Los datos fueron obtenidos de una publicación del Golden Gate Bridge.

Transcripción

1 Pronósicos Resumen El procedimieno Pronósicos esa diseñado para pronosicar valores fuuros de daos de series de iempo. Una serie de iempo consise de un conjuno secuencial de daos numéricos omados en inervalos de iempo equiespaciados, usualmene sobre un periodo de iempo o espacio. Los modelos disponibles para pronosicar valores fuuros incluyen: medias móviles, caminaa aleaoria, varios ipos de suavizadores exponenciales, modelos de endencias, y modelos paraméricos ARIMA. Esadísicas son calculadas para comparar el ajuse de hasa 5 modelos al mismo iempo. Ese procedimieno esa diseñado para usuarios que desean seleccionar su propio modelo. El procedimieno Pronósicos Auomáicos ajusa varios modelos y auomáicamene selecciona el mejor modelo de acuerdo a un crierio especificado por bondad-del-ajuse. Ejemplo SaFolio: sforecas.sgp Daos del Ejemplo: El archivo golden gae.sf6 coniene volúmenes mensuales de rafico del Golden Gae Bridge en San Francisco para un periodo de n = 168 meses desde Enero, 1968 hasa Diciembre, La abla de abajo muesra una lisa parcial de los daos de ese archivo: Monh (Mes) 1/ / / / / / / / / / / / Trafiic (Trafico) 1/ Los daos fueron obenidos de una publicación del Golden Gae Bridge. Como un ejercicio, los daos de los úlimos dos años (1980 y 1981) no serán usados para esimar el modelo de pronósico, pero serán uilizados para validación esadísica por SaPoin, Inc. Pronósicos - 1

2 Enrada de Daos La caja de dialogo para la enrada de daos solicia el nombre de la columna que conienen los daos de la serie de iempo: Daos: Coniene la columna numérica con n observaciones numéricas igualmene espaciadas. Inervalo de Muesreo: Define el inervalo enre observaciones sucesivas. Por ejemplo, los daos del Golden Gae Bridge fueron recolecados una vez cada mes, empezando en Enero, Esacionalidad: La longiud de la esacionalidad es s, si la hay. Los daos son esaciónales si exisen un parón que se repie en un periodo fijo. Por ejemplo, los daos mensuales como el rafico sobre Golden Gae Bridge ienen una esacionalidad de s = 12. Los daos de horas que se repien cada día ienen una esacionalidad de s = 24. Si no se ingresa nada, se asume que los daos ienen esacionalidad (s=1). Ajuse de los Días: Una variable numérica con n observaciones es uilizada para normalizar las observaciones originales, por ejemplo el número de días rabajados en 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 2

3 un mes. Las observaciones en la columna Daos pueden ser divididos por esos valores anes de dibujar un grafico o calcular un análisis. Debe haber suficienes enradas en esa columna para cubrir ano los daos observados como el número de periodos en los cuales se solician los pronósicos. Selección: La selección de un conjuno en los daos. Numero de Pronósicos: Número de periodos que coninúan al final de los daos para los cuales se desean los pronósicos. Reención para Validación: Número de periodos m al final de la serie con propósios de reención para la validación. Los daos en esos periodos no pueden uilizarse para esimar el modelo de pronósicos. Sin embargo, se calculan esadísicas que describen que an bueno es el modelo esimado para poder pronosicar esas observaciones. En el ejemplo acual, los daos de rafico son mensuales empezando en Enero, 1968, y se iene una esacionalidad de s = 12. Un m = 24 observaciones al final de la serie de iempo con propósios de reención para la validación, mienras los pronósicos pueden generarse de los siguienes 36 meses. Opciones del Análisis El procedimieno Pronósicos es conrolado por la caja de dialogo Opciones del Análisis: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 3

4 Modelo: El modelo para el cual las oras configuraciones sobre la caja de dialogo aplican. Hasa cinco modelos de pronósicos pueden ser considerados al mismo iempo, eiqueados A, B, C, D, y E. Transformar: Anes de ajusar un modelo, los daos pueden ser ransformados usando cualquiera de las operaciones indicadas. Con la excepción de la ransformación Box-Cox, las selecciones son auo-exploraorias. La ransformación Box-Cox es uilizada cuando es necesario ransformar los daos a una normal. Para una discusión deallada, vea la documenación del procedimieno Transformaciones Box-Cox. Esacionalidad: Ajusa esacionalmene los daos usando el méodo indicado anes de ajusar el modelo. Los ajuses de esacionalidad esán diseñados para remover cualquier componene esacional de los daos. Los méodos usados son discuidos en la documenación del procedimieno Descomposición Esacional. Inflación: Ajusa los daos con una inflación usando la razón de inflación especificada λ anes de ajusar el modelo. Si se aplica al principio del periodo, el ajuse es 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 4

5 y = y ( 0 + 1) ( 1+ λ) (1) donde 0 es el índice de la primera observación. Si se aplica en la miad del periodo, el ajuse es y y = (1 + λ 0.5) ) ( 0 + (2) Noa: Las ransformaciones son aplicadas a los daos anes de que el modelo de pronósicos sea esimado. Si más de una ransformación es requerida, serán aplicadas en el siguiene orden: 1. Ajuse por días 2. Ajuse por inflación 3. Ajuse por ransformación 4. Ajuse por esacionalidad Después de que los pronósicos son generados, las ransformaciones inversas pueden aplicarse a los pronósicos en orden inverso. Tipo: El ipo de modelo de pronósicos a esimar. Para una explicación de los diferenes ipos de modelos, ver la discusión de abajo. Parámeros y Términos: Las opciones para diferenes modelos de pronósicos. o Alpha, bea, y gamma: Parámeros para los modelos de Suavizamieno Exponencial. Cada parámero debe ser más mayor que 0 y menor que 1. El valor más pequeño de un parámero, es la canidad más grande de suavizamieno que será desarrollado. o Orden: El numero de érminos en el modelo de Medias Móviles. o AR, MA, SAR, y SMA: El orden de varios componenes de los modelos ARIMA, refiérase a p, q, P, y Q respecivamene en la discusión más adelane. o Opimizar: Cuando los valores ópimos de los parámeros serán enconrados. Si se selecciona, los valores de los parámeros especificados son usados como valores iniciales para los procedimienos de búsqueda. Si no se selecciona, los valores inroducidos serán usados en el modelo. o Consane: Si un érmino consane deberá incluirse cuando se esima un modelo Aleaorio Walk o ARIMA por SaPoin, Inc. Pronósicos - 5

