UNIVERSIDAD DE MATANZAS CAMILO CIENFUEGOS FACULTAD DE INGENIERIAS QUÍMICA MECANICA. MONOGRAFÍA LAS SERIES CRONOLÓGICAS EN EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO

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1 UNIVERSIDAD DE MATANZAS CAMILO CIENFUEGOS FACULTAD DE INGENIERIAS QUÍMICA MECANICA. MONOGRAFÍA LAS SERIES CRONOLÓGICAS EN EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO Ing. Laureano Suárez Marínez 1 MSc Juan Landa García. 2 Lic. Yoslandy Lazo Robaina 1 1 Dpo de Ingeniería Mecánica 2 Cenro de Esudio de Combusión y Energía Noviembre, 2007

2 LAS SERIES CRONOLÓGICAS EN EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO. Auores: Ing. Laureano Suárez Marínez MSc Juan Landa García. Lic. Yoslandy Lazo Robaina INDICE Pág. INTRODUCCIÓN: 2 1. EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO Imporancia de la previsión en el manenimieno predicivo SERIES CRONOLÓGICAS Técnicas de previsión empleadas en series emporales Méodos de proyección de endencias Idenificación de endencias (ajuses por regresión). 4 Tendencia lineal. 4 Pruebas de significación. 5 Verificación de la hipóesis de esabilidad del enorno. 6 Modelos no lineales Méodos de suavizado. 8 Suavizado por medias móviles 9 Suavizado exponencial Méodos clásicos de descomposición de series emporales. 11 CONCLUSIONES: 15 BIBLIOGRAFÍA. 15 Anexos. 19

3 INTRODUCCIÓN: A parir del siglo XVIII, durane la revolución indusrial, aparecen las primeras operaciones de manenimieno paliaivo o curaivo, aplicado a las máquinas, relacionadas con labores de reparación, ane rouras ocurridas, para devolver a esas su capacidad funcional. Muy prono se noaría la necesidad prever el fallo, por las cososas las pérdidas causadas por la salida de servicio del equipo o la indusria complea durane el iempo de manenimieno y con ello la planificación del manenimieno aparece como un elemeno fundamenal en el funcionamieno de la indusria y sus cosos pasan a ser considerados como una proporción de los gasos oales de producción. [Monchy, 1990] La indusria conemporánea, cenró radicionalmene la inversión de recursos y sus esfuerzos por la mejora en función de la producción, pues de ella se derivaron habiualmene las ganancias. Pero durane el proceso de producción, ocurren ineviables rouras y desgases del equipamieno que deben solucionarse, exigiendo incluso en ocasiones la susiución del elemeno dañado, razón por la que aparece como la variane más económica devolver la capacidad de funcionamieno a los componenes del proceso que se encuenran disminuidos con labores correcivas para reparar el desperfeco en forma rápida y baraa; ese crierio, avalado por el echo de que aún en la acualidad no se disponga de una ecnología suficienemene renable y la necesidad de reciclar los insumos para garanizar una producción sosenible y disminuir la agresión al medio ambiene hace aparecer como el méodo más renable al manenimieno coninuo sobre los equipos. Desde la ópica de gesión de la calidad el manenimieno apora oras venajas a la producción [Denon K., 2004], influyendo sobre: 1. Los cosos de producción. 2. La calidad del produco o servicio. 3. La capacidad operacional (cumplimieno de plazos de enrega). 4. La capacidad de respuesa (apora soluciones innovadoras y aprovecha eficazmene opciones de cambio). 5. La seguridad e higiene indusrial. 6. La imagen y seguridad ambienal. El desarrollo de nuevas ecnologías, y su aplicación a los procesos indusriales, la influencia de nuevas ramas de la écnica adapadas a la indusria como la elecrónica, la informáica, la robóica, enre oras, han permiido el desarrollo de diferenes enfoques del manenimieno que persiguen el mismo objeivo, pero con paricularidades que se deben a las caracerísicas del proceso a que se aplica y orienadas en lo principal a la reducción de los cosos. Esos enfoques han sido clasificados por diferenes auores [Rodríguez, 2007; Sánchez, 1999], los que después de un esudio acualizado, permien agruparlos, siguiendo el parón de sus caracerísicas y similiudes, en: 1. Manenimieno correcivo o a la roura. 2. Manenimieno Predicivo o basado en la condición o por diagnósico y pronósico écnico. 3. Manenimienos Sisemáicos o Planificados. 4. Manenimieno prevenivo o basado en el iempo. 5. Manenimieno deecivo o búsqueda de fallas. 6. Manenimieno Mejora o Reingeniería. 7. Sisemas de Gesión de Manenimieno: Sisema alerno de Manenimieno Manenimieno Producivo Toal. Manenimieno Basado en la Confiabilidad. 2

