ANEXO B: Modelo General de Flujo y Transporte en Medios Porosos

Transcripción

1 ANEXO B: Modelo General de Flujo y Transpore en Medios Porosos B.1 Concepos y Resulados usados en la Modelación de Sisemas Coninuos B.1.1 El concepo de sisema coninuo La premisa fundamenal consise en considerar que un sisema coninuo llena odo el espacio que ocupa. Es decir, cada puno del sisema coninuo esá lleno de maeria. En los sisemas coninuos se rabaja con los promedios de sus propiedades físicas y exise un volumen llamado represenaivo, para el cual se calculan y son válidos los promedios de dichas propiedades. B.1.2 Propiedades Exensivas e Inensivas Cuando una propiedad puede expresarse como una inegral sobre la región B ocupada por el cuerpo, decimos que la propiedad es una propiedad exensiva. Dada una función cualquiera ψ ( x, ), defina E ψ ( xdx,) ; (B.1) B enonces E ( ) es una propiedad exensiva. Aún más, una propiedad E ( ) es exensiva si y solamene si, se puede expresar en la forma dada por la Ec.(B.1). En al caso a la función ψ ( x, ) se le llama la propiedad inensiva asociada a la propiedad exensiva E ( ). Así, oda función inegrable define una propiedad inensiva y la Ec.(B.1) esablece una correspondencia biunívoca enre propiedades exensivas e inensivas. En paricular, si los valores de la función inegrable ψ ( x, ) son vecoriales, enonces la función exensiva correspondiene ambién es vecorial. Hay que hacer noar que hay diferenes modos de definir a la propiedad inensiva. En nuesro caso la hemos definido como la propiedad por unidad de volumen. Sin embargo, es 150

2 frecuene que se le defina por unidad de masa [1] y en al caso se puede obener una de la ora muliplicando por la densidad. B.1.3 Ecuación de Balance Global La hipóesis básica desde el puno de visa físico para formulación de la ecuaciones de balance de las propiedades exensivas en la eoría de sisemas coninuos se puede enunciar de la siguiene manera: cualquier variación de la propiedad exensiva proviene de lo que se genera o se desruye denro del cuerpo o de lo que enra o sale a ravés de su fronera. La expresión maemáica de esa hipóesis es: de = gxdx (, ) + τ ( x, ) ndx; d i (B.2) B B donde gx- (, ) es lo que se genera o se desruye en el inerior del cuerpo B( ) τ ( x, ) - es lo que enra o sale a ravés de la fronera del cuerpo B( ) B.1.4 Ecuaciones de Balance Local Las ecuaciones de balance local de una propiedad inensiva ψ ( x, ) en presencia de disconinuidades de salo, ano de la función misma como de sus derivadas, en alguna superficie que designaremos por Σ ( ), son: ψ + i( ψv) = g+ i τ; x B (B.3) ( v v ) τ n= 0; x Σ( ) ψ Σ i (B.4) Aquí n es el vecor normal a la superficie Σ ( ) cuyo senido se elige de manera arbiraria y [ f ] se define como el salo de una función f y esá dado por [ f ] f + f, donde el signo posiivo se oma en el lado hacia donde apuna el vecor normal. Los dealles de la derivación de las Ecs.(B.3) y (B.4) se pueden ver en [55]. Una manera alernaiva de expresar la ecuación de balance local (B.3) es en función de la derivada maerial de la propiedad inensiva. Si desarrollamos el érmino de la divergencia en (B.3) resula: ψ + vi ψ + ψ iv = g+ i τ; x B (B.5) 151

3 Como los dos primeros érminos son por definición la derivada maerial de la propiedad inensiva, es decir Dψ ψ + vi ψ, enonces resula la expresión: Dψ + ψ i v = g + i τ ; x B (B.6) la cual en muchos casos es más conveniene emplear para fines de manipulación algebraica. B.2 Flujo de Fluidos en Medios Porosos B.2.1 Caracerización de un medio poroso Las hipóesis básicas en las que se susena el modelo de flujo en medios porosos son: - El fluido es compresible, es decir puede haber variación de la densidad como función de la presión. - El sólido poroso conocido ambién como mariz es elásico, es decir en general la porosidad depende de la presión, - No hay difusión del fluido, - La velocidad del fluido esá dada por la ley de Darcy, que es una ecuación consiuiva que relaciona a la velocidad de las parículas del fluido con la presión. B.2.2 Ley de Darcy Aquí sólo enunciaremos la ley de Darcy [64] que es un resulado empírico para medios porosos saurados y dice que la velocidad de Darcy U es una función lineal del gradiene de la presión en ausencia de gravedad. En general esa se expresa en presencia de gravedad como: 1 i (B.7) µ U = k ( p ρ gˆ ) donde ĝ - es el vecor de aceleración de la gravedad, 152