6 Diferenciación: El orden de diferenciación esacional o no esacional que serán aplicados cuando se ajuse los modelos ARIMA, llamados d y D en la discusión de abajo. Boón de Esimación: Despliega una caja de dialogo que conrola el procedimieno de la esimación no lineal uilizado cuando se opimizan los modelos ARIMA y de suavizamieno exponencial. Crierio de Paro 1: El algorimo asume que convergió cuando el cambio relaivo en las sumas de cuadrados de los residuos de una ieración a ora es menor que ese valor. Crierio de Paro 2: El algorimo asume que convergió cuando el cambio relaivo en odos los esimadores de los parámeros de una ieración a ora es menor que ese valor. Máximo de Ieraciones: La esimación se deiene si la convergencia no es alcanzada en ese número de ieraciones. Pronosico Hacia Arás: Sirve para pronosicar valores anes del iempo = 1. Esos valores son usados para generar los valores iniciales los cuales son necesarios para generar pronósicos de valores pequeños de. Para mas dealles, ver Box, Jenkins y Reinsel (1994). Boón de Regresión: Adiciona variables independienes adicionales al modelo de pronósicos cuando se esima un modelo de Tendencias o ARIMA. Típicamene ales variables son valores rerasados de indicadores principales por SaPoin, Inc. Pronósicos - 6

7 Variables: Valores de las variables X que serán incluidos en el modelo. Si deseas incluir una columna X que rerasa a los daos por 3 filas es decir que el modelo incluye un ermino X -3, ingresar LAG(X,3) en lugar de solo X. Noa: Cualquier lera es seleccionada en el campo Modelo cuando la caja de dialogo es cerrada omada del primer modelo. Ese es el modelo usado para generar odas las ablas y graficas (excepo para el panel Comparación de Modelos, el cual compara a odos). Modelos de Pronósicos Cada uno de los modelos de pronósicos oma una aproximación diferene para pronosicar valores fuuros. En la discusión de abajo, la siguiene noación será usada: Y = valor observado en el iempo, = 1, 2,, n n = amaño de muesra (numero de observaciones usadas para ajusar el modelo) F (k) = pronosico para el iempo +k hecho en el iempo e = errores del pronosico un paso adelane calculados por e = Y - F -1 (1) (3) Dado que m observaciones del final de la serie han sido usadas para propósios de validación, dos esadísicas imporanes de validación son: RMSE = Raíz del cuadrado medio error sobre el periodo de validación, dado por 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 7

8 RMSE = m i= 1 e m 2 n+ i (4) MAPE = Porcenaje de la media del error absoluo sobre el periodo de validación, dado por m en+ i / Y + i i= MAPE = m % (5) El RMSE esima la desviación esándar de los errores de pronósicos un paso adelane. El MAPE esima el porcenaje promedio del error de pronosico un paso adelane. Los valores pequeños de RMSE y MAPE son deseables. Modelo Aleaorio Walk El Modelo Aleaorio Walk es muy simple. Sin una consane, ese uiliza el valor acual de la serie para pronosicar odos los valores fuuros, i.e., F (k) = Y para oda k 1 (6) Ese modelo es frecuenemene usado para daos que no ienen una media fija y para los cuales la hisoria del modelo es irrelevane dado la posición acual. La serie de iempo es igualmene parecida hacia delane que hacia arás en cualquier puno del iempo. Si una consane es incluida, enonces el pronosico es dado por F ( k) = Y + kδˆ (7) donde Δˆ esima el cambio promedio de un periodo al oro. La función de pronosico para al modelo es una línea reca con pendiene igual a Δˆ. Para los daos del ejemplo, el modelo aleaorio de walk podría ser usado incluyendo la consane y la serie de iempo es primeramene ajusada periódicamene. Los resulados son mosrados enseguida: Modelo Consane Aj. Esacional Validación RMSE Validación MAPE AleaorioWalk Si Muliplicaivo % 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 8

9 Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Caminaa aleaoria con drif = acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 La abla muesra: 1. Daos Observados: Mosrados usando punos símbolos. 2. Pronósicos un paso adelane: Mosrados como una línea sólida que pasa a ravés de los daos. 3. Pronósicos para valores fuuros: La exensión de los pronósicos pasados al final de los daos. 4. Limies de predicción al 95%: Los limies rojos alrededor de los pronósicos. Observe que los límies de predicción anchos, son ípicos de un modelo aleaorio walk. Modelos de Tendencia La Media, Tendencia Lineal, Tendencia Cuadráica, Tendencia Exponencial, y Modelos S-Curva odos esiman varios ipos de modelos de regresión a los daos, usando iempo como la variable independiene. Los modelos son ajusados por mínimos cuadrados, resulando esimadores de hasa 3 coeficienes a, b, y c. Los pronósicos de los modelos son como sigue: Modelo Media: F ( k) = Y (8) donde Y es el promedio de los daos hasa el iempo. Tendencia Lineal: F ( k) = aˆ + bˆ( + k) (9) 2 Tendencia Cuadráica: F ( k) = aˆ + bˆ( + k) + cˆ( + k) (10) Tendencia Exponencial: F ( k) exp( aˆ + bˆ( + k) ) = (11) 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 9

