TOPOLOGÍA. De la misma forma se puede generalizar el concepto de convergencia, que para sucesiones

Transcripción

1 Muy, muy cerca: Coninuidad y convergencia Una función f : IR IR es coninua en a si valores muy, muy cercanos a a se ransforman en valores muy, muy cercanos a f(a). Dicho de oro modo, por muy exigenes que seamos con lo pequeña que deba ser la disancia enre f(x) y f(a) siempre la podemos reducir imponiendo que x esé suficienemene cerca de a. Se recuerda aquí la definición rigurosa: ǫ > : x a < f(x) f(a) < ǫ. EnIRmedimoshabiualmenecerca ylejoscond(x,y) = x y,asícuando cambiamos nuesra forma de medir, parece lógico generalizar esa definición de la forma siguiene: Definición: Sean (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ) espacios méricos. Se dice que f : X 1 X 2 es coninua en a X 1 si ǫ > : d 1 (x,a) < d 2 (f(x),f(a))< ǫ. Un poco más abreviadamene se puede escribir ǫ > : f(b(a,)) B(f(a),ǫ). a B(a, ) f f(a) B(f(a), ε) De la misma forma se puede generalizar el concepo de convergencia, que para sucesiones reales es ǫ > N ZZ + : n > N x n l < ǫ. Definición: Se dice que una sucesión {x n } n=1 en un espacio mérico (X,d) converge a l X, si ǫ > N ZZ + : n > N x n B(l,ǫ). Noación: Se suele escribir x n l, lim n x n = l o limx n = l y se dice que l es el límie de la sucesión considerada. A los que se hayan caído de espaldas con el simbolismo fanáico usado en esa sección, quizá les ayude a incorporarse la siguiene raducción de la definición anerior: Se dice que una sucesión {x n } n=1 en un espacio mérico (X,d) converge a l X, si dado ǫ > exise un número naural, N, al que d(x n,l) < ǫ para odo n > N. Geoméricamene, x n B(l,ǫ) para odo n > N. Evidenemene los concepos de coninuidad y convergencia dependen de la disancia escogida. Ejemplo: Sean d(x,y) = x y y d (x,y) = min( x y,1 x y ). Ambas son disancias en X = [,1). La función inclusión, f(x) = x es coninua considerada como 7

2 f : (X,d) (IR,d)(esoesobvioporquedesladisanciausual), peronoloesconsiderada como f : (X,d ) (IR,d). Concreamene, vamos a ver que f no es coninua en a =. Para ello basa comprobar (pensarlo unos momenos) > x X al que d (x,) < pero d(x,) 1. Volverlo a pensar: queremos elegir ǫ = 1 y ver que para ningún se cumple f(b(,)) f(b(, 1)). Tomando x (1,1) [ 1,1) se iene que d (x,) < y sin embargo d(x,) = x = x 1. Por ano f no es coninua. Desde luego que 1 no iene poderes mágicos, cualquier oro número pequeño es válido. f(x)=x [ ) ( ) B(, ) Lo que ha sucedido es que d es una disancia muy rara en [,1) para la que los números de la forma... esán muy próximos a los de la forma y por ello, para que una función sea coninua iene que valer casi lo mismo en ellos. Por ejemplo f(x) = x(1 x) sí sería coninua como función f : (X,d ) (IR,d). Esos comenarios y lo que sabemos de un primer curso de cálculo nos hacen sospechar nuesro primer resulado de ese curso. Proposición 1.1: Sea f : (X 1,d 1 ) (X 2,d 2 ) una función enre espacios méricos. La función f es coninua en x X 1 si y sólo si para oda sucesión x n convergiendo a x se cumple que f(x n ) converge a f(x). Dem.: ) Queremos demosrar que f(x n ) f(x) sabiendo que f es coninua y que x n x. Dado cualquier ǫ >, por la definición de coninuidad sabemos que exise B(x,) al que f(b(x,)) B(f(x),ǫ). Como x n converge, para n > N se iene que x n B(x,), y por consiguiene f(x n ) B(f(x),ǫ), eso es, f(x n ) f(x). ) Suponiendo que f no es coninua en x queremos hallar una sucesión x n x al que f(x n ) no converja a f(x). Si f no es coninua en x enonces exise ǫ > al que para odo > x 1 f(b(x,)) B(f(x),ǫ). Tomemos = x2 1 = 1 y x 1 al que x 1 B(x, 1 ) pero 2 3 f(x 1 ) B(f(x),ǫ). Tomemos, en general, = n = min(d(x,x n 1 ),1/n) y x n x 3 1 B(x, n ) con f(x n ) B(f(x),ǫ). Desde luego que se iene x n x pero como, f(x n ) no perenece a la bola B(f(x),ǫ), f(x n ) no converge a f(x). 8 1

