UNIDAD IX. Técnicas de Suavización

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1 UNIDAD IX Técnicas de Suavización

2 UNIDAD IX La esadísica demuesra que suele ser más fácil hacer algo bien que explicar por qué se hizo mal. Allen L. Webser, 1998 Cuál es el objeivo de la Técnica de suavización? Qué es un méodo de media móvil? Cómo se calcula el Méodo de suavización exponencial simple? Cuáles son las fórmulas del méodo de suavización exponencial doble (Méodo de Brown)? Cuáles son las ecuaciones que se uilizan para el Méodo de suavización con endencias y esacionalidad (Méodo de Hol-Winers?

3 TÉCNICAS DE SUAVIZACIÓN ESQUEMA CONCEPTUAL TÉCNICAS DE SUAVIZACIÓN Definiciones básicas Méodos Suavizamieno-Filros Lineales Méodo de media móvil Méodo de suavización exponencial simple Méodo de suavización exponencial doble M. de suavización con endencia y esacionalidad COMPETENCIAS A LOGRAR CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL Explica las écnicas de Aplica los méodos de Analiza esas écnicas para suavización para alcanzar un suavización en las series una buena deerminación buen nivel de predicción. de iempo. de la dirección de la endencia. CONCEPTOS CLAVE Suavizamieno, pronósico, exponencial, esacionalidad. 381

4 LECCIÓN 1 MÉTODO DE MEDIA MÓVIL INTRODUCCIÓN El objeivo de los méodos a usarse en esa unidad es suavizar a las flucuaciones aleaorias causadas por el componene irregular de la serie. Esos méodos resulan apropiados para series esables, es decir, aquellas que no exhiban ningún comporamieno de endencia, ni variaciones cíclicas ni esacionales, además es conveniene suavizar cuando exisen cambios bruscos o movimienos irregulares en la serie Son relaivamene simples y generalmene alcanzan un buen nivel de predicción en períodos de iempos coros. SUAVIZAMIENTO - FILTROS LINEALES Una forma de visualizar la endencia, es mediane el suavizamieno de la serie. La idea cenral es definir a parir de la serie observada un nueva serie que suavice los efecos ajenos a la endencia (esacionalidad, efecos aleaorios), de manera que se pueda deerminar la dirección de la endencia (ver figura 9.1). Y() Figura 9.1 Lo que se hace es usar una expresión lineal que ransforma la serie Y() en una serie suavizada Z(): Z() = F(Y()), = 1,...,n Y() F T() De al modo que F(Y()) = T(); donde la función F se denomina Filro Lineal, el filro lineal más usado es la media móvil. 382

5 Méodo de Medias Móviles El objeivo es eliminar de la serie los componenes esaciónales y accidenales. Promedios móviles simples (PMS) Uiliza como pronósico para el siguiene período, el promedio de los n valores de los daos más recienes de la serie de iempo, maemáicamene puede expresarse como: Promedio Móvil = (n valores de daos n más recienes) El érmino móvil indica que conforme se enga disponible una nueva observación de la serie de iempo, se reemplaza la observación más anigua en la ecuación y se calcula un nuevo pronósico. Como resulado el promedio se modificará, a medida que se agreguen nuevas observaciones. La variable n es una indicación de cuanos períodos habrán que omarse para calcular el promedio, generalmene suele variar enre res (3) a cinco (5), dependiendo de cuanos elemenos iene la serie de daos. A coninuación pasamos a ver una serie de varianes del méodo mencionado que se uilizan para eliminar el componene irregular y/o el componene esacional, los cuales se basan en la consrucción de una serie de variables a parir de los daos originales, realizando para ello promedio de esos daos. Casos: 1.-Media móvil anual o de orden 12 (con daos mensuales) Consise en susiuir el dao de cada mes por el promedio de los daos de los úlimos 12 meses. Así, por ejemplo, para calcular la Media Móvil Anual de enero de 1997, calculamos el promedio de los doce meses comprendidos enre febrero de 1996 y enero de 1997, es decir: M + y y y + y = 2.-Para una Serie Mensual con Esacionalidad Anual (s = 12) La serie suavizada se obiene de la forma siguiene 1 2 Y( k 6 ) + Y ( k 5 ) + K + Y ( k + 5 ) + 1 Y k + 2 ( 6) Y ( k ) = 12, 7 k n Para una serie rimesral, con esacionalidad anual (s = 4), La serie suavizada esá dada por 383