10 S-Curva: F ( ˆ ( k) exp aˆ + b /( + k) ) STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 = (12) Pueso que ponderan odos los daos igualmene, los modelos de regresión no son frecuenemene los mejores méodos para pronosicar series de iempo. Para los daos del ejemplo, el mejor modelo de endencia ajusado es la Tendencia Cuadráica, esimada después de ajusar la esacionalidad. Modelo Aj. Esacional Validación RMSE Validación MAPE Tendencia Muliplicaivo % Cuadráica Traffic Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Tendencia cuadráica = ^ acual pronósico Límies del 95.0% /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Medias Móviles El modelo de Medias Móviles usa el promedio de las más recienes c observaciones para pronosicar los valores fuuros. Los pronósicos son dados por: c 1 = Y i i 0 F ( k) = c para oda k 1 (13) Tal modelo puede modelar series que se mueven hacia arriba y abajo, pero ienden rerasar arás de la serie acual. Experimenando con varias ordenes de medias móviles, se enconró que c = 2 encuenra el mejor ajuse para los daos de rafico durane el periodo de validación. Modelo Orden Aj. Esacional Validación RMSE Validación MAPE Medias Móviles 2 Muliplicaivo % 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 10

11 Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Promedio móvil simple de 2 érminos acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Observe que la función de pronósicos no iene endencia, lo cual es inuiivo dado el comporamieno observado. Sin embargo, el pronósico un mes adelane parece ser muy bueno. Suavizamieno Exponencial Los modelos Suavizamieno Exponencial Simple, Suavizamieno Exponencial Lineal de Brown, y Suavizamieno Exponencial Cuadráico esiman endencias similares a los modelos de Tendencias Media, Lineal, y Cuadráica, respecivamene. Sin embargo, esos lo hacen ponderando las observaciones recienes más pesadamene que las que esán más allá en el pasado. Para generar los pronósicos, hasa res pasos de un suavizamieno exponencial son hechos: S = + ( 1 ) Y α S 1 α (14) S = + ( 1 ) S α S 1 α (15) = + ( 1 ) S S 1 S α (16) Los valores iniciales en el iempo = 0 son deerminados por pronósicos hacia arás (a menos de que se suprima usando el boón Esimación en la caja de dialogo Opciones del Análisis), lo cual primero suaviza la serie hacia arás y después usa el pronosico hacia arás para inicializar el suavizamieno hacia adelane. Los pronósicos son generados de Suavizamieno Simple: F ( k) = S (17) 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 11

12 α Suavizamieno Lineal: F ( k) = 2S S + k ( S S ) (18) 1 α Suavizamieno Cuadráico: α 3S 3S + S + k 2(1 α) F (k)= 2 2 α + k 2 2(1 α) ( S 2S + S ) 2 ((6 5α ) S (10 8α ) S + (4 3α ) S ) (19) El Suavizamieno Exponencial Cuadráico produce los mejores resulados de los res procedimienos durane el periodo de validación cuando se pronosica un paso adelane. Sin embargo, la exrapolación de una endencia cuadráica en el fuuro siempre es problemáica, como puede verse en la grafica anerior. Modelo Suavizamieno Exp. Cuadráico Alfa (Opimizado) Aj. Esacional Validación RMSE Validación MAPE Muliplicaivo % Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Suavización exp. cuadráica de Brown con alfa = acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Ese ejemplo ilusra varios hechos imporanes: 1. Es imporane ver en los resulados cuando un modelo de pronósico es ajusado adecuadamene a los daos. 2. Los modelos que son buenos para pronósicos en coro plazo no pueden pronosicar bien los valores fuuros muy lejanos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 12

13 3. Los modelos que involucran polinomios de orden 2 o mayor pueden comporarse erráicamene. Suavizamieno Exponencial Lineal de Hol El Suavizamieno Exponencial Lineal de Hol es similar al Suavizamieno Exponencial de Brown en que genera pronósicos que siguen una endencia lineal. Aunque, el procedimieno de Hol usa dos consanes de suavizamieno, α y β, uno para esimar el nivel de la serie en el iempo y la segunda para esimar la pendiene. El procedimieno es como sigue: 1. Suavizar los daos para esimar el nivel usando S ( S T ) = Y + ( 1 ) + α 1 1 α (20) 2. Suavizar el primer suavizador para esimar la pendiene usando T ( S S 1 ) + 1 β ) T 1 = ( β (21) 3. Calcular el pronósico usando F ( k) = S + kt (22) Lo siguiene muesra los resulados de opimizar el suavizador de Hol después de ajusar la esacionalidad: Modelo Suavizamieno Exponencial Lineal de Hol Alfa Bea Aj. Esacional Validación Validación (opimizado) (opimizado) RMSE MAPE Muliplicaivo por SaPoin, Inc. Pronósicos - 13

14 Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Suavización exp. De Hol con alfa = y bea = acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Los resulados parecen basanes razonables. Suavizamieno Exponencial de Winer Todos los méodos de pronósicos descrios aneriormene manejan la esacionalidad primero ajusando esacionalmene los daos, después aplicando el modelo de pronósico, y por úlimo regresando la esacionalidad. El procedimieno Suavizamieno Exponencial de Winer maneja la esacionalidad direcamene al mismo iempo que esima el nivel y la endencia. Eso exiende el procedimieno de Hol adhiriendo un parámero adicional γ para usar un ercer suavizador. El procedimieno es como sigue: 1. Esimar la esacionalidad suavizando la razón de los daos al nivel esimado en el iempo usando: I Y γ I s (23) S = + ( 1 γ ) donde s es el amaño de la esacionalidad. 2. Esimar el nivel de la serie suavizando los daos divididos por la esacionalidad esimada usando S Y α ) (24) = + ( 1 α) ( S 1 + T 1 I s 3. Esimar la pendiene de la serie usando T ( S S 1 ) + 1 β ) T 1 = ( β (25) 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 14

