CAPÍTULO II. Conceptos de Confiabilidad

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1 CAPÍTULO II Concepos de Confiabilidad

2 CAPÍTULO II CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD Una de las áreas de ingeniería de confiabilidad es la modelación de la misma, debido a que los procesos en general se comporan de manera probabilísica. En esudios de confiabilidad podemos enconrar diversos modelos de disribuciones de probabilidad, de los cuales se debe elegir él que mejor se ajuse a los daos que se analizarán. Los modelos eóricos uilizados para describir el iempo de vida úil de los equipos son conocidos como disribuciones de vida. Para deerminar el ipo de disribución que siguen las fallas en un sisema es necesario resringir perfecamene el produco y el iempo en esudio. Para efeco de ese rabajo, las funciones que se analizarán y se describirán serán la exponencial y la weibull, ya que esudios previamene realizados (Tobías, 1986 nos confirman que son las disribuciones que mejor se ajusan a los comporamienos de falla que se van presenando en las disinas eapas por las que araviesa un sisema de ese ipo, desde su arranque asa su reemplazo. 2.1 Concepos relacionados con fallas. Cualquier sisema presena fallas después de deerminado iempo de operación. Eniéndase por falla cualquier aleración por alguna causa provoque la inerrupción de ejecución de una area deerminada. 15

3 2.1.1 Función de Confiabilidad La Disribución de Probabilidad Acumulaiva (FDA, con lo que respeca al análisis de los riesgos, se refiere a la probabilidad de que una unidad de la población elegida aleaoriamene presene una falla después del iempo. La Función de Confiabilidad o esisencia (complemeno de la FDA nos proporciona la probabilidad de que una unidad o fracción de la población presene fallas asa después el iempo (Tobías, 1986, es decir: 1 F Si se aplica la écnica de muliplicación de probabilidades, enunciada en el Capíulo I, sección 1.1.2; la probabilidad de que n unidades idénicas no presenen fallas después del iempo es: n [ ( ] Por ora pare, para calcular la probabilidad de que al menos una de las n unidades fallen (regla del complemeno es: n n [ ( ] 1 [ 1 F( ] 1 Para lograr enender de una mejor forma la diferencia enre F( y ( se puede decir que si n unidades bajo las mismas condiciones inician su operación al mismo iempo; nf( es el número esperado de unidades que presenarán fallas asa el iempo ; y n( es el número 16

4 de unidades que después del iempo seguirán operando. A coninuación se explica más dealladamene la función acumulaiva de falla Tasa de falla Esa función ambién es conocida como Tasa Insanánea de Falla o Tasa de iesgo. Las unidades que la asa de falla ( uiliza son...número de enidades que fallan por unidad de iempo (Tobías, Es necesario aclarar que ( no es una probabilidad y puede omar valores arriba de 1, aunque excepuando valores negaivos. Para lograr explicar ese concepo, es necesario acer uso de la probabilidad condicional explicada en el Capíulo I, sección Aplicándola a nuesro caso de esudio, la probabilidad de que un elemeno falle en un inervalo de iempo (, + dado que no presenó falla alguna asa el iempo es: [ < T < + / T > ] P P [( < T < + ( T > ] P[ T > ] [ < T < + ] P[ T > ] P [ < T < + ] 1 P[ T ] P 17

5 F ( + F 1 F F ( + F Donde: F( + : Función de Probabilidad Acumulaiva en el iempo +. F : Función de Probabilidad Acumulaiva en el iempo. : Función de Confiabilidad. Para calcular la asa de falla en un inervalo de iempo es necesario calcular el riesgo de falla en periodos de iempo iguales, razón por la cual dividiremos enre, como a coninuación se muesra: (, + [ < T < + / T > ] P F ( + F 1 ( Si se requiere calcular la asa de falla en un momeno insanáneo es necesario aproximar a cero el periodo de iempo (Tobías, 1986: 18

6 F ( + F lím 0 1 ( F ' f Función Acumulaiva de Falla Esa función (H( se calcula inegrando la asa de falla en el inervalo 0 < : H ( x dx 0 La Función Acumulaiva de Falla esa enunciada por la siguiene ecuación (Tobías, 1986: H ln_ ( (2.1 A coninuación, se procedió a derivar la ecuación 2.1, para demosrar la igualdad esablecida. 19

7 d d [ ln ] 1 d d 1 d ( d [ 1 F ] f En esudios de confiabilidad es común que se conozca o se aproxime suficienemene la asa de falla de deerminado sisema. A coninuación se demuesra la manera en que dado H( es posible calcular F(. H ( x dx 0 0 d d ln d ln Si es despejada ( de la ecuación anerior se obiene la siguiene ecuación: exp ( H 20

