Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos aplicados a la Economía y la Gestión (CMA)

Transcripción

1 Insiuo de Invesigaciones en Adminisración, Conabilidad y Méodos Cuaniaivos para la Gesión (IADCOM) Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) REVISTA DE INVESTIGACIÓN EN MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A LA GESTION Y LA ECONOMIA 2014 Año 1 Vol. 1 La Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía de la Faculad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires es una publicación anual de invesigación y desarrollo de modelos maemáicos en los campos de la gesión y economía. Esá desinada a profesionales, invesigadores y esudianes de esas disciplinas. Publica arículos que son produco de la invesigación orienada académicamene. 1

2 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 Vol. 1 Direcora: María Terea Casparri (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Comié Arbiral: Vícor Álvarez (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Vícor Bagnai (Universidad Ponificia Caólica de San Pablo. Brasil) Alicia Blanca Bernardello (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) María Teresa Casparri (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Aurelio Fernandez Bariviera (Faculad de Economía y Empresa. Universidad Rovira i Virgili. España) Ángel José Vicene Fusco (Universidad Nacional de Chilecio) Javier García Froni (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Emilio Machado (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Comié Ediorial: Verónica García Froni (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Pablo Maías Herrera (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Marín Masci (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Ana Silvia Vilker (Faculad de Ciencias Económicas - UBA) Comié de Redacción: Susana Clara Olivera de Marzana Organismo responsable de la publicación: Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión Faculad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires Av. Córdoba 2122 Ciudad Auónoma de Buenos Aires, Argenina Conaco: cma@econ.uba.ar 2

3 INDICE Una Aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Alejo Macaya El análisis esáico-comparaivo en modelos Mundell-Fleming María Teresa Casparri y Eduardo Tarullo Un modelo dinámico de crecimieno endógeno María Teresa Casparri, Rocío Suarez y Eduardo Tarullo La curva de Laffer y el impueso inflacionario María Teresa Casparri y Melisa Elfenbaum Méodo de convexación en un problema de Trim-Loss María Magdalena Mas y María Cecilia Municoy Sobre la dinámica de la inversión en el modelo de ciclo económico de Kalecki Eduardo A. Rodríguez El concepo de probabilidad en la obra de Lord Keynes Albero H. Landro Inroducción a los procesos esocásicos en la valuación de proyecos de inversión riesgosos María Teresa Casparri, Marín Ezequiel Masci y Verónica García Froni Conrol ópimo: El modelo de Ramsey Pablo Maías Herrera, Juan Pablo Silvera De Deus y Ana Silvia Vilker Una aplicación del conrol ópimo con ineracción: El modelo de Lancaser Yamila Amani y Javier García Froni 3

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5 ACERCA DE LOS AUTORES Yamila Amani Esudiane de la Licenciaura de Economía y ayudane de segunda ad honorem de Maemáica para Economisas en la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). María Teresa Casparri Docora en Ciencias Económicas, Acuaria, Licenciada en Economía, Conadora Pública de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Profesora Eméria. Direcora de la Maesría en Gesión Económica y Financiera de Riesgos, del Insiuo de Invesigación en Adminisración, Conabilidad y Maemáica y del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Inegrane de comisiones cieníficas PIUBACC y de la comisión académica de la Maesría en Docencia Universiaria. Melisa Elfenbaum Acuaria en Economía y Magíser en gesión económica y financiera de riesgos de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Ayudane de 1ra. Ad-honorem de Maemáica para Economisas, Cáedra Dra. Casparri y Docene en la maeria Méodos Esocásicos de la Maesría en Gesión Económica y Financiera de Riesgos en la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Javier Ignacio García Froni Docor de la Universidad de Buenos Aires. Profesor iular de Maemáica para Economisas, Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Subdirecor del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA), Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Verónica García Froni Ingeniera Química Faculad de Ingeniería (UBA). Jefe de Trabajos Prácicos de Maemáica para Economisas e invesigadora en el Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Pablo Maías Herrera Licenciado en Economía, ayudane de 1ra. Ad-honorem en la maeria Maemáica para Economisas e invesigador en el Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). 5

6 Albero Landro Profesor iular de Economería. Direcor del Cenro de Invesigaciones en Economería de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Alejo Macaya Magíser en Economía de la Universidad Torcuao Di Tella. Licenciado en Economía de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Profesor adjuno de Maemáica para Economisas e invesigador del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) en la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). María Magdalena Mas Profesora de Maemáica, Faculad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional del Lioral. Profesora Adjuna de Maemáica Básica de la Faculad de Ciencias Económicas de la UNL. Inegrane del proyeco de invesigación: La evaluación de compeencias en el debae de la evaluación de los aprendizajes universiarios Marin Ezequiel Masci Licenciado en Economía de la Facula de Ciencias Económicas (UBA). Becario docoral de la Agencia Nacional de Promoción Cienífica y Tecnológica. Ayudane de 1ra. Ad-honorem de Maemáica para Economisas, cáedra Dr. Javier García Froni en la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). María Cecilia Municoy Especialisa en Docencia Universiaria, Profesora Asociada en la cáedra de Maemáica para Economisas de la Faculad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del Lioral (UNL), Inegrane del proyeco de invesigación: La evaluación de compeencias en el debae de la evaluación de los aprendizajes universiarios Eduardo Rodríguez Licenciado en Economía de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Profesor adjuno en el grupo de asignauras del Área Acuarial e invesigador del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). 6

7 Juan Pablo Silvera De Deus Licenciado en Economía de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA), auxiliar docene en Maemáica para Economisas e invesigador de apoyo en el Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Rocío Eugenia Suárez Licenciada en Economía de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Se desempeñó como ayudane Ad-honorem de Análisis Maemáico II, Macroeconomía I, Maemáica para Economisas y Crecimieno Económico en la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Acualmene, rabaja en el secor privado en el área de consuloría. Eduardo Tarullo Licenciado en Economía y Acuario de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Profesor adjuno de Maemáica para Economisas e invesigador del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Ana Silvia Vilker Licenciada en Economía de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Docene adjuna del Deparameno de Maemáica e invesigadora del Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos Aplicados a la Economía y la Gesión (CMA) de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA). Ha sido becaria de la Faculad de Ciencias Económicas (UBA) y se ha desempeñado en diversos organismos públicos (INDEC, Consejo Federal de Inversiones). 7