15 4. Calcular el pronosico usando ( S + kt ) I s m F k) = + ( (26) Lo siguiene muesra los resulados de opimizar el suavizamieno de Winer: Modelo Suavizamieno Exponencial de Winer Alfa Bea Gama Validación Validación (opimizado) (opimizado) (opimizado) RMSE MAPE % Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic Suavización exp. de Winer con alfa = , bea = 0.018, gama = acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Su desarrollo con los daos del ráfico no es muy bueno como los oros méodos. También los esimadores son mas difíciles de esimar numéricamene y pueden variar basane dependiendo de los valores iniciales del procedimieno de búsqueda. Modelos ARIMA La opción final de los modelos de pronósicos, los modelos ARIMA, son los mas generales e incluyen muchos de los oros modelos como casos pariculares. Los modelos ARIMA (es un acrónimo de AuoRegressive, Inegraed, Moving Average ), expresan la observación en el iempo como una función lineal de las observaciones previas, un ermino del error acual, y una combinación lineal de los érminos del error previo. La forma general del modelo es mas fácilmene expresada en érminos del operador de rezago B, el cual opera en el índice del iempo de un dao al como B j Y = Y -j. Usando ese operador, el modelo oma la forma 2 p s 2s Ps d s D ( 1 B B... B )( 1 B B... B )(1 B) (1 B ) Z 2 q s 2s Qs ( 1 B B... B )( 1 B B B ) a =... (27) 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 15

16 donde Z Y μ (28) = y a es un error aleaorio o choque del sisema en el iempo, usualmene asumido normal con media 0 y desviación esándar σ a. Para una serie esacionaria, μ represena la media del proceso. En caso conrario, esa relacionada a la pendiene de la función de pronósico, μ es algunas veces asumida igual a 0. El modelo anerior es frecuenemene represenado como ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s Eso consise de varios érminos: 1. Un érmino auo-regresivo no esacional de orden p. 2. Diferenciación no esacional de orden d. 3. Un érmino de media móvil no esacional de orden q. 4. Un ermino auo-regresivo esacional de orden P 5. Diferenciación esacional de orden D. 6. Un érmino de media móvil esacional de orden Q. Mienras que el modelo general luce formidable, los modelos mas comúnmene usados son casos relaivamene simples especiales. Esos incluyen: AR(1) Auo-regresivo de orden 1 La observación en el iempo es expresada como una media más un múliplo de la desviación de la media en el periodo de iempo previo más un error aleaorio: ( Y ) a Y = μ + φ1 1 μ + (29) AR(2) Auo-regresivo de orden 2 La observación en el iempo es expresada como una media más un múliplo de la media en dos periodos previos más un error aleaorio: ( Y 1 μ ) + φ 2 ( Y μ ) a Y = μ + φ1 2 + (30) MA(1) Media móvil de orden 1 La observación en el iempo es expresada como una media más un error aleaorio en el periodo de iempo acual más un múliplo del error aleaorio en el periodo de iempo previo: Y = + a θ1a 1 μ (31) 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 16

17 MA(2) Media móvil de orden 2 La observación en el iempo es expresada como una media más un error aleaorio en el periodo de iempo acual más múliplos de los errores aleaorios en los 2 periodos de iempo previos: Y = + a θ1a 1 θ 2a 2 μ (32) ARMA(1,1) Modelo mixo con dos érminos de primer orden La observación en el iempo es expresada como una media más un múliplo de la desviación media en el periodo de iempo previo más un error aleaorio en el periodo de iempo acual más un múliplo del error aleaorio en el periodo de iempo previo: Y ( Y 1 μ ) + a θ1a 1 = + φ1 μ (33) ARIMA(0,1,1) Media móvil de orden 1 aplicada a la primer diferencia La diferencia enre el periodo acual y el previo es expresada como un error aleaorio del periodo acual más un múliplo del error aleaorio en el periodo de iempo previo: Y Y = a θ a (34) Eso modelo es equivalene al modelo de Suavizamieno Exponencial Simple. ARIMA(0,2,2) Media móvil de orden 2 aplicada a la segunda diferencia La diferencia de las diferencias es expresada como un error aleaorio en el periodo de iempo acual más múliplos de los errores aleaorios en los 2 periodos de iempo previos: ( Y Y 1 ) ( Y 1 Y 2 ) = a 1a 1 θ 2a 2 θ (35) Ese modelo es equivalene al modelo de Suavizamieno Exponencial Lineal de Hol. ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)s MA érminos de orden 1 esaciónales y no esaciónales La observación en el iempo es expresada como una combinación de la observación en esacionalidad más la diferencia enre la observación del ulimo periodo y su conrapare esacional mas un múliplo de error de ese periodo, el ulimo periodo y dos periodos uno esacional: Y = Y s + Y 1 Y s 1 + a 1a 1 Θ1a s + θ1θ1a s 1 θ (36) Muchas series de iempo económicas con un componene esacional pueden represenarse con ese modelo. Ese modelo ambién represena muy bien a los daos del ráfico Golden Gae Bridge: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 17

18 Modelo MA(1) SMA(1) Validación Validación RMSE MAPE ARIMA % Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 Inuiivamene, el modelo expresa la diferencia del rafico en ese mes comparado con el mismo mes del ulimo año como si fuera igual a la diferencia observada en el ulimo mes, mas una combinación de ruido observada del ulimo mes, del ulimo año y hace 13 meses. La referencia clásica para consruir modelos ARIMA es Box, Jenkins y Reinsel (1994) por SaPoin, Inc. Pronósicos - 18

