Ecuaciones integrales fraccionarias: su solución mediante la transformación de Laplace.

Transcripción

1 Ecuaciones inegrales fraccionarias: su solución mediane la ransformación de Laplace. Cerui, Rubén A. Deparameno de Maemáica Faculad de Ciencias Exacas y Naurales y Agrimensura Universidad Nacional del Nordese Dorrego, Gusavo A. Faculad de Humanidades Universidad Nacional de Formosa Resumen En ese rabajo la solución de ecuaciones inegrales fraccionarias mediane el méodo de la ransformada de Laplace se presena. Se esudia ambién la expresión de la solución que puede obenerse mediane el desarrollo formal del operador inverso de un operador que involucra la inegral fraccionaria de Riemann Liouville. Palabras clave. Ecuaciones inegrales. Cálculo fraccionario. Transformación de Laplace.. nroducción El propósio de ese arículo, que reúne resulados que forman pare de la Tesis de Licenciaura en Maemáica de uno de los auores (G. A. D.), es mosrar la uiliación de la ransformada de Laplace para solucionar las ecuaciones inegrales de Abel de primera y de segunda especie. Traaremos con operadores inegrales que pueden ser descripos mediane la uiliación de la inegral fraccionaria de Riemann Liouville para lo cual es necesario realiar una revisión de los concepos elemenales que luego serán uiliados, lo que se hará en la Sección.

2 En la Sección 2 se inroduce el operador inegral fraccionario de Riemann Liouville y se esudia su expresión como una convolución con el núcleo singular ϕ (). Por úlimo en la Sección 3 se muesran las soluciones de las ecuaciones inegrales de Abel y sus relaciones con las derivadas fraccionarias de Riemann Liouville y de Capuo. 2. Preliminares. En ese parágrafo presenamos algunas de las funciones básicas del cálculo fraccionario como ser las funciones Gamma de Euler y la función de Miag-Lefller que generalian la función facorial y la función exponencial respecivamene. Presenaremos ambién la función Bea y mosraremos su relación con la función Gamma... Función Gamma. La función Gamma de Euler esá definida por la siguiene inegral e d Γ ( ) (.) que converge para Re( ) >, (cf [3], p. ). Enre sus propiedades más imporane figura la relación de recurrencia dada por la siguiene expresión: Γ ( + ) ) (.2) que se prueba fácilmene inegrando por pares. En efeco Γ [ e ] + ( + ) e d e d Teniendo en cuena que Γ ( ) y, uiliando (.2) se obiene para,2,3... 2) + ). )! 3) 2 + ) 2. 2) 2.! 4) 3 + ) 3. 3) 3.2.! K n + ) n. n) n.( n )! n! Claramene puede verse que la función Gamma generalia la función facorial..2. Función Bea. )

3 Direcamene relacionada con la función Gamma, se define la función Bea del siguiene modo, (cf [3], p. 6). B w (, w) τ ( τ ) dτ, Re( ) >,Re( w) > (.3) Esa función esá ligada a la función Gamma por la siguiene relación:.3. Función de Miag-Leffler. ) w) B(, w) (.4) + w) La función exponencial e juega un imporane rol en la eoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden enero, por lo ano, es lógico esperar que, en la eoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden no enero, exisa una función que desempeñe un rol similar. En efeco, ésa función es la llamada función de Miag- Leffler que es precisamene una generaliación de la función exponencial. Se define la función de Miag-Leffler de un parámero a la dada por el siguiene desarrollo en serie: ( ) n E,( > ) (.5) n n + ) (cf [3], p. 6). Esa admie una generaliación dada por la función de Miag-Leffler de dos parámeros dada por la siguiene expresión: (cf [3], p. 7). ( ) n E,( >, ), + ) > (.6) n n Tomando valores pariculares para y en (.6) pueden enconrarse: Si se obiene (.5) Si, resula E n n,( ) e (.7) n n + ) n n! Si 2 y se obiene 2n 2n 2 E2,( ) cosh( ) 2n + ) (2n)! (.8) n n Si 2 se obiene

4 E 2n 2n+ 2 senh( ) ( ) 2n + 2) (2n + )! (.9) 2,2 n n.4. Transformación de Laplace. Definición. Diremos que una función f : R + R es de orden exponencial > si exisen consanes T, M > ales que, f ( ) Me > T. Si una función f () es de orden exponencial > exise la siguiene inegral:, y coninua por ramos enonces L s { f ( )} e f ( ) d, s > a, (.) que define la denominada ransformada de Laplace de la función f (), (cf. [3], p. 3 [], p. ). Una propiedad imporane y frecuenemene usada es la de la ransformada de Laplace de una convolución de dos funciones f y g, ésa afirma que la ransformada de una convolución es igual al produco de las rasformadas siempre que ésas exisan. Recordemos que la convolución de dos funciones esa dada por la siguiene: Definición: Sean f y g dos funciones inegrables, la convolución enre ambas denoada por f g esa dada por la inegral + f ( τ ) g( τ ) dτ (.) que, para el caso de funciones causales se reduce a inegral conocida como convolución de Laplace. f ( τ ) g( τ ) dτ (.2)

