Autor: D. Marcos Javier Olza Tapiz Tutor: Dr. D. Ricardo Vélez Ibarrola

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1 Aproximación a FX y Producos Quano en el Marco Black-Scholes Trabajo aprobado para la obención del Tíulo de Maser en Maemáicas Avanzadas de la UNED. Especialidad de Invesigación Operaiva y Esadísica Auor: D. Marcos Javier Olza Tapiz Tuor: Dr. D. Ricardo Vélez Ibarrola 11 de marzo de 215

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3 Absrac This work deals wih how o price some financial conracs which have exposure o he risk of he currency exchange rae and he underlying price risk. The mainframe of his work is he Black-Scholes marke model and he conracs will be he simples derivaives, which will serve as an inroducion o he field of Foreign Exchange and Quano Derivaives. Resúmen En ese rabajo se raa la valoración de algunos producos financieros que iene exposición al riesgo de cambio de divisas y al de cambio de precios del subyacene. El marco de ese rabajo es el modelo de mercado Black-Scholes y los producos financieros serán los derivados más sencillos, de forma que nos sirva de inroducción al campo de negociación de divisas y derivados ipo quano. Keywords: Quano, Quano producs, FX, FOREX, Black-Scholes, Risk Neural Pricing, Quano Forwards, valoración de producos quano, valoración FX 2

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5 Dedicaoria A mi mujer y a mis hijos, que habiendo padecido mis ausencias para complear ese proyeco, han creído en mi y no han dejado de apoyarme. I

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7 Agradecimienos A Dios siempre. También han colaborado Juan Carlos Cordón, que me ha faciliado valiosa documenación para el esudio y disfruado conmigo alguna asignaura de la carrera en la UNED y Pedro Nuño, que con el anerior asisieron a las pruebas de la presenación de ese TFM e hicieron valiosas aporaciones para su mejora. Juanjo Gibaja ambien me facilio ineresane bibliografía para el esudio del Maser. Con un recuerdo especial para Jesús De la Cal Aguado, profesor, menor y amigo que nos dejó para siempre. III

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9 Prefacio En finanzas, una opción sobre asas de descueno en divisas, comúnmene denominada FX opion, es un insrumeno financiero derivado que proporciona a su propieario el derecho pero no la obligación a cambiar dinero denominado en una divisa, que llamaremos local o domésica, por dinero denominado en ora divisa disina, que llamaremos foránea a una asa de descambio previamene acordada, que denominaremos Srike, y en una fecha prefijada, denominada madurez de la opción. Ese ipo de insrumenos financieros se regulan mediane conraos que admien diversas modalidades, y que, al involucrar diferenes divisas, se denominan genéricamene producos Quano. Nadie conoce con precisión la evolución en el iempo de las diversas variables que inervienen en la caracerización del valor de esos insrumenos, y ese ambiene de inceridumbre se inena abordar mediane su conversión en un ambiene de riesgo a ravés de su modelización uilizando para su descripción eórica la Teoría de la Probabilidad, y en paricular la pare referida a Procesos Esocásicos. En ese rabajo se inena hacer un abordaje elemenal de las caracerísicas de los producos quano más simples en el marco del modelo Black-Scholes. Tras hacer un resumen de los requisios maemáicos imprescindibles para ello, se procede al abordaje del ema y se procede al cálculo de diversos producos. A pesar de la enorme imporancia de ener en cuena los aspecos de modelos de volailidad y de la dinámica de los ipos de inerés, no se enra en los mismos por hallarse fuera de los objeivos marcados en ese rabajo, sin perjuicio de poder ser abordados en rabajos poseriores. V