19 Resumen del Análisis Los resulados para ajusar un modelo de pronósicos son mosrados en Resumen del Análisis. Como ejemplo, la abla siguiene muesra los resulados de ajusar el modelo ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 a los daos de rafico del puene Golden Gae: Pronósicos - Traffic Daos/Variable: Traffic (Golden Gae Bridge Traffic Volume) Número de observaciones = 168 Indice Inicial = 1/68 Inervalo de Muesra = 1.0 mes(es) Longiud de la esacionalidad = 12 Resumen de Pronósicos Diferenciación no esacional de orden: 1 Diferenciación esacional de orden: 1 Modelo de pronósico seleccionado: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 Número de pronósicos generados: 36 Número de periodos reenidos para validación: 24 Periodo de Periodo de Esadísico Esimación Validación RMSE MAE MAPE ME MPE Resumen de Modelo ARIMA Parámero Esimado Error Esd. Valor-P MA(1) SMA(1) Pronósico Hisórico: sí Varianza esimada de ruido blanco = con 153 grados de liberad Desviación esándar esimada de ruido blanco = Número de ieraciones: 6 Hay varias secciones imporanes en esa salida: Resumen de los Daos: La sección superior resume los daos de enrada y el amaño de la esacionalidad s, si la hay. Resumen del Pronósico: Indica cualquier ransformación que fue hecha a los daos, como an bien el ipo de modelo que fue ajusado. El numero de periodos m que fueron usados para propósios de validación ambién son mosrados. Tabla de Esadísicas: Muesra las esadísicas calculadas del error un paso adelane durane los periodos de esimación y validación. Además la raíz del cuadrado medio del error (RMSE) y el porcenaje de la media de error absoluo (MAPE) descrio aneriormene, el programa ambién despliega la medio del error absoluo (MAE), la media del error (ME), y el porcenaje medio del error (MPE). Idealmene, RMSE, 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 19

20 MAE, y MAPE deben ser pequeños, ya que miden la variabilidad de los errores del pronósico. ME y MPE deben acercarse a 0 si el pronosico no esa sesgado. Resumen del Modelo ARIMA Despliega esadísicas para los coeficienes del modelo ARIMA esimado. Una abla similar será desplegada cuando los modelos de endencias son ajusados usando regresión de mínimos cuadrados. Es de inerés: o Esimación: Los coeficienes esimados. o Error Es.: El error esándar de los coeficienes. o Valor : El valor de un esadísico calculado dividiendo el coeficiene esimado enre su error esándar. o Valor-P: El valor-p de los dos lados calculado de la disribución de Suden con los grados de liberad indicados debajo de la abla. Los valores P pequeños (menores que 0.05 si opera a un nivel de confianza del 95%) corresponden a coeficienes esadísicamene significaivos. Si cualquier Valor-P es mayor que 0.05, se debe considerar reducir la complejidad del modelo. o Esimación Desviación Esándar del Ruido Blanco: Para esimar la desviación esándar del ruido blancoσˆ que es acumulada por el modelo. a o Numero de Ieraciones: El numero de ieraciones usadas por el procedimieno de esimación no lineal. En el ejemplo, el modelo ARIMA esimado iene 2 parámeros, ambos son esadísicamene significaivos. El ME y MPE son cercanos a 0 en la esimación y en la validación, indicando poco sesgo sobre el pronosico un paso adelane. Examinando el RMSE, MAE, y MAPE, el modelo no parece ser peor (y posiblemene mejor) durane el periodo de validación que en el periodo de esimación. Gráfico Secuencial del Tiempo El Gráfico Secuencial del Tiempo despliega los daos, los pronósicos y los límies de pronósico: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 20

21 Gráfica de Secuencia en Tiempo para Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /68 1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 El grafico muesra: 1. Los daos observados Y, incluyendo algunos remplazaos para daos perdidos, mosrados como punos símbolos. 2. El pronosico un paso adelane F (1), grafica una línea sólida a ravés de los punos. Esa es creada usando el modelo esimado, pronosicando cada periodo de iempo +1 usando solo la información disponible hasa el iempo. Los errores del pronosico un paso adelane e son observables como la disancia verical enre las observaciones y la línea sólida. 3. Los pronósicos para valores fuuros F n+m (k) hechos en el iempo = n+m, para el ulimo iempo en el cual los daos son disponibles. Esos son mosrados por la exensión de la línea de pronósicos sólida más allá de la úlima observación. 4. Los limies de probabilidad para los pronósicos en el nivel 100(1-α)% de confianza, son calculados asumiendo que el ruido en el sisema sigue una disribución normal. Los limies esán dados por + ( k) ± z α / 2 Vˆ( k) (37) F n m donde Vˆ ( k ) es igual a la varianza esimada del pronosico k periodos anes del final de los daos. La formula para la varianza depende del modelo usado, conforme a la sección Cálculos. Se deberá noar que los límies son solamene validos si varias suposiciones se cumplen, incluyendo: a. El modelo apropiado ha sido seleccionado. b. El modelo seleccionado fue valido para odo el hisorial de los daos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 21

22 c. El modelo seleccionado coninua siendo valido en el fuuro. d. Los errores del sisema siguen una disribución normal. e. El modelo ha sido esimado de una serie suficienemene larga al que el error de esimación del modelo es pequeño comparado con la variabilidad del ermino error (excepo para modelos esimados por regresión lineal los cuales incluyen el error de esimación del modelo). En la pracica, los límies se deben considerar como una aproximación de hasa dónde la serie de iempo puede variar los valores pronosicados en el fuuro. El parón pronosicado para el ráfico del Puene Golden Gae iene una endencia ascendene con una fuere oscilación esacional. Aunque los límies de pronósicos pueden parecer basane amplios, se debe permiir la posibilidad de evenos dramáicos ales como los que fueron observados un par de veces en el pasado. Opciones del Panel Nivel de Confianza: El porcenaje usado para los limies de probabilidad por SaPoin, Inc. Pronósicos - 22

23 Tabla de Pronósicos La Tabla de Pronósicos despliega los pronósicos para el hisórico y el fuuro. Una porción de la salida se muesra abajo: Tabla de Pronósicos para Traffic Modelo: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 V = Reenido para validación Periodo Daos Pronósico Residuo 1/ / V 9/ V 10/ V 11/ V Inferior 95.0% Superior 95.0% Periodo Pronósico (Límie) (Límie) 1/ / / / / La sección superior de la salida muesra: Periodo: El periodo de iempo correspondiene a cada observación hisórica. Daos: Los valores observados Y, incluyendo reemplazos por valores perdidos. Pronósico: El pronosico para el iempo usando oda la información disponible hasa el iempo -1. Residuos: El error del pronosico un paso adelane e, es calculado susrayendo el pronosico del valor observado. V: Indica que la observación correspondiene no fue usada para ajusar el modelo pero en lugar de eso fue incluida para la validación. La sección inferior de la salida muesra: Periodo: El periodo de iempo correspondiene a periodos mas allá del final de los daos observados. Pronósico: El pronosico F n+m (k) para el iempo usando oda la información disponible. Limies: Limies de probabilidad para los pronósicos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 23