4 1. EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO. Por su frecuencia de uso y uilidad en indusrias de producción coninua, desaca enre odos, ese ipo de manenimieno que muesra como caracerísica, su realización en base a un profundo conocimieno del esado real del equipo, buscando predecir la falla anes de que esa se produzca. Para conseguir eso se uilizan herramienas y écnicas de monioreo, lo que supone la medición de diversos parámeros físicos que muesren una relación predecible con el ciclo de vida del componene. Tiene como objeivo eviar reparaciones innecesarias, reduciendo las paradas por labores de manenimieno y aumenando así el iempo de vida úil del componene, se aplica en máquinas o insalaciones donde las paradas imprevisas ocasionen grandes cosos. Al comparar con oros ipos de manenimieno, el predicivo muesra como caracerísica negaiva, requerir la disponibilidad de equipamieno que garanice el monioreo consane de los indicadores, lo que exige de una cososa inversión inicial y durane la eapa de uso condiciona el empleo de personal de ala calificación para el conrol e inerpreación de los daos y oma de decisiones en base a ellos. No obsane, aunque esos cosos para realizar la inspección de los indicadores aumenan el precio del manenimieno, la reducción que se logra en la frecuencia de esos, juno a la elevación en la seguridad del funcionamieno y en la vida úil del equipo, diminuyen en valor absoluo las pérdidas del proceso Imporancia de la previsión en el manenimieno predicivo. Una vez colecados los daos y en la eapa de oma de decisiones, juega un papel fundamenal la previsión del comporamieno fuuro de los indicadores. Aun cuando esos pueden esar regidos por alguna ley funcional, en la mayoría de los casos al previsión se hace empíricamene, suponiendo que el comporamieno pasado del indicador condiciona su realización en el fuuro, o sea, la siuación que dio lugar al comporamieno observado seguirá acuando de manera consane. Ese posulado niega la dinámica de los procesos reales que se encuenran en consane ransformación, sin embargo, a coro plazo se puede asumir que los cambios que experimena el enorno carecen de imporancia (esa suposición esá de acuerdo con la experiencia prácica), y puede predecirse el fuuro, asumiendo esabilidad a parir de comporamienos pasados, con un crierio de confiabilidad acepable. El equipamieno empleado en el manenimieno predicivo, para moniorear procesos garaniza con relaiva facilidad el almacenamieno de daos de comporamienos en eapas emporales, y la obención a parir de esos de modelos maemáicos en forma de ecuaciones, apora una uilidad adicional al favorecer la exrapolación de comporamienos al fuuro para predecir el momeno del fallo o de la inervención correciva. Es ese el momeno en que aparecen como una herramiena de gran uilidad las écnicas de predicción, empleando el fundameno eórico de las series cronológicas, o sisemas compuarizados de predicción como las redes neuronales enre oras. 2. SERIES CRONOLÓGICAS. La secuencia ordenada de variables aleaorias y() y su disribución de probabilidad asociada, se denomina proceso esocásico. Un proceso esocásico es por ano el modelo maemáico para una serie emporal. De lo anerior se deduce que una serie cronológica o emporal es una sucesión de valores referidos a una misma variable y correspondiene a disinos insanes de iempo [Box and Jenkins, 1976; Pollock 2006.]. Exisen diferenes clasificaciones para el esudio de las series cronológicas, un concepo imporane que define las operaciones poseriores para su inerpreación lo consiuye el de la esacionareidad. Si examinamos, por ejemplo, la emperaura para una hora deerminada del día a lo largo de los años en una deerminada zona, aunque haya flucuaciones, no habrá una endencia a la variación de 3