6 1 Y 2 ( k 2 ) + Y ( k 1 ) + Y( k) + Y( k + 1 ) + 1 Y( k + 2 2) Y ( k ) =, 3 k n 2 4 A ese procedimieno se le llama: filro simérico finio. 4.- Media Móvil de Orden s : Podemos consruir medias móviles de orden inferior a 12, es decir, que no sean anuales. Así, la Media Móvil de Orden 3 se consruye promediando los res úlimos daos. De manera general, la Media Móvil de Orden s se consruye de la siguiene forma: M s = y + y 1 + y y s s+ 1 = s 1 i= 1 y s i Para realizar las predicciones y pronósicos de la serie uilizamos la siguiene fórmula: s y = M 1. La principal venaja que presena esa media móvil será que no rerasará ano la evolución de la variable como lo hacía la media móvil anual, ya que al no uilizar anas observaciones, su comporamieno se asemejará más al de la serie original. Sin embargo, el principal inconveniene de esa media móvil viene precisamene de esa menor uilización de observaciones. Al no consruirse con 12 observaciones, no se elimina compleamene el componene esacional, llegando en cieros casos a muliplicarse ese efeco. Así, supongamos que rabajamos con una media móvil de orden 3 para la serie PBI, la cual iene un componene esacional muy marcado (odos los meses de agoso son sisemáicamene más bajos que el reso de los meses del año). Al consruir esa media móvil de orden 3, va a ocurrir que el dao sisemáicamene más bajo de agoso en la serie original, no sólo afece al dao de la media móvil de agoso sino ambién lo hará al dao de sepiembre y al dao de ocubre. 5. Media Móvil Cenrada: Esa media móvil no se consruye promediando los daos aneriores al dao original, sino que se uilizan siméricamene los daos adyacenes. Por ejemplo, para consruir el dao de julio de 1996 de la media cenrada de orden 3 se uiliza el promedio de los meses de junio, julio y agoso de En general, la Media Móvil Cenrada de orden s va a esar definida por la siguiene expresión: MC s = y + ( s 1) +... y+ 1 + y + y y s 2 s

7 Cuando el orden de la media móvil cenrada es par (por ejemplo 6) se uilizan para calcularla s+1 observaciones, ponderando cada uno de los daos exremos con un valor igual a 0.5: MC 0.5y+ 3 + y+ 2 + y+ 1 + y + y 1 + y y 3 = 6 6 La principal venaja de esa media móvil es que al uilizar los daos adyacenes, ano aneriores como poseriores, no vamos a ener el problema de rerasar la evolución de la variable, es decir, ano la serie original como la media móvil cenrada van a ener en las mismas fechas los valores máximos y mínimos. El principal inconveniene será que al uilizar las observaciones poseriores a cada dao original, para su consrucción, no endremos observaciones de la MC al final de la muesra disponible, siendo ésa precisamene la pare de la muesra más ineresane para el análisis. Esa dificulad se resuelve si disponemos de predicciones fiables para los próximos meses. Así, por ejemplo si se dispone de daos hasa diciembre de 2002, la MC 5 para ese mes de diciembre de 2002 se formará con el promedio de las observaciones de ocubre, noviembre y diciembre de 2002 y las predicciones para enero y febrero de Resumiendo, cada una de las diferenes medias móviles va a ener sus venajas como ambién sus desvenajas y dependiendo de para que querramos uilizarlas y las caracerísicas de la serie en cuesión, emplearemos a una o a ora. Por ejemplo, si la serie en esudio no iene componene esacional muy marcado y es fácil conseguir predicciones fiables, podría uilizarse una MC 3. En oros casos, sería más conveniene uilizar una media móvil de mayor orden (o anual) o no cenrada, ec. Normalmene, esas medias móviles son inerpreadas como una aproximación a la evolución de la serie emporal y, de hecho, en ocasiones se uilizan como esimación de la endencia de la misma. Hay que desacar que esa endencia no va a ener las limiaciones que enían las endencias deerminisas, las cuales dependían únicamene del iempo. Cabe mencionar que esas medias móviles ienen una nauraleza cambiane con el paso del iempo, en función del comporamieno de la variable. Noa: Se suaviza cuando exisen muchos cambios bruscos o movimienos irregulares. 385

8 Ejemplo Ilusraivo 1: A coninuación se presenarán los daos correspondienes al PBI mensual, en millones de nuevos soles a precios de 1994, para el periodo enero 1994-julio 2004 Año Mes Valor del PBI Media Movil Cenrada de orden 3 Media Asimerica de orden 3 Pronosico PBI Media Movil Cenrada de Orden 12 Media Movil Asimerica de orden 12 Pronosico PBI 1994 Enero 7,615.2 Febrero 7, ,725.3 Marzo 8, , ,725.3 Abril 8, , , ,725.3 Mayo 8, , , ,932.8 Junio 8, , , ,364.6 Julio 8, , , , , Agoso 8, , , , , Seiembre 8, , , , , Ocubre 8, , , , , Noviembre 8, , , , , Diciembre 8, , , , , Enero 8, , , , , Febrero 8, , , , , Marzo 8, , , , , Abril 8, , , , , Mayo 9, , , , , Junio 9, , , , , Julio 9, , , , , Agoso 9, , , , , Seiembre 8, , , , , Ocubre 8, , , , , Noviembre 8, , , , , Diciembre 8, , , , , Enero 10, , , , , Febrero 10, , , , Marzo 11, , , , Abril 12, , , , Mayo 12, , , , Junio 11, , , , Julio 11, , , Agoso 12,

