Soluciones Acotadas para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden 2

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1 Divulgaciones Maemáicas Vol. 7 No. 1 (1999), pp Soluciones Acoadas para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden 2 Bounded Soluions for Second Order Ordinary Differenial Equaions Raúl Naulin (rnaulin@sucre.udo.edu.ve) Deparameno de Maemáicas Universidad de Oriene Aparado 285, Cumaná 6101-A Venezuela Resumen En ese rabajo se exponen resulados de exisencia de soluciones acoadas para la ecuación y + a()y = f(, y). Se demuesra que conociendo cieras esimaciones de los producos x 1 ()x 2 (s), donde x 1 y x 2 consiuyen una base de las soluciones de la ecuación lineal x +a()x = 0, es posible elaborar un esudio similar a la eoría de las dicoomías ordinarias y exponenciales para sisemas. El uso del eorema de la aplicación conraciva, aplicado al respecivo operador generado por las dicoomías presenadas en ese rabajo, genera soluciones acoadas para una clase de ecuaciones de orden 2. Palabras y frases clave: Dicoomías escalares, ecuaciones de orden dos, soluciones acoadas. Absrac In his paper, some resuls of exisence of bounded soluions for he equaion y + a()y = f(, y) are obained. Knowing cerain esimaes of he producs x 1 ()x 2 (s), where x 1 and x 2 define a basis of soluions for he linear equaion x + a()x = 0, i is shown ha i is possible o develop a sudy similar o ha of he exponenial and ordinary dichoomies for sysems of ordinary differenial equaions. The applicaion of he fixed poin heorem for conracive maps, applied o he operaor generaed by he dichoomies inroduced in his work, gives he exisence of bounded soluions for a class of second order equaions. Key words and phrases: Scalar dichoomies, second order equaions, bounded soluions. Recibido 1998/09/25. Acepado 1998/03/08. MSC (1991): Primary 34D05, 34A30; Secondary 34C11.

2 50 Raúl Naulin 1 Inroducción En esa comunicación raaremos el problema de la exisencia de soluciones acoadas para la ecuación diferencial ordinaria de orden 2: y + a()y = f(, y), (1) donde la función a() esá definida para J = [, ) y es coninua en ese dominio. La función f(, x) se define en J R, es coninua y saisface la condición (L) f(, x) f(, y) γ(, ρ) x y, x ρ, y ρ, donde ρ es un número posiivo y γ(, ρ) es una función localmene inegrable para cada ρ fijo. Bajo las condiciones señaladas, el problema de la exisencia de soluciones acoadas de la ecuación (1) ha sido inensamene esudiado. En ese rabajo deseamos proponer un méodo de invesigación de ese problema que se adapa al esudio de la ecuación en condiciones de una información incomplea de las soluciones de la ecuación lineal x + a()x = 0. (2) Eso significa que admiiremos, solamene, cieras esimaciones de x 1 y x 2, dos soluciones linealmene independienes de la ecuación (2). Concreamene, supondremos la exisencia de funciones posiivas y medibles h 1, p 1, h 2 y p 2 ales que x 1 ()x 2 (s) Kh 1 ()p 1 (s), s, x 2 ()x 1 (s) Kh 2 ()p 2 (s), s, (3) donde K es una consane. Las esimaciones dadas por (3) recuerdan las definiciones de una una dicoomía débil usadas en [5] para sisemas lineales de ecuaciones, y más cerca de nuesro objeivo, coinciden con las dicoomías de precisión cero inroducidas en [4, 6] para ecuaciones escalares. En ese rabajo mosraremos que la información suminisrada por las esimaciones (3) es suficiene para deducir resulados de exisencia de soluciones acoadas para la ecuación (1). El méodo que se expone es suscepible de ser generalizado a ecuaciones de orden mayor que dos.