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11 Índice general 1. Fundamenos maemáicos básicos Descripción del Movimieno Browniano Procesos Esocásicos, Filraciones y Movimieno Browniano. Esrucura de la Información Esperanza Condicionada, Maringalas y Movimieno Browniano Inegración esocásica Inegral de Iô de procesos simples Exensión de la inegral a procesos generales Fórmula de Iô Fórmula de Iô para muliples procesos Represenación Inegral de Maringalas y cambio de medidas de probabilidad Represenación Inegral de Maringalas Cambio de medidas de probabilidad. Teorema de Girsanov Ecuaciones Diferenciales Esocásicas y en Derivadas Parciales. Relación Ecuaciones Diferenciales Esocásicas Propiedad de Markov Ecuaciones en Derivadas Parciales Valoración Neural al Riesgo bajo el Modelo de Black-Scholes Medida Neural al Riesgo Valor de un acivo bajo la Medida Neural al Riesgo Valor de un porafolio bajo la Medida Neural al Riesgo Teoremas Fundamenales de Valoración de Acivos Valoración bajo la Medida Neural al Riesgo Valoración de una call europea sobre un acivo que paga dividendos coninuamene Black-Scholes en el caso mulidimensional Denominación de los acivos. Numerario Noción de numerario Medidas neurales al riesgo domesica y foránea Paradoja de Siegel Tasas de descambio forward Fórmula de Garman-Kohlhagen Dualidad Pu-Call sobre las asas de descambio Aproximación a FX y Producos Quano Dinámica de las economías domésica y foránea Producos Quano Conraos Forward y Opciones Sobre Divisas Simerías y Griegas en los mercados FX VII

12 Conraos Forward Sobre Acivos Foráneos Opciones Sobre Acivos Foráneos VIII

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14 Capíulo 1 Fundamenos maemáicos básicos El objeo de ese capíulo es la descripción de los fundamenos maemáicos básicos para abordar la modelización del comporamieno de algunos producos financieros ligados a la relación enre una divisa y ora. Asimismo la relación enre el valor de un acivo modelado en el seno de una divisa y su valor en un mercado que se rige por ora divisa disina es esudiada en ese marco. Por ello se invoca la mulidimensionalidad del modelo, pues en general varios procesos esocásicos independienes, que supondremos basados en el movimienos brownianos se verán involucrados. Como esamos hablando de procesos que se desarrollan en el iempo, necesiaremos modelar la información en la cual nuesras decisiones de fuuro esarán basadas, y eso nos llevará a la consideración de σ-álgebras, y sub-σ-álgebras que formarán las esrucuras denominadas filraciones. El esudio de los procesos esocásicos ad-hoc se siuará en ese marco Descripción del Movimieno Browniano Un proceso esocásico con espacio de esados S es una colección de variables aleaorias {X } T definidas en el mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P). El conjuno T es denominado conjuno de parámeros y puede ser numerable, dando lugar un un proceso esocásico discreo o no numerable para el caso de un proceso esocásico coninuo. En general esaremos ineresados en T = R + = [, ). El índice represena al iempo, y pueden considerarse enonces a X como el esado o la posición del proceso en el insane. El espacio de esados es R para nuesros inereses, y enonces decimos que el proceso es de valores reales. Para cada ω Ω dado, la aplicación X (ω) definida en el conjuno paramérico T se denomina realización, rayecoria o camino muesral (sample pah) del proceso. Ejemplo 1.1 Se dice que un proceso esocásico {X } es gaussiano o normal si sus disribuciones en dimensión finia son leyes normales mulidimensionales. Un proceso con valores reales {X } T se denomina proceso de segundo orden si E [ X 2 ] <, La media y la función de auocovarianza de un proceso esocásico de segundo orden {X } se definen: m X () = E [X ] 1

