre): Sargen,. J. (987). Dynamic Macroeconomic heory, Harvard Univeriy Pre, Maachue. Sydaeer, K y P. Hammond (996). Maemáica para el Análii Económico, Prenice Hall, Madrid. Varian, H. R. (99). Análii Microeconómico, ercera edición, Anoni Boch edior, Barcelona.
UNA APLICACIÓN ECONÓMICA DE LOS MÉTODOS DISCRETOS DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
UNA APLICACIÓN ECONÓMICA DE LOS MÉODOS DISCREOS DE OPIMIZACIÓN DINÁMICA Reumen Alejo Macaya El rabajo aborda la reolución de un problema económico de opimización dinámica (deerminación de la rayecoria
Más detallesSistemas lineales invariantes
Siema lineale invariane Inroducción Un iema lineal invariane e repreena uualmene mediane un bloque en el que e mueran ano la exciación como la repuea (figura ): Exciación x() Siema lineal invariane Repuea
Más detalles4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace
. Solución de un iema de ecuacione diferenciale lineale con condicione iniciale por medio de la raformada de Laplace 0. Solución de un iema de ecuacione diferenciale lineale con condicione iniciale por
Más detallesUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-8-2-M-2-2-27 CURSO: SEMESTRE: Curo de vacacione Diciembre 27 CÓDIGO DEL CURSO: 8 TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial
Más detalles6.6 Aplicaciones 403 } { 10 si t < 2 0 si t Œ; 2/ ; con x.0/ D x 0.0/ D 0: 10e. 5e 2s s.s 2 C 2s C 5/ 5e s s.s 2 C 2s C 5/ : D 12.s C 1/ 2 C 4.
6.6 Aplicacione 403 6.6 Aplicacione Ejemplo 6.6. Conideremo un iema maa-reore con m kg, c 4 Nm/ y k 0 N/m. Supongamo que el iema eá inicialmene en repoo y en equilibrio por lo cual x.0/ x 0.0/ 0 y que
Más detallesÍndice de Precios Hoteleros (IPH). Base 2001 (desde enero de 2001 a diciembre 2008) Nota metodológica
Índice de Precio Hoelero (. Bae 20 (dede enero de 20 a diciembre 2008 Noa meodológica adrid, marzo 2009 El Índice de Precio Hoelero,, e una medida eadíica de la evolución menual del conjuno de la principale
Más detallesLa transformada de Laplace
CAPÍTULO 6 La ranformada de Laplace 6.6 Aplicacione Ejemplo 6.6. Conideremo un iema maa-reore con m g, c 4 Nm/ y 0 N/m. Supongamo que el iema eá inicialmene en repoo y en equilibrio por lo cual x.0/ x
Más detallesNº de actividad Contenido 1 Uso de la función de Heaviside en ecuaciones diferenciales
Univeridad Diego Porale Primer Semere 007 Faculad de Ingeniería Iniuo de Ciencia Báica Aignaura: Ecuacione Diferenciale Laboraorio Nº 8 Reolución de ecuacione diferenciale uando ranformada de Laplace Aplicacione
Más detallesLA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
CAPÍTULO CINCO LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE 5. Inroducción El concepo de ranformar una función puede empleare dede el puno de via de hacer un cambio de variable para implificar la olución de un problema;
Más detallesPRÁCTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE CURSO CÁLCULO II. Práctica 11 (19/05/2015)
PRÁCTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE CURSO 4-5 CÁLCULO II Prácica Malab Prácica (9/5/5) Objeivo o Calcular ranformada de Laplace y ranformada invera de Laplace, uilizando cálculo imbólico. o Comprobar propiedade
Más detallesFacultad de Ciencias Sociales Universidad de la República Curso: Análisis Económico, Práctico 5
Faculad de Ciencia Sociale Univeridad de la República Curo: Análii Económico, 200 rácico 5. Diga en cada uno de lo iguiene cao i la ofera monearia e reduce, e maniene inalerada o aumena: a. El Banco Cenral
Más detallesPRACTICA DE LABORATORIO 5: MEDIDA DE LA PERMEABILIDAD