8 De donde: F exp ( x dx 1 (2.2 0 Esa úlima ecuación esablece la relación enre la función de riesgo y la función de disribución acumulaiva Medición de las fallas Oros parámeros de medición comúnmene uilizados para esudiar las fallas que se presenan en un sisema deerminado son los siguienes: Tiempo promedio de falla (MTTF: Inerpreado como la vida promedio que una unidad nueva endrá asa que falle. Mediana de falla: Describe el iempo en que la miad de los componenes abrán fallado, es decir, el puno donde la disribución de probabilidad acumulaiva alcanza el valor de Disribución exponencial. Un componene u objeo que sigue una disribución de vida exponencial iene la paricularidad de no recordar cuano iempo a esado operando, es decir, exise la misma probabilidad de que el sisema falle independienemene del iempo que lleve operando. A eso se le conoce comúnmene como Propiedad de Fala de Memoria (Tobías,1986. Esa propiedad la define la siguiene ecuación: 21

9 P(fallar en la siguiene ora (+ / sobrevivió asa F ( + F 1 F F( En palabras coloquiales esa propiedad enuncia que es equivalene omar 3 unidades de muesra después de 40,000 oras de operación que omar 40,000 unidades de muesra después de 3 oras de operación. En la abla 2.1 se muesran las fórmulas relacionadas con esa disribución que serán de uilidad para el desarrollo de esa esis: Tabla 2.1 Fórmulas de la disribución exponencial Descripción Fórmula Función de Disribución de Probabilidad f λexp ( λ Función de Disribución Acumulaiva F 1 exp( λ Función de Confiabilidad 1 F exp( λ Tasa de Falla f λexp exp ( λ ( λ λ Tiempo Promedio de Falla (MTTF ( λ MTTF λexp d 0 1 λ Mediana de Falla ( ( λ (Tobías,1986. F T 50 exp T50 Aplicando Logarimos naurales: T 50 λ 22

10 Donde λ generalmene es un parámero desconocido que define la Función de la Disribución Exponencial. Es de noarse que la Tasa de Falla en ese ipo de disribución es una consane, no se encuenra en función del iempo. En la gráfica 2.1 es posible observar el comporamieno de la Tasa de Falla de esa disribución. ( λ Gráfica 2.1 Tasa de falla de la disribución exponencial Cálculo de esimadores La disribución exponencial iene una caracerísica muy imporane, la propiedad de cerradura. La propiedad de cerradura se define de la siguiene manera: si el sisema falla cuando el primer componene lo ace, y odos los componenes operan independienemene, la vida de disribución del sisema es, como sus componenes, exponencial (Tobías, Gracias a esa propiedad se puede decir que: λ s n i 1λi Donde : λ s : Parámero del sisema. λ i : Parámero de cada componene. 23

11 La esimación de λ en un lapso de iempo deerminado, independienemene que fallen o no las unidades analizadas, se realiza de la siguiene manera: λ Unidades Número de fallas de iempo en las que se omó la muesra Cuando se requiere la esimación de λ de una muesra complea, es decir, regisrando el iempo en que cada una de los elemenos de la muesra fallan a ravés del iempo, es necesario realizar el cálculo como a coninuación se indica: (Tobías, 1986: r λ r i 1i + ( n r T Donde : r : No. De fallas. n : Tamaño de la muesra. T : Tiempo predeerminado de final de la evaluación.. i : Tiempo exaco de falla. Cuando se esima λ de al manera que la vida del sisema ermina al presenarse la falla r, el cálculo se realiza de acuerdo a la siguiene ecuación: λ r i 1 i r + ( n r r 24

12 2.3 Disribución Weibull Ese ipo de disribución se aplica a variados fenómenos aleaorios, ya que proporciona una aproximación acepable a la ley de probabilidades de mucas variables aleaorias. Es uilizada cuando la asa de falla no es consane y sigue una clara endencia creciene o decreciene (falla emprana y ardía. La Weibull se generó mediane la derivación de la disribución exponencial. La abla 2.2 muesra las fórmulas que serán de uilidad para lograr alcanzar el objeivo planeado en la presene esis. Tabla 2.2 Fórmulas de la disribución Weibull Descripción Fórmula Función de Disribución de Probabilidad f ( x m c 0 c m 1 exp c m 0 en oro caso Función de Disribución Acumulaiva Función de Confiabilidad F 1 exp 1 F c m exp c m Tasa de Falla f m c c m 1 Donde : m : Parámero de forma; c : 1/λ (Caracerísica de vida; : iempo. (Tobías,