5 su valor medio. De una manera informal, diremos que una serie es esacionaria cuando se encuenra en equilibrio esadísico, en el senido de que sus propiedades no varían a lo largo del iempo, y por lo ano no pueden exisir endencias. En caso conrario el proceso es no esacionario y sus propiedades varían con el iempo Técnicas de previsión empleadas en series emporales. Las écnicas de previsión se apoyan en la información hisórica para, mediane su análisis, idenificar pauas de comporamieno que supondremos siguen siendo válidas en fuuro. Se presupone en odos los casos la hipóesis de esabilidad del enorno, que como se dijo con anerioridad es válida solo a coro plazo, por lo que esas écnicas son úiles especialmene en las previsiones para coros períodos de iempo. Muchos méodos se han desarrollado con ese fin, pero en general, algunos de los más imporanes por su sencillez y exaciud pueden agruparse en: Méodos de proyección de endencias. Idenificación de endencias (ajuses por regresión). Méodos de suavizado (medias móviles y exponencial) Méodos de descomposición de series emporales. Descomposición clásica de series cronológicas Méodos de proyección de endencias. Se conocen clásicamene como méodos de predicción de basameno esadísico, y unen a su sencillez formal, la necesidad de probar el cumplimieno de la hipóesis de esabilidad del enorno, que se manifiesa, si los errores se disribuyen según una ley de disribución normal con valor 2 esperado cero y varianza consane e N(0, σ ), lo que condiciona su uso cuidadoso para la previsión, eso las hace úiles en: Predicciones a coro plazo. Series emporales no esacionarias de comporamieno muy regular. Enornos en los que no se prevea la posibilidad de cambios imporanes, en un horizone menor al de predicción Idenificación de endencias (ajuses por regresión). Tendencia lineal. El méodo de ajuse de modelos lineales, iene valides ambién para predecir comporamienos en el que la variable independiene oma valores relacionados a un insane de iempo x y la dependiene es la respuesa del indicador y. Para el modelo lineal: y * = b0 + b1 x + e (1) aqui: y es el valor que presena el indicador esudiado en el insane de iempo. b 0 es el inercepo de la reca en el origen del iempo. b 1 la pendiene o incremeno que sufre el valor del indicador al variar el iempo. x es el valor de la variable independiene en el iempo. e es error de predicción asociado al insane. Cuando se cuena con un grupo de valores pasados, la mejor reca de ajuse será aquella para la cual el valor medio de los errores (e ) al cuadrado (para eviar la cancelación de valores siméricos a ambos lados del valor medio) se hace mínimo, écnica que le da nombre al crierio de méodo de los mínimos cuadrados. Si definimos el error de predicción como: 4

6 e = y y (2) Donde: y es el valor medido del indicador en el insane de iempo. y el valor esimado por la reca de ajuse para el mismo insane de iempo. Enonces: 2 2 e = ( y y ) (3) Que puede escribirse susiuyendo (3) en (1): 2 2 e = ( y b b 0 1* x ) (4) y para minimizar la suma de esos errores se debe derivar parcialmene respeco a cada uno de los b i coeficienes: 2 2 e e = 0 y = 0 (5) b0 b1 Resolviendo el sisema de ecuaciones (5), se obiene el sisema de ecuaciones de dos variables con dos incógnias siguiene: 2 ( y b0 b1* x) = 0 (6) 2 i ( y b0 b1* x) = 0 el que luego de ransformaciones conduce al sisema de ecuaciones normales: b0n+b1 x = y (7) 2 b x +b x = x *y ( ) 0 1 Donde n es el número de daos de que se dispone: La solución del sisema de ecuaciones (7) conduce a la obención del valor de los b i coeficienes: x y x*y b1 = n 2 2 [ x ] ( x ) (8) n b = y b x 0 1 y y n x x = valor promedio de la variable independiene en el iempo. n Pruebas de significación. i = promedio del valor medido del indicador en el insane de iempo. Para valorar la bondad del ajuse de la reca enconrada se emplea el coeficiene de correlación esimado que se define como la razón enre la covarianza de la disribución y el produco de las varianzas de las variables x e y : cov( x ( )*( ) ; y) x x y y r = = σ x * σ ( ) ( ) y x x y y * (9) n n Ese esadígrafo muesra algunas caracerísicas de inerés: 1. oma valores en el inervalo desde 1 hasa -1. 5