9 13,000.0 Suavizamieno del PBI por Media Movil Millones de nuevos soles de , , , , , , Años PBI Global PBI pronosico orden 3 PBI pronosico orden 12 Como se puede observar, a medida que aumena el orden, mayor es el efeco de suavización, pero ambién aumena la perdida de información. EXACTITUD DEL PRONÓSTICO Una consideración de gran imporancia al seleccionar un méodo de pronósico es la exaciud del mismo. Evidenemene se desea que los errores de pronósico sean lo más pequeños posibles. Se suele omar como medida de error general el valor de Error Medio Cuadrado (EMC) o Mean Square Error (MSE) de la bibliografía inglesa. El EMC se calcula de la siguiene manera: EMC = 2 ((Valor Real Valor Pronosicado) ) Canidad Valores Pronosicados 387

10 Ejemplo Ilusraivo 2: Sean las venas semanales de nafa (en miles de liros) de un esablecimieno la variable que se desea pronosicar; uilizando el méodo de Media móvil de orden 3, obenemos los resulados del siguiene cuadro: Semana Venas y Promedio móvil M 3 Predicciones ŷ Error μ=( y - ) y Error Cuadrado (μ 2 ) PRONOSTICO ,22 Media móvil: M Por ejemplo: 3 = ( + + y y 1 y 2 ) / 3 3 M 3 = ( )/3 = 57/3 = 19 Predicciones: En ese caso se dará de la forma: y M endrá: 3 = y4 = M4 1 = M3 =, por ejemplo para el caso de semana 4 se 19 La semana 13 es el valor que deseamos pronosicar. En ese caso 19 mil liros de nafa podrían llegar a venderse. El gráfico siguiene resume los valores reales y los predichos por el modelo de Promedios Móviles 388

11 VENTAS SEMANALES DE NAFTA REALES Y SUAVIZADOS POR EL MÉTODO DE MEDIA MÓVIL SIMPLE (s=3) Serie original Media móvil 389

12 LECCIÓN 2 MÉTODO DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL SIMPLE Esa écnica se basa en la aenuación de los valores de la serie de iempo, obeniendo el promedio de esos de manera exponencial; es decir, los daos se ponderan dando un mayor peso a las observaciones más recienes y uno menor a las más aniguas. Al peso para ponderar la observación más reciene se le da el valor α, la observación inmediaa anerior se pondera con un peso de a (1 - α), a la siguiene observación inmediaa anerior se le da un peso de ponderación de a (1 - α) 2 y así sucesivamene hasa complear el número de valores observados en la serie de iempo a omar en cuena para realizar la aenuación, es decir, para calcular el promedio ponderado. La esimación o pronósico será el valor obenido del cálculo del promedio. Por lo que la expresión para realizar el cálculo de la suavización exponencial simple es: P = αy + α( α 1)Y 1 + α( α 1) Y α( α 1) n 1 Y (n 1) Ora expresión equivalene a esa es la siguiene: P Y 1) P + 1 = α + ( α Donde Y P +1 P : Valor de la serie en el período. : Pronósico o predicción para el período +1. : Pronósico o predicción en el período. α : Facor de suavización, ( 0 α 1) Es decir el valor de la serie suavizada en el período +1 es igual a α veces el valor de la serie en el período, más 1-α veces el valor predicho en el período. Es así que para deerminar los valores de la serie suavizada se necesia un valor inicial P 0, el cual puede ser un promedio de los daos aneriores o simplemene el primer valor de la serie. 390

13 Ejemplo Ilusraivo 1: Coninuando con la serie de iempo del PBI Global. La consane de suavización que se uilizara será de 0.2 y el valor inicial será la primera observación, es decir, el valor del PBI en enero de Año Mes Valor del PBI Suavizacion exponencial Pronosico PBI 1994 Enero 7, ,615.2 Febrero 7, ,573.2 Marzo 8, , ,573.2 Abril 8, , ,689.7 Mayo 8, , ,799.3 Junio 8, , ,979.5 Julio 8, , ,075.8 Agoso 8, , ,100.0 Seiembre 8, , ,127.0 Ocubre 8, , ,108.2 Noviembre 8, , ,121.4 Diciembre 8, , , Enero 8, , ,332.6 Febrero 8, , ,391.1 Marzo 8, , ,370.3 Abril 8, , ,461.0 Mayo 9, , ,559.6 Junio 9, , ,839.2 Julio 9, , ,923.2 Agoso 9, , ,960.0 Seiembre 8, , ,972.2 Ocubre 8, , ,867.2 Noviembre 8, , ,854.8 Diciembre. 8, , , Enero 10, , ,005.6 Febrero 10, , ,951.2 Marzo 11, , ,876.3 Abril 12, , ,952.1 Mayo 12, , ,171.0 Junio 11, , ,440.7 Julio 11, , , Agoso 11,

