CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE MORTALIDAD PARA LA POBLACIÓN ECUATORIANA por Javier Fernando Sánchez Nevárez

Transcripción

1 CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE MORTALIDAD PARA LA POBLACIÓN ECUATORIANA por Javier Fernando Sánchez Nevárez El presene rabajo muesra de manera sisemáica el desarrollo de una abla acuarial para la población ecuaoriana en general, y para la población, ano masculina como femenina, las que fueron consruidas en base a los daos empíricos demográficos del Ecuador, fundamenado en la eoría acuarial. En los primeros capíulos se busca eplicar las bases eóricas acuariales que conllevan a la consrucción de las ablas, para luego en los capíulos poseriores, implemenar la eoría y llegar a los resulados correspondienes. Además se incluye en ese esudio, un análisis comparaivo enre las ablas resulanes. Se eponen ambién algunos modelos analíicos clásicos y se implemena el modelo de Makeham para obener una abla de moralidad en base a ese modelo. MATEMÁTICA ACTUARIAL Y TABLAS DE MORTALIDAD La maemáica acuarial se define como la rama del conocimieno que raa con las maemáicas de los seguros y las pensiones, que iene por objeo asegurar la correca evaluación de los riesgos y la suficiencia de las primas, aporaciones y provisiones necesarias para el pago de obligaciones y beneficios fuuros, basada en el uso del crierio de la esperanza maemáica de la uilidad. Algunos ejemplos donde los evenos aleaorios podrían causar pérdidas financieras son: La desrucción de propiedades por incendios es generalmene considerado como un eveno aleaorio, y ese puede ser medido en érminos monearios. Una pérdida financiera como resulado de negligencia. Pérdida de vidas humanas de las cuales dependen insiuciones o familias. Un individuo que sobrevive a una edad avanzada, el cual

2 necesia medir los cosos de lo que le resa de vida para poder ser cubieros. Así, la maemáica acuarial nos da las herramienas para diseñar sisemas de aseguramieno nos proejan de los daños financieros producidos por esos evenos. No podemos saber eacamene cuándo ocurrirán esos evenos, sin embargo podemos epresar el reorno de una inversión en érminos del valor esperado de los flujos monearios, ese es llamado valor acuarial. Eisen algunos modelos simples de políicas de seguros basados en la ocurrencia o no ocurrencia de sucesos (variables aleaorias Bernoulli). En el caso de los seguros de vida, es necesario describir la disribución de probabilidad del iempo anes de la muere, mediane la consrucción de una abla de moralidad. En ese rabajo se consruyó una abla usando un modelo de base empírica y ora usando el modelo eórico de Makeham. La base de daos. La consrucción de un modelo que conenga los parones de moralidad según la edad requiere de la recolección de daos empíricos. Los daos que se recolecaron fueron : Población del Ecuador por edades simples y por seo Defunciones en el Ecuador por edades simples y por seo El objeivo es obener esimadores de q para las disinas edades, a parir de los cuales se generarán las funciones de la abla de moralidad. La información se recolecó a parir de los daos del censo de población de 99, de las proyecciones de población esimada por el Insiuo Nacional de Esadísicas y Censos, y de la información recolecada por la misma insiución a ravés del Regisro civil del Ecuador. Sin embargo los daos recolecados no siempre esán libres de errores, las principales fuenes de errores son: Omisión de personas. Mala declaración de la edad.

3 Decimos que hay omisión de personas cuando un individuo no ha sido censado, ese fenómeno se puede dar por omisión complea de áreas geográficas, omisión complea de viviendas, o por omisión de personas aisladas. Ese error no afeca significaivamene a la esrucura de los daos del censo. Para ese ipo de error se usan méodos de suavizamieno, que eliminen los picos producidos por la mala declaración de la edad. En el caso de ese esudio, se usó el méodo de inerpolación cúbica segmenaria (Splines), que usa curvas de inerpolación suaves. La mala declaración de la edad es nooria en los daos del censo poblacional de 99 en los que se noa una preferencia por las edades múliplos de cinco, y especialmene las decenas en las edades que pasan los reina años de edad. Ese fenómeno es común en los países en vías de desarrollo. No. DE HABITANTES POBLACIÓN DEL ECUADOR EDAD , 25, DATOS DEL CENSODE 99 Figura 2: Gráfico de los daos del censo de 99 despues del proceso de suavizamieno. No. DE HABITANTES 2, 5,, 5, EDAD Figura : Gráfico de los daos del censo de 99 donde se puede apreciar picos en las decenas y quinquenas. Modelo de base empírica. Con los daos suavizados calculamos a parir del número de habianes de edad, el número de mueres ocurridas en el inervalo de iempo de un año (d ) con la finalidad de calcular el número de