7 2. mienras más cerca ese el valor de r a 1, mejor será el ajuse. 3. si r = 0 las variables esán no esán correlacionadas. 4. si r = 0 no indica independencia enre las variables. 5. si r<0 la relación enre las variables es decreciene y para r>0 ocurre lo conrario. Hay que ener en cuena que, el coeficiene de correlación es un esadígrafo de una variable aleaoria, por lo que es necesario comprobar que no haya omado un valor disino de cero sólo debido al azar, además de que su canidad depende del número de punos que se dispone para ajusar el modelo (noe que con sólo dos daos el grado de ajuse a una reca es perfeco, sea cual sea el comporamieno real de la serie). La abla 2.1 muesra los valores mínimos requeridos para considerar a r significaivamene disino de cero, para un 95% de confiabilidad. Tabla 2.1. Valores mínimos de r en función del amaño de la muesra para rechazar la nulidad del coeficiene de correlación con un 95% de cereza. [Holman y Gajda, 1994] n α= Verificación de la hipóesis de esabilidad del enorno. Las hipóesis esablecidas para hacer ciero el ajuse por regresión deben ser comprobadas anes de poder aplicar el modelo, eniendo en cuena ambién que para valores de r inferiores a 0.7 el modelo obenido, no debe ser empleado para realizar predicciones. [Draper and Smih, 1980], si se iene en cuena que la acepación de valores inferiores al ercer percenil de la disribución de r aumenan la magniud de los errores y con ello el riesgo de la predicción. La nulidad de la media, se cumple siempre por el modo de obención de la reca de predicción y la consancia de la varianza puede comprobarse mediane la prueba de Cochran, o analizando el comporamieno gráfico de los residuos frene al iempo. La normalidad de los residuos puede comprobarse, eniendo en cuena que las series emporales consiuyen procesos coninuos, mediane la prueba de Kolmogorof-Smirnoff (KS), esa se basa en el eorema fundamenal de la esadísica (Glivenko-Canelli), a parir del cual una función de disribución empírica se aproxima a la función eórica si n crece. [Jonson, 1997] Si deerminamos la diferencia Dn, enre la disribución empírica de los errores Sn(x) y la función 2 de disribución normal Fc(n) con valor esperado cero y varianza consane e N(0, σ ), con un 6

8 nivel de significación dado, esa disribución conocida (Tabla 2.2), puede emplearse para realizar pruebas de bondad de ajuse. Dn = max Sn( x) Fc( n) (7) Tabla 2.2 Valores críicos para comparar poblaciones por la prueba Kolmogorof-Smirnov. (n 40).[Cué, 1987] n Dn α= La prueba de Cochran es úil para comparar la varianza de varias poblaciones de igual amaño, para realizar la prueba con los errores es necesario dividir en varias muesras de igual amaño la disribución de los residuos y para cada muesra se calcula la varianza Sj 2, el esadígrafo de prueba g, se evalúa enonces para decidir si se rechaza la hipóesis de homogeneidad de varianza si perenece a la región criica (Anexo I): max{ s 2 j } g = (10) 2 s j g > g α donde α es el nivel de significación. (11) Una vez cumplido ese requisio el modelo esá apo para su empleo, se dice enonces, si el nuevo valor numérico de x que se deermina esá denro del rango de valores muesrales de dicha variable, que esamos efecuando un ejercicio de inerpolación, solo cuando dicho valor esá fuera del inervalo de la muesra, esamos haciendo en realidad una predicción. En al caso, especialmene si x +1 se aleja apreciablemene de los valores observados de x, se asume el mayor riesgo de oda acción de predicción: aquél que proviene de suponer que el modelo de relación enre variables coninuará siendo el mismo para valores numéricos fuera del rango muesral. Eso solo es ciero si se cumplen los supuesos inroducidos con anerioridad, por lo que deberá cuidarse de su comprobación reierada y eviar predecir para valores lejanos al rango muesral. La predicción a coro plazo, así como la inerpolación, pueden llevarse a cabo, si queremos raar de esimar anicipadamene el valor fuuro más probable de la variable dependiene uilizando la expresión (12), análoga a la anerior: y = b 0 + b1* x (12) Modelos no lineales. Con frecuencia el comporamieno de la serie en el iempo es no lineal y se necesia ajusar oros modelos. En muchos casos eso se logra haciendo una ransformación de la variable, de forma empírica, en oros se emplean écnicas que agrupan en una familia varias modificaciones como la ransformación de Box-Cox que consise en una muación de la variable respuesa del ipo I λ1 z = ( y +λ 2) donde después de aumenar el valor de la serie una canidad λ 2 se eleva al exponene λ 1, la abla 2.3, muesra los valores mas frecuenes que oma λ 1 (el valor de λ 2 por comodidad se puede esablecer como cero) en ese procedimieno. 7