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9 Presenación del primer número de la Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía Con el objeivo de plasmar la invesigación académica llevada a cabo por el Cenro de Invesigación en Méodos Cuaniaivos aplicados a la Economía y la Gesión, durane los úlimos años, en el campo de los modelos de la gesión y economía, iniciamos la publicación de la Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y Economía que cuena con un comié arbiral formado por profesores iulares de amplia rayecoria ano a nivel docencia como invesigación en disinas universidades, como la de Buenos Aires, San Pablo y Rovira i Virgili, España. En ese número el comié ediorial seleccionó los mejores rabajos presenados en el III Seminario: Docencia, Invesigación y Transferencia en las Cáedras de Maemáica para Economisas Bernardello - Casparri - García Froni, los que fueron someidos a un proceso de referao efecuado por un comié de experos exernos al cenro, que realizaron su evaluación en la modalidad de doble ciego, garanizando de esa manera la confidencialidad y el anonimao, ano de auores como de árbiros. Como resulado de ese proceso el conenido del presene volumen se inicia con el rabajo de Alejo Macaya que aborda la resolución de un problema económico de opimización dinámica -deerminación de las rayecorias de consumo y ahorro que maximizan la uilidad del consumidor- en iempo discreo a parir de diferenes enfoques. Poseriormene, María Teresa Casparri y Eduardo Tarullo focalizan la aplicación del Teorema de Exisencia Generalizado de las Funciones Implícias, para realizar un análisis de esáica comparaiva en el modelo Mundell-Fleming. El esudio comprende la políica fiscal y monearia en regímenes de ipo de cambio fijo y flexible con movilidad imperfeca y perfeca de capiales. A coninuación se encuenra un rabajo, ambién de María Teresa Casparri y Eduardo Tarullo, conjunamene con Rocío Suarez, que esudia la eoría del crecimieno endógeno a parir del análisis de una versión simplificada del modelo de acumulación de conocimieno y capial físico (I+D) desarrollado por Paul Romer (1990). A su vez, María Teresa Casparri y Melisa Elfenbaum presenan la curva de Laffer para analizar los efecos de la variación en la inflación en una economía. María Magdalena Mas y María Cecilia Municoy exploran el méodo de la ransformación de raíz cuadrada para solucionar un problema de Trim-loss. En el siguiene rabajo, Eduardo Rodríguez analiza la esabilidad y monoonía de la inversión en el modelo de ciclo económico de Kalecki, mediane la eoría de las soluciones de las ecuaciones en diferencias. Albero Landro, en su rabajo, desarrolla el concepo de la probabilidad en la obra de Lord Keynes. Nuevamene Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 9

10 María Teresa Casparri, pero esa vez con Marín Masci y Verónica García Froni, rabajan sobre la emáica de los procesos esocásicos y la imporancia de los mismos en la valuación de proyecos de inversión. En el aneúlimo rabajo, pereneciene a Pablo Maías Herrera, Juan Pablo Silvera De Deus y Ana Silvia Vilker, se presena un problema de conrol ópimo, paricularmene el modelo de Ramsey, aplicado al crecimieno de una economía. Por úlimo Yamila Amani y Javier García Froni planean en forma simplificada el modelo de Kelvin Lancaser, La dinámica ineficiene del capialismo, publicado en Espero que esa publicación sea de inerés para odos aquellos ineresados en la emáica, como lo ha sido para nosoros como cenro de invesigación. Por úlimo, agradezco a odos los paricipanes -auores, ediores y árbirosque hicieron posible la realización de la presene publicación. Prof. Eméria Dra.: María Teresa Casparri Direcora del CMA 10

11 UNA APLICACIÓN ECONÓMICA DE LOS MÉTODOS DISCRETOS DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Resumen Alejo Macaya El rabajo aborda la resolución de un problema económico de opimización dinámica (deerminación de las rayecorias de consumo y ahorro que maximizan la uilidad del consumidor) en iempo discreo a parir de diferenes enfoques. Los dos primeros consisen en resolver el problema uilizando écnicas de programación no lineal con un único muliplicador de Lagrange o uno por cada resricción del problema. Ese úlimo méodo permie, además, aplicar écnicas del análisis cualiaivo de sisemas dinámicos para describir aproximadamene el comporamieno de las soluciones. El ercer enfoque uiliza el méodo de cálculo de variaciones para resolver el problema. Las aplicaciones de las écnicas de cálculo de variaciones y de programación no lineal con varios muliplicadores de Lagrange implican, a su vez, la necesidad de uilizar écnicas de resolución de ecuaciones en diferencias con condiciones de conorno para hallar la solución explícia del problema. Un cuaro y úlimo méodo aplicado es el de programación dinámica. Asimismo, se realizan comparaciones enre esos dos úlimos méodos para mosrar la equivalencia enre ambos. Finalmene, con el objeivo de exponer el funcionamieno del méodo de programación dinámica se realiza una nueva aplicación, vinculada a la exracción de endencia y ciclos de series emporales. Absrac This paper addresses he problem of solve an economic model of dynamic opimizaion (deerminaion of consumpion and saving pahs ha maximize consumer uiliy) in discree ime using differen approaches. Four echniques are used; wo relaed wih he mehod of nonlinear programming (Kuhn-Tucker), oher wih he "calculus of variaions" mehod (Euler) and, he las, wih dynamic programming approach (Bellman). In he firs case, from he Kuhn and Tucker echniques, we differeniae beween "saics Lagrange muliplier" (as saic problem) and "dynamic Lagrange muliplier", wo forms of solve he same problem, bu hey involving differen sraegies o solve and analyze he problem. Besides, we also use he firs order condiions of dynamic Lagrange muliplier problem o apply ools of qualiaive analysis ha allow solve approximaely he problem. Finally, wih he aim o show an addiional applicaion of he dynamic programming mehod, we solve he problem of exrac he cycle and endency of a ime series. Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 11