4 µ - es la viscosidad dinámica del fluido, k - es el ensor de permeabilidad inrínseca, p - es la presión del fluido, U = φ v - es la velocidad de Darcy que se define como el gaso volumérico por unidad de área, v - es la velocidad del fluido, φ - es la porosidad del medio. Si consideramos a z como la alura respeco a un nivel de referencia dado, enonces el vecor aceleración de la gravedad se puede expresar como: gˆ = gˆ z (B.8) y consecuenemene la ley de Darcy se puede rescribir como 1 U = ki ( p+ ρ gˆ z) (B.9) µ donde ĝ - es el módulo del vecor aceleración de la gravedad. La expresión equivalene en noación indicial sería: k ij p z U ˆ i = + ρg ; i = 1, 2, 3 (B.10) µ xj x j B.2.3 Balance de masa Propiedad Exensiva: Masa de fluido M ( ) f Propiedad Inensiva: ψ φρ. f ( ) φ(, ) ρ(, ) M = x x dx (B.11) B donde la porosidad esá definida por ( x, ) φ = Volumen de Poros Volumen Toal 153

5 Ecuación de Balance Local: Cundo no hay difusión τ 0, enonces susiuyendo la propiedad inensiva en la ecuación general de balance local Ec.(B.3), resula ( φρ ) i ( φρ v ) g; x B( ) + = que en érminos de la velocidad de Darcy se escribe como ( φρ ) Condiciones de salo: ( ) Si definimos el nivel piezomérico como: y correspondienemene su gradiene resula ( ρu) g; (B.12) + i = (B.13) φρ v vσ i nσ = 0; x Σ (B.14) p 1 dξ h= gˆ + z (B.15) ρ ξ p0 ( ˆ ρ ) 1 ( ) h= g p+ z (B.16) Enonces la ley de Darcy la podemos rescribir en érminos del nivel piezomérico como ρgˆ p U = ki + z = K h µ ρgˆ i (B.17) ρĝ donde K = k - es el ensor de conducividad hidráulica. µ Por las hipóesis del modelo de flujo la densidad y la porosidad son funciones de la presión, es decir ρ = ρ( p) y φ φ( p) masa Ec.(B.13) se puede desarrollar como =, por lo que el primer érmino de la ecuación de balance de ( ) d p d φρ ρ φ p = φ + ρ dp dp dφ 1 d ρ Si omamos la siguiene noación α = y β = y susiuimos, enemos que dp ρ dp ( φρ ) ( βφ) = ρ α + p (B.18) (B.19) 154

6 Si consideramos que S ρgˆ ( α βφ) enonces s = + -es el coeficiene de almacenamieno específico, ( φρ ) 1 p h = Ss = ρss gˆ (B.20) p h ya que de la definición del nivel piezomérico enemos que = ρgˆ. Al susiuir la Ec.(B.20) en la Ec.(B.13) se obiene ρ h S + s i ( U) ; ρ = g (B.21) Si desarrollamos el érmino de la divergencia y dividimos por ρ, resula: h Ss + U + U = g 1 i i ln ρ ρ ; (B.22) Debido a que en la mayoría de las aplicaciones ln ρ 1, ese érmino se puede despreciar y enonces la expresión mas usada es: h + i = ; (B.23) 1 Ss U ρ g Finalmene, susiuyendo la velocidad de Darcy Ec.(B.17), obenemos la ecuación general de flujo: h 1 Ss i( Ki h) = ρ g; (B.24) Si consideramos el caso de flujo conservaivo ( g = 0 ), enonces la ecuación de flujo se escribe como: Para el caso isorópico enemos que K S s h = i( Ki h ) (B.25) = KI, enoces S s h = K h (B.26) 155