14 13,000.0 Suavizacion Exponencial del PBi Millones de nuevos soles de , , , , , , PBI Global PBI pronosicado años Se puede observar que por méodo de suavización exponencial simple, suaviza de mejor manera que el méodo de media móvil. Empleando ese méodo obenemos que para agoso del 2004 el PBI Global pronosicado es de 11,565.7 millones de nuevos soles a precios de Ejemplo Ilusraivo 2: Siguiendo con el mismo ejemplo de las venas semanales de nafa (en miles de liros); uilizando el méodo de Suavización exponencial simple con α=0.8, obenemos los resulados del siguiene cuadro: Semana Venas y Suavización Exponencial α = 0,80 Error μ=( y - ) y Error Cuadrado (μ 2 ) , ,24 3,76 14, ,25-4,25 18, ,85-2,85 8, ,57 3,43 11, ,31-1,31 1, ,26 3,74 13, ,25-1,25 1, ,25-5,25 27, ,05 5,95 35,40 13 PRONOSTICO ,96 14,70 392

15 Predicciones: P = 0.8 Y + (1 0.8) P P 3 = = 20.2 En la siguiene gráfica observamos las predicciones halladas por los méodos de media móvil simple y suavización exponencial. COMPARACIÓN DE LAS PREDICCIONES POR LE MÉTODO DE MEDIA MÓVIL Y EXPONENCIAL SIMPLE Serie original Media móvil Suavización exponencial NOTA: Para uilizar le méodo de suavización exponencial se debe elegir un coeficiene α adecuado de al forma que el EMC sea el menor posible. En nuesro ejemplo podemos observar que la media móvil suaviza mejor los daos, asimismo presena un menor error medio cuadráico (EMC). 393

16 LECCIÓN 3 MÉTODO DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DOBLE (Méodo de Brown) En ese méodo se calcula primero una suavización exponencial simple para cada valor de la serie y luego se vuelve a calcular ora suavización exponencial sobre los daos resulanes de la primera. Para ello se usan las siguienes formulas: Suavización Exponencial Simple Suavización Exponencial Doble P = αy + (1 α)p 1 Y' = αp + (1 α)y' 1 Donde: P P 1 Y' Y' 1 Y α : Valor aenuado según modelo de suavización exponencial simple en el iempo. : Valor aenuado según modelo de suavización exponencial simple en el iempo -1. : Valor pronosicado sobre segunda suavización exponencial en el iempo : Valor pronosicado sobre segunda suavización exponencial, en el iempo - 1 : Valor experimenal de la serie de daos de iempo : Consane de suavización exponencial Para pronosicar hacia el fuuro, se usa una inerpolación lineal que conempla el componene de endencia (segunda suavización exponencial) del siguiene ipo: Y + j = a + j (b ) Siendo: a = 2 P Y' α b = (P Y' ) 1 α Donde: Y + j : Valor pronosicado agregando endencia lineal para el período +j a : Ordenada de origen para modelo lineal en el iempo 394

17 b : Pendiene de endencia lineal en el iempo j : Canidad de períodos a pronosicar ( j = 1,2,3,...) La consane empírica α es la única variable en ese modelo que debe ser deerminada de manera experimenal sobre los valores disponibles de la serie de daos. Ejemplo Ilusraivo Aplicaremos ese modelo al siguiene conjuno de daos reales que represenan las venas de una deerminada publicación, durane los úlimos 28 meses. Número de ejemplares vendidos de una publicación durane los úlimos 28 meses Mes Venas Mes Venas Mes Venas Mes Venas La gráfica de la serie se presena en el siguiene gráfico: 1000 Venas (Nº ejemplares) Vena mensual de ejemplares de la publicación en los úlimos 28 meses Mes 395

18 Con ayuda del Sofware Eviews hallamos la serie suavizada, uilizando un valor de α = 0.136, los resulados se pueden apreciar en el siguiene gráfico. Venas ( Nº ejemplares) 1000 Venas suavizadas por el méodo Exponencial doble con? = Meses Venas reales Venas suavizadas 396