PRACTICA DE LABORATORIO 5: MEDIDA DE LA PERMEABILIDAD 1. OBJETIO La Prácica 5 va a cenrare en la deerminación de la permeabilidad de un uelo arenoo ípico (arena de la playa de Caelldefel). Sin embargo
Más detallesEcuaciones Diferenciales Lineales y Espacios Vectoriales
Ecuacione Diferenciale Lineale y Epacio Vecoriale Reumen El conjuno de la funcione coninua obre un inervalo forman un epacio vecorial, e decir que la combinación lineal de olucione a la ecuacione diferenciale
Más detallesSolución Clase Auxiliar 11 Movimiento Browniano, 7 de Noviembre de 2007
Univeridad de Chile Faculad de C. Fíica y Maemáica Deparameno de Ingeniería Indurial IN79O: Modelo Eocáico en Siema de Ingeniería Profeor : Raúl Goue Auxiliar : Felipe Caro, Francico Uribe Solución Clae
Más detallesPruebas t. 1 Prueba de hipótesis. Error tipo I. Decisión correcta. Decisión correcta. Error tipo II
Prueba Dr. Jeú Albero Mellado Boque Prueba de hipóei En el méodo cienífico e eablecen lo iguiene pao: Obervación, Hipóei, Experimenación y Concluione. Con el objeivo de ajuare a ee proceo cienífico, la
Más detallesTransformada de Laplace
Capíulo 7 Tranformada de Laplace En ea ección inroduciremo y eudiaremo la ranformada de Laplace, dearrollaremo alguna de u propiedade ma báica y úile. Depué veremo alguna aplicacione. 7. Definicione y
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES
Tema 1 ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIO 1 Comprobar que la función y() = c 2 ++3 es una solución del problema de valor inicial 2 y 2y + 2y = 6, y(0) = 3, y (0) = 1, (1.1) en <
Más detallesLección 8: Demodulación y Detección Paso-Banda. Parte II
Lección 8: Demodulación y Deección ao-banda. are II Gianluca Cornea, h.d. Dep. de Ingeniería de Siema de Información y Telecomunicación Univeridad San ablo-cu Conenido nvolvene Compleja Tolerancia al rror
Más detalles( ) V t. I t C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM-07 DINÁMICA II
C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM-07 DINÁMICA II En la nauraleza exien leye de conervación. Una de ea leye e la de Conervación de la Canidad de Movimieno, la cual erá analizada en ea guía. El concepo
Más detallesCifras poblacionales de referencia METODOLOGÍA
Cifra poblacionale de referencia MTOOLOGÍA. Inroducción La elaboración de cifra de población de cada ámbio geográfico e uno de lo comeido de la oficina de eadíica pública por er un elemeno relevane para
Más detallesT R lbf pie I I 3, Solution is: I slug pie 2
Univeridad de Valparaío 1 Ejercicio de Dinámica de Roación: 1.- Un peo de 12 lbf cuelga de una cuerda enrollada en un ambor de 2 pie de io, giraorio alrededor de un eje fijo O. La aceleración angular del
Más detallesTRANSFORMADAS. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADAS OBJETIVOS Reviión de la herramiena maemáica que e uilizan para la obención del modelo maemáico en forma de función de ranferencia. Reviión de
Más detalles2.2.a Servosistemas Tipo 1 Referencia distinta de cero r(t) ¹ 0
2.2.a Servoiema Tipo Referencia diina de cero r() ¹ 0 Dieño de ervoiema Tipo para plana Tipo 0. Fernando di Sciacio (207) Dieño de Servoiema de Tipo Cuando la Plana NO Tiene un Inegrador Para plana ipo
Más detallesCentro de Investigación en Métodos Cuantitativos aplicados a la Economía y la Gestión (CMA)
Insiuo de Invesigaciones en Adminisración, Conabilidad y Méodos Cuaniaivos para la Gesión (IADCOM) Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) REVISTA DE INVESTIGACIÓN
Más detallesmodelación Markov Switching con probabilidades de transición crecimiento económico en Colombia: endógenas María Teresa Ramírez Giraldo