5 3. NTEGRAL FRACCONARA DE REMANN-LOUVLLE Definición. Sea f () C[ (, b) ] τ y < < b, enonces f ( ) : ) o ( τ ) f ( τ ) dτ, >, R + (2.) es llamada inegral fraccionaria de Riemann Liouville de orden. (cf. [3], p. 65). A parir de la definición se iene que f ( ) f ( τ ) dτ. Además puede demosrarse que f ( ) f ( ) ; es decir que, donde con noamos el operador idenidad. El operador inegral fraccionaria de Riemann-Liouville verifica la imporane propiedad de semigrupo: Teorema: Para f C[ ( a, b) ], la inegral de Riemann Liouville saisface. + para >, >. (2.2) Demosración: la demosración, que es muy simple, resula de la definición y de la aplicación del Teorema de Fubini que permie el cambio de orden de inegración. En efeco: f ( ) ) ) ) ) ) ( τ) ( τ) f (ξ) dξ f (τ) dτ dτ ξ τ (τ ξ) (τ ξ) ( τ) f (ξ) dξ dτ Realiando el cambio de variable τ ξ + η( ξ) y uiliando la definición de la función Bea juno con (.4) se llega a que

6 f ( ) ) ) + ) + f ( ) f (ξ)( ξ) ( τ) + + dξ f ( ξ) dξ η ( η) Del eorema anerior se deduce la propiedad conmuaiva f ( ) f ( ). dη negral fraccionaria de Riemann-Liouville como una convolución con una disribución. Del mismo modo que la fórmula inegral de Cauchy reduce el cálculo de la n-ésima inegral ierada de una función f () a una inegral de ipo convolución, la inegral de Riemann-Liouville ambién puede expresarse mediane la convolución de f () con la + si >, disribución emperada φ ( ), >, donde + (2.3) ) si eniéndose enonces: f ( ) φ ( ) f ( ) (2.4) Escrio el operador inegral fraccionaria de Riemann-Liouville como la convolución dada por (2.4) la propiedad de semigrupo resula del siguiene. Lema: Sean y dos números reales posiivos y sea ( ) (2.3). Enonces φ ( ) φ ( ) φ ( ). + φ la disribución dada por Demosración: si en el primer miembro realiamos el cambio de variable τ ξ se iene que: φ ( ) φ ( ) ) ) + ) ) + B(, ) ) ) + φ + ) ( ξ) + ( ξ) ( ) ξ ξ + dξ dξ

7 Luego φ ( ) φ ( ) φ ( ),, > (2.5) + Que es lo que se quería probar. Usando (2.5) puede probarse (2.2) de modo más sencillo. En efeco, como f ( ) φ ( ) f ( ) se iene: + f ( ) φ + ( ( ) φ ( ) f ( ) ( φ( ) φ( ) ) ( φ ( ) f ( ) ) φ ( ) f ( )). f ( ) f ( ) 2.. Transformada de Laplace de la inegral fraccionaria de Riemann-Liouville. Una propiedad muy imporane y frecuenemene usada es la de la ransformada de Laplace de una convolución f y g, que afirma que la ransformada de una convolución es igual al produco de las ransformadas, siempre que esas exisan. Basados en eso noamos que la ransformada de Laplace de la inegral fraccionaria viene dada por: L { f ( )} L { φ ( ) f ( ) } L { φ ( )} L { f ( )} ) L { f ( )} s ) L { f ( )}, > (2.6) s 4. Ecuaciones inegrales de Abel. En esa sección presenaremos dos ecuaciones inegrales, al ve las más simples, cuyas soluciones son debidas a Abel. La primera de ellas, llamada ecuación inegral de Abel

8 de primera especie, es la que sirvió para la primera presenación de una aplicación de cálculo fraccionario en la solución de una ecuación inegral. Para el valor de 2 corresponde al problema de la auócrona, es decir a la deerminación de una curva de modo al que el desplaamieno de una parícula que se mueve sobre ella sin roamieno y bajo el solo efeco de la fuera de la gravedad sea independiene del puno de parida. En la solución de esas ecuaciones inegrales puede verse una relación direca enre las derivadas y las inegrales fraccionarias. 3.. Ecuación inegral de Abel de primera especie. La ecuación inegral de Abel de primera especie es la siguiene: u( τ )( τ ) dτ ) f ( ) con < <, (3.) y donde f () es una función dada. (cf. [2], p. 235). Noemos que esa ecuación puede ser escria en érminos de la inegral fraccionaria de Riemann-Liouville, en efeco: ( u( ) ) f ( ) con < < (3.2) Ahora bien, para resolver la ecuación, aplicando la ransformación de Laplace a ambos miembros de (3.2) y uiliando que la inegral fraccionaria de Riemann-Liouville puede escribirse como la convolución dada por (2.3) se iene: Es decir: L { f ( )} L { φ L { φ ( ) u( )} ( )}. L { u( )} L { u( )} s L { u( )} s. L { f ( )} (3.3)