15 y su varianza por Γ X (s, ) = Cov [X s, X ] σ 2 X(, ) = Γ X (, ) = V ar [X ] Para el caso de que {X } sea una familia de variables aleaorias independienes para cada, disribuidas N(, σ 2 ), enemos que la media y auocovarianza de ese proceso es σ 2 si s = m X () =, y Γ X (s, ) = si s Nosoros esamos ineresados en ampliar la clase de procesos esocásicos bajo esudio. Es posible generalizar la anerior definición al caso de los procesos esocásicos mulidimensionales en iempo coninuo, y para ello seguiremos la presenación del ema del Profesor D. Ricardo Vélez Ibarrola, que se cia en la bibliografía. Asi, dado un espacio probabilísico (Ω, F, P) y un inervalo I de R, llamaremos proceso esocásico sobre (Ω, F, P) con conjuno de parámeros I a cualquier familia {X } I, donde consideraremos en general que I es un inervalo cerrado de R, y con más frecuencia como [,T]. En general se supondrá que cada X es una variable aleaoria mulidimensional, y I, X : (Ω, F ) (R d, B R d) es medible. En la anerior expresión, B R d se corresponde con el espacio de los conjunos medibles-borel, o Borelianos de R d. Podemos observar que a cada ω Ω fijo, el proceso esocásico {X } I hace corresponder una función de I en R d, X(., ω) que se denomina rayecoria del proceso asociada a ω. Si llamamos (R d ) I al conjuno de odas las funciones de I en R d, podemos inerprear el proceso como una única aplicación X de Ω en (R d ) I que vendría definida por X(ω) (R d ) I que a cada I hace corresponder X (ω) R d. Eso da lugar a que engamos una función de dos variables donde puede considerarse: X(, ω) de I Ω en R d para cada I fijo, X(., ω) : Ω R d es una variable aleaoria mulidimensional. para cada ω Ω fijo, X(,.) : I R d es una rayecoria del proceso, mulidimensional. La inerpreación del proceso como una aplicación global X : Ω R d permiirá, en ciera manera, inroducir la disribución conjuna de odas las variables que componen el proceso. Para ello hay que doar a (R d ) I de una σ-álgebra, B I R d, sobre la cual se define dicha disribución. Con el fin de no obscurecer la noación en demasía, esa álgebra la denoaremos por B I, y el conexo nos aclarará cuando esamos raando una álgebra sobre R y cuando sobre R d, habida cuena de que la consideración de X como variable aleaoria mulidimensional no inroduce 2

16 ninguna complicación exra en el modelo de esudio. Para ello llamamos conjuno cilíndrico de (R d ) I a odo conjuno de la forma { f (R d ) I : f( 1 ) B 1, f 2 (B 2 ),, f n (B n ) } cualesquiera que sean n N, 1, 2,, n I y B 1, B 2,, B n B R d En el exo de referencia se dan las pauas mediane las que puede demosrarse que la clase de odos los conjunos cilíndricos de (R d ) I es un semianillo. Nosoros omamos enonces B I como la σ-álgebra de (R d ) I engendrada por dicho anillo. Puede demosrarse que I X : (Ω, F ) (R d, B I ) es medible si y solo si X : (Ω, F ) (R d, B I ) es medible. Una caracerización de B I consise en ver que B B I si y solo si exise una sucesión { n } n=1 en I, y exise un conjuno D B N ales que B = { f (R d ) I : ( f( 1 ) B 1, f 2 (B 2 ),, f n (B n ) ) } D es decir, que los elemenos de B I son conjunos de funciones que ienen limiados sus valores sobre una sucesión de elemenos de I a un conjuno de sucesiones, D R N, que perenece a B N. No hay, por ano, en B I ningún conjuno de funciones definido resringiendo los valores de sus elemenos en más de un número numerable de punos de I. Una vez inroducida la σ-álgebra B I en el espacio R d, llamaremos disribución del proceso esocásico X : (Ω, F, P) ((R d ) I, B I ) a la medida de probabilidad en B I dada por P(B) = P{X 1 (B)} B B I Teniendo en cuena lo anerior, diremos que dos procesos esocásicos son equivalene si dan lugar a la misma disribución P en ((R d ) I, B I ). Y desacaremos en la clase de equivalencia de los procesos con disribución P, el represenane canónico definido sobre el espacio probabilísico ( (R d ) I, B I, P ), omando como X la idenidad. La disribución de cualquier proceso en el espacio funcional ((R d ) I, B I ) se puede caracerizar en érminos de disribuciones de dimensión finia en virud de la prolongación del eorema de Kolmogorov, al y como se muesra en el exo de referencia Procesos Esocásicos. UNED del Profesor D. Ricardo Vélez Ibarrola, a la cual nos remiimos, señalándose que la inerpreación prácica del mismo es que para conocer la disribución de un proceso esocásico {X } I basa con conocer la disribución conjuna de cualquier grupo finio de las variables que lo componen. Con la mayor generalidad se dice que un proceso esocásico {X } es una versión de oro proceso {Y } si para cada P {X = Y } = 1 3