crecimieno económico en Colombia: modelación Markov Swiching con probabilidade de ranición endógena Marha Mia Arango María erea Ramírez Giraldo . Moivación. Objeivo 3. Modelo Economérico 4. Información
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CENTRO NACIONAL DE ESTUDIOS GENERALES MODALIDAD SABATINA
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA CENTR NACINAL DE ESTUDIS GENERALES MDALIDAD SABATINA UNIDAD II CINEMATICA: MVIMIENT RECTILINE GUIA DE TRABAJ CLASE PRÁCTICA MVIMIENT RECTILINE UNIFRME. Pr.Nr. El movimieno
Más detallesEjercicios Resueltos
Ejercicios Resuelos Alan Ledesma Arisa No separable Asuma que el agene represenaivo iene preferencias de la forma U C, M, N γc + γ σ M ] σ N +η + η. Encuenre la demanda por dinero. Para deerminar la demanda
Más detallesIncremento de v. Incremento de t
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO Vao a coniderar ahora oviieno en lo que u velocidad varíe. Lo priero que neceiao conocer e cóo varía la velocidad con el iepo. De odo lo oviieno variado
Más detallesMOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO
FQ 4 Eo MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO Vao a coniderar ahora oviieno en lo que u velocidad varíe. Lo priero que neceiao conocer e cóo varía la velocidad con el iepo. De odo lo oviieno
Más detallesRespuesta temporal de sistemas
4 Repuea emporal de iema OBJETIVOS PALABRAS CLAVE Y TEMAS Análii de la repuea ranioria y eacionaria Siema de primer orden Siema de egundo orden Siema de orden uperior Nocione de eabilidad Polo y cero en
Más detallesPuente de Bassano (Palladio, 1569), Viaducto Longdon-Upon-Tern, Gales (1796) y Firth of Forth, Escocia (1890)
cálculo II eiccpc prácica 6. ranformada de laplace curo 2009/0, fecha de enrega 6/03/0. Como e conocido, la viga e una pieza lineal horizonal que, apoyada en uno o má puno opora la carga que obre ella
Más detallesIntervalos de confianza Muestras pequeñas. Estadística Prof. Tamara Burdisso
Inervalo de confianza Muera pequeña Eadíica 016 - Prof. Tamara Burdio Qué ocurre cuando n
Más detallesEl método operacional de Laplace
Deparameno de ngeniería Elécrica Univeridad Nacional de Mar del Plaa rea Elecroecnia El méodo operacional de Laplace uor: ngeniero Guavo Lui Ferro Prof. duno Elecroecnia EDCÓN 6 . nroducción al méodo operacional
Más detallesÍndice de diapositivas en Tr2009_7_Ramsey_discreto.doc
Deparameno de Economía, Faculad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay Maesría en Economía Inernacional 29. Macroeconomía. Alvaro Foreza Índice de diaposiivas en Tr29_7_Ramsey_discreo.doc
Más detallesMaster en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito
Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio
Más detallesCAPITULO VI LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
CAPITULO VI LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. Definición. Tranformada de Laplace Suponga que la función eá definida para y la inegral impropia Converge para exie para. Enonce la ranformada de Laplace de. y
Más detallesÍndice de diapositivas en Tr2009_6_Prog_Din.doc
Deparameno de Economía, Faculad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay Maesría en Economía Inernacional 29. Macroeconomía. Alvaro Foreza Índice de diaposiivas en Tr29_6_Prog_Din.doc
Más detallesFlujo en Redes. Algoritmos y Estructuras de Datos III
Flujo en Rede Algorimo y Erucura de Dao III Flujo en Rede Definicione: Una red N = (V, X ) e un grafo orienado conexo que iene do nodo diinguido una fuene, con grado de alida poiivo y un umidero, con grado
Más detallesCAPÍTULO II. Conceptos de Confiabilidad