24 Por ejemplo, el ráfico pronosicado en el puene Golden Gae en junio de 1982, fue hecho al final de 1981, con El límie al 95% es de 96.5 hasa Gráfico del Pronósico El Gráfico del Pronosico muesra las úlimas observaciones, los pronósicos y los limies de pronósicos: Gráfica de Pronósicos para Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 acual pronósico Límies del 95.0% Traffic /81 12/82 12/83 12/84 12/85 Es similar al Gráfico Secuencial del Tiempo, excepo que proporciona una visa más cercana sobre los pronósicos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 24

25 Comparación de Modelos El panel Comparación de Modelos despliega esadísicas que comparan cada uno de los modelos seleccionados en la caja de dialogo Opciones del Análisis. Comparación de Modelos Variable de daos: Traffic Número de observaciones = 168 Indice Inicial = 1/68 Inervalo de Muesra = 1.0 mes(es) Longiud de la esacionalidad = 12 Número de periodos reenidos para validación: 24 Modelos (A) ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 (B) Suavización exp. de Winer con alfa = , bea = , gama = Periodo de Esimación Modelo RMSE MAE MAPE ME MPE (A) (B) Modelo RMSE RUNS RUNM AUTO MEDIA VAR (A) OK OK OK OK *** (B) OK OK OK OK *** Periodo de Validación Modelo RMSE MAE MAPE ME MPE (A) (B) Clave: RMSE = Roo Mean Squared Error (Raíz del Cuadrado Medio del Error) RUNS = Prueba corridas excesivas arriba y abajo RUNM = Prueba corridas excesivas arriba y abajo de la mediana AUTO = Prueba de Box-Pierce para auocorrelación excesiva MEDIA = Tes for difference in mean 1s half o 2nd half VAR = Prueba para diferencia en varianza enre la 1ª miad y la 2ª miad OK = no significaivo (p >= 0.05) * = marginalmene significaivo (0.01 < p <= 0.05) ** = significaivo (0.001 < p <= 0.01) *** = alamene significaivo (p <= 0.001) Las ablas eiqueadas Periodo de Esimación y Periodo de Validación despliegan esadísicas calculadas de los errores de pronósicos un paso adelane e en sus periodos respecivos: RMSE: Raíz del cuadrado medio del error. MAE: La media del error absoluo. MAPE: El porcenaje de la media del error absoluo. ME: La media del error. MPE: El porcenaje de la media del error por SaPoin, Inc. Pronósicos - 25

26 Los mejores modelos ienen RMSE, MAE y MAPE más pequeños, los cuales miden la varianza de los errores del pronósico. ME y MPE son medidas del sesgo y deberán ser cercanos a 0. Para el periodo de esimación solamene, varias pruebas son aplicadas a los errores de pronósicos para deerminar si el modelo oma en cuena oda la esrucura en los daos. Esas pruebas son diseñadas para deerminar si los residuos forman una serie aleaoria ( ruido blanco ) y son descrias en la documenación Méodos Descripivos de Series Tiempo Esas incluyen: RUNS: Prueba basada sobre el número de corridas arriba y abajo. RUNM: Prueba basada sobre el número de corridas por encima y por debajo de la mediana. AUTO: Prueba chi-cuadrada basada en los primeras k auo-correlaciones de los residuos, donde k es fijado en Opciones del Panel en la abla que despliega las auo-correlaciones de los residuos. MEAN: Prueba que compara la medias de los residuos en la primera y segunda miad de los daos. VAR: Prueba F que compara la varianza de los residuos en dos miades. Si la enrada para una prueba paricular es OK, enonces la prueba no es esadísicamene significaiva a un nivel del 95% de confianza y la suposición de residuos aleaorios no será rechazada. En caso conrario, el numero de esrellas (*) indican el nivel de significancia sobre el cual la suposición de residuos aleaorios será rechazada. Ambos modelos esimados a los daos del ráfico pasan odas las pruebas excepo la que compara las dos varianzas. La úlima prueba es alamene significaiva. Eso se observara cuando los residuos sean examinados, esa falla es debido a la presencia de res grandes residuos durane la segunda miad del periodo de esimación. Gráficos de Residuos El Gráfico de Residuos despliega el error un paso adelane e de varias maneras. Por defeco la grafica muesra los residuos en orden secuencial: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 26

27 8 Gráfica de Residuos para ajusada Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 4 Residuo /68 1/71 1/74 1/77 1/80 1/83 Observe que los res más grandes picos ocurren enre marzo y abril de 1974 y mayo de El ráfico en esos meses cambia mucho de lo normal. Usando Opciones del Panel, un gráfico de probabilidad de residuos puede ser desplegado: porcenaje Gráfica de Probabilidad Normal para Residuos ARIMA(0,1,1)x(0,1,1) Residuo Si los residuos vienen de una disribución normal, deberían caer cerca de la línea reca. La grafica anerior muesra alguna curvaura en las colas, más 3 daos aípicos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 27