12 Alejo Macaya INTRODUCCIÓN En disinas ramas de Economía (macroeconomía, crecimieno, finanzas), y desde hace algunos años con mayor regularidad, las écnicas de opimización dinámica (cálculo de variaciones, conrol ópimo, programación dinámica) ocupan un lugar desacado como herramienas de rabajo 1. Por ese moivo, creemos que el conocimieno de las mismas es imporane para nuesra formación. Al menos dos caracerísicas pueden resular deseables cuando comenzamos a esudiar esos emas. La primera, que el problema pueda raarse en forma más o menos sencilla, la segunda, que resule insrucivo. Con respeco al primer puno, uno de los caminos más simples es raar al iempo como una variable discrea y fijar el horizone del problema, en ano que un problema de consumo y ahorro, que se presena con basane frecuencia en las aplicaciones, puede resular insrucivo. Esa noa iene como objeivo abordar un problema de consumo y ahorro ineremporal a parir de diferenes enfoques o caminos posibles de resolución. Concreamene, el problema consise en conocer cuál será la secuencia de consumo y ahorro de un agene que desea maximizar la uilidad sujea a cieras resricciones de presupueso y procesos exógenos para el ingreso y la asa de inerés. En los casos en que el iempo es una variable discrea y el horizone es finio se pueden aplicar las écnicas de opimización esáica (por ejemplo, bajo cieros supuesos, las condiciones de Kuhn-Tucker caracerizan el puno críico) para resolver el problema, pueso que su dimensión es finia. El raamieno del problema requiere ambién, aunque no necesariamene, algún conocimieno de ecuaciones en diferencias finias de primer y segundo orden. El puno cenral para aplicar uno u oro enfoque depende, principalmene, de cómo se rabaje con las resricciones. Si las resricciones se agregan la solución puede obenerse a parir de un sisema de ecuaciones, en cambio si las ecuaciones de movimieno se susiuyen en la función objeivo la solución se encuenra a parir de una ecuación en diferencias de segundo orden, mienras que si se uilizan anos muliplicadores como resricciones exisen la solución surge después de resolver un sisema de 1 Enre mediados de 1920 y principios de 1930 aparecen los primeros rabajos que aplican la écnica de cálculo de variaciones para resolver problemas económicos dinámicos [Evans, 1924; Ramsey, 1928; Hoelling, 1931]. Tal vez, los dos úlimos rabajos (especialmene el primero de esos) hayan sido los de mayor repercusión. 12

13 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica ecuaciones en diferencias de primer orden. Ora posibilidad es descomponer el problema en eapas y comenzar a resolverlo de adelane hacia arás. El problema con el que vamos a rabajar se encuenra raado de diferenes formas y con disinos supuesos en Obsfeld y Rogoff [1996, pp ], Sargen [1987, pp ], Sokey y Lucas [1989, pp ] y Varian [1992, pp ], enre oros. Una vez conocida la solución (hallado el sendero emporal para el consumo y los acivos que hacen máxima la uilidad), el ejemplo puede exploarse ambién para enconrar expresiones más simples de la solución si asumimos ciero comporamieno en el iempo del ingreso o, sin conocer la solución, analizar el comporamieno de las variables mediane un diagrama de fases. Además, esudiamos el problema de horizone infinio, oras formas de presenar la solución en érminos de la riqueza y la obención del valor máximo que alcanza la uilidad (función valor). La sección siguiene, que coniene el modelo de consumo y ahorro, corresponde a la pare principal del rabajo. Incluimos una ercera sección con ora aplicación de la écnica de programación dinámica para la exracción de ciclos y endencias de series emporales. 1. CONSUMO Y AHORRO ÓPTIMO BAJO CERTIDUMBRE Consideremos el siguiene problema de un agene represenaivo: Max T T c, b1 0 0 s.a: uc, 1 1, 0 b1 1 r y b c 0,1,2,, T b0 dado Donde b es la canidad de acivos al inicio del período mienras c e y denoan el consumo y el ingreso del período, respecivamene. Todas esas variables se miden en unidades del bien de consumo. La asa de inerés se denoa por r. La función de uilidad, u c, depende del consumo, es coninuamene diferenciable, esricamene creciene y esricamene cóncava, con Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 13

14 Alejo Macaya lim u c c0. La uilidad fuura se descuena por un facor, siendo la asa de preferencia emporal o asa de impaciencia. La resricción de presupueso indica que los acivos a comienzos del período 1 son iguales al ahorro bruo del período anerior, y b c, capializado durane un período. En el período inicial el consumidor debe deerminar su plan de consumo, T c, y acumulación de acivos, 0 T b 1 0, dada la resricción de presupueso de cada período, conocidas las secuencias de ingreso laboral, 0 T r asumimos fuera de conrol del agene) y ipo de inerés, 0 T y (que (que suponemos consane en el iempo) y dada una canidad inicial de acivos b 0. Un sendero con esas caracerísicas se denomina de previsión perfeca. 2. SOLUCIÓN POR PROGRAMACIÓN NO LINEAL El problema puede planearse en diferenes formas como un problema de programación no lineal. 2.1 Muliplicadores de Lagrange esáicos En esa versión uilizamos un muliplicador de Lagrange (o, a lo sumo, dos) para obener las condiciones de primer orden. Pese a la exisencia de un número inicial de T 1 resricciones, la agregación de ésas se logra gracias a que los acivos vinculan ecuaciones de movimieno de períodos consecuivos Horizone de iempo finio El problema anerior se puede escribir como un problema con una esrucura esáica si en lugar de uilizar como resricción la ecuación de movimieno para cada período empleamos una resricción agregada en el iempo. La resricción de presupueso es una ecuación en diferencias de primer orden en el nivel de acivos donde consideramos el consumo y el ingreso como funciones desconocidas del iempo: 14