CAPÍTULO II Concepos de Confiabilidad CAPÍTULO II CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD Una de las áreas de ingeniería de confiabilidad es la modelación de la misma, debido a que los procesos en general se comporan
Más detallesAplicación de las ondículas al análisis de imágenes
Aplicación de la ondícula al análii de imágene Terea Navarro Gonzalo Deparamen de Maemàica Aplicada III. Univeria Poliècnica de Caalunya. Colom 1 08222-Terraa m.erea.navarro@upc.e 1. Inroducción La ondícula
Más detalles1. (1 punto) Considere una versión modificada del modelo de Solow en la que el producto está dado por
Maesría en Economía Inernacional Macroeconomía, Examen de marzo de Profesor: Alvaro Foreza Duración: 3 horas Aclaración: es un examen con maeriales a la visa.. ( puno) Considere una versión modificada
Más detallesEl Modelo de Romer con Externalidad del Capital
César Anúnez. I Noas de Crecimieno Económico UNIVERSIDAD NACIONA MAYOR DE SAN MARCOS FACUTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América) El Modelo de Romer con Exernalidad del Capial
Más detallesSusana Alonso Bonis Eleuterio Vallelado González Universidad de Valladolid José Manuel Henriques Xavier Universidad de Salamanca
Documeno de Trabajo /05 La flexibilidad como creadora de valor. El cao de una exploación foreal en Porugal * Suana Alono Boni Eleuerio allelado González Univeridad de alladolid Joé Manuel Henrique Xavier
Más detallesLenguaje de las ecuaciones diferenciales
Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. Lenguaje de las ecuaciones diferenciales pare. Soluciones de una EDO Para ese curso a esamos familiarizamos con los érminos función eplicia función
Más detallesCapítulo Suponga que la función de producción para el país X es la siguiente:
Capíulo 5 BREVE HISTORIA Y CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A A TEORÍA DE CRECIMIENTO. Suponga que la función de producción para el país X es la siguiene: Q= F( K, ) = A K a) Cuál de los dos facores, rabajo o
Más detalles1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.
1. Derivadas de funciones de una variable. Reca angene. Derivadas Vamos a ver en ese capíulo la generalización del concepo de derivada de funciones reales de una variable a funciones vecoriales con varias
Más detallesCIENCIA QUE ESTUDIA MATEMÁTICAMENTE LA NATURALEZA
FÍSICA CIENCIA QUE ESTUDIA MATEMÁTICAMENTE LA NATURALEZA Galileo Galilei (1564-164) Iaac Newon (164-177) Alber Einein (1879-1955) UNIDAD 6: FUERZA Y MOVIMIENTO 1. CINEMÁTICA: Pare de la Fíica que eudia
Más detallesMarch 2, 2009 CAPÍTULO 3: DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIACIÓN
March 2, 2009 1. Derivadas Parciales y Funciones Diferenciables En ese capíulo, D denoa un subconjuno abiero de R n. Definición 1.1. Consideremos una función f : D R y sea p D, i = 1,, n. Definimos la
Más detallesLA TRANSFORMADA DE LAPLACE
7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Definición de la ranformada de Laplace 7 Tranformada invera y ranformada de derivada 7 Tranformada invera 7 Tranformada de derivada 73 Propiedade operacionale I 73 Tralación
Más detalles11. PREVISIÓN DE LA DEMANDA
. PREVIIÓN E LA EMANA. INROUCCIÓN Anes de comenzar a desarrollar las cuenas previsionales de exploación, la empresa iene que realizar una esimación del volumen de venas que generará la acividad diaria
Más detallesSOLO PARA INFORMACION
ÍNDICE GENERAL INTRODUCION.... 3. OBJETIVOS... 3. eperimeno... 3. Modelo fíico... 3. dieño... 4 3. Maeriale... 5 4. Variable independiene... 5 5. Variable dependiene:... 5 6. Rango de Trabajo... 5 7. Procedimieno...