3 Soluciones Acoadas para Ecuaciones Differenciales de Orden Soluciones acoadas Definamos el siguiene operador D(f)() = x 1 ()x 2 (s)f(s)ds x 2 ()x 1 (s)f(s)ds. Buscaremos condiciones bajo las cuales ese operador acúa sobre BC(J), el espacio de las funciones coninuas y acoadas sobre J, premunido de la norma f = sup{ f() : J}. La definición de D permie la esimación D(f) () h 1 ()p 1 (s) f(s) ds + h 2 ()p 2 (s) f(s) ds. Esa esimación muesra que D : BC(J) BC(J), si para alguna consane posiiva M y odo 0 se cumple h 1 ()p 1 (s)ds + h 2 ()p 2 (s)ds M. (4) Nóese que D(f) es una solución de la ecuación no homogénea Eso implica el siguiene y + a()y = f(). (5) Teorema 1. Si (3) y (4) son válidas, enonces para cualquier función coninua y acoada f la ecuación (5) admie una solución acoada y una de esas soluciones acoadas esá dada por D(f). Ese resulado recuerda el Teorema 5.1 en [2]. En general el Teorema 1 no admie recíproco. Sin embargo vale el siguiene resulado, cuya demosración sigue el mismo curso del Teorema 5.1 Teorema 2. Para cualquier función coninua y acoada f, la ecuación (5) admie una solución acoada si y sólo si exise una consane M al que x 1 ()x 2 (s) ds + x 2 ()x 1 (s) ds M,.

4 52 Raúl Naulin 3 Ecuaciones no lineales Usando el operador D podemos definir el siguiene operador T (y)() = x 1 ()x 2 (s)f(s, y(s))ds x 2 ()x 1 (s)f(s, y(s))ds. (6) En lo que sigue vamos a suponer que exise una consane posiiva σ( ) al que h 1 ()p 1 (s) f(s, 0) ds + La condición (L) produce la siguiene esimación h 2 ()p 2 (s) f(s, 0) ds σ( ),. T (y) T (z) () h 1 ()p 1 (s)γ(s, ρ) y(s) z(s) ds + que implica ( T (y) σ( ) + K h 1 ()p 1 (s) + y ( T (y) T (z) K h 1 ()p 1 (s) + De (7) vemos que T endrá la propiedad donde h 2 ()p 2 (s)γ(s, ρ) y(s) z(s) ds, T : B[0, ρ] B[0, ρ], B[0, ρ] = {x BC(J) : x ρ}, si y sólo si se cumple ( σ( ) + K h 1 ()p 1 (s)γ(s, ρ)ds + ) h 2 ()p 2 (s) γ(s, ρ)ds y (7) ) h 2 ()p 2 (s) γ(s, ρ)ds y z. (8) ) h 2 ()p 2 (s)γ(s, ρ)ds ρ ρ. (9)

5 Soluciones Acoadas para Ecuaciones Differenciales de Orden 2 53 La esimación (8) dice que T es una conracción sobre B[0, ρ] si se cumple ( K h 1 ()p 1 (s) + ) h 2 ()p 2 (s) γ(s, ρ)ds M < 1,. (10) Válidas las condiciones (9) y (10), por un cálculo direco se demuesra que el único puno fijo del operador T en la bola B[0, ρ] es una solución de la ecuación (1). La condición (10) se cumplirá, por ejemplo, para el caso exponencial h 1 () = p 2 () = exp{ α} = h 2 () 1 = p 1 () 1, y una función γ(, ρ) acoada. Veamos eso en el siguiene ejemplo y α 2 y = γy 2 + f(), γ = consane, α > 0, donde f es una función acoada. En ese ejemplo enemos σ( ) = 2 α f. Las condiciones (9) y (10) se cumplirán si 2 α f + 4 α γρ2 ρ, 4 γρ < 1. α Bajo esas relaciones de compromiso enre las consane f, α y ρ se obiene una solución acoada en la bola B[0, ρ]. Ese es un hecho conocido en la eoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, pues la ecuación lineal x αx = 0, escria como un sisema de dos dimensiones, admie una dicoomía exponencial. Consideremos un problema no auónomo más general. y (1 + φ())y = f(, y). (11) Respeco a esa ecuación, usaremos el siguiene resulado debido a Harman [1, 2]: Teorema A Si la función real coninua φ() saisface φ() 2 d <, enonces la ecuación x (1 + φ())x = 0 (12)