15 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica b b r b r y c 1 1 Inegrando enre 0 y T obenemos: T bt 1 1 b0 y c T1 1 r 1 r, 0 donde bt 1 es la canidad de acivos o pasivos que deja el consumidor al finalizar su vida. Nóese, sin embargo, que si el consumidor muere a fines de T los presamisas nunca esarán dispuesos a presarle en el úlimo período (T ). Por lo b. ano, 1 0 T La relación anerior puede volverse a expresar de la siguiene manera: T T bt 1 0 T1 0 r 1 r b y c 0 1 1r El problema original puede enonces planearse como: c Max T T 0, b T1 0 u c T T 1 bt 1 1 b0 y c 0 T r bt 1 0 s.a: r 1 r Definimos la riqueza del consumidor en el período inicial como el valor de los acivos iniciales más el valor presene de la corriene fuura de ingresos, es decir: Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 15

16 Alejo Macaya T 1 W0 b0 y0 y 1 1 r Uilizando esa definición de riqueza formamos ahora la función de Lagrange: c Max T, b 0 T1 T T b 1 c W c c 1 r T1 u 0 T r 1 La condición de primer orden (CPO) del problema es: c : c 1 0 c : c T u u r 1 u c T 0 1 r T c : bt 1 : 1 1 r T1 0 T : T bt 1 1 W0 c 1 0 c 0 T 1 r 1 r 1 La condición de holgura complemenaria es: bt 1 : b 1 r T1 T 1 0 La función de uilidad es esricamene creciene, por lo ano u c0 0. Si el muliplicador es superior a cero enonces la condición de b (en el úlimo período el agene holgura complemenaria implica T 1 0 consume odos sus acivos). 16

17 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Por oro lado, noemos que a parir de la CPO podemos despejar en cada ecuación el consumo como función del muliplicador. Para el caso de la función de uilidad u c lnc esas ecuaciones se ransforman en: c c r c r 2 c 1 r ct T 1 r Ese conjuno de ecuaciones y la resricción se pueden escribir como un sisema de ecuaciones lineales con T 2 incógnias y T 2 ecuaciones. En lugar de formar el sisema, reemplacemos el consumo de cada período en la resricción de presupueso agregada: resula el valor del muliplicador: 0 T T 1 W0 0, T W El consumo de cada período es enonces igual a: 0 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 17

18 Alejo Macaya c 1 W 0 T c 1 r W 1 T c 1 r W 2 2 T c r W T T ct r W T 1 1 T Por lo ano, el consumo es una función que depende del ipo de inerés, del facor de descueno ineremporal y (linealmene) de la riqueza inicial. La función de acumulación de acivos, b, la podemos obener a parir de la función de consumo hallada. Inegrando la resricción de presupueso ineremporal enre 0 y y uilizando la condición inicial obenemos: 1 s s s, s0 b b r r y c 18

19 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica reemplazando, de acuerdo con el resulado obenido, c s s s 1 1 r W y volviendo a ordenar érminos resula la T rayecoria emporal de los acivos: 1 1 s b 1 r b0 W r T y 1 s0 Finalmene, para asegurar que el puno hallado sea un máximo del problema debemos verificar las condiciones de segundo orden. En ese caso, dado que la función objeivo es esricamene cóncava (es una combinación lineal de funciones esricamene cóncavas) y la resricción es convexa 2, esas condiciones son suficienes para asegurar que el puno enconrado es un máximo global [Sydsaeer y Hammond, pp , 1996]. Aquí ermina la solución del problema de horizone de iempo finio. En muchas ocasiones, por razones de menor complejidad en los cálculos (enre oras), se rabaja con problemas de horizone infinio. s por Horizone de iempo infinio Las expresiones anes obenidas se simplifican si consideramos que el horizone de iempo es infinio, T. En ese caso, para que la región facible de consumo esé acoada es necesario asumir que el valor presene del ingreso sea acoado (en el largo plazo el ingreso no puede crecer a una asa superior a la asa de inerés), de esa manera la riqueza del agene es finia. Además, 2 La resricción de presupueso se puede escribir T 0 1 b T 1 c W0 0 T 1. Esa 1 r 1 r resricción, cuyas variables son el consumo de cada período, es lineal y, por lo ano, convexa (las resricciones de no negaividad del consumo, c 0, son ambién convexas). Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 19

20 Alejo Macaya observando la resricción de presupueso agregada, ambién debemos exigir, para que el consumo no sea an elevado como el agene quiera, que en el largo plazo se saisfaga: T1 limt T1 0 b 1 r Ese límie es conocido como condición de ransversalidad (o ausencia de juegos de Ponzi), es equivalene a la condición de holgura complemenaria para el problema de horizone finio. Dicha resricción indica que en el largo plazo los acivos o pasivos no pueden crecer a una asa superior al ipo de inerés. La resricción agregada del agene resula ser enonces: 1 1 c b y 1 1r 0 0 r 0 La función consumo, cualquiera sea el período de iempo, es igual a: c r W, donde y la acumulación de acivos: r, W b y y 1 s 0 0 s, s b r b W r y que ambién puede expresarse como: 1 b 1 r W0 y 1 r En algunos casos la solución, en lugar de hacer referencia a la riqueza inicial, puede enconrarse expresada en érminos de la riqueza del período corriene. s s s 20

21 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Expresión de la solución en érminos de la riqueza corriene Vamos a explorar ahora cómo podemos expresar la solución pero en érminos de la riqueza de cada período W en lugar de la riqueza del período inicial W 0. Enendemos por riqueza del período a la suma de los acivos iniciales de ese período más el valor presene de la corriene fuura de ingreso esperado a parir de ese período inclusive. Es decir: s 1 W b y y s s 11 r Desplazándola un período hacia delane, la riqueza posee la siguiene esrucura recursiva: susiuyendo 1 s s s 21 r, W b y y b por r y b c 1 y ordenando érminos, W r b y y r c s s 1 s 11 r, el érmino enre corchees es W, por lo ano: W r W c 1 1 Inegrando esa ecuación en diferencias enre 0 y obenemos: 1 s s, s0 1 1 W r W r c 0 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 21