28 Opciones del Panel Tres diferenes graficas pueden desplegarse: 1. Gráfico Secuencial del Tiempo Grafica de residuos conra el iempo. 2. Gráfico de Probabilidad (Horz.) Grafica de probabilidad con los porcenajes desplegados sobre el eje horizonal. 3. Gráfico de Probabilidad (Ver.) Grafica de probabilidad con los porcenajes desplegados sobre el eje verical (como se mosró aneriormene). Auo-correlaciones de Residuos Es usual ambién examinar las auo-correlaciones de los residuos. La auo-correlación de los residuos en un reraso k mide la fuerza de la correlación enre residuos de k periodos disanes. La auo-correlación de los residuos un reraso k es calculada de r k n k = 1 = n ( e e )( e e ) ( e e ) = 1 + k 2 (38) Si el modelo describe oda la esrucura dinámica de la serie de iempo, enonces los residuos deberán ser aleaorios y sus auo-correlaciones insignificanes. El panel Auo-correlaciones de Residuos muesra las auo-correlaciones de los residuos juno con sus errores esándar y limies de probabilidad: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 28

29 Auocorrelaciones Esimadas para residuos Variable de daos: Traffic Modelo: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 Inferior 95.0% Superior 95.0% Reraso Auocorrelación Error Esd. Límie de Prob. PLímie de Prob Cualquier auo-correlación que cae fuera de los límies de probabilidad es esadísicamene significaiva en el nivel indicado. El SaAdvisor resala cualquiera de esas correlaciones en rojo. Opciones del Panel Numero de rerasos: El máximo reraso k para calcular la auo-correlación. Nivel de Confianza: El valor de 100(1-α)% usado para calcular los limies de probabilidad por SaPoin, Inc. Pronósicos - 29

30 Función de Auo-correlación Residual La Función de Auo-correlación Residual despliega las auo-correlaciones de los residuos y los limies de probabilidad: 1 Auocorrelaciones Residuales para ajusada Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 Auocorrelaciones reraso Las barras que se exienden más allá de los límies corresponden a auo-correlaciones esadísicamene significaivas. Para los daos del rafico, la única esimación que esa cercana a un limie de probabilidad es la esimación con k = 2. De hecho, una leve reducción leve de RMSE durane el periodo de esimación puede realizarse incremenando el orden con el ermino no esacional MA de 1 a 2. Sin embargo, la realización del modelo durane el periodo de validación es peor que con el modelo acual, se seleccionara el modelo más simple. Auo-correlaciones Residuales Parciales Si el modelo se ajusa bien, las auo-correlaciones parciales de los residuos deberán ser ambién insignificanes. El panel Auo-correlaciones Residuales Parciales despliega las auo-correlaciones parciales de los residuos juno con sus errores esándar de reraso y los limies de probabilidad: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 30

31 Auocorrelaciones Parciales Esimadas para residuos Variable de daos: Traffic Modelo: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 Parcial Inferior 95.0% Superior 95.0% Reraso Auocorrelación Error Esd. Límie de Prob. PLímie de Prob El SaAdvisor resalara cualquier auo-correlación parcial significaiva con rojo. Opciones del Panel Número de Rerasos: Máximo reraso para esimar la auo-correlación parcial. Nivel de Confianza: Nivel usado para calcular los limies de probabilidad por SaPoin, Inc. Pronósicos - 31

32 Función de Auo-correlación Parcial Residual La Función de Auo-correlación Parcial Residual grafica las auo-correlaciones parciales de los residuos y los limies de probabilidad: Auocorrelaciones Parciales Auocorrelaciones Residuales Parciales para ajusada Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1) reraso Todos las auo-correlaciones deberán esar denro de esos límies, como en la grafica anerior. Tabla de Períodograma Residual También usual examinar los residuos sobre el dominio de frecuencia, considerando cuana variabilidad exise en las diferenes frecuencias. Como se describe en la documenación Méodos Descripivos en Series de Tiempo, el períodograma grafica la poencia en cada una de las frecuencias de Fourier. Si los residuos son aleaorios, deberán ser aproximadamene iguales en odas las frecuencias, lo cual es una serie de iempo aleaoria llamada frecuenemene ruido blanco. El panel Tabla de Períodograma Residual despliega la siguiene abla: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 32

33 Periodograma para residuos Variable de daos: Traffic Modelo: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 Cumulaive Inegraed i Frequency Period Ordinae Sum Periodogram E E E La abla incluye: Frecuencia: La i-ésima frecuencia de Fourier f i = i/n. Periodo: El periodo asociado con la frecuencia de Fourier, dado por 1/ f i. Eso es el número de observaciones en un ciclo compleo de esa frecuencia. Ordenada: La ordenada del períodograma I(f i ). Suma Acumulada: La suma acumuladas de las ordenadas del períodograma en odas las frecuencias hasa la i-ésima. Períodograma Inegrado: La suma acumulada dividida por la suma de las ordenadas del períodograma en odas las frecuencias de Fourier. Esa columna represena la proporción de la poencia en la serie en o por debajo de la i-ésima frecuencia. A diferencia del períodograma a la serie original del ráfico, no presena grandes picos en una frecuencia de una vez cada 12 meses. Opciones del Panel 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 33

34 Remover media: Acivar para resar la media de la serie de iempo anes de calcular el períodograma. Ahusamieno: Porcenaje de los daos al final de la serie a los cuales un dao de ahusamieno será aplicado anes de que el períodograma sea calculado. Siguiendo Bloomfield (2000), STATGRAPHICS usa un coseno de ahusamieno para las observaciones con ponderación baja a las cercanas en i = 1 y i = n. Eso es úil para corregir sesgo si las ordenadas del períodograma son suavizadas para crear un esimador de la función de densidad especral subyacene. Períodograma de Residuos El Períodograma de Residuos grafica las ordenadas del períodogramas de los residuos: 40 Periodograma Residual para ajusada Traffic ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 30 Ordenada frecuencia Si los residuos son aleaorios, no deberá haber picos noables. Permiiendo algún sesgo naural en la disribución de las ordenadas, la grafica anerior no muesra grandes picos. Opciones del Panel 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 34