17 Se dice ambién que ambos procesos son equivalenes. Dos procesos equivalenes pueden ener rayecorias diferenes. Diremos que el proceso {X } es coninuo en probabilidad si ε > y > lím P { X X s > ε } = s Teorema 1.1 (Teorema de coninuidad de Kolmogorov) Supongamos que un proceso esocásico {X } sasisface la siguiene condicion: E ( X X s p ) D s 1+α, s < T, y p, D, α > Enonces, exise una versión del proceso esocásico {X } que iene rayecorias coninuas. Definición 1.1 (Movimieno Browniano) Dado el espacio (Ω, F, P), un proceso esocásico con valores en R, {W } es un P-Movimieno Browniano si bajo la medida de probabilidad P se verifica para alguna consane real σ 1. para cada s, > la variable aleaoria W +s W s iene una disribución normal N(, σ 2 ), 2. para cada n 1 y cualesquiera insanes n las variables aleaorias {W r W r 1 } son independienes, 3. W =, (esa es una convención que puede salvarse por raslación del movimieno) 4. W es coninua para, P-casi seguro (c.s.). El proceso con σ 2 = 1 se denomina Movimieno Browniano sandard y a no ser que en ese exo se diga ora cosa, se asumirá que es el que se considera. No hay dificulad en exender la definición del movimieno browniano unidimensional al caso d-dimensional: Definición 1.2 (Movimieno Browniano d-dimensional) Dado el espacio (Ω, F, P), un proceso esocásico con valores en R d, {W } = {{W 1 },, {W d } } es un P-Movimieno Browniano si bajo la medida de probabilidad P verifica las siguienes propiedades: (i) Cada W i es un movimieno browniano 1-dimensional. (ii) Si i j, enonces los procesos W i, W j son independienes. Proposición 1.1 Supongamos un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y supongamos que para cada ω Ω exise una función coninua W para que saisface W = y que depende de ω. Las siguiene propiedades son equivalenes: (i) Para odo = < 1 < 2...< m, los incremenos W 1 = W 1 W, W 2 W 1,..., W m W m 1 son independienes y cada uno de ellos esa normalmene disribuido con media y varianza dados por E [ W i+1 W i ] =, V ar [ Wi+1 W i ] = i+1 i 4