9 Tabla 2.3 Valores del coeficiene λ 1 y la ransformación resulane según el méodo de Box-Cox. Poencia Transformación Descripción λ 1 = 2 λ 1 = 1 z I z I = y cuadrado 2 = y sin ransformar λ 1 = 0.5 z I = y raíz cuadrada I 3 λ 1 = z = y raíz cúbica λ 1 = 0 z I = ln y logarimo de Y λ 1 = -0.5 λ 1 = -1 z I z I 1 = raíz cuadrada inversa y 1 = reciproco y La selección del valor ópimo de λ 1 se hace de forma ieraiva, según el crierio de máxima verosimiliud, con un nivel de confianza preesablecido (95% o mayor), aunque λ 1 puede omar valores diferenes a los indicados en la abla si ese es conenido en el inervalo de confianza enonces se susiuye por la canidad abulada para la ransformación. Ejemplo 1. La abla 2.4 muesra los valores de emperaura del agua a la salida de un inercambiador de calor medidos cada una hora durane un día de rabajo y la gráfica que la acompaña revela que la serie generada no es esacionaria como promedio y presena un comporamieno que permie emplear el méodo de proyección de endencia. 8

10 Tabla 2.4 Valores de emperaura del agua a la salida de un inercambiador de calor. (hora) z (T ºC) Residuos Figura 2.1.Gráfico de las variaciones de emperaura con el iempo. El cálculo de los coeficienes esimados, a parir de la expresión (8), arroja: b 0 = y b 1 =0.825 Con un valor del coeficiene de correlación, obenido a parir de la expresión (9) igual a: r = , lo que indica por su signo una relación creciene posiiva enre las variables, significaivamene diferene de cero con un 95% de nivel de confianza, ya que para 20 daos es significaiva por encima de 0.444, lo que conduce a un modelo de ajuse del ipo: Temp = * iempo. Una prueba Kolmogorov-Smirnov aplicada a los residuos del anerior modelo, los cuales se 9

11 reporan en la Tabla 2.5 muesra una dmáx = lo que no permie rechazar, con un nivel de confianza superior al 95% (0.3192), la hipóesis de normalidad.. Para realizar la prueba de K.S., se calcula la frecuencia acumulada de cada valor de la disribución de los errores y se compara con los valores de la función de disribución normal con media cero y desviación esándar deerminada a parir de la disribución de los errores (σ=2.05), Tabla 2.5. Prueba Kolmogorov-Smirnov para probar la normalidad de los residuos de ejemplo analizado. residuos Frecuencia acumulada P(X x), según N(0,2.05) Dn Para probar la homogeneidad de la varianza dividimos la población de los residuos en dos muesras del mismo amaño (12 valores para cada una) y calculamos la varianza de ellas S1 = 5.807, S2 = y S j = Con lo que formamos el cociene (ecuación 10): max{ s 2 j } g = = = s j y comparamos para k=2, ν 10 y g 0.01 = (Anexo I.) y como g > g α no se puede rechazar con 99 % de significación que las varianzas de ambas muesras son iguales, o lo que es lo mismo que la varianza de los residuos se maniene consane Méodos de suavizado. Toda serie emporal iene una componene aleaoria que no puede predecirse, pero que debe enerse en cuena como crierio de exaciud, esa caracerísica conocida como ruido blanco 10