6 54 Raúl Naulin posee dos soluciones linealmene independienes x 1 y x 2 con las siguienes fórmulas asinóicas x 1 () = exp( 1 2 x 2 () = exp( φ(τ)dτ + o(1)), φ(τ)dτ + o(1)), donde o(1) denoa una función con la propiedad lim o(1) = 0. Para la ecuación (11) las condiciones (3) se cumplen y ienen la forma x 1 ()x 2 (s) K exp( ( s) 1 2 x 2 ()x 1 (s) K exp(( s) s φ(τ)dτ), s, s φ(τ)dτ), s, Cálculos sencillos muesran que en ese caso la condición de inegrabilidad (10) se cumple para una función acoada γ de norma γ pequeña. Calculemos cuan pequeña debe ser esa norma en el caso paricular y (1 + 1 )y = f(, y), 1. (13) De la condición (10) obenemos que la conracción del operador (6) se obiene para 2K γ < 1. El problema de exisencia de soluciones acoadas para la ecuación (13) se podría resolver de una manera más sencilla, si escribiéramos esa ecuación en la forma y y = y + f(, x), 1, cuya pare derecha saisface (L), con consane de Lipschiz igual a γ = 1+ γ. En ese caso para saisfacer (10) necesiamos pedir 2K(1+ γ ) < 1, condición que es mucho más exigene que la anerior. En ese ejemplo el puno no es discuir la bondad de las esimaciones obenidas para obener una conracción. Se ha obenido la exisencia de esas soluciones acoadas sin reducir la ecuación a un sisema de ecuaciones de dos dimensiones. Si lo hiciéramos, las esimaciones de x 1 y x 2 indicadas en el Teorema A no serían suficienes para definir una dicoomía exponencial (con más precisión, una (µ 1, µ 2 )-dicoomía [3]) para la ecuación (12).

7 Soluciones Acoadas para Ecuaciones Differenciales de Orden Dicoomías no exponenciales La condición (10) se podría cumplir en condiciones más débiles que una relación (3) generada por el caso exponencial, considerado en la sección anerior. Examinemos el ejemplo Para la ecuación y = f(, y). (14) x = 0 podemos señalar las siguienes soluciones linealmene independienes que cumplen las condiciones (3): Veamos el ejemplo En ese caso x 1 () = 1, x 2 () =, x 1 ()x 2 (s) Ks, s, x 2 ()x 1 (s) Ks, s. y = b()y 2 + f(). (15) σ( ) = La inecuación (9) iene la forma σ( ) + y la condición de conracción (10) es 2 s f(s) ds. s b(s) ds ρ 2 ρ, s b(s) ds ρ < 1. Bajo esas condiciones obenemos la exisencia de soluciones acoadas para la ecuación (15). Un ejercicio ineresane resula al aplicar la ransformación de Ghizzei para reducir la ecuación (15) a un sisema de orden dos, con mariz diagonal en su componene lineal (ver [2], página 91). Realizados dichos cálculos, el lecor apreciará la versailidad del méodo expueso en esa sección.

8 56 Raúl Naulin 5 Comenarios finales Consideremos la ecuación donde M[x] = 0, (16) M[x]() = x (n) () + a n 1 ()x (n 1) () a 0 ()x(). Sean H, H +, P y P + colecciones de m + 1 funciones posiivas y coninuas. En el arículo [6] se inroduce la siguiene Definición 1. Diremos que la ecuación (16) admie una dicoomía escalar de ipo ([H, P ], [H +, P + ]) y orden m, 0 m n 1, si y sólo si exise una base B de (16) al que B = B 1 B 2, B 1 B 2 = y x i B 1 x (r) () W i(s) Kh r ()p r (s), s, 0 r m, x i B 2 i W (s) x (r) i () W i(s) W (s) Kh + r ()p + r (s), s, 0 r m. La definición anerior puede ser inroducida en lugar de (3) para esudiar el problema de exisencia de soluciones acoadas para la ecuación no lineal M[y]() = f(, y(), y (),..., y (n 1) ()), y() R. La noción de dicoomía escalar ha sido usada en problemas de inegración asinóica [4, 6]. 6 Agradecimienos El auor agradece el apoyo parcial de la Comisión de Invesigación de la Universidad de Oriene por el apoyo brindado a ravés del Proyeco CI /95. Referencias [1] Bellman, R., Sabiliy Theory of Differenial Equaions, Dover Publicaions, New York, [2] Coppel, W.A. Sabiliy and Asympoic Behavior of Differenial Equaions, D. C. Heah and Company, Boson, 1965.

9 Soluciones Acoadas para Ecuaciones Differenciales de Orden 2 57 [3] Muldowney J. S. Dichoomies and Asympoic Behavior for Linear Differenial Sysems, Trans. Amer. Mah. Soc. Vol. 283, 2, (1984). [4] Naulin, R., Urbina, J. Asympoic Inegraion of Linear Ordinary Differenial Equaions of Order n, Aca Mah. Hungar. Vol. 80 (1 2) (1998). [5] Naulin R., Weak Dichoomies and Asympoic Inegraion of Nonlinear Differenial Sysems, Nonlinear Sudies, 5 (2), (1998). [6] Naulin, R., Dichoomies and Asympoic Equivalence of Scalar Ordinary Differenial Equaions, preprin (1998).