22 Alejo Macaya y reemplazando el consumo por las funciones anes enconradas (en el problema de horizone infinio) resula: 1 0 W r W Por lo ano, la función consumo se puede escribir como una función de la riqueza del período corriene: c O en forma equivalene: 1 W 0,1,2, s 1 c 1 b y ys s 11 r El agene consume en cada período una fracción 1 de la riqueza del período. El facor 1 puede inerprearse como la propensión marginal a consumir de la riqueza. En el apéndice mosramos cómo se modifican esas fórmulas para el problema de horizone finio La función de uilidad indireca o función valor Reemplazando el consumo de cada período en la función de uilidad resula la uilidad indireca o función valor: ln 1 1 v W ln ln1 ln 1 r 1 W Nóese que esa función depende de variables exógenas y la riqueza inicial. La función valor posee un papel fundamenal en el enfoque de programación dinámica. 22

23 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica 2.2 Muliplicadores de Lagrange dinámicos El problema Si uilizamos un muliplicador de Lagrange para cada una de las resricciones el problema puede expresarse de la forma siguiene: T c, b1, 0 T 0 Max u c 1 r y b c b 1 s.a: b 0 bt 1 dado 0 La CPO orden es: c : uc 1 r 0 0,1,2,, T : 1 ry b c b 1 0 0,1,2,, T b : r 0 0,1,2,, T 1 b 0 T 1 : T Más la condición de holgura complemenaria: b T T1 0 Uilizando la primera y ercera ecuación resula: 1 r uc uc Esa ecuación se puede inerprear como una condición de arbiraje del consumo en el iempo: el agene esará indiferene enre demandar una unidad menos hoy y 1 r unidades adicionales mañana (el rendimieno de esa unidad 1 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 23

24 Alejo Macaya ahorrada) siempre que la desuilidad marginal corriene, u c uilidad marginal de esas unidades adicionales mañana, 1 r uc 1 érminos de uilidad presene, r c. 1 u 1, sea igual a la, en Luego, las res primeras ecuaciones se pueden volver a escribir como: 1 r uc uc 1 1 ry b c b 1 0 0,1,2,, T 1 Ese es un sisema de ecuaciones en diferencias de primer orden en el consumo y los acivos. Vamos a suponer que el horizone de iempo es infinio. Una solución paricular del sisema se obiene esableciendo condiciones de conorno. La primera de esas proviene de la condición inicial del problema, b 0. La segunda se obiene a parir de fijar una condición erminal o de ransversalidad. La ercera ecuación, que es una ecuación en diferencias en los muliplicadores, se en la puede inegrar y resula: r, reemplazando ahora T 0 1 condición de holgura complemenaria y aplicando límie obenemos nuevamene la condición de ransversalidad: lim T1 0 0 T T b 1 r Como ejemplo paricular, para hallar una solución explícia del modelo, vamos a suponer la misma función de uilidad que anes, resula es el siguiene: u c lnc. El problema que 24

25 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica 1 rc c1 1 r y b c b 1 0 b0 dado bt 1 limt T 0 1 r En la primera ecuación el consumo se encuenra aislado del nivel de acivos. obenemos: Inegrando enre el período inicial y un período cualquiera s s c 1 r c s Inegrando ahora la segunda ecuación enre y T, pasando al límie cuando T y uilizando la segunda condición de conorno: s s 1 1 b y y c c s s s1 1r s1 1r Reemplazando la primera solución en la segunda, simplificando érminos, despejando c reordenando érminos obenemos la función de consumo anes hallada: s 1 c 1 b y ys s 11 r Diagrama de fases para horizone finio La primera figura, abajo, muesra el diagrama de fases correspondiene al consumo y los acivos para el problema de horizone finio, donde el ingreso es s Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 25

26 Alejo Macaya consane y suponemos r 1 1 (el sendero de consumo es creciene). La información que uilizamos para su consrucción es la siguiene: Parimos del sisema deerminado por la CPO: c1 c r c b 1 b r c r b r y Las líneas de demarcación se obienen haciendo caso surgen las siguienes relaciones: c c c r r b y 1 b 0 c y b igual a cero. En al La primera es una reca superpuesa al eje de abscisas mienras la segunda es ora reca (pero con pendiene inferior a la unidad) de ordenada al origen igual a y y que cora al eje de abscisas en v1 1 0 y 1 1 r r y. Luego, los auovecores v indican las direcciones de movimieno donde la relación enre el consumo y los acivos es lineal. El primer auovecor es horizonal (al como indican las líneas de flechas) y el segundo posee pendiene 1 que dada la hipóesis 1 r 1 reca de demarcación b 0. Para un valor de 0 de la función consumo obenemos c 0 : implica que se encuenra por debajo de la b ( 0, por ejemplo) a parir r c b 1 y 0 T1 1 0 T 1 r 1 r 26

27 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Se puede demosrar que c 0 se encuenra por arriba de la reca deerminada por el segundo auovecor (véase el apéndice). Si asumimos que c pare por debajo de la línea de demarcación de b, enonces inicialmene el consumo y los acivos aumenan hasa b 0 y luego los acivos comienzan a disminuir mienras el consumo sigue creciendo. En el insane final se alcanza b 0. Figura 1. Consumo y acumulación de acivos. Supuesos: u lnc, y y, 1 r 1 y T finio En la figura 2 simulamos el comporamieno de los acivos, del consumo y la riqueza para un nivel de ingreso consane a lo largo de 25 períodos, una asa de inerés de 16% y una asa de impaciencia de 4%. El consumidor pare con un nivel Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 27

28 Alejo Macaya de acivos posiivo. La asa de inerés relaivamene ala con respeco a la de impaciencia es un fuere incenivo para ahorrar: los acivos crecen más rápido que el consumo y la riqueza ambién aumena. Luego, debido a que la corriene fuura de ingreso disminuye cuando nos acercamos al período final, la riqueza comienza a descender de la misma manera que lo hacen los acivos. El consumo, sin embargo, sigue creciendo sosenido por la disminución de la enencia de acivos. Nóese que en el úlimo período se consume la riqueza remanene. Figura 2. Trayecoria de la riqueza, acivos y consumo Supuesos: y 1, r 16%, 4%, T 25, b0 0, Riqueza Consumo Acivos Tiempo Un proceso paricular para el ingreso Como caso paricular supongamos que el ingreso sigue un proceso auorregresivo de primer orden, ys ys1, con 0, enonces: 1 r c 1 b y 1 r, 28