Más detallesSOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. El objeivo de esas noas complemenarias al ema de solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es dar una inroducción simple al ema,
Más detallesTema 10 La economía de las ideas. El modelo de aumento en el número de inputs de Romer (1990)
Tema 0 La economía de las ideas. El modelo de aumeno en el número de inpus de Romer (990) 0. Endogeneización de la ecnología: un doble enfoque. 0.2 El secor producor de bienes finales. 0.3 Las empresas
Más detalles13.1 Posición, velocidad y aceleración
En ee capíulo e inicia el eudio del movimieno. Aquí no e iene ineré en la propiedade de lo objeo ni en la caua de u movimieno; el objeivo conie ólo en decribir analizar el movimieno de un puno en el epacio.
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: CIENCIAS NATURALES Y EDUCACION AMBIENTAL ASIGNATURA: FISICA NOTA
INSIUCION EDUCAIVA A PRESENACION NOMBRE AUMNA: AREA : CIENCIAS NAURAES Y EDUCACION AMBIENA ASIGNAURA: FISICA NOA DOCENE: HUGO HERNAN BEDOYA IPO DE GUIA: CONCEPUA - EJERCIACION PERIODO GRADO FECHA N DURACION
Más detallesOPTIMIZACIÓN DINÁMICA
OPIMIZACIÓN DINÁMICA Francisco Alvarez González fralvare@ccee.ucm.es EMA 5 Problemas en iempo coninuo: principio del máximo de Ponryagin 1. Formulación en iempo coninuo. 2. Ejemplos. 3. Función valor.
Más detallesSUPERINTENDENCIA DE BANCOS Y SEGUROS REPUBLICA DEL ECUADOR
SUPERINTENDENCI DE NCOS Y SEGUROS REPULIC DEL ECUDOR Inrucivo para la aplicación del Concepo de Valor en Riego (Var), para la eimación de la Liquidez erucural requerida por la Iniucione Financiera OCTURE
Más detallesMODELOS DE REGIMENES CAMBIANTES ESTOCÁSTICOS Markov switching regimes
MODELOS DE REGIMENES CAMBIANES ESOCÁSICOS Markov wiching regime Comporamieno dinámico de la variable dependen del eado de la economía Modelo AR y SAR: vario regímene en función del valor de una variable
Más detallesTEMA 8: EL CRECIMIENTO ECONÓMICO
TEMA 8: EL CRECIMIENTO ECONÓMICO Asignaura: Macroeconomía Grado de Adminisración y Dirección de Empresas Curso 2014-2015 Profesor: Juan Pablo Juárez Mulero INTRODUCCIÓN Consideraciones sobre el crecimieno
Más detallesEstructuras de Materiales Compuestos
Erucura de Maeriale Compueo Elaicidad Anióropa Ing. Gaón Bone - Ing. Criian Boero - Ing. Marco Fonana Anioropía Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Un maerial ióropo e aquel en el cual la
Más detallesFlujo en Redes de Transporte
Flujo en Rede de Tranpore Eduardo Urei Flujo en Rede de Tranpore p./55 Red de Tranpore Una Red de Tranpore e un grafo dirigido con peo (V, E, c) donde hay do vérice diinguido: uno llamado fuene y oro llamado
Más detalles( ) m / s en un ( ) m. Después de nadar ( ) m / s. a) Cuáles
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL, DATOS EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. Una cucaracha sobre una mesa se arrasra con una aceleración consane dada por: a (.3ˆ i. ˆ j ) cm / s. Esa sale desde un puno ( 4, ) cm
Más detallesRECOMENDACIÓN UIT-R P Método de predicción de la dinámica de los desvanecimientos en los trayectos Tierra-espacio