19 LECCIÓN 4 MÉTODO DE SUAVIZACIÓN CON TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD (Méodo de Hol - Winers) ATENUACIÓN EXPONENCIAL AJUSTADO A TENDENCIA (MÉTODO DE HOLT) Es un méodo sofisicado de exensión de la suavización exponencial, descria aneriormene. A diferencia del méodo de suavización exponencial, el méodo de Hol Winers ambién permie el esudio de la endencia de la serie a ravés de pronósicos a mediano y largo plazo Ese modelo uiliza dos consanes (α y β) para realizar los pronósicos. Esas consanes deben deerminarse experimenalmene para señalar los valores reales de la serie de iempo. Las Ecuaciones que se Uilizan son Nivel de la serie: E = αy + (1 α)(e + T ) 1 1 Nivel de la endencia: T = β (E E ) + (1 β) T 1 1 De las ecuaciones aneriores las variables ienen el siguiene significado: E : Esimación Aenuada de la serie en el iempo E 1 Esimación Aenuada de la serie en el iempo -1 T : Valor pronosicado de Tendencia en el iempo T 1 : Valor pronosicado de Tendencia en el iempo -1 Y : Valor observado de la serie en el iempo α : Consane de suavización de la serie β : Consane de suavización para Tendencia El modelo de Hol Winers se uiliza cuando exise la presencia de una endencia en la serie de iempo. La elección de las consanes de suavización α y β afeca al valor de los resulados. Un valor pequeño de α da mayor peso a los valores más rerazados y un mayor valor en dicha consane da mayor peso a los niveles más recienes. Igualmene un valor pequeño de β da mayor peso a las endencias más rerazadas en la serie y un menor valor de la consane da mayor peso a las endencias de la serie más recienes. Para pronosicar períodos fuuros, se define la siguiene fórmula: Y = E + j + j(t ) En la ecuación anerior las variables ienen el siguiene significado: 397

20 Y j : Valor de pronósico de la serie para periodo fuuro (+j) E : Valor pronosicado de suavización exponencial aenuado T : Valor pronosicado de endencia j : Canidad de períodos fuuros a pronosicar (j = 1,2,3,...) Ejemplo Ilusraivo 1: Coninuando con el análisis del PBI, ahora suavizamos por medio del méodo de suavización de Hol, empleando los siguienes parámeros: 0.05 y ,000.0 Meodo Exponencial de Hol Millones de nuevos soles de , , , , , , PBI Global PBI suavizada Años Podemos observar que por medio del méodo de Hol, logramos un mejor efeco en la suavización de la serie del PBI. Ejemplo Ilusraivo 2 Aplicaremos ese modelo al ejemplo de la sección anerior sobre las venas de una publicación, para lo cual se obienen los valores ópimos (α= y β =0.9002). Los resulados se pueden apreciar en el siguiene gráfico. 398

21 Venas (Nº ejemplares) 1000 Venas suavizadas por el méodo de Hol con α = 0.16 y β = Mes Venas reales Venas suavizadas SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL CON COMPONENTES ESTACIONALES Se eniende como variación esacional, aquella disorsión que se produce en la serie de daos debido a que hay un parón de comporamieno que parece repeirse año ras año (o ranscurridos una canidad de períodos), ejemplos de ese ipo lo consiuyen las venas de helado los cuales se incremenan en la emporada de verano, oro podrían ser las venas de arículos de piroecnia las cuales se incremenan durane el úlimo mes del año, las venas de ropa para depores invernales que se incremene en el segundo rimesre del año, la demanda de pasajes que se incremena en el mes de julio hacia desinos invernales, ec. Los modelos aplicables en esos casos, deben conener un componene de corrección debido a la endencia que pudiese llegar a presenarse y ora corrección debido a la esacionalidad que se presena en la serie de daos. En el ejemplo anerior, de las venas de publicaciones podemos observar un comporamieno similar cada cuaro meses, analizaremos esa serie uilizando la componene esacional. Exisen varios méodos que pueden ser aplicados, pero a manera de ejemplo describiremos solamene los siguienes, que resulan ser los más aplicados: Aenuación Exponencial Ajusada con esimación de Tendencia y Variación Esacional (méodo de Hol-Winers Muliplicaivo) Aenuación Exponencial Ajusada con esimación de Tendencia y Variación Esacional (méodo de Hol-Winers Adiivo) 399