12 (whie noise), es deseable aislarla en oda serie que se inene describir. Observe que si se logran predecir odos los componenes de la serie menos el ruido blanco enonces ese ambién podrá considerarse en la predicción como érmino del error acoado enre límies conocidos y conrolados. El objeivo de los méodos de suavizado es eliminar de la serie esa variación aleaoria y permiir mosrar con más claridad el comporamieno de fondo de la serie. Enre los méodos más usados de suavizado se encuenra el suavizado por medias móviles y el suavizado exponencial. Suavizado por medias móviles. Si un inervalo muesral [x 0, x n ] es dividido en subinervalos y promediado el valor de esos, enonces se obendrá por susiución una serie ransformada z que no conendrá las variaciones aleaorias de la serie original. Se denomina esa nueva serie como de medias móviles de orden n [MA(n)]. Una serie bilaeral de medias móviles de longiud (2k+1) se obendría de la ecuación. y k+ y k y y+ k z = (13) 2k + 1 Observe que cada valor de la serie es susiuido por el valor promediado desde -k hasa +k. Esa serie se denomina bilaeral pues oma igual número de valores anes o después del insane de iempo considerado, y al ser consruida en base a un número impar de érminos garaniza que sea cenrada, pero en el caso de ser par, la serie resulane quedaría descenrada al omar ahora más valores anes o después del insane genérico de iempo, en ese caso deberá consruirse de nuevo una media móvil de orden dos sobre la media suavizada de orden par para volver a cenrar los valores de la serie. Ejemplo 2. En la abla 2.6 aparecen regisrados 25 valores de presión medidos a la salida de un compresor, se quiere ajusar un modelo de medias móviles de orden 3 [MA(3)], con los 24 primeros valores y predecir el valor 25 de la presión, para medir la exaciud del modelo. Solución. La ecuación de medias móviles se conviere enonces en: y 1+ y + y+ 1 z = (14) 3 Tabla 2.6. Valores medidos y esimados de presión a la salida del compresor. Tiempo (horas) Presión (MPa) Media móvil 3 Suavizado exponencial α=

13 En esa écnica se comienzan a obener valores a parir del dao k+1 y puede exenderse hasa L-(k+1) para la serie impar o L-k si la serie es par, siendo L la longiud de la serie, por lo que se pierden los valores iniciales y finales. Para poder predecir con medias móviles, se necesia descenrar el grupo de valores con los que se calcula el promedio hasa el exremo de siuar la media calculada fuera de ese inervalo. El procedimieno empleado consise en dar como predicción a un periodo visa el promedio de los k úlimos daos obenidos: y k+ y k y 1 z = (15) k Donde: z es el valor predicho para el iempo y es el valor medido en el iempo k es orden de la media móvil. En ese ejemplo: y22 + y23 + y24 z25 = 3, habiendo deerminado y 24 con la misma formulación y21 + y22 + y23 z24 =. 3 Los resulados se muesran en la ercera columna de abla 2.6. Los valores obenidos con ese méodo conducen a predicciones rerasadas si la serie iene endencia, por lo que el méodo presena un valor de uso limiado y las predicciones deberán ser a periodos coros y con comprobación consane. El error de esimación para cualquier insane de iempo puede deerminarse como: e = z y (16) Para =25, e25 = = 8 MPa Figura 2.2. Suavizado y predicción con medias móviles de orden 3. 12

14 Suavizado exponencial. En el suavizado exponencial se iene en cuena la variación inroducida por el error que se comee al suavizar la serie y ofrece como regla general mejores resulados que las medias móviles, sobre odo en series con endencia, aunque presena como desvenajas el desconocimieno previo de los valores ópimos del coeficiene de ponderación (α), lo que exige que sea un proceso ieraivo en el que se emplea como crierio de mejor descripor aquel para el cual es mínima la desviación absolua media, es decir, la media en valor absoluo del error y que es insensible a las variaciones en series con oscilaciones cíclicas, donde arroja resulados erróneos. Se expresa maemáicamene como: z = z 1+α( y 1 z 1) (17) Donde: z es el valor de la serie suavizada en el periodo acual. z es el valor de la serie suavizada en el periodo y es el valor de la serie original en el periodo anerior. 1 ( y 1 z 1) es el error de suavizado comeido en el insane de iempo pasado. α es la consane de suavizado o coeficiene de ponderación, 0 α 1 Para inicializar la serie, en la ecuación (17) se susiuye por z = y. Por ejemplo en el problema anerior, si suavizamos exponencialmene con α=0.19 la serie de las presiones, para: =1 el valor de la presión z1 = y1 = 87, para z = z +α( y z ) = (87 87) = 87 =2, =3, z3 z2 y2 z2 = +α( ) = ( ) = Los resulados aparecen en la úlima columna de la abla 2.6, donde se aprecia un mejor ajuse a la serie original con un error de predicción con el valor de la presión en =25 inferior al de medias móviles de orden 3 (Figura 2.3). Susiuyendo en la ecuación (16), para =25, e25 = = 2.2 MPa Figura 2.3. Suavizado exponencial con α=0.19 y predicción del valor para = Méodos clásicos de descomposición de series emporales. Si como se dijo aneriormene las series emporales esán formadas por un componene 13