7 B.2.4 Problemas de flujo bien planeados Un problema de flujo es bien planeado cuando se prescriben condiciones iniciales y de fronera apropiadas. Condiciones iniciales ( ) ( ) h x, = h x ; x Ω (B.27) 0 0 Condiciones de fronera Pueden ser de res ipos: a. Condiciones de Dirichle b. Condiciones de Neumann ( ) ( ) h x, = h ; x Ω, > (B.28) ( ) ( ) 0 Ki h i n= q x, ; x Ω, > 0 (B.29) Se prescribe el flujo o gaso por unidad de área en la fronera. c. Condiciones de Robin h α( x, ) ( x, ) + β( x, ) h( x, ) = γ ( x, ); x Ω, > 0 (B.30) n B.3 Transpore de Soluos en Fluidos en Medios Porosos B.3.1 Ecuación general de ranspore monofásico a) Fluidos libres En ranspore de fluidos libres consideraremos como la propiedad exensiva a la masa de soluo disuelo en el fluido M S ( ) y a la concenración del soluo c( x, ) como su propiedad inensiva correspondiene, que es igual a la masa de soluo por unidad de volumen de fluido. La relación de ambas esa dada por: S ( ) (, ) M = c x dx (B.31) B 156

8 A parir de la ecuación global de balance Ec.(B.2) para la masa de soluo dm S = g ( x, ) dx + τ ( x, ) ndx d i (B.32) B y aplicando el resulado de la ecuación general de balance local Ec. (B.3) se obiene: B c + i( cv ) = g + i τ; x B (B.33) y su correspondiene condición de salo en el caso con disconinuidades ( ) c v vσ τ nσ = 0; x Σ (B.34) donde gx- (, ) es la masa de soluo por unidad de volumen de fluido que se genera o se desruye en el inerior del cuerpo B( ) y τ ( x, ) - es el flujo de masa que enra o sale a ravés de la fronera del mismo B( ). Como ejemplos de g yτ enemos: gx (, ) = λcx (, )- en presencia de decaimieno radiacivo del soluo, donde λ es la consane de semi-desinegración. τ ( x, ) = ki c-en presencia de difusión molecular y es conocida como ley de Fick. b) En medios porosos (saurados) De manera análoga al caso anerior se puede formular el modelo de ranspore en medios porosos. Se considera como la propiedad exensiva a la masa de soluo disuelo en el fluido M S, pero en ese caso la propiedad inensiva correspondiene es igual a la masa de soluo por unidad de volumen de fluido y esá dada por φ ( x, ) c( x, ) donde la porosidad del medio φ ( x, ) S ( ) φ (, ) (, ) B, debido a que M = x c x dx (B.35) se define como el volumen de poros por unidad de volumen del cuerpo. Nóese que en el caso de un medio poroso saurado el volumen de fluido es igual al volumen oal de poros, pueso que se considera a los poros compleamene llenos de fluido. Enonces el volumen de fluido es ambién una propiedad exensiva y se expresa como sigue: 157

9 f ( ) φ (, ) V = x dx (B.36) B Aplicando el resulado del capiulo anerior, la ecuación de balance local de la concenración de soluo resula: ( φc) que se puede escribir de manera equivalene como ( φc) ( φcv ) g τ; x B + i = + i (B.37) ( cu ) g τ; x B + i = + i (B.38) donde U = φ v - es conocida como la velocidad de Darcy. Y la correspondiene condición de salo en presencia de disconinuidades ( ) φc v vσ τ nσ = 0; x Σ (B.39) Como análogos de los ejemplos de g y τ presenados aneriormene para fluidos libres enemos: gx (, ) = λφ( xcx, ) (, )- en presencia de decaimieno radiacivo del soluo, donde λ es la consane de semi-desinegración. τ ( x, ) = ki c- ley de Fick en medios porosos. Una hipóesis imporane que se debe cumplir para que los modelos de ranspore obenidos resulen compleos es que la velocidad de las parículas v sea conocida. B.3.2 Resricciones en el movimieno: incompresibilidad Un cuerpo de fluido es incompresible cuando conserva su volumen. A coninuación derivaremos las condiciones de incompresibilidad para los casos de fluidos libres y en medios porosos. a) Fluidos libres En ese caso la propiedad exensiva es el volumen de fluido que se expresa como 158

10 ( ) V = 1dx (B.40) consecuenemene su correspondiene propiedad inensiva es ψ 1. f B Si escribimos la ecuación global de balance correspondiene dv f = g ( x, ) dx + τ ( x, ) ndx d i (B.41) B dv f Como no exise variación de volumen, es decir = 0, enonces g = 0 yτ = 0, y la d ecuación de balance local correspondienes se escribe como: 1 + i( 1v) = g + iτ = 0; x B (B.42) y por lo ano resula que B ( ) i v= 0; x B (B.43) la cual es la condición de incompresibilidad para un fluido libre. b) Medios porosos De modo similar, el volumen de un fluido en medios porosos se define como f ( ) φ (, ) V = x dx (B.44) por lo que la porosidad es su propiedad inensiva correspondiene ψ φ. B dv f Como no exise variación de volumen, es decir = 0, enonces g = 0 yτ = 0, y la d ecuación de balance local correspondienes se escribe como: φ + i( φv) = g + i τ = 0; x B (B.45) y por lo ano la condición de incompresibilidad para fluidos en medios porosos es: φ + i ( φ v) = 0; x B (B.46) 159