18 (ii) Para odo = < 1 < 2...< m, las variables aleaorias W 1, W 2,..., W m esan normalmene disribuidas con medias iguales a y mariz de covarianzas E [W 1 W 1 ] E [W 1 W 2 ] E [W 1 W m ] C = E [W 2 W 1 ] E [W 2 W 2 ] E [W 2 W m ] = E [W m W 1 ] E [W m W 2 ] E [W m W m ] m es decir, que Cov [ W i, W j ] = i j = min( i, j ) ienen una fun- (iii) Para odo = < 1 < 2...< m, las variables aleaorias W 1, W 2,..., W m ción generariz conjuna ϕ(u 1, u 2,..., u m ) = E[exp(u m W m + u m 1 W m u 1 W 1 )] = = exp{ 1 2 (u 1 + u u m ) (u 2 + u u m ) 2 ( 2 1 ) (u 3 + u u m ) 2 ( 3 2 ) (u m 1 + u m 2 ) 2 ( m 1 m 2 ) u2 m( m m 1 )} Si i, ii o iii se verifican, y por ano odos ellos, enonces {W }, es un movimieno browniano. Algunas de las caracerísicas definiorias del movimieno browniano son 1. Las rayecorias del movimieno browniano son conínuas en odo puno y derivables en ninguno. 2. El movimieno browniano alcanzará cualquier valor prefijando, bien sea posiivo, bien negaivo. 3. Una vez alcanzado cualquier valor prefijado, el movimieno browniano undimensional volverá a omar dicho valor infinias veces para valores emporales arbirariamene grandes. Esa fala de memoria es una imporane propiedad, según se verá. Para el caso de n = 2, dado un valor de dicho movimieno en un insane dado, ese movimieno visiará una infinidad de veces para un espacio emporal arbirariamene largo una vecindad dada del valor omado en el insane inicial. Para n mayor que 2, sin embargo, dado un valor del movimieno en un insane, y un espacio emporal de longiud arbirariamene grande, el movimieno visiará una vecindad dada de su valor inicial con una probabilidad nula. Como señalamos aneriormene, el Teorema de Exensión de Kolmogorov (ambien puede consularse en Sochasic Differenial Equaions de Bern Oksendal, ed. Springer Verlag, enre oros muchos) permie consruir un proceso esocásico fijadas las disribuciones en dimensión finia, siempre que se verifiquen deerminadas condiciones de compaibilidad, y el Teorema de Coninuidad (1.1) da una condición suficiene para que haya un versión del proceso esocásico al que sus rayecorias sean coninuas. Cuando los incremenos W W s ienen una ley normal N(,-s), para odo número enero k endremos: [ E (W W s ) 2k] = (2k)! ( 2 k s)k k! 5

19 Por lo ano, eligiendo k = 2 ya podemos asegurar que exise una versión conínua para el movimieno browniano, ya que E [ (W W s ) 4] = 3 ( s) 2 Las demosraciones de esas caracerísicas pueden hallarse en la bibliografía que se relaciona. BIBLIOGRAFIA: Ricardo Vélez Ibarrola: Procesos Esocásicos. UNED Leo Breiman: Probabiliy Luis Rincón: Inroducción a los procesos esocásicos. UNAM. 212 Seven E. Shreve Sochasic Calculus for Finance II. Springer. 24 Bern Oksendal: Sochasic Differenial Equaions. Springer Verlag 1.2. Procesos Esocásicos, Filraciones y Movimieno Browniano. Esrucura de la Información. Definición 1.3 (Filración) Sea Ω un conjuno no vacío. Sea T un número posiivo fijado, y asumamos que para cada [, T ] exise una σ-álgebra F. Además, asumamos que si s, enonces cada conjuno de F s esá en F. Enonces llamamos a la colección de σ-álgebras {F } [,T ], una filración. Se raa pues de una familia de σ-álgebras F, {F } [,T ] al que si s < F s F. Para el modelado de procesos esocásicos en iempo coninuo esamos ineresados usualmene en filraciones caracerizadas por (a) F coniene a odos los subconjunos de conjunos de medida. Eso significa que F es la mínima σ-álgebra que coniene los conjunos de la forma {X s B} N, donde s [, ], B perenece a la σ-álgebra de Borel B de R d, y N es un conjuno de probabilidad nula. (b) Para odo, la familia de σ-álgebras F es coninua por la derecha, es decir, se verifica F = s:s> F s La σ-álgebra F solo coniene conjunos de probabilidad cero o uno. Eso implica que las variables aleaorias F -medibles serán consanes, casi seguro. Recordemos las siguienes dos definiciones elemenales: Definición 1.4 (σ-álgebra generada por una variable aleaoria X) Sea Ω un conjuno no vacío y sea X una variable aleaoria mulidimensional definida en dicho conjuno. La σ- álgebra generada por X, denoada por σ(x), es la colección de odos los subconjunos de Ω de la forma {X B} con B represenando al álgebra de Borel de R d. {X B} es una forma abreviada de significar el conjuno {ω Ω, X(ω) B}. 6