29 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica siempre que r El consumo depende del ingreso corriene, responde posiivamene al aumeno de la asa de crecimieno del ingreso y negaivamene al crecimieno del ipo de inerés. 3. SOLUCIÓN POR CÁLCULO DE VARIACIONES Si susiuimos la resricción presupuesaria en la función de uilidad llegamos al problema siguiene: Max T b uy s.a: b 0 bt 1 dado 0 La CPO se obienen derivando con respeco a bs 1 : T r b b 1 r s 1 s 1 u y r b b b s s s u r b b b s 1 s 2 s 1 s y s1 0 1 r 1 r 1 r 0,1,2,, T1, T r bt bt 1 bt 1 yt u 0 1r 1r La condición de holgura complemenaria es: T bt 1 uct 0 1 r T Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 29

30 Alejo Macaya T Si es finio, esa úlima ecuación y el supueso de uilidad esricamene creciene implican bt 1 0. Analicemos ahora el problema de horizone infinio. La primera ecuación implica 1 r uc uc. Reemplazando en la anerior y omando límie resula la condición de ransversalidad 3 : 0 T1 limt T1 0 b 1 r Pasemos a resolver la ecuación en diferencias de segundo orden que obuvimos inicialmene 4. Las condiciones de conorno son las mismas que anes. Si suponemos la misma función de uilidad que en los casos aneriores resula la siguiene ecuación en diferencias finias: s2 s1 s s1 s b r b r b r y r y Las raíces caracerísicas son: 1 1 r 1 y 2 1 r. Esa ecuación en diferencias puede resolverse a parir del méodo de variación de las consanes [Aiub, pp , 1985], aunque hay oros méodos disponibles [Blanchard y Fischer, pp , 1989]. Dados los valores de las raíces y las condiciones de conorno, para que la solución de la ecuación complea sea acoada es necesario emplear la mayor raíz para inegrar los valores fuuros de la variable cuyo comporamieno es exógeno. La solución general puede represenarse en la forma siguiene: T1 1 1 s1 s1 b m1 1 r m2 1 r 1 fs 2 fs 2 1 s s0 3 Una prueba formal de esa condición puede enconrarse en Sokey y Lucas [1989, pp ]. 4 Nóese que esa ecuación posee el mismo orden que la ecuación de Euler de cálculo de variaciones. 30

31 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Donde m 1 y m 2 son dos consanes que se deerminan a parir de las condiciones de conorno en ano f 1 ry 1 r 2 y. Las sumas enre corchees son iguales a: s s1 s s1 T 1 T s y r y 1 r y 1 1 r y 1 r y T1 1 s Y, s s s T s1 1 s1 1 r 1 r ys1 1 r ys 1 r y 1 r y 0 s0, reemplazando en la solución y ordenando érminos obenemos: T1 s T 1 1 y 1 r T s 0 s 1 r 1 r 1 1 b m r m r y y Supongamos que para deerminar las consanes fijamos dos condiciones de conorno, b 0 y bt 1. Una vez enconrados los valores de ésas evaluamos las mismas para T. Efecuando esas operaciones obenemos: lim b lim m lim lim T1 T 1 T 1 T T 1 r 1 1 r s 1 1 bt 1 T m2 b0 ys y0 limt T1 s0 r r El supueso acerca de la asa de crecimieno del ingreso y la condición de ransversalidad implican: lim 0 T m1 y T T Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 31

32 Alejo Macaya lim T 1 1 m b y y 2 0 s 0 s0 1r 1 Susiuyendo las consanes en la solución resula: b r b y y s s s s s0 1r s 1r que ambién se puede expresar como: s, 1 b 1 r W0 y 1 r La función consumo se obiene reemplazando la expresión recién enconrada 1 en c y 1 r r b b. Operando de esa forma obenemos: s s s, c r W 1 W0 b0 y 1 r s0 s s 4. SOLUCIÓN POR PROGRAMACIÓN DINÁMICA 4.1 Inroducción al méodo Para inroducir el méodo de programación dinámica vamos a mosrar cómo se puede escribir el problema en eapas. La función de uilidad es la misma que en los ejemplos aneriores. El planeo del problema es el siguiene: T c, W1 0 2 T1 T c c c c c Max u u u u u T1 T 32

33 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica s.a: 1 W r W c W0 0 WT Para simplificar los cálculos ahora inerpreamos del período. W como el sock de acivos En el úlimo período el problema del consumidor consise en elegir su nivel de consumo para ese período y el nivel de acivos que desearía dejar ras erminar su vida: Max u ct, WT1 s.a: W r W c T 1 1 T T El nivel de consumo que maximiza la uilidad es elegir (recordemos que W ): T 1 0 igual a: c T W W T T c 1 0 La uilidad derivada del nivel de acivos del úlimo período, W W W W v u ln T T T T Esa es la función valor del período final. Nóese que desde el puno de visa del úlimo período, T, W viene dado del período T 1 T T v T T, es. Resuelo enonces el problema del consumidor en el úlimo período pasemos a resolver el problema que enfrena en el período T 1 : Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 33

34 Alejo Macaya Max u ct1, WT c v W T 1 T T s.a: W 1 rw c T T1 T1 Susiuyendo la resricción en la función objeivo: ct1 c rw c Max u v 1 Dadas las funciones de uilidad y valor: ct1 T1 T T1 T1 c rw c Max ln ln 1 T1 T1 T1 o, La CPO orden es: c r r W c u T1 1 vt 1 T1 T1 0, c r W c r 1 T1 T1 T1 Despejamos ct 1 : c W 1 W 1 T1 T1 T 1 1 r W, T1 Reemplazando los valores hallados en la función objeivo obenemos la función valor para el período T 1 : r 1 1 vt 1 WT 1 u WT 1 vt W T 1 1 1, 34