11 B.3.3 Transpore conservaivo B Caso paricular para fluido incompresible a) Fluidos Libres Haciendo uso de la ecuación general de ranspore Ec. (B.33) y considerando que g = 0 yτ = 0 para el caso conservaivo, resula que c Dc + i( cv) = + c i v = 0; (B.47) enonces, en érminos de la derivada maerial de la concenración Dc c v = i (B.48) Si consideramos además que el fluido sea incompresible ( i v= 0), enonces la Ec.(B.48) se ransforma en La expresión (B.49) se puede rescribir de la siguiene manera ( ) Dc p ( X ) Dc 0; = (B.49) (,, ) C ( X ) Dc x,, = = donde C( X, )- es la represenación lagrangiana de la concenración = 0 (B.50) Lo cual implica que C( X, ) es independiene del iempo. Es decir, si el ranspore es conservaivo, en el caso de concenración. fluidos incompresibles las parículas conservan su b) Medios Porosos Se procede de manera similar al caso de fluidos libres. Se oma la ecuación general de ranspore para medios porosos Ec.(B.37) y se considera que g = 0 yτ =

12 φc + i ( φcv) = 0; (B.51) que érminos de la derivada maerial se escribe como: Dφ c + φc i v= 0 (B.52) Si desarrollamos el primer érmino aplicando la regla de la derivada del produco, se obiene que D φ Dc c c v c D φ + φ + φ i = + φ iv + φ Dc = 0 (B.53) φ Dφ + i = + φ i v = 0 es la condición de incompresibilidad (B.46) de un donde ( φv) fluido en medios porosos expresada en érminos de la derivada maerial y por lo ano la Ec. (B.53) se reduce a Dc 0 = (B.54) que resula equivalene al caso de fluidos libres y consecuenemene se inerprea del mismo modo. B Caso general para fluido compresible Suponga que el movimieno del fluido se conoce y la masa del mismo se conserva. Noa.- La hipóesis de conservación de masa del fluido se cumple en muchísimos casos de inerés prácico. Si definimos a ω ( x, ) ( ) ( x) = c x, masa de soluo ρ, = masa de fluido como la fracción de masa de soluo. a) Fluidos Libres Si calculamos la derivada maerial de la fracción de masa, ésa se puede expresar como Dω 1 Dc 2 Dρ 2 Dc Dρ ( x, ) = ρ ρ c = ρ ρ c (B.55) Por la condición de conservación de masa del fluido enemos que: 161

13 ρ Dρ + i( ρv) = 0 = ρ i v (B.56) mienras que por la condición de conservación de masa del soluo enemos que: c Dc + i( cv) = 0 = c i v (B.57) Al susiuir las ecuaciones (B.56) y (B.57) en la Ec. (B.55) se obiene Dω 2 ( x, ) = ρ ( ρ c iv ρ c i v) = 0 (B.58) Por lo que en ese caso decimos que las parículas conservan la fracción de masa del soluo. b) Medios Porosos De manera análoga al caso de fluidos libres, calculamos la derivada maerial de la fracción de masa ( φ ) ( φρ ) Dω D φc 2 D c D ( x, ) = = ( φρ ) φρ φc φρ (B.59) Por la condición de conservación de masa del fluido en medios porosos enemos que: ( φρ ) D( φρ ) + i( φρv) = 0 = φρ i v (B.60) mienras que la condición de conservación de masa del soluo es: ( φc) D( φc) + i( φcv) = 0 = φc i v (B.61) Al susiuir las ecuaciones (B.60) y (B.61) en la Ec. (B.59) se obiene Dω ( x, ) = 0 (B.62) Por lo que en ese caso ambién decimos que las parículas conservan la fracción de masa del soluo. B.3.4 Transpore no conservaivo Transpore con Fuenes (o Resumideros) Lineales 162