4 sobrevivienes al cumplir la edad al comienzo de ese inervalo (l ) a parir de l =. Para ese propósio necesiamos esimar q, que es la asa de moralidad de la abla de vida, y esa definida, como ya vimos como d /l. Tomando D como el número oal de mueres ocurridas de elemenos de edad, en ese caso, enre los años 99 y 998, y L como el número oal de personas de edad, podemos esimar la probabilidad de muere denoada con q por: D + q = L + 2 que es su esimador de máima verosimiliud. Uilizando q,y como colecivo inicial l =., podemos esimar los d y l paralelamene d = l. q ; l = l q Cuando l viene definido por medio de una abla de moralidad y se desconoce la ley subadyacene, los valores de u pueden aproimarse de la epresión: u = (lnl ln l+) 2 Demosremos: De la epresión n p = ds n ep µ + s, y haciendo n=, enemos p = ds ep µ + s Tomando algorimos, ln p = µ + sds y, en érminos aproimados u ln + / 2 = p Si inegramos u + enre =- y =, obenemos u + = ln p ln p Y eso es dos veces el valor medio de u enre las edades - y +, lo que nos lleva a la siguiene aproimación: u = (lnp lnp ) = (lnl lnl + ) 2 2 Para esimar el número oal de años vividos desde por el grupo

5 de elemenos vivos, denoado por T, usamos la epresión: T = l + Inegrando, usando méodos numéricos de inegración, logramos una esimación para T. Luego, eniendo en cuena que De donde l +. u + = l pu + l = l + Inegrando de = hasa, enemos p l +. d = l pu + T l T = l pu + = p u + o = e y obenemos un esimador para e o que sería la esperanza de vida complea. Oro símbolo usado en una abla de moralidad es L, el cual denoa el numero oal de años vividos enre las edades y +, de un grupo de l elemenos vivos iniciales. Se epresa como: L = l + u + d + l+ Donde la inegral evalúa los años vividos por odo el conglomerado que llegó a la edad, pero no llegó a cumplir la edad +, y el érmino l + denoa el oal de años vividos por los que llegaron a la edad +. De la inegración por pares enemos: L = dl l l+ d + l + = l = l+ d Una aproimacion de L es l + l+ L = 2 Que puede ser jusificada al usar la regla del rapecio para inegrar numéricamene.

6 Modelo de base eórica (Makeham) Hay algunas jusificaciones para usar un modelo analíico para la moralidad y las funciones de supervivencia. Una de ellas es que, al ener un modelo analíico que se ajuse bien a la realidad, se pueden eplicar muchos fenómenos biológicos usando simples fórmulas. Muchos auores han sugerido que la moralidad humana es gobernada por una ley. La segunda jusificación es que es mas fácil manejar unos pocos parámeros que definen una ley que manejar mas de cien parámeros o probabilidades de moralidad. La uilización de funciones de supervivencia analíicas ha declinado en años recienes, sin embargo, algunos recienes esudios han reierado los argumenos biológicos para el desarrollo de leyes analíicas de moralidad. En ese esudio se consruirá una abla de moralidad para la población ecuaoriana según el modelo de Makeham. El modelo de Makeham epresa la fuerza de moralidad como: µ = a + bc Uilizando los esimadores de q : D + q = L + 2 Se obiene los esimadores de u, q µ ' 2 2 q Luego, obenemos un esimador para c a parir de la mediana de la variables aleaorias generadas por: 2 ln( l+ ) c = 2 ln( l ) Enonces, ˆ c =.7 A parir de la écnica de los mínimos cuadrados se obiene la función esimada de u. µ = (.7) l se calcularía por: l = l e = l e l u y dy ( e ( ) ) En fin, una vez obenida la función de la fuerza de