35 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica W W r vt 1 T1 1 ln T1 ln 1 ln 1 ln Volvemos a operar de la misma forma en el período 2 ct 2 y WT 1. ct2 Max u ct2, WT1 c v W T2 T1 T1 s.a: W 1 rw c T1 T2 T2 Susiuyendo la resricción en la función objeivo: ct2 c rw c Max u v 1 T2 T1 T2 T2 T para enconrar Reemplazando por la función de uilidad y la función valor del período T 1 : ct 2 rwt 2 ct 2 r Max ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln Obenemos la CPO: 1 1, 1 0 c r W c 1 T2 T2 T2 c 1 1 W T2 2 T2 W 1 1 r 2 1 W T1 T2 2 2 W W 2 2 ln 1 r ln vt 2 T2 1 ln T2 ln 1 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 35

36 Alejo Macaya Siguiendo con el procedimieno podemos enconrar ct 3, WT 2 y v T 2 : W c 1 W 1 T3 2 3 T r 1 W T2 2 3 T W W ln1 r ln vt3 T3 1 ln T3 ln 1 Supongamos que llegamos al período T se puede escribir: Max u c, W1 s, haciendo s T c v W 1 1 s.a: W r W c 1 1 Por inducción complea se puede demosrar que siguiene forma: W 1 1 c 1 T W T r T 1 c, 1 el problema W y v poseen la W T T W W 2 2 T T ln1 r ln v 1 ln ln 1 36

37 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Luego, en el período inicial el consumo, los acivos y la uilidad indireca son iguales a 5 : c 1 W 0 T T 1 W 1 rw 1 T T 1 T 1 T T T v0 W0 lnw0 ln ln1 r ln Si el horizone de iempo es infinio la función valor converge a la función anes obenida: W0 ln ln 1 v0w0 ln 1 ln r Nóese que esa función valor depende de variables exógenas y de la riqueza del período pero no depende explíciamene del período de iempo considerado. W obenemos: v Haciendo ender T a infinio en lnw ln1 vw ln 2 1 r ln, que es independiene de. 5 La suma 2 T ST 2 T se puede escribir como luego, la solución de la ecuación es S T T T1 1 T S 1, 1 T T ST1 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 37

38 Alejo Macaya 4.2 Forma general del méodo El procedimieno anes seguido nos indica que podemos, en principio, reducir la dimensionalidad del problema si a parir de considerar resuelo el problema desde el período 1 en adelane buscamos la solución para el período : Donde v c, W1 Max u s.a: c vw1 W R W c W W 1 es el valor máximo de la corriene de uilidad para el problema que se inicia en 1 R 1 r. Reemplazando la ecuación de y movimieno en la función objeivo obenemos la siguiene ecuación funcional 6 : 1 W W R W 1 W 1 v Max u v W1 Noemos que si el consumo es nulo enonces 1 es igual a los acivos del período, W 1 0, por lo ano 0 W 1 R W. El problema consise en hallar una función T v Max u W, W v W R W mienras que si v W al que luego de aplicar el operador W sobre esa función 0WRW desconocida obengamos nuevamene la misma función v W con que parimos. En ese senido, lo que esamos buscando es un puno fijo del operador (en un espacio de funciones). Un procedimieno que suele seguirse para hallar dicha función es el que sigue. 6 Esa ecuación se conoce con el nombre de ecuación de Bellman (véase, por ejemplo, Sargen [1987, p. 21] o el rabajo original de Bellman [p. 11, 1965]). 38

39 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Ieración de la función de valor Parimos de una función inicial y aplicamos sucesivamene el operador para ver hacia qué función converge. El operador enonces acúa de la siguiene manera (ahora no es necesario disinguir el período de iempo y por eso uilizamos el aceno para denoar el próximo período): j1 1 W W R W jw v Max u v 0WRW v W 0: Supongamos que iniciamos la area con v 1 1 W Max ln W R W 0WRW W y v W ln W Enonces 0 1 de reemplazar ésa en el problema: objeivo: 2 0. Aplicamos la segunda ieración luego 1 W W R W W v Max ln ln 0WRW A parir de la CPO obenemos: R W W, susiuyendo en la función 1 W W R v2 1 ln ln 1 ln ln Si aplicamos nuevamene el operador a parir de ese resulado obenemos: W W R v3 1 ln ln 1 2 ln ln Por el principio de inducción complea podemos probar que W igual a: v n 1 es Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 39

40 Alejo Macaya Donde: W W R vn1 n ln ln n n ln ln Esos coeficienes convergen a: Por lo ano, n n n 1 n n1 1 1 limn n 1 lim n n W W W R 1 1 * v limnvn ln ln 1 ln ln 2 Ahora, además de verificar que esa función es un puno fijo del operador vamos a enconrar la función que relaciona W con W. 2 1 vw Max lnw R W lnw ln1 2 ln ln R 0W RW 1 1 De la CPO resula: Volviendo a susiuir W misma función con que parimos: W R W R W en la función objeivo obenemos la v * W v W. 40

41 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica Por oro lado, reemplazando W R W en la resricción de presupueso alcanzamos la función consumo: c 1 W Ecuación de Euler A parir de la ecuación de Bellman podemos obener ambién la condición clásica dada por la ecuación de Euler. Aplicando la condición de primer orden a dicha ecuación: 1 W : R c W 1 u v 0 Supongamos que conocemos la función 1 v y esa es diferenciable. El eorema sobre envolvenes nos permie conocer cómo cambia la uilidad en el máximo si modificamos un parámero del problema [Sydsaeer y Hammond, pp , 1996]. Derivando con respeco a los acivos iniciales resula: v W uc Desplazando ésa un período hacia delane y susiuyendo en la primera: u c R uc Esa ecuación en diferencias más la resricción de presupueso forman, nuevamene, el mismo sisema de ecuaciones en diferencias que en los casos aneriores. Reemplazando la resricción en la primera: u 1 1 W 1 R W 1 R u W 1 R W 2, que es la ecuación de Euler de cálculo de variaciones. Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 41