3 En la demosración anerior ambién podríamos haber escogido una sucesión paricular de valores de como n = 1/n. Ejemplo: Una de las funciones más disconinuas que conocemos es la función de Dirichle, f : IR IR { 1 si x Q f(x) = si x IR Q Usando la disancia usual se iene que x n = 2/n x = sin embargo f(x n ) = f(x) = 1, por ano f no es coninua en x =, de hecho no lo es en ningún puno. No obsane, con la disancia { x y si x y Q d(x,y) = 1+ x y si x y IR Q el conraejemplo anerior no valeya que x n, porque con esa disancia labola B(, 1) no coniene a ninguno de los x n. Como oda sucesión x n debe ser racional a parir de ciero érmino (ejercicio), la proposición asegura que f es coninua en cero. Lo mismo se aplica al reso de los punos. Pero es la función de Dirichle coninua o no? Aunque hemos viso que no hay respuesa posible, si hubiéramos pregunado al profesor de Cálculo del curso pasado nos habría conesado con un roundo no. Esa paradoja se explica porque habiualmene se supone la hipóesis naural de que se emplea la disancia usual. En oros conexos podemos no considerarla conveniene y refuar o probar la coninuidad a nuesro anojo. Bueno, sí, pudo hacer odo eso, pero no esá probado; comienzo a creer que nunca se puede probar nada. Son hipóesis honesas que explican los hechos, pero veo an bien que proceden de mí, que son simplemene una manera de unificar mis conocimienos. [...] Lenos, perezosos, fasidiados, los hechos se acomodan en rigor al orden que yo quiero darles; pero ése sigue siéndoles exerior. Tengo la impresión de hacer un rabajo puramene imaginaivo. La coninuidad y convergencia son concepos básicos en Análisis Maemáico que cuando se exienden a espacios de funciones dan lugar a concepos an imporanes como la convergencia uniforme. Para ilusrar la siuación supongamos que ciera sucesión de funciones, f n, converge a f en el senido de que lim f n(x) = f(x) x [,1], n si hubiera jusicia en el mundo debiera enerse, para funciones inegrables, lim n 1 f n = Pues bien, eso no es ciero: basa omar f y como f n la función que vale n en (,1/n] y cero en el reso. Nisiquiera f ienepor quéser coninua si lasf n loson, como observó por primera vez N.H. Abel en 1826 (si alguien ha conseguido sobreponerse a Oliver Twis y a 9 1 f.