9 Escribiendo (3.3) en la forma: Se iene: L s f () s { u( ) } [ sl { f ( ) } f ()] + s f () s { u( ) } L { f ( ) } + L (3.4) Y aplicando la propiedad de la ransformada de Laplace de la convolución de (3.4) se iene L { u( )} L { φ L { φ ( ) f ( ) } L ) }. L { f ( )} + f () L { φ ( τ) ( )} + f () L ) f () f ( τ) dτ + L ) { } Finalmene: u( ) f () ( τ ) f ( τ ) dτ + ) ) (3.5) Si en cambio, escribimos (3.3) en la forma: L { u( ) } { f ( ) } L s s d L φ ( ) f ( ) d d L τ Γ ( ) ( ) d [ sl { φ ( ) φ ()}]. L { f ( ) } f ( τ) dτ Y eniendo en cuena la regla de derivación de inegrales dependiene de dos parámeros (cf. [] p. 322) se iene:

10 d L τ Γ ( ) ( ) d f ( τ) dτ Por el Teorema de la unicidad de la ransformada de Laplace, resula: u d ( ) ( τ ) f ( τ ) dτ ) d (3.5) Las soluciones (3.4) y (3.5) esán expresadas en érminos de las derivadas fraccionarias de Capuo y de Riemann-Liouville respecivamene. Recordemos que una alernaiva de derivada fraccional, fue definida por Capuo, mediane la siguiene expresión: C D f m m () D f () ( m ) ( m f ) ( τ) m ( τ) dτ; m < < m; m N (3.6) + Γ La formula dada por (3.6) define la derivada fraccionaria de Capuo. 3.2 Ecuación inegral de Abel de segunda especie. La ecuación inegral de Abel de segunda especie es la siguiene: λ u( ) + ( τ ) u( τ ) dτ ) f ( ), >, λ C (4.) Esa ecuación ambién puede ser expresada en érminos del operador inegral fraccionaria de Riemann-Liouville del siguiene modo: ( + λ ) u( ) f ( ) Enonces, procediendo de un modo formal se iene: (4.2) u( ) ( + λ ) f ( ) (4.3)

11 Por ora pare, eniendo en cuena el desarrollo en serie del binomio: + ) + ( a + b) a b! ), R (4.4) Para el caso ( λ ) +, siendo a λ, b, se iene: ) ( λ ) ( λ ) + (4.5)! ) ) El cociene debe inerprearse como el siguiene límie: ) ) ) lim[ n n) ] n lim [( n + ) n) ] n lim n Luego resula + n) n) Re Re s ( n + ) lim n ( n + ) + n) n) s( n),)! ( n), ) ( )! lim ( n + ) n lim ( n + ) n ( ) + n) n)! + λ! ( ) ( ). Ahora, volviendo a (4.3) se obiene: ( λ ) ( λ ) + ( λ) (4.6) Como además, u( ) + ( λ) f ( ) (4.7) f ( ) φ Susiuyendo (4.8) en (4.7), se obiene: ( ) f ( ) f ( ) ) (4.8)

12 u( ) f ( ) + ( λ) ( ) Γ f ( ) (4.9) Luego, uiliando la función de Miag-Leffler dada por (.5), (4.8) se escribe finalmene como: d u( ) f ( ) + E ( λ ) f ( ). d donde es necesario noar que ( λ) d ( λ) ) d n + ) La ecuación inegral de Abel de segunda especie puede resolverse ambién omando ransformada de Laplace a ambos miembros de (4.2) siguiendo luego procedimienos análogos a los uiliados para resolver la ecuación de primera especie. Referencias. ) Burgos, J. Cálculo nfiniesimal de varias variables. Segunda edición McGraw-Hill/neramericana de España S.A. 2) Gorenflo and F. Mainardi: Fracional Calculus: negral and Differenial Equaions of Fracional Order in: "Fracals and Fracional Calculus in Coninuum Mechanics" edied by A. Carpineri and F. Mainardi, Springer Verlag, New-Yor and Wien, 997, pp ) Podlubny,. Fracional Differenial Equaions. An inroducion o fracional derivaives. Academic Press ) Podlubny,. Soluion of linear fracional differenial equaions wih consan coefficiens". n he boo: P. Rusev,. Dimovsi and V. Kiryaova (eds.) Transform Mehods and Special Funcions, SCT Publ., Singapore, 995, pp