15 predecible y una componene aleaoria, o ruido blanco (whie noise), el esudio coninuado de procesos esocásicos ha demosrado que esas componenes predecibles, se descomponen a su vez en endencia (T ), esacionalidad (S ) y ciclo (C ). La forma en que aparecen en los diferenes modelos de la prácica puede ser muy compleja, pero por lo general pueden llegar a reducirse con basane aproximación a modelos más sencillos. Si se desprecia el efeco de la componene cíclica (C ), que se pone de manifieso solo en series muy grandes, esos se resumen en: Modelos adiivos: y = T + S + e (18) Modelos muliplicaivos: y = T * S * e (19) Modelos mixos, en los que pueden aparecer componenes muliplicadas o sumadas indisinamene: y = T * S + e o y = T + S * e (20) Para la deerminación de cada uno de los érminos se realiza un procedimieno de descomposición que se esudia desde diferenes punos de visa, el méodo clásico, se apoya en la descomposición por separado de cada elemeno y su validación en el modelo real anes de realizar la predicción. En el modelo muliplicaivo, la endencia se deermina por cualquiera de los méodos esudiados con anerioridad. Para deerminar la componene esacional, se debe enconrar las medias móviles de longiud un ciclo esacional (L) y con los valores obenidos promediando la media móvil, se calcula el cociene enre el valor medido y la media móvil correspondiene: y S = (21) MA( n) Luego se deermina el promedio de esos índices para cada periodo esacional de la serie (por ejemplo, en una serie mensual, el promedio de los eneros, el de los febreros,...) y se corrige ese valor de forma al que la suma oal sea igual a L. El ruido blanco no se deermina numéricamene, sino que se conrola que su valor se encuenre enre coas esablecidas con anerioridad para el nivel de confianza necesario. Una vez lograda esa descomposición, se puede predecir acoplando odos los elemenos en el modelo original, muliplicando el valor de la endencia del modelo con el coeficiene esacional deerminado para cada periodo. Alernaivamene, para el modelo adiivo se procede de forma similar, pero por esa vez sumando los componenes de la serie. Ejemplo 3. La emperaura del agua en un reacor es medida durane res días, cada dos horas. Empleando el méodo de descomposición de la serie, prediga los valores de la serie y deermine la magniud del error de predicción. El modelo para deerminar el valor de la endencia (Figura 2.4) es enconrado por regresión, como: 1 T reac = (22) ( ) 14

16 Figura 2.4. Modelo de ajuse por regresión de la serie observada. Con un coeficiene de correlación r = , válido para ser uilizado en hallar la componene endencial de la serie susiuyendo en los valores de (columna 4, Tabla 2.7) Para deerminar el coeficiene esacional, se ajusa un modelo de medias móviles de orden 6 empleando la ecuación 13 con 6 érminos: y 2 + y 1+ y + y+ 1+ y+ 2 + y+ 3 z = (23) 6 Ese valor, calculado de los promedios, se muesra en la columna número 5, a parir de los que se deermina el coeficiene esacional S (columna 6, Tabla 2.7), al formar el cociene enre el valor de la serie y MA(6). Esos coeficienes son ajusados para que su suma de igual a la longiud del periodo esacional, (en ese caso 6), promediando los valores de iguales periodos, para mejor comprensión ese paso se represena en la abla 2.8, en la que S 1, S 2 y S 3 se corresponden con valores de los coeficienes esaciónales para iguales períodos, luego esos se promedian (S prom ).y se ajusan (S aj ) para que su suma de igual a 6. Luego de haber descompueso la serie, se pueden predecir sus valores acoplando sus componenes, empleando la ecuación 19, sin el érmino del error pues ese no es conocido, muliplicando el valor de la endencia por el coeficiene esacional ajusado correspondiene al periodo de que se rae, por ejemplo para la hora 1, se uiliza: z1 = T1* S 1 = *1.003 = Los valores de la serie predicha se muesran en la columna, 7 de la abla 2.7 y el error relaivo que se comee empleando la ecuación (24), se muesra en la úlima columna. Noe el buen ajuse que se logra y el pequeño valor de los errores de predicción: y z e = *100 = *100 =1.3 % (24) y Tabla 2.7. Serie de emperauras medidas en el reacor, y sus componenes deerminados. días (horas) T reac (y ) T MA(6) S =y /MA(6)Predicción error día

