Alternativas estadísticas al cálculo del Valor en Riesgo

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1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 155, 004, págs. 119 a 148 Alernaivas esadísicas al cálculo del Valor en Riesgo por PEDRO GENTO MARHUENDA Faculad de Derecho y CC. Sociales de Ciudad Real Universidad de Casilla-La Mancha JUAN FCO. ORTEGA DATO GONZALO GARCÍA-DONATO LAYRÓN Faculad de C.C. Económicas y Empresariales de Albacee Universidad de Casilla-La Mancha RESUMEN El Valor en Riesgo (VaR) es una medida esadísica de las pérdidas poenciales de una carera de insrumenos financieros. En ese rabajo presenamos dos procedimienos esadísicos alernaivos para el cálculo del Valor en Riesgo. El primero consise en aplicar la meodología Bayesiana, confiando en su paricular poencial para el raamieno de los problemas predicivos. Por oro lado, con el objeo de prevenir la influencia por la presencia de observaciones aípicas, el segundo procedimieno consise en la uilización de écnicas Robusas en la esimación del VaR. Los modelos resulanes de la uilización de esas écnicas son analizados mediane su aplicación a la carera del IBEX, con daos diarios y un periodo observacional comprendido enre los años 1993 al 1998, comparando sus resulados con las écnicas esándar.

2 10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Palabras clave: Valor en Riesgo, Inferencia Bayesiana, Técnicas Robusas, IBEX, Empírico-Bayes. Clasificación AMS: 90A09, 6F15, 6C1, 6F35, 6G INTRODUCCIÓN Durane la úlima década se han desarrollado nuevos méodos de medida y de gesión del riesgo de mercado. Una de esas medidas, conocida como Valor en Riesgo (VaR), ha cobrado especial imporancia y iende a converirse en el parón a seguir por las insiuciones financieras para el conrol de sus riesgos de mercado. El enfoque VaR es aracivo porque es fácil de inerprear (el VaR esá medido en unidades monearias) y puede ser uilizado para producir una esimación de la canidad necesaria de fondos propios para cubrir el riesgo de mercado de las acividades de negociación desarrolladas por las enidades financieras. Además, iene la venaja adicional de poder incorporar los efecos de la diversificación de las careras. En la acualidad, muchas enidades financieras basan sus prácicas sobre esimación y gesión de riesgos en el VaR. A la consolidación de ese enfoque como herramiena de gesión del riesgo de mercado enre las enidades financieras, ha conribuido de forma noable el grupo J.P. Morgan al hacer pública en ocubre de 1994 la descripción de su sisema de medida del riesgo de mercado, denominado RiskMerics, basado en la meodología VaR, así como el conjuno de daos necesarios para su aplicación. También ha conribuido a la consolidación de esos sisemas el hecho de que las auoridades inernacionales en supervisión bancaria (Comié de Basilea y Unión Europea), hayan permiido a las enidades financieras la posibilidad de deerminar la canidad de fondos propios necesarios para cubrir el riesgo de mercado de sus careras de negociación mediane modelos propios basados en la meodología VaR. Las enidades supervisoras aconsejan especificaciones esadísicas concreas para el cálculo del VaR; sin embargo, las insiuciones financieras no esán obligadas a uilizar ningún procedimieno concreo para esimar el VaR. Son las propias enidades las que deciden el procedimieno esadísico en que se basarán. Esa liberad de elección iene senido, ya que como indica Beder (1995) no exise hasa el momeno un deerminado enfoque VaR que sea superior al reso. En la prácica, las insiuciones financieras uilizan sus modelos VaR sobre una base diaria (horizone emporal uniario), haciendo públicos sus resulados. Según Hendricks y Hirle (1997), esa información consiuye una herramiena reguladora úil para comparar el nivel de riesgo asumido enre disinas enidades financieras a