20 En relación con lo anerior, dada una familia U de subconjunos de Ω, exise una σ-álgebra, σ(u), que es la menor σ-álgebra que coniene a U, que se designa por σ(u) = { H : H es σ algebra de Ω, U H } De aquí se deduce que σ(u) es la menor σ-álgebra que coniene a la familia de subconjunos U. Por ejemplo, si U es la colección de odos los subconjunos abieros de un espacio opológico Ω, (por ejemplo Ω = R d ), enonces B R d = σ(u) es denominada la σ-álgebra de Borel de R d y a sus elemenos B se les denomina borelianos de R d. B R d coniene odos los conjunos abieros, odos los cerrados, odas las uniones conables de cerrados, odas las inersecciones conables de ales uniones conables, ec... de R d. Definición 1.5 (G-medibilidad) Sea X una variable aleaoria mulidimensional definida en un espacio muesral no vacío Ω, y sea G una σ-álgebra de subconjunos de Ω. Si cada conjuno en σ(x) esa ambién en G, decimos que X es G-medible. Es decir, si (Ω, G, P) es un espacio de probabilidad dado, enonces una función X : Ω R d se llama G-medible si X 1 (B) = { ω Ω; X(ω) B B R d} G para odos los borelianos B de R d. En dicho caso, la σ-álgebra generada por X, σ(x) es la menor σ-álgebra en Ω que coniene odos los conjunos X 1 (B), B B R d, es decir σ(x) = { } X 1 (B); B B R d Así, X será enonces σ(x)-medible y σ(x) será la σ-álgebra mínima con dicha propiedad. Definición 1.6 (Proceso esocásico adapado) Sea Ω un espacio muesral no vacío equipado con una filración {F } [,T ], y sea {X } una colección de variables aleaorias, que pueden ser mulidimensionales, indexadas por [, T ]. Decimos que esa colección de variables aleaorias es un proceso esocásico adapado si, para cada, la variable aleaoria X es F -medible. Cuando una variable aleaoria es medible con respeco de una σ-álgebra G, la información conenida en G es suficiene para deerminar el valor de la variable aleaoria. El oro exremo es cuando una variable aleaoria es independiene de una σ-álgebra. En ese caso, la información conenida en la σ-álgebra no apora ninguna información acerca del valor de dicha variable aleaoria. En el más común de los casos, cuando enemos una σ-álgebra G y una variable aleaoria X que ni es ni G-medible ni independiene de G, la información en G no es suficiene para evaluar X, pero podemos esimar X basada en la información en G. De esa forma, {σ(w s )} s [,] {F } [,T ], y a la primera de esas filraciones la denominamos filración canónica del movimieno browniano (que puede ser mulidimensional). Así, con respeco de ella, para cada s [, ] enemos que B σ(w s ) con [, T ] si, habiendo observado la rayecoria {W s } s, (que puede ser mulidimensional), es posible decidir si el suceso B B R d se ha verificado o no. Queda claro del comenario anerior que puede haber más de un proceso esocásico que sea medible con respeco de la misma filración {F } [,T ], pero que {σ(w s )} s [,] es, sin embargo, la mínima filración para la cual el movimieno browniano es adapado. En conrase con el concepo de medibilidad, necesiamos una medida de probabilidad para poder hablar de independencia. Consecuenemene, la independencia puede verse afecada por los cambios de medida de probabilidad, pero no así la medibilidad. 7