Rec. UIT-R P.163-1 1 RECOMENDACIÓN UIT-R P.163-1 Méodo de predicción de la dinámica de lo devanecimieno en lo rayeco Tierra-epacio La Aamblea de Radiocomunicacione de la UIT, (Cueión UIT-R 01/3) (003-005)
Más detallesi = dq dt La relación entre la diferencia de potencial de las armaduras del condensador y su capacidad es V a V b =V ab = q C V c =V bc
aleos Física para iencias e ngeniería APÍTUL 1.09-2 UT 1 1.09 2.1 arga de un condensador a ravés de una resisencia La figura muesra un condensador descargado de capacidad, en un circuio formado por una
Más detallesM.R.U.A. Y Caída Libre
M.R.U.A. Y Caída Libre MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) Un M.R.U.A. iene aceleración conane y u Trayecoria e una línea reca. Un aión, cuando depega, a aumenando u elocidad. Tiene
Más detallesPROBLEMAS Problema 01 (20%): Suponga que la curva de Phillips de la economía está dada por: e t
COMENTES Responda si la afirmación es V, F o ambigua. (20%) Comene 01: La curva de Phillips describe una relación negaiva enre el cambio en la asa de desempleo y la inflación. (5%) Comene 02: La relación
Más detallesERROR EN ESTADO ESTACIONARIO. TIPOS DE SISTEMAS. COEFICIENTES DE ERROR.
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO. TIPOS DE SISTEMAS. COEFICIENTES DE ERROR. Ojeivo: Analizar el error en eado eacionario para iema con realimenación uniaria y no uniaria. Como aí amién definir el ipo de iema,
Más detallesω ω ω y '' + 3 y ' y = 0 en la que al resolver se debe obtener la función y. dx = + d y y+ m = mg k dt d y dy dx dx = x y z d y dy u u x t t
E.D.O para Ingenieros CAPITULO INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que conienen derivadas, Por ejemplo: '' + ' = en la que al resolver se debe
Más detallesFlujo máximo: Redes de flujo y método de Ford-Fulkerson. Jose Aguilar
Flujo máximo: Rede de flujo y méodo de Ford-Fulkeron Joe Aguilar b a d c 0 0 0 0 0 Flujo en Rede. Flujo máximo Algorimo de Flujo Lo algorimo de flujo reuelven el problema de enconrar el flujo máximo de
Más detallesFlujo en Redes. Algoritmos y Estructuras de Datos III
Flujo en Rede Algorimo y Erucura de Dao III Flujo en Rede Definicione: Una red N = (V, X ) e un grafo orienado conexo que iene do nodo diinguido una fuene, con grado de alida poiivo y un umidero, con grado
Más detallesTEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas
Dinámica de Siema TEM : Méodo para el análii de iema..- Inroducción...- Solución de ecuacione diferenciale lineale...- Tranformada de Laplace..4.- Diagrama de bloque..- Mariz de Tranferencia.6.- Méodo
Más detallesTema 13 Modelos de crecimiento exógeno básicos
Tema 13 Modelo de crecimieno exógeno báico 13.1 Reolución del modelo con la función genérica de roducción. 13.2 Lo modelo de Harrod-Domar y de Kaldor. 13.3 El modelo de Solo. Bibliografía: Sala i Marin
Más detallesY K AN AN AN MODELO SOLOW MODELO
MODELO SOLOW MODELO Rendimienos consanes a escala decrecienes en uso de facores. Tasa de ahorro exógena, s. Crecimieno exógeno, a asa g, de eficiencia del rabajo. Equilibrio mercado de bienes de facores.