22 Ambos méodos son una exensión del méodo de Hol presenado aneriormene, con la paricularidad de que agregaremos una complejidad adicional al incorporar índices de esacionalidad como una manera de corregir la serie de iempos eviando esos picos que disorsionan el análisis de los pronósicos y la predicción en consecuencia. Méodo de Hol-Winers Muliplicaivo Se basa en el cálculo de cuaro componenes: (1) Ajuse Exponencial de la Serie de Daos E = α ( S (2) Esimación de Tendencias T Y (3) Esimación de Esacionalidad ) - L + (1 α)(e + T ) 1 1 = β (E E ) + (1 β)t 1 1 S Y = δ( E ) + (1 δ)s L (4) Pronósico de Períodos Fuuros Y + j = E + j(t ) S -L + j Las variables en las ecuaciones ienen el siguiene significado: E : Esimación suavizada para el período T : Esimación de Tendencia para período S L : Índice de Esacionalidad calculado para el período -L S : Índice de esacionalidad para el período Y : Valor real de la serie de iempo para el período L : Longiud o duración de la esacionalidad, en nuesro caso L = 4 (el ciclo se repie cada cuaro meses) j : Canidad de períodos a Pronosicar hacia delane α : Consane de suavización exponencial simple de la serie de daos β : Consane de suavización exponencial de endencia δ : Consane de corrección de esacionalidad 400

23 Los valores de α, β y δ, deben ser calculados de manera experimenal sobre el conjuno de daos disponibles de la serie de iempo. En nuesro caso, el sofware Eviews esima los valores ópimos de α, β y δ, resulando 0.98, 0.00 y 0.00 respecivamene. El modelo final se puede apreciar en la siguiene gráfica: Venas (Nº ejemplares) 1000 Venas suavizadas por el méodo de Hol-Winers Muliplicaivo con facor esacional (L=4) con α = 0.98, β = 0.00 y δ = ABR 02 JUL 02 OCT 02 ENE 03 ABR 03 JUL 03 OCT 03 ENE 04 ABR 04 JUL 04 Mes Venas reales Venas suavizadas Méodo de Hol-Winers Adiivo Se basa en el cálculo de cuaro componenes: (5) Ajuse Exponencial de la Serie de Daos E (6) Esimación de Tendencias = α (Y S ) + (1 α) L T (7) Esimación de Esacionalidad (E + T ) 1 1 = β (E E ) + (1 β)t 1 1 S = δ(y E ) + (1 δ)s L (8) Pronósico de Períodos Fuuros Y + j = E + jt + S -L + j 401

24 Las variables en las ecuaciones ienen el siguiene significado: E : Es la esimación exponencialmene suavizada para el período cualquiera Y : Valor real de la serie de iempo para el período cualquiera T : Esimación de Tendencia para período S : Índice de esacionalidad para el período S : Índice de Esacionalidad en el período -L L L : Longiud o duración de la esacionalidad, en nuesro caso L = 4 j : Canidad de períodos a Pronosicar hacia adelane α : Consane de suavización exponencial simple β : Consane de suavización exponencial de endencia δ : Consane de corrección de esacionalidad Los valores de α, β y δ, deben ser calculados de manera experimenal sobre el conjuno de daos de la serie de iempos disponibles. En nuesro caso, los valores de α, β y δ, ópimos resulan: 1.00, 0.00 y 0.00 respecivamene. Basado en esos valores, obenemos el siguiene resulado: Venas (Nº ejemplares) 1000 Venas suavizadas por el méodo de Hol-Winers Adiivo con facor esacional (L=4) con α = 1.00, β = 0.00 y δ = ABR 02 JUL 02 OCT 02 ENE 03 ABR 03 JUL 03 OCT 03 ENE 04 ABR 04 JUL 04 Mes Venas reales Venas suavizadas Para evaluar cuál de los modelos se ajusa mejor a los daos se procede a calcular el Error Medio Cuadráico (EMC) para cada caso, el resulado se resume en el siguiene cuadro: 402

25 Méodo Error Medio Cuadráico (EMC) Hol (sin esacionalidad) Hol Winers (Muliplicaivo) Hol Winers (Adiivo) Como se puede observar el méodo de Hol-Winers Muliplicaivo presena un menor EMC por lo cual provee un mejor ajuse a los daos, por lo que será elegido para el cálculo de pronósicos. 403

26 Ejercicio de auoconocimieno Por qué debo aplicar una écnica de suavización? CRITERIOS SI NO NO SÉ 1. Porque el objeivo de suavizar las flucuaciones es apropiado para las series esables. 2. Porque me permie deerminar la dirección de la endencia. 3. Porque su uso sirve para modelar series esacionarias. 4. Para visualizar mejor la endencia. 5. Para eliminar las flucuaciones de la serie que no permien observar su verdadero comporamieno. 6. Para hacer un buen pronósico de períodos fuuros. 7. Porque se puede aplicar en diferenes casos, como en las venas de helado en verano. 8. Para manejar mejor cualquier serie esacionaria o no. 9. Porque son un medio efecivo de para realizar predicciones. 10. Porque permie hacer un esudio de la endencia a ravés de pronósicos. CALIFICACION Punuar con un puno cada respuesa SI. Si obienes de de 1-3 punos ienes pocas expecaivas de hacer una buena aplicación de las écnicas de suavización. Si ienes enre 4 7, ienes buenas expecaivas de hacer una buena aplicación de las écnicas de suavización. Y si ienes enre 8 10, denoas excelenes expecaivas de hacer una buena aplicación de las écnicas de suavización. 404