21 Definición 1.7 (Independencia) Sea un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y sean G y H dos sub-σ-álgebras de F ( es decir, los conjunos de G y los conjunos de H esan ambien en F ). Decimos que dos σ-álgebras son independienes si P(A B) = P(A)P(B), A G, B H Sean X e Y variables aleaorias en (Ω, F, P), que pueden ser mulidimensionales. Decimos que esas dos variables aleaorias son independienes si las σ-álgebras que generan, σ(x), y σ(y ), son independienes. Decimos que la variable aleaoria X es independiene de la σ-álgebra G si σ(x) y G son independienes. Teorema 1.2 Sean X e Y variables aleaorias independienes, posiblemene mulidimensionales, y sean f y g sendas funciones B-medibles con valores en R (con las correspondencias relaivas al caso mulidimensional). Enonces f(x) y g(y ) son variables aleaorias independienes. Una filración se suele usar para represenar el flujo de información que vamos obeniendo al observar como evoluciona un proceso en iempo coninuo. Nosoros esamos ineresados en filraciones del ipo σ(x s, s < ) Como proceso esocásico que es, al movimieno browniano puede adjunársele una filración que da cuena de la información disponible en cada insane. Definición 1.8 (Filración para un movimieno browniano) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad en el que se ha definido o iene lugar un Movimieno Browniano {W } [,T ]. Una filración para el Movimieno Browniano es una colección de σ-álgebras {F } [,T ], que saisfacen (i) (La información es acumulaiva) Para cada s <, cada conjuno en F s esa ambién en F. En oras palabras, hay al menos ana información disponible en el insane poserior, en F como la exisene en un insane anerior s, en F s. (ii) (Adapaividad del proceso esocásico) Para cada, el Movimieno Browniano W en el iempo es F -medible. En oras palabras, la información disponible en el insane es suficiene para evaluar el Movimieno Browniano W en ese insane. (iii) (Independencia de los incremenos fuuros) Para s < u, el incremeno W u W es independiene de F. En oras palabras, cualquier incremeno del movimieno browniano poserior al insane es independiene de la información disponible en dicho insane. Las dos primeras propiedades de la anerior definición garanizan que la información disponible en cada insane es al menos ana como la que podría adquirirse observando los daos del movimieno browniano desde su inicio hasa dicho insane. La ercera propiedad expresa que dicha información no iene uso para predecir fuuros movimienos (valores) del movimieno browniano. En los modelos de valoración de acivos que preendemos consruir, esa propiedad conducirá a hipóesis de mercados eficienes. BIBLIOGRAFIA: Luis Rincón: Inroducción a los procesos esocásicos. UNAM. 212 Seven E. Shreve Sochasic Calculus for Finance II. Springer. 24 8

22 1.3. Esperanza Condicionada, Maringalas y Movimieno Browniano. Si se enfoca la Teoría de la Probabilidad desde el puno de parida de la Teoría de la Medida, una esperanza condicionada es en si misma una variable aleaoria, que es medible con respeco a la σ-álgebra condicionane. Ese puno de visa es indispensable para raar las esperanzas condicionadas que se abordan en la Teoría de Maringalas. No enraremos en las consideraciones acerca de iempos de parada o sopping imes de las maringalas y sus connoaciones, ya que en principio no esa programado en ese rabajo abordar aquellos emas en los que son un vehículo fundamenal, como el análisis de los conraos que admien iempos de ejecución aneriores a la madurez del conrao, caso de opciones bermudas, perpeuas y americanas, y algunas de las denominadas exóicas. El inerés de esos ópicos es obvio, y un acercamieno a ellos puede adquirirse en la bibliografía que se relaciona al final de esa sección. Definición 1.9 (Esperanza condicional) Sean (Ω, F, P) un espacio de probabilidad, una subσ-álgebra G de F, y X una variable aleaoria que es no negaiva o inegrable. La esperanza condicional de X dado G, denoada E [X G], es cualquier variable aleaoria que saisfaga: (i) (Medibilidad) E [X G] es G-medible, y (ii) (Parial averaging) E [X G] (ω)dp(ω) = A A X(ω)dP(ω), A G, que puede expresarse, denominando Z = E [X G] como E [X 1 A ] = E [Z 1 A ]. Si G es la σ-álgebra generada por alguna ora variable aleaoria W (por ejemplo, G = σ(w ), escribiremos generalmene E [X W ] en vez de E [X σ(w )]. La propiedad (i) de la anerior definición garaniza que, a pesar de que la esimación de X basada en la información conenida en G es en si misma una variable aleaoria, el valor de la esimación E [X G] de X puede ser deerminado a parir de la información en G. La propiedad (i) capura el hecho de que la esimación E [X G] de X esa basado en la información en G. La segunda propiedad asegura que E [X G] es incluso una esimación de X. Da las mismas medidas que X sobre odos los conjunos en G. Si G iene muchos conjunos, lo que apora una resolución fina de la inceridumbre inherene en ω, enonces esa propiedad parial-averaging sobre los pequeños conjunos en G dice que E [X G] es un buen esimador de X. Si G iene solo unos pocos conjunos, esa propiedad parial-averaging garaniza solo que E [X G] es una esimación burda de X. Puede demosrarse que siempre exise una variable aleaoria que saisface las condiciones (i) y (ii). La demosración de la exisencia de E [X G] se apoya en el Teorema de Radon-Nikodym. Además, la unicidad de dicha variable aleaoria puede asegurarse salvo para conjunos de medida nula. Eso da lugar a que diferenes variables aleaorias verifiquen las mencionadas propiedades, aunque ellas se diferencien enre sí únicamene en conjunos de medida cero, por lo que puede asegurarse que son iguales casi seguro. Teorema 1.3 Sean (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y una sub-σ-álgebra G de F, enonces son de aplicación esas reglas: (1) (Linealidad de las esperanzas condicionales) Si X e Y son variables aleaorias inegrables y a y b son consanes, E [ax + by G] = ae [X G] + be [Y G] 9