14 Caso más sencillo, es función lineal de. Consideraremos g c µ ( ) µ ( c c 0 ) > 0 es fuene y si µ ( c c 0 ) < 0 es resumidero. Ejemplo.- Maerial radioacivo a) Fluidos Libres g = λc, λ > 0, g = c c 0 si b) Medios Porosos g = φλc, λ > 0, Dω + λω = 0 (B.63) Oras Fuenes.- Adsorción en Medios Porosos: Caso F( x, ), con F dao Dω + λω = 0 (B.64) B.3.5 Transpore difusivo En presencia de procesos difusivos los cuales podemos clasificar en dos ipos: a) Difusión molecular (ley de Fick), debido a la ineracción molecular de las moléculas de soluo y de fluido. b) Difusión mecánica, asociada al carácer aleaorio del medio poroso. Analicemos esos procesos para fluidos libres y en medios porosos a) Fluidos libres Según la ley de Fick τ es una función lineal del gradiene de la concenración del soluo c en presencia de difusión molecular, y se expresa como: τ ( x, ) = Di c (B.65) donde D - es el ensor de dispersión hidrodinámica cuyos componenes se escriben: 163

15 aquí Dd D = D τδ (B.66) ij d ij - es el coeficiene de difusión molecular y τ caraceriza la oruosidad Susiuyendo en la ecuación general de ranspore (B.33) resula: c i( Di c) + i ( cv ) = g; x B (B.67) Para el caso isorópico (no depende de la dirección) la ley de Fick se puede rescribir como τ ( x, ) = D c y consecuenemene la Ec. (B.67) se ransforma en: c D c + i ( cv ) = g; x B (B.68) b) Medios porosos En ese caso ambién τ ( x, ) = φ Di c, pero los componenes del ensor de dispersión hidrodinámica se expresan como: ( ) vv i j Dij = DT v δ ij + DL DT + Ddτδ ij (B.69) v donde D - es el coeficiene de dispersividad mecánica ransversal y D - es el coeficiene T de dispersividad mecánica longiudinal. L En érminos de la velocidad de Darcy se puede rescribir como: UU i j φdij = DT U δij + ( DL DT ) +φddτδ ij (B.70) U Analicemos la dispersión mecánica (macroscópica), para lo cual veremos dos casos: a) Cuando el gradiene de la concenración es paralelo a la velocidad c v En ese caso el gradiene de la concenración se puede escribir como c = α v, donde α, enonces v v ( ) vv i j τi = φdijα j = φα DT δij + DL DT vj v (B.71) 164

16 2 vi v τi φα DT vvi ( DL DT) = + lo cual implica que τ mec = DL U c. v ( ) (B.72) τ = φαd vv = D U c (B.73) i L i L i b) Cuando el gradiene de la concenración es orogonal a la velocidad c v ( ) v ( ) vv i j c τi = φdij c = φ DT δij + DL DT (B.74) v x j y finalmene resula que τ mec = DT U c τ = φd i T c v x i (B.75) En el caso mas general el gradiene de la concenración se puede expresar como c = ( c) + ( c), enonces L T D U ( c ) D U ( c ) lo cual implica que τ mec U τ = + T (B.76) mec L L T Una observación ineresane resula si consideramos: a) Si el vecor normal a la fronera es paralelo a la velocidad de las parículas n v, enonces c τ mec in= niφdi c= φdl (B.77) n b) Si el vecor normal a la fronera es perpendicular a la velocidad de las parículas n v, enonces c τ mec in= niφdi c= φdt (B.78) n 165

17 Susiuyendo τ ( x, ) en la Ec. (B.38) se obiene la expresión general de ranspore en medios porosos: ( φc) ( φ D c) ( cu) g; x B i i + i = (B.79) B.3.6 Procesos de ranspore: advección, difusión y generación Proceso de advección Decimos que exise advección cuando la velocidad de las parículas no es nula, es decir v 0. Proceso de difusión Decimos que exise difusión cuando el ensor de dispersión hidrodinámica no se anula, D 0. Proceso de generación Cuando g 0 B.3.7 Problemas de ranspore bien planeados Un problema de ranspore es bien planeado con condiciones iniciales y de fronera apropiadas. Condiciones iniciales ( ) ( ) c x, = c x ; x Ω (B.80) 0 0 Condiciones de fronera Pueden ser de res ipos: a. Condiciones de Dirichle 166

18 b. Condiciones de Neumann ( ) ( ) c x, = c x, ; x Ω, > (B.81) c n ( ) ( ) 0 x, = q x, ; x Ω, > 0 (B.82) c. Condiciones de Robin c α( x, ) ( x, ) + β( x, ) c( x, ) = γ ( x, ); x Ω, > 0 (B.83) n Un caso paricular de las condiciones de ipo Robin, es cuando se prescribe el flujo oal de masa: ( ) ( ) Di c in+ v in c= q; x Ω, > 0 (B.84) 167