27 RESUMEN Las écnicas más usadas para realizar la suavización son: el méodo de medias móviles, suavización exponencial simple, suavización exponencial doble (méodo de Brown) y el méodo de suavización con endencia y esacionalidad (méodo de Hol- Winers). Para deerminar que méodo elegido es el más conveniene será necesario considerar la exaciud del mismo, lo que significa que endrá que considerarse como adecuado aquel que sea capaz de originar el menor error de pronósico, para al fin se oma como medida referencial al Error Medio Cuadráico (EMC). El objeivo del uso de esas écnicas es eliminar las flucuaciones que esén presenes en la serie las cuales no permien observar su verdadero comporamieno, eso se logra a parir de ajusar los daos hisóricos de a una nueva serie en la cual se pueda deerminar el verdadero comporamieno de ésa. Resumen de fórmulas Méodo de Medias Móviles: Promedios móviles simples (PMS) Promedio Móvil = (n valores de daos n más recienes) Media móvil anual y = + y + y M y Media Móvil de Orden s M s = y + y s 1... y s+ 1 i= 1 = + y s y s i Pronósicos: s y = M 1 Media Móvil Cenrada: y +...y + y + y... + y (s 1) s + s 2 2 MC = s Error Medio Cuadrado (EMC) 1 405

28 EMC = 2 ( (Valor Real Valor Pronosicado) ) Canidad Valores Pronosicados Méodo de Suavización Exponencial Simple Méodo de Suavización Exponencial Doble ((Méodo de Brown) Suavización Exponencial Simple P Suavización Exponencial Doble = αy + (1 α)p 1 Y' Pronósico: Y + j = a + j (b ) = αp + (1 α)y' 1 Siendo: a = 2 P Y', α b = (P Y' ) 1 α Méodo de Suavización con Tendencia y Esacionalidad (méodo de Hol- Winers) Aenuación Exponencial Ajusado A Tendencia (Méodo De Hol) Nivel de la serie: E = αy + (1 α)(e + T ) 1 1 Nivel de la endencia: T = β (E E ) + (1 β) T 1 1 Pronósico: Y = E j(t ) + j Suavización Exponencial Con Componenes Esacionales Méodo de Hol-Winers Muliplicaivo: Ajuse Exponencial de la Serie de Daos Y E = α ( ) + (1 α)(e + T ) S 1 1 -L Esimación de Tendencias T = β (E E ) + (1 β)t 1 1 Esimación de Esacionalidad 406

29 S Y = δ( E Pronósico de Períodos Fuuros Y + j = Méodo de Hol-Winers Adiivo Ajuse Exponencial de la Serie de Daos ) + (1 δ)s L E + j(t ) S -L + j E = α (Y S ) + (1 α) (E + T ) L 1 1 Esimación de Tendencias T = β (E E ) + (1 β)t 1 1 Esimación de Esacionalidad S Pronósico de Períodos Fuuros = δ(y E ) + (1 δ)s L Y + j = E + jt + S -L + j EXPLORACION ON LINE 1. Pronósicos obenidos mediane la suavización exponencial simple hp:// 2. Definiciones de Suavización Exponencial y Ejercicios Desarrollados hp://www2.adm.salvador.edu.ar/maser/deuso/meodos/apunes/pronosicos/t eoria%20general%20de%20pronosicos.doc. 3. Aplicación de la media móvil. hp://hml.rincondelvago.com/adminisracion-de-la-produccion_4.hml 407