23 (2) (Sacar lo conocido) Si X e Y son variables aleaorias inegrables, así como XY, y X es G-medible, E [XY G] = XE [Y G] Esa ecuación ambién se verifica si asumimos que X es posiiva e Y es no negaiva. Es decir, las variables aleaorias G-medibles se comporan como consanes y pueden sacarse fuera de la esperanza condicionada. (3) (Condicionamieno ierado) Si H es una sub-σ-álgebra de G, (H coniene menos información que G), y X es una variable aleaoria inegrable, enonces E [ E [X G] H] = E [X H] (4) (Independencia 1) Si X es inegrable e independiene de G, enonces E [X G] = EX (5) (Desigualdad condicional de Jensen)Si ϕ(x) es un función convexa, la inegral de X (variable aleaoria) exise y la de ϕ(x) esa definida, enonces E [ ϕ(x) G ] ϕ ( E [X G] ) (6) (Independencia 2)Consideramos dos variables aleaorias X e Y, ales que Y es G- medible y X es independiene de G, y una función h(x,y) al que h(x,y) es inegrable. Enonces se iene que E [ h(x, Y ) G ] = E [ h(x, y) ] y=y Es decir, primero calculamos la esperanza E [ h(x, y) ] para un valor arbirario y de la variable aleaoria Y, y luego susiuimos y por Y. Definición 1.1 (Propiedad de Maringala) Sea un espacio de probabilidad (Ω, F, P), sea T un número posiivo fijado, y sea {F } [,T ], una filración de sub-σ-álgebras de F. Consideremos un proceso esocásico adapado a la anerior filración {M s } s [,]. Decimos que el proceso esocásico {M s } s [,], verifica la propiedad de maringala, o es una maringala, cuando se verifica E [ M F s ] = M s, s T Cuando en la relación anerior se susiuye la igualdad por o por, enemos respecivamene las propiedades de supermaringala y de submaringala. La propiedad de maringala de un proceso esocásico expresa que la esperanza del mismo se maniene consane a lo largo de odo el proceso, sin endencia a crecer o a disminuir en su valor. La submaringala iene una endencia no decreciene y la supermaringala iene una endencia no creciene. Definición 1.11 (Proceso de Markov) Sea un espacio de probabilidad (Ω, F, P), sea T un número posiivo fijado, y sea {F } [,T ], una filración de sub-σ-álgebras de F. Consideremos un proceso esocásico adapado a la anerior filración {X s } s [,]. Asumamos que para odo s,, ales que s T y para cada función no negaiva y Borel-medible f, exise ora función Borel-medible g, al que E [ f(x ) F s ] = g(x s ) Enonces decimos que el proceso esocásico {X s } s [,] es un proceso de Markov. 1

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