35 Remover media: Acivar para resar la media de la serie de iempo anes de calcular el períodograma. Punos: Si se selecciona, punos símbolos que serán mosrados. Líneas: Si se selecciona, las ordenadas serán conecadas por una línea. Ahusamieno: Porcenaje de los daos al final de la serie a los cuales un dao de ahusamieno será aplicado anes de que el períodograma sea calculado. Períodograma Inegrado de Residuos El Períodograma Inegrado de Residuos despliega las sumas acumuladas de las ordenadas del períodograma de los residuos, divididas por la suma de las ordenadas sobre odas las frecuencias de Fourier: 1 Periodograma para Residuos 0.8 Ordenada frecuencia Una línea diagonal será incluida en el grafico, juno con límies de Kolmogorov-Smirnov al 95% y 99%. Si los residuos son aleaorios, el períodograma inegrado debería caer enre de esos límies al 95% y 99%. Para los daos del ráfico, los residuos parecen ser ruido blanco por SaPoin, Inc. Pronósicos - 35

36 Pruebas de Aleaoriedad El panel Pruebas de Aleaoriedad muesra resulados de pruebas para corridas adicionales para deerminar si los residuales son o no puramene aleaorios: Prueba de Aleaoriedad de residuos Variable de daos: Traffic Modelo: ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 (1) Corridas arriba o abajo de la mediana Mediana = Número de corridas arriba o abajo de la mediana = 79 Número esperado de corridas = 78.0 Esadísico z para muesras grandes = Valor-P = (2) Corridas arriba y abajo Número de corridas arriba y abajo = 99 Número esperado de corridas = Esadísico z para muesras grandes = Valor-P = (3) Prueba Box-Pierce Prueba basada en las primeras 24 auocorrelaciones Esadísico de prueba para muesras grandes = Valor-P = Tres pruebas son realizadas: 1. Corridas por encima y por debajo de la mediana: Cuena el número de veces que la serie va por arriba y por debajo de su mediana. Ese número es comparado con el valor esperado para una serie aleaoria. Los valores P pequeños (menores que 0.05 si opera a un nivel de confianza del 95%) indican que los residuos no son puramene aleaorios. 2. Corridas arriba y abajo: Cuena el número de veces que la serie sube o baja. Ese número es comparado con el valor esperado para una serie aleaoria. Los valores P pequeños indican que los residuos no son puramene aleaorios. 3. Prueba Box-Pierce: Consruye un esadísico de prueba basada en las primeras k auo-correlaciones de residuos, calculado por: Q = n k 2 r i i= 1 (39) Ese esadísico es comparado en una disribución chi-cuadrada con k grados de liberad. Como con las oras dos pruebas, los valores P pequeños indican que los residuos no son puramene aleaorios. Ya que los valores P para las res pruebas esán por encima de 0.05, no hay razón para dudar que los residuos sean ruido blanco por SaPoin, Inc. Pronósicos - 36

37 Opciones del Panel Numero de Rerasos: Numero de rerasos k para incluirse en la prueba Box-Pierce. Correlaciones Cruzadas de los Residuos El panel Correlaciones Cruzadas de los Residuos despliega correlaciones cruzadas enre residuos y una segunda serie, se especifica usando Opciones del Panel. Las correlaciones cruzadas enre una serie Y en el iempo y una segunda serie X en el iempo -k es denoada por c xy (k). Un uso ípico de correlaciones cruzadas es la idenificación indicadores leadings o en una relación enrada salida. Por ejemplo, Box, Jenkins y Reinsel (1994) presenan daos de la enrada y salida de un horno de gas en inervalos de 9 segundos, conenidos en el archivo furnace.sf6. Los daos consisen de: 1. Salida de la Serie Y: % CO2 del gas a la salida 2. Enrada de la Serie X: Razón de gas a la enrada en pies cúbico por minuo La salida de la serie de iempo esa bien descria por un modelo ARIMA(3,1,0). La siguiene abla muesra las auo-correlaciones de residuos para el modelo de salida y similarmene para serie iempo en la enrada diferenciada: Correlaciones Cruzadas Esimadas para residuos con DIFF(Inpu) Variable de daos: Oupu Modelo: ARIMA(3,1,0) Reraso Reraso por SaPoin, Inc. Pronósicos - 37

38 Alguna correlaciones negaivas grandes son observadas, despunando en k = 3. Eso sugiere que los cambios en la razón del gas a la enrada esán correlacionados con los residuos del modelo ajusado a la salida y podrían ser uilizados para mejorar el pronósico. Opciones del Panel Segunda Serie de Tiempo: Las observaciones para la serie X. Observe el uso del operador DIFF para calcular la primera diferencia de la columna de Enrada. Numero de Rerasos: Máximo reraso k (posiivo y negaivo) para calcular la correlación cruzada Gráfico de Correlaciones Cruzadas de los Residuos El Gráfico Correlaciones Cruzadas de los Residuos muesra las correlaciones cruzadas esimadas: 2006 por SaPoin, Inc. Pronósicos - 38

39 1 Correlaciones Cruzadas Esimadas para Residuos con DIFF(Inpu) ARIMA(3,1,0) Correlaciones Cruzadas reraso Observe los picos más grandes de correlaciones negaivas en el reraso 3. Eso implica que los cambos los cambios en la razón del gas a la enrada esán correlacionados con los residuos del modelo ajusado a la salida y podrían ser uilizados para mejorar el pronósico. Grabar Resulados Los siguienes resulados pueden ser guardados en una hoja de daos: 1. Daos Las observaciones originales, juno con cualquier reemplazamieno para valores perdidos. 2. Daos Ajusados La serie de iempo para los daos después de cualquier ajuse hecho. 3. Pronósicos Los valores de pronósicos denro y más allá del periodo muesral. 4. Limies Superior de Pronósicos Los límies superiores de probabilidad para los pronósicos. 5. Limies Inferior de Pronósicos Los límies inferiores de probabilidad para los pronósicos. 6. Residuos Los errores del pronosico un paso adelane. 7. Auocorrelaciones Las auo-correlaciones de los residuos. 8. Auocorrelaciones Parciales Las auo-correlaciones parciales de los residuos por SaPoin, Inc. Pronósicos - 39