4 Corazón que lo inene con la biografía de ese maemáico). Los libros afirman que eso ocurre porque la convergencia no es uniforme, y eso es lo mismo que decir que si usáramos la disancia d(f,g) = sup{ f(x) g(x) : x [,1]} para definir la convergencia odo iría bien. Para la inegración en inervalos infinios la siuación sigue siendo complicada. Dónde esá el error en el siguiene razonamieno? El cambio x = /n con n ZZ + implica senx x dx = sen(/n) d, además el valor de la inegral es π/2 porque lo dice la página 19 de Tsipkin & Tsipkin Fórmulas Maemáicas Ed. Mir, 1988; enonces π 2 = senx dx = lim x n + sen(/n) d = lim n + sen(/n) d =. Como consuelo frene a la difícil relación enre convergencia e inegración enemos que las operaciones habiuales: suma, resa, muliplicación y división (con divisor no nulo) conservan la coninuidad de las funciones de un espacio mérico en IR (con la disancia usual). La demosración es idénica a la visa en un primer curso de Cálculo para funciones de IR en IR. Oro concepo relaivo a la convergencia de imporancia en Análisis es la compleiud ( incluirán alguna vez esa palabra en el diccionario?). Esencialmene lo que se quiere exigir es que cualquier sucesión cuyos érminos se amononen engan un límie. Definición: Se dice que un espacio mérico (X,d) es compleo si oda sucesión de Cauchy en X es convergene, eso es, lim d(x n,x m ) = lim x n. m,n n Desde el puno de visa opológico, la compacidad, que definiremos y esudiaremos en un próximo capíulo, es una propiedad más fuere y más naural, así que aquí no comprobaremos la compleiud de ningún espacio y nos limiaremos a esablecer un conocido resulado, probado en 1922 por S. Banach, y dar un ejemplo sin profundizar en los dealles. Teorema 1.2: (de la aplicación conraciva) Sea (X, d) un espacio mérico compleo y sea f : X X una función conraciva (eso es, al que exise < C < 1 con d(f(x),f(y)) Cd(x,y) para x,y X), enonces para cualquier x X la sucesión x 1 = f(x ), x 2 = f(x 1 ), x 3 = f(x 2 ), x 4 = f(x 3 ),... converge al único puno de X que queda fijo por f. Dem.: Si exise un puno fijo debe ser único, porque si hubiera dos, digamos x e y, d(x,y) = d(f(x),f(y)) Cd(x,y) lleva a que coinciden. Si {x n } n=1 converge, enonces x = limx n debe ser el puno fijo porque d(f(x),x n+1 ) Cd(x,x n ) implica, omando límies, limx n+1 = f(x) (ejercicio) y por ano f(x) = x. 1

5 Como X es compleo basa demosrar que {x n } n=1 es una sucesión de Cauchy y la convergencia esará asegurada. Sean n,m ZZ +, digamos m n con m = n+k, enonces d(x m,x n ) =d((f... f)(x n) ),(f... f)(x n) k )) C n d(x,x k ) C n (d(x,x 1 )+d(x 1,x 2 )+...+d(x k 1,x k )) C n d(x,x 1 )(1+C +C 2 +C ) Cn 1 C d(x,x 1 ). Así pues d(x n,x m ) cuando n,m y la sucesión es de Cauchy. (Desig. riang.) Ejemplo: Si en una calculadora de bolsillo, en modo Rad, escribimos un número real enre 2 y 4 y pulsamos la secuencia + sin = repeidas veces, el resulado se acercará increíblemene rápido a una consane bien conocida. Explicación: X = [2,4]con la disancia usual es compleo ([a,b]lo es, según resulados del cuaro capíulo). La función f : X X dada por f(x) = x + senx es conraciva porque el eorema del valor medio implica f(x) f(y) = f (ξ) x y f (2) x y 6 x y. Así pues, el eorema anerior asegura que, para x X, x n+1 = x n +senx n converge al único x X al que f(x) = x. El eorema de la aplicación conraciva es la base de muchos méodos ieraivos en Cálculo Numérico. Además se puede emplear en la demosración de imporanes resulados eóricos como el Teorema de la función inversa. Para apreciar la ya ciada venaja de la generalidad, diremos que aplicado en ciero espacio mérico, cuyos elemenos no son punos sino subconjunos de IR n, el eorema anerior se puede usar para aproximar conjunos de nauraleza fracal con un ordenador. Como ejemplo de uno de ellos, si no hay nada en la ele uno puede ocuparse de raducir el siguiene programa en basic arcaico a su lenguaje de programación favorio y asombrarse con el resulado. escala=2.:x=.:y=. for j=1 o 6 i=int(3.*rnd) if i=1 hen x=x+1. if i=2 hen x=x+.5:y=y+.866 x=x/2.:y=y/2. plo escala*x, escala*y nex j sop (La función RND genera un número aleaorio enre y 1 y el comando plo dibuja un puno en la panalla dadas sus coordenadas). El límie del resulado se llama Triángulo de Sierpiński y es más miserioso que el de las Bermudas porque, según se dice, no es ni unidimensional ni bidimensional sino que iene dimensión log3/log2 =