7 moralidad, podemos seguir compleando las demás funciones de la abla usando las idenidades que mencionamos aneriormene. El modelo de Makeham no posee mínimos locales, y la fuerza de moralidad, generalmene posee un mínimo local en las edades juveniles, es por eso que en ese esudio se ha consruido una abla de moralidad basada en las edades de 2 a 8 años. Tabla de moralidad para la población ecuaoriana de base empírica l q p d u T o e,239, , ,68, , , ,, , , ,655, , , ,36, , , ,88, , , ,2, , , ,64, , , ,46, , , ,38, , , ,37, , , ,4, , , ,5, , , ,6, , , ,74, , , ,87,9993 8, , ,,999 93, , ,2, , , ,22, , , ,28, , , ,37, , , ,4,9986 3, , ,49, , , ,54, , , ,6, , , ,68, , , ,7, , ,8247

8 ,75, , , ,79, , , ,78, , , ,88,9982 7, , ,84, , , ,93, , , ,23, , , ,23, , , ,229, , , ,237, , , ,243, , , ,252, , , ,252, , , ,267, , , ,26, , , ,28, , , ,298, , , ,324, , , ,369, , , ,39, , , ,44, , , ,442, , , ,45, , , ,494, , , ,49,995 42, , ,535, , , ,573, , , ,627, , , ,698, , , ,738, , , ,769, , , ,8, , , ,828, , , ,938, , , ,922, , , ,28, , , ,34, , , ,277, , , ,496, , , ,576, , , ,682, , , ,78,9829 3, , ,84,9886 3, , ,269, , , ,26, , , ,2273, , , ,2538, , , ,292, , , ,353, , , ,379, , , ,497, , ,7232

9 ,4467, , , ,4568, , , ,4855, , , ,5298, , , ,66, , , ,693, , , ,827, , , ,9242, , , ,593, , , ,284, , , ,65,835 43, , ,997, , , ,2479, , , ,2852, , , ,345, , , ,385, , , ,45,55 7, ,8338 Tabla de moralidad para la población ecuaoriana de base eórica (Makeham) l q p d u

10 Conclusiones y recomendaciones Al observar el comporamieno de los daos y las curvas de las funciones, se pueden desacar algunos daos imporanes. Se ha podido observar daos caracerísicos demográficos de una población que esá en vías de desarrollo, como por ejemplo la ala asa de moralidad infanil. Sin embargo hay que desacar el aumeno del iempo esperado de vida para un individuo recién nacido, desde 99, que esá en alrededor de los 7 años de edad.

11 Se observaron ambién rasgos ípicos de una población, como la presencia de un mínimo en la función de la fuerza de moralidad, que se presena en la edades juveniles, en el caso del Ecuador, alrededor de los años. Ese mínimo se eplica por la ala asa de moralidad que se presenan en los primeros años de vida, asa que luego se reduce y aumena ora vez en las edades maduras. Es imporane mencionar que los daos de población se obuvieron mediane las proyecciones que realiza el Insiuo Nacional de Esadísicas y Censos (INEC), basadas en los resulados de los úlimos censos de población, y las defunciones, que son daos reales que el INEC oma del Regisro Civil para luego procesarlos. El uso de proyecciones hace que eisa un error por esimación, del cuál solo podremos ener información después del siguiene censo de población. Es ineresane, y podría ser un ema de esis, analizar ese error o diseñar un modelo de monioreo para corregir las proyecciones en el lapso de iempo enre censos poblacionales. Javier Fernando Sánchez Nevárez Graduane Ma. Fernando Sandoya Sánchez Direcor de Tésis

12 BIBLIOGRAFIA. BOWERS NEWTON L. JR., GERBER HANS U., HICKMAN JAMES C., JONES DONALD A., Y NESBITT CECIL J., Acuarial Mahemaics, Millicen Treloar, Illinois, CHAPRA STEVEN C., CANALE RAYMOND P., Méodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Compuadoras Personales, Mc Graw Hill, Méico, INEC, Anuario de Esadísicas Viales, , Publicaciones del Insiuo Nacional de Esadísicas y Censos, Quio 4. SANDOYA SANCHEZ FERNANDO, Análisis de un Modelo Ampliado para la Moralidad de las Personas, VI Jornadas Esadísicas Informáicas, Escuela Superior Poliécnica del Lioral, Guayaquil, UNITED NATIONS, Model Life Tables for Developing Counries, Unied Naions Publicaion, New York, VILLALON JULIO G., Operaciones de Seguros Clásicas y Modernas, Pirámide, España, 997