42 Alejo Macaya 5. SUAVIZADO DE SERIES TEMPORALES Dada una serie emporal T y el problema consise en descomponer la misma 1 en una componene cíclica, T T c, y ora de endencia o crecimieno, 1 g al 1 que 7 : Min T g 1 T T 2 c g g1 g1 g2 1 1 s.a: y g c 1,2,, T 2 En Economía ese méodo para obener la endencia de una serie se conoce como filro de Hodrick y Presco (véase Hodrick y Presco [1997]). La consane penaliza la variabilidad en la componene de crecimieno: cuano más elevado es, más suave es el comporamieno de la serie solución. Reemplazando la resricción en la función objeivo: T g 1 T T 2 2 y g g g1 g2 Min El problema posee la siguiene esrucura recursiva [Bellman, pp , 1965]: 7 Por lo general la serie original se ransforma aplicando logarimo naural. Aquí y se eniende que es una serie ya ransformada. La endencia, g, es el logarimo de la endencia de la serie original ( g ln x ), por lo ano g g1 ln x ln x1 lnx x1 ln1 x enre 1 y, es la asa de crecimieno en ese inervalo., donde 1 es la asa de crecimieno de 42

43 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica 2 2 g g y g g g g g g f, Min 2 f, g 3 Ejemplo:y 1,5,2 y Aplicando de manera recursiva la ecuación anerior obenemos: 54 g 1, g0, g1, g2 y g La serie original, la endencia y el ciclo aparecen graficados en la figura 3. Figura 3.Descomposición de una serie en ciclo y endencia c() y() g() -2 Tiempo REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aiub, A. (1985). Ecuaciones en Diferencias Finias, Ediorial El Coloquio, Buenos Aires. Bellman, R. (1965). Inroducción al Análisis Maricial, ediorial Reveré, Barcelona. Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 43

44 Alejo Macaya Blanchard, O. J. y S. Fischer.(1989). Lecures on Macroeconomics. MIT Press, Cambridge, Massachusses. Evans, G. C. (1924). The Dynamics of Monopoly, American Mahemaical Monhly 31 (febrero): Hodrick, R. J. y E. Presco (1997). Poswar U.S. Business Cycles: An Empirical Invesigaion, Journal of Money, Credi and Banking 29 (Febrero): Hoelling, H. (1931). The Economics of Exhausible Resources, The Journal of Poliical Economy, vol. 39 (abril): Lucas, R. E., N. L. Sokeycon E. C. Presco (1989). Recursive Mehods in Economic Dynamics, Harvard Universiy Press, Massachuses. Obsfeld, M y K. Rogoff (1996). Foundaions of Inernaional Macroeconomics, MIT Press, Massachuses. Ramsey, F. P. (1928). A Mahemaical Theory of Saving, The Economic Journal 38 (diciembre): Sargen, T. J. (1987). Dynamic Macroeconomic Theory, Harvard Universiy Press, Massachuses. Sydsaeer, K y P. Hammond (1996).Maemáicas para el Análisis Económico, Prenice Hall, Madrid. Varian, H. R. (1992). Análisis Microeconómico, ercera edición, Anoni Bosch edior, Barcelona. 44

45 Una aplicación económica de los méodos discreos de opimización dinámica APÉNDICE Trayecoria de la riqueza y consumo en función de la riqueza para T finio A parir de la definición de riqueza: T s 1 s s 11 r, W b y y operando de la misma manera que para el caso de horizone infinio llegamos a: 1 W r W c, 1 s inegrando enre 0 y obenemos: W 1 r W0 1 r cs, s0 reemplazando el consumo por la función hallada anes: s cs r W T 1 1 s rayecoria de la riqueza: y resolviendo l aserie geomérica resula la T1 W 1 r W T1 1 Susiuyendo pares de esa expresión en la rayecoria del consumo obenemos: c 1 1 W T 1 Finalmene, nóese que haciendo T resula que el consumo del período final es igual a la riqueza del mismo período: ct WT. 0 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 45

46 Alejo Macaya Prueba: c 0 se encuenra por encima de la rama del segundo auovecor Las componenes del segundo auovecor son v Dado que el 1 1 r r y,0, b b (medido con respeco al cenro de coordenadas 0,0 ), 1 1 y v b 1 b 1 rr y (medido con cenro de coordenadas de los auovecores se encuenra en cuando 0 v1 b0 b0 1 r r y respeco al cenro de coordenadas de los auovecores). Por lo ano nos c v b, es decir: pregunamos si r 1 r c b 1 y 1 b y v b 1 1 r r r 0 T1 0 T Noemos que se verifica la desigualdad. Tomando los érminos individualmene: (ii) 1 1 (i) 1 b T 1 0 b0, se verifica de forma inmediaa r 1 r 1 y T T y 1 1 r r r, simplificando érminos y volviendo a ordenar la desigualdad obenemos: que se verifica por hipóesis. T 1 T1, 1 r 1 46

47 Resumen EL ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO EN MODELOS MUNDELL-FLEMING María Teresa Casparri Eduardo Tarullo El modelo de Mundell-Fleming fue desarrollado en base a los rabajos seminales de James Fleming (1962) y Rober Mundell (1962, 1963). Su mayor apore fue el de incorporar los movimienos inernacionales de capiales en los modelos basados en el análisis Keynesiano IS-LM de una economía cerrada y, de esa forma, brindar un marco para la evaluación de los impacos de disinas políicas macroeconómicas en una economía abiera. Ese modelo permie enfaizar que la efecividad relaiva de las políicas monearias y fiscales depende del régimen de ipo de cambio prevaleciene en la economía y del grado de inegración financiera de la economía con el reso del mundo que queda reflejado por la movilidad inernacional de capiales. Ese rabajo focaliza la aplicación del Teorema de Exisencia Generalizado de las Funciones Implícias para análisis de esáica comparaiva en ese modelo. Los mismos comprenden políica fiscal y monearia en regímenes de ipo de cambio fijo y flexible con movilidad imperfeca y perfeca de capiales. Absrac The Mundell -Fleming model was developed based on he seminal works of James Fleming (1962) and Rober Mundell (1962, 1963). The main conribuion was o incorporae inernaional capial movemens in he models based on he Keynesian IS- LM analysis of a closed economy and hus provide a framework for assessing he impac of differen macroeconomic policies in an open economy. This model allows emphasizing ha he relaive effeciveness of moneary and fiscal policies depends on he prevailing exchange rae regime on he economy and he degree of financial inegraion of he economy wih he res of he world, which is refleced by he inernaional capial mobiliy. Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos aplicados a la Gesión y la Economía. Año 1 - Vol.1 47