Más detallesVALORACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL MOMENTO ÓPTIMO DE CORTE DE UNA EXPLOTACIÓN FORESTAL. APLICACIÓN DEL MODELO DE OPCIONES REALES *
ALORAIÓN Y DEERMINAIÓN DEL MOMENO ÓPIMO DE ORE DE UNA EXPLOAIÓN FORESAL. APLIAIÓN DEL MODELO DE OPIONES REALES * Suana Alono Boni Eleuerio allelado González $ Univeridad de alladolid Dpo. Economía y Adminiración
Más detallesa) en [0, 2] ; b) en [-1, 1]
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES CATEDRA: Maemáica I CURSO: 04 TRABAJO PRACTICO Nº -Tercera Pare Pare III. Aplicaciones de la derivada TEOREMA DE ROLLE
Más detallesResolviendo la Ecuación Diferencial de 1 er Orden
Resolviendo la Ecuación Diferencial de er Orden J.I. Huircán Universidad de La Fronera February 6, 200 bsrac El siguiene documeno planea disinos méodos para resolver una ecuación diferencial de primer
Más detallesUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-07-2-V--00-208 CURSO: Maemáica Inermedia CÓDIGO DEL CURSO: 07 SEMESTRE: Primer Semesre JORNADA: Vesperina
Más detallesPropagación de crecidas en ríos y embalses
GUÍA DEL TRABAJO PRACTICO N 8 Propagación de crecidas en ríos y embalses 1 Pare: Propagación de crecidas en río. Méodo de Muskingum Conocidos los hidrogramas de enrada y salida de un ramo del río Tapenagá
Más detallesControlabilidad. Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por: Guía
Tema: Conrolailidad y Oervailidad. Lugar de ejecución: Taller de Elecrónica (Laoraorio: Inrumenación y Conrol. Tiempo de ejecución: hr. Faculad: Ingeniería. Ecuela: Elecrónica Aignaura: Conrol Digial Ojeivo
Más detalles6.4 Propiedades de la TL 359. y D f 2.t/ 1. Cuáles de las siguientes funciones cumplen las condiciones suficientes para la existencia de la TL?.
f hg kj kj kj kj 6.4 Propiedade de la TL 359 Ejemplo 6.3.4 Oberve que la funcione. f./ ; i I. f./ i I i no e enero; 3. f 3./ i ; ; ; 3; ienen oda la mima TL, a aber F./. La gráfica de ea funcione e preenan
Más detallesSEMESTRE TIPO 1 DURACIÓN MÁXIMA 2.0 HORAS 5 DE JUNIO DE NOMBRE Apellido paterno Apellido materno Nombre (s) Grupo
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE
Más detallesMetodología de la estimación de los ingresos anuales y mensuales
Meodología de la esimación de los ingresos anuales y mensuales En cumplimieno con lo esablecido en la fracción III, inciso a), del Arículo 41 de la Ley Federal de Presupueso y Responsabilidad Hacendaria,
Más detallesTécnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase
Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular,
Más detallesMATEMÁTICAS II Examen del 28/05/2012 Solución Importante
MATEMÁTICAS II Examen del 8/05/0 Solución Imporane Las calificaciones se harán públicas en el aula virual el 08/06/0. La revisión será el /06/0 y el /06/0 de -3 horas en la sala D-4-. MATEMÁTICAS II 8/05/0
Más detallesUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-114-4-M-2-00-2017 CURSO: Maemáica Inermedia 3 SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 114 TIPO DE EXAMEN: Examen
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América)
César Anúnez. I Noas de Crecimieno Económico UNIVERSIDAD NACIONA MAOR DE SAN MARCOS FACUTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América) En esa pare esudiaremos el amaño del obierno,
Más detallesEconometría de Económicas Ejercicios para el tema 1
Economería de Económicas Ejercicios para el ema 1 Curso 2005-2006 Profesores Amparo Sancho Perez Guadalupe Serrano Pedro Perez Formas funcionales alernaivas a la lineal Las hipóesis realizadas en el modelo
Más detallesPropiedades de la igualdad