17 día día Tabla 2.7. Deerminación y ajuse de los coeficienes esacionales de la serie de emperauras. hora S 1 S 2 S 3 S 4 S prom S aj Suma A esa misma conclusión puede llegarse observando el comporamieno gráfico de las series real y predicha (Figura 2.6). 16

18 Figura 2.5. Serie original y valores de la serie predicha. La sencillez y exaciud del méodo de descomposición, lo hace recurrene y úil en muchos casos de series con endencia que describen un comporamieno esable en el iempo. CONCLUSIONES: Oros méodos de análisis y predicción de series cronológicas han sido planeados, de uso generalizado o en aplicaciones específicas, y aun méodos modernos de alcance general como los modelos ARIMA, propuesos por Box y Jenkins, se emplean en la prácica para el inerprear fenómenos que se comporan esocasicamene, pero el alcance y la sencillez de los méodos aquí presenados, los hace insusiuibles en la comprensión de ese ema. En sus inicios las series emporales, aparecían como aplicaciones privaivas al análisis financiero y mucha fue su uilidad en ese campo, pero el desarrollo de las disinas ramas de la ciencia, y la endencia a desaparecer que muesran los límies enre especialidades, han hecho úiles ales écnicas en perfiles de la ciencia y la écnica en la que la predicción de comporamienos es condición obligaoria como es el caso del manenimieno predicivo. BIBLIOGRAFIA: 1. Box, G. E. P. and Jenkins, G. M.:Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Holden Day Inc, California, Carrión García, A. Análisis de series emporales. Técnicas de previsión. Dpo. de Esadísica. Universidad Valencia, España Cué J. L. y oros; Esadísica Pare II. Ed. EMPES, Ciudad de La Habana, Chafield, C. The Analysis of Time Series: An Inroducion. Ed. Chapman and Hall. London Dennis, R. and Sanford Weisberg. Residuals and Influence in Regression. Universiy of Minnesoa. Ed. Chapman and Hall. New York ISBN X 6. Denon Keih, D. Seguridad Indusrial. Mc Graw-Hill. México, Draper N. R. and Smih H. Applied Regression Analysis. Library of Congress. Unied Saes ISBN González, J. P., Rodríguez, E. G., Navarro, D. M. y Marín, R. G. Análisis de regresión y series cronológicas. Ediorial Félix Valera. Ciudad de La Habana Holman, J. P. and Gajda, W. J.: Méodos Experimenales para Ingenieros. Naucalpan de Juarez, McGraw-Hill/InerAmericana de México S.A, Johnson, D. E.; Méodos mulivariados aplicados al análisis de daos, Kansas Sae Universiy, Brooks Cole Publishing Co., USA, 1997.ISBN Miller, I.R., J.E. Freund y R. Jonson. Probabilidad y Esadísica para Ingenieros. 4a Ed.: Prenice Hall Hispanoamericana, S.A. México Monchy, F.; Teoría y prácica del manenimieno indusrial, Ed. Masson, Paris, Neil W. Polhemus. Sagraphics Cenurion XV. Sa Poin, Inc. USA,

19 14. Pollock, D. S. Lecures in ime-series analysis and forecasing. London Universiy Rodríguez Nogueira, T. El Manenimieno predicivo con un enfoque de producción mas limpia en agregados del generador de vapor de cenrales ermoelécricas. Tesis Docoral. Universidad de Maanzas. Cuba Rodríguez, A., R. Francis y L. Guyon. Esadísica Maemáica II. Faculad de Ingeniería Indusrial ISPJAE, Ciudad de La Habana Sánchez Ávila, J. L. Desarrollo y aplicación del diagnósico y pronósico écnico al manenimieno de los sisemas cenralizados de aire acondicionado. Tesis Docoral. Universidad de Maanzas. Cuba

20 ANEXO I. Valores críicos de la prueba de Corchan para la homogeneidad de la varianza (grados de liberad ν x =n-1, k=grupos de prueba). nivel de significación α=0.01. k ν x 19