30 LECTURA TÉCNICAS DE SUAVIZACIÓN Una de las principales aplicaciones del esudio de las series emporales esá relacionado a la predicción de los valores fuuros, como se explicó en el capíulo anerior, siendo la mejor manera de explicar el comporamieno de una variable es el esudio de su endencia la largo plazo, el problema que rae consigo esa afirmación es que al realizar el esudio se observará que en la serie coniene una considerable canidad de flucuaciones aleaorias y cambios esacionales al coro plazo lo que hará difícil enconrar ciero comporamieno paricular, por ejemplo el caso de la presencia de una endencia. Para remediar al siuación se han propueso un ciero ipo de écnicas como el cálculo de las medias de los daos para cieros periodos (promedios móviles). Lográndose con el uso de esas écnicas eliminar las flucuaciones de la serie que no permien observar su verdadero comporamieno, eso es a parir del ajuse de los daos hisóricos de una nueva serie. De odos los méodos de pronósico por series de iempo es la suavización exponencial el que más se adecua a la predicción a coro plazo, debido a las posibilidades de auomaización del proceso de cálculo, operar con cosos relaivamene bajos y de dar una mayor imporancia a los daos de demandas recienes cuando se realiza el pronósico. Exisen una variedad de méodos, los cuales se emplean principalmene en las áreas de predicción en los negocios y la economía, como por ejemplo para deecar el comporamieno de las venas de un produco que ha aparecido en el mercado hace veinicuaro meses y se desea deerminar cuál es la época del año en que debe incidir con mayor fuerza (para el uso de campañas de publicidad) con el fin de levanar sus ingresos o si sus venas presenan un comporamieno manenido (comporamieno cíclico). Oro ejemplo lo consiuye la selección del méodo de suavización exponencial para proyecar la demanda de producos en las empresas hoeleras, el cual es usado debido a la exisencia de un elevado número de arículos así como poseen una demanda independiene aleaoria. El auor 408

31 ACTIVIDADES 1. Dado los números 10, 6, 2, 5, 2, 6, 9,7, 3, deerminar el promedio móvil de orden La abla siguiene muesra el oal de venas mensuales de una empresa producora de conservas en el Perú durane los úlimos 6 años. a. Consruir un promedio móvil de orden 12 b. Consruir un promedio móvil cenrado de orden 12 c. Represenar gráficamene los resulados obenidos juno con los daos originales y comparar los resulado Enero Febreo Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre Considere las observaciones de la abla siguiene las cuales corresponden a las venas de un deerminado produco. Calcule haciendo uso del méodo de Hol Winers sus predicciones correspondienes, para lo cual se considere los valores de α = y β = Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre

32 4. Considere una suavización exponencial simple para una serie que corresponde a las imporaciones a precios consanes. Calcular las predicciones con sus respecivos errores de predicción los siguienes daos corresponden al IPC al consumidor de lima meropoliana promedio mensual de Calcule las predicciones para los meses de junio a diciembre del MES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre FUENTE: INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA E INFORMATICA - Dirección Técnica de Indicadores Económicos. 410

33 AUTOEVALUACIÓN Encierra en un círculo la lera que conenga la alernaiva correca. 1. Porque se debería aplicar una suavización: a. Para aplanar eliminar los picos y valores exremos de una serie. b. Cuando no se iene cereza acerca del comporamieno de una serie. c. Por la presencia del error aleaorio. d. Cuando se quiere esimar el valor promedio de la serie a largo plazo. 2. Esablezca la verdad o falsedad de cada una de las siguienes proposiciones: a. Las écnicas de suavización son usadas para eliminar las flucuaciones aleaorias y cambios esaminales a coro plazo. b. Con el uso de la media móvil puede lograr aplanar los daos y producir un movimieno de la serie donde no aparezcan anos picos como inicialmene iene la serie. c. Para formar una media móvil vasa con ener información pasada y considerar un orden s. d. Con el uso de una écnica de suavización siempre se logrará obener un comporamieno más esable más claro de la serie. 3. Idenificar cada una de las siguienes écnicas de suavización a parir de las ecuaciones siguienes : a. b. c. y = + y + y s +... s s+ 1 M P Y' = αy + (1 α)p 1 = αp + (1 α)y' 1 y d. Siendo Nivel de la serie: E = αy + (1 α)(e + T ) 1 1 Nivel de la endencia: T = β (E E ) + (1 β) T 1 1 I. Ninguna II Méodo de Brown III. Méodo de Hol- Winers adiivo IV. Media Móvil anual 4. Esablezca la verdad o falsedad acerca del méodo de HolWiners 411

34 a. A diferencia con el méodo de suavización exponencial, el méodo de Hol Winers permie el esudio de la endencia de la serie a ravés de pronósicos a mediano y largo plazo b. Se uiliza cuando exise la cereza de la presencia de una endencia en la serie. c. El modelo de Hol-Winers es una ampliación perfeccionada del méodo de suavización exponencial. d. En comparación con los méodos anes mencionados ese da mayor peso a los valores más rerazados y un mayor valor en dicha consane da mayor peso a los niveles más recienes 5. Considere una serie del IPC que se ha obenido para Lima Meropolia enre enero de1990 y diciembre de 1999, si se hace uso del méodo de suavización exponencial simple para valores de α en el inervalo de [0.8; 0.99]. Cuál es el valor de ése según el cual se obiene el mejor ajuse al méodo planeado? a b c D e f g α EMC RESPUESTAS DE CONTROL 1. b, 2. VVFF, 3. a.iv; b.i; c.ii; d. III, 4. VVVV, 5. g 412