Propiedades de la igualdad El álgebra es la rama de las maemáicas que se dedica al esudio de las propiedades de objeos maemáicos. Un objeo maemáico puede ser un número, una ecuación, un vecor, ec. Por
Más detallesF(t) F(t) 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R RAPIDEZ DE CAMBIO X ( ) ( ) F(t)
Inroducción a la ísica Paralelos y 3. Profesor RodrigoVergara R RPIDEZ DE CMBIO Rapidez media de cambio Definir el concepo rapidez media de cambio nalizar arianes donde no es el iempo la ariable independiene
Más detallesMACROECONOMÍA II. Tema 1. El consumo
MACROECONOMÍA II Tema. El consumo Blanca Sanchez-Robles. Inroducción. El enfoque keynesiano (en clase).. El modelo de dos periodos 3. La función de consumo de Modigliani 4. La eoría de la rena permanene
Más detallesMaterial sobre Diagramas de Fase
Maerial sobre Diagramas de Fase Ese maerial esá dedicado a los esudianes de Conrol 1, para inroducirse a los diagramas de fase uilizados para el Análisis de Esabilidad de los punos de equilibrio del sisema
Más detalles03) Rapidez de Cambio. 0302) Rapidez de Cambio
Página 3) Rapidez de Cambio 3) Rapidez de Cambio Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Ocubre 7 Ocubre 7 Página A) Rapidez media de cambio Considere una canidad física (), como la mosrada
Más detallesESTADISTICA PARA RELACIONES LABORALES
ESTADISTICA PARA RELACIONES LABORALES CURSO 2010 TURNO VESPERTINO Y NOCTURNO MODULO 8 INFLACION, DEFLACTACION INFLACION La INFLACION es el aumeno del nivel general de precios en una economía. Por ello
Más detallesRELACIÓN ENTRE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Y LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. Razón de cambio instantánea y la derivada de una función
RELACIÓN ENTRE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Y LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Razón de cambio insanánea y la derivada de una función anerior Reomemos nuevamene el problema del proyecil esudiado en la secuencia
Más detallesINTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS Modelos maemáicos y eorías Un modelo consiuye una represenación absraca de un ciero aspeco de la realidad. En su esrucura inervienen, por una pare, los elemenos que
Más detallesRelación de ejercicios. Ecuaciones diferenciales
Relación de ejercicios. Ecuaciones diferenciales Abraham Rueda Zoca Ejercicio 1. [ punos] Resolver la ecuación diferencial: x = 2 + x + x 2 2. Solución. Veamos que se raa de una ecuación homogénea. Si
Más detalles2) Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(1, 0), B(2, 3) y C(3, -2).
Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas Vecores en R en R. Recas planos en el espacio Verifique los resulados analíicos mediane la resolución gráfica usando un sofware de Maemáica. ) Sabiendo que
Más detallesUNIVERSIDAD DEL ZULIA PROGRAMA DE INGENIERÍA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA I
UNIVERSIDAD DEL ZULIA PROGRAMA DE INGENIERÍA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA I INSTRUCTIVO PRÁCTICA Nº 5. MOVIMIENTO RECTILINEO Preparado por. Ing. Ronny J. Chirinos S., MSc prácica
Más detallesPrimera ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo Eléctrico
CUACION D MAW as leyes experimenales de la elecricidad y del magneismo se resumen en una serie de expresiones conocidas como ecuaciones de Maxwell. sas ecuaciones relacionan los vecores inensidad de campo
Más detallesTEMA 1. EL CICLO ECONÓMICO
TEM. E CICO ECONÓMICO. Definición de ciclo 2. Hechos esilizados de los ciclos económicos 2.. Represenación de una variable en ciclo y endencia 2.2. Comporamieno cíclico de las variables económicas y su
Más detalles