3 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 11 lo largo del iempo; sin embargo, la fuere dependencia del VaR con los procedimienos esadísicos uilizados disminuye la capacidad comparaiva de ése. En ese rabajo, preendemos inroducir nuevos procedimienos para el cálculo del VaR, de manera que consiuyan una alernaiva a las écnicas esadísicas clásicas uilizadas en la prácica. En la Sección se inroduce el concepo de Valor en Riesgo, se analizan las propiedades esadísicas de esa medida y se describen someramene los principales enfoques uilizados habiualmene para su cálculo. En la Sección 3 se expone una inroducción a los aspecos básicos de la inferencia bayesiana, aplicándolos al cálculo del VaR mediane la uilización de dos modelos alernaivos. La Sección 4 esá dedicada a inroducir las écnicas robusas y al desarrollo de esimaciones robusas del VaR. La Sección 5 esá consiuida por una aplicación empírica de los procedimienos propuesos, cuyos resulados son comparados uilizando una baería de medidas habiuales en ese conexo. Finalmene, en la Sección 6 se resumen las conclusiones más relevanes del rabajo.. EL VALOR EN RIESGO En ese aparado inroducimos el concepo de Valor en Riesgo (VaR) y analizamos las propiedades esadísicas de esa medida del riesgo. También hacemos una breve referencia a la selección de los parámeros en los que se basa su cálculo, como el periodo de manenimieno de la carera y el nivel de confianza a uilizar..1. Definición del VaR En un deerminado insane del iempo, se define el VaR como la máxima pérdida monearia que puede alcanzar un acivo financiero o una carera de acivos, en un horizone emporal [,+1] con una probabilidad esablecida c, lo que ambién se conoce como nivel de confianza. La definición del VaR se puede formalizar probabilísicamene de la siguiene forma. Sea P el valor inicial de la carera (usualmene P represena su valor presene) y sea P +1 el valor de la carera ranscurrido el horizone emporal en consideración. La definición implícia del VaR en érminos probabilísicos es Pr( P + P < VaR ) = 1 c [1] 1 donde el signo negaivo se usa porque generalmene el VaR se expresa con signo posiivo. Alernaivamene se puede definir el VaR en función del rendimieno de la carera producido en el horizone emporal, lo que denoaremos por R +1. De esa

4 1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA forma es rivial observar que R +1 = (P +1 - P ) / P, con lo que susiuyendo en [1] enconramos que VaR debe cumplir: Pr( R + < VaR / P ) = 1 c [] 1 Si llamamos Q 1-c (R +1 ) al percenil (1-c) de la variable rendimieno de la carera después del horizone emporal, enonces [] nos conduce a la siguiene expresión para VaR VaR = P Q1 c (R + 1) [3] por lo que en érminos esadísicos el VaR se corresponde con el percenil (1-c) de la disribución de los beneficios y pérdidas de la carera. La vocación del VaR es prediciva, ya que es una esimación sobre el valor fuuro de la carera ranscurrido el horizone emporal. Las ecuaciones aneriores asignan propiedades probabilísicas al VaR, sin embargo, ambién resulan ineresanes sus posibles propiedades frecuenisas, ya que ésas pueden servir como herramiena de gesión a medio y largo plazo. Analizando [1] podemos inuir que si calculamos el VaR sobre un alo número de periodos de negociación (moviendo ), la proporción de periodos donde el cambio del valor de la carera no será superior al VaR será aproximadamene de (1-c). Pero debemos considerar que esa propiedad frecuenisa del VaR sólo es ciera bajo la hipóesis de independencia enre los periodos, lo que no se cumple con generalidad. Debido a que el VaR es un cálculo esadísico de las pérdidas poenciales de una carera, independienemene de cuál sea el méodo uilizado para su esimación, su valor depende de la elección del periodo de manenimieno de la carera (holding period) y el nivel de confianza c seleccionado. El periodo de manenimieno es el horizone emporal para el que queremos esimar la máxima pérdida de nuesra carera, con lo que implíciamene se supone que las posiciones de la carera se manienen consanes durane dicho periodo. Los periodos habiualmene uilizados oscilan enre un día y un mes, aunque se puede uilizar oros periodos más largos como rimesres e incluso años. El Comié de Basilea esablece un periodo de dos semanas, aunque en la prácica se uilizan periodos de un día, siendo posible rabajar con periodos inferiores a ése. En la elección del periodo de manenimieno deben considerarse diversos aspecos, como la liquidez de los mercados en los que opera la insiución o la posibilidad de que la enidad reajuse las posiciones de la carera. En el primer caso, el periodo de

5 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 13 manenimieno ideal sería el iempo necesario para asegurar la liquidación de las posiciones en ese mercado. En cuano al segundo aspeco, si el periodo de manenimieno es demasiado largo, es más que probable que los gesores realicen cambios en la composición de la carera, de manera que ésos hacen que la medida del VaR sea menos significaiva. Por ano, cuano más coro sea el periodo de manenimieno, más real será el supueso de que la carera se maniene inalerada durane dicho periodo. La elección de c dependerá en pare del uso que queramos dar al cálculo del VaR. Bajo ese puno de visa es imporane disinguir enre los siguienes usos del VaR: 1. Mecanismo para la deerminación de los fondos propios requeridos por las auoridades supervisoras, para cubrir el riesgo de mercado de las posiciones de negociación de la enidad.. Como sisema inerno, para la gesión de riesgos en la enidad. Si la medida del VaR se uiliza para deerminar los fondos propios requeridos por los reguladores, los parámeros del VaR, incluido el nivel de confianza, vienen deerminados por el regulador. Por ejemplo, el Comié de Basilea esablece que el cálculo del VaR debe realizarse diariamene sobre un horizone de planificación de dos semanas (diez días de negociación), uilizando un nivel de confianza del 99% (c=0.99) y un periodo de observación mínimo de un año. En la prácica, las enidades calculan diariamene el VaR y lo remien periódicamene a los organismos supervisores, por lo que el VaR puede ser uilizado por los supervisores para comparar el nivel de riesgo asumido por las disinas enidades. Dicha comparación no ofrecerá problema alguno si asumimos que los rendimienos de las disinas careras se pueden describir a ravés de una función de disribución de probabilidades normal, u ora asimilable, ya que el nivel de probabilidad se puede modificar para originar un valor del VaR comparable al de ora insiución. En ese caso, la elección del nivel de probabilidad no ofrece problema alguno. Sin embargo, sin el supueso de normalidad, el VaR calculado para un deerminado nivel de probabilidad nos dirá muy poco del VaR correspondiene a oro nivel de probabilidad disino. En el caso de que el VaR se uilice como sisema inerno para la gesión de riesgos, el nivel de confianza dependerá básicamene de la aversión al riesgo del gesor con respeco a los riesgos asociados a los casos exremos. A modo de conclusión, podemos afirmar que pueden exisir diferenes niveles de probabilidad apropiados en función de cual sea el propósio para el que se calcule el VaR. Igualmene, ampoco exisen razones para que una insiución rabaje con

6 14 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA un único nivel de probabilidad. En definiiva, la insiución debe uilizar un nivel de probabilidad apropiado en función del objeivo marcado en cuano a la esimación del VaR. Hasa el momeno se han propueso en la lieraura numerosos méodos para resolver aproximadamene [1], aunque la inmensa mayoría de ésos son varianes de raamienos esadísicos clásicos y raamienos esadísicos no paraméricos. Merece desacar enre los primeros ciados el Enfoque de Varianzas-Covarianzas y el de Simulación de Mone-Carlo, y enre los segundos el enfoque de Simulación Hisórica. Haremos una breve inroducción a esos méodos acuales y los uilizaremos como referencia comparaiva para las écnicas alernaivas propuesas en ese rabajo... Enfoques básicos del cálculo del VaR En [3] se pone de manifieso la necesidad de calcular un percenil de la variable rendimieno para enconrar el VaR. A coninuación describiremos someramene algunos de los exponenes de las écnicas esadísicas uilizadas en la acualidad para calcular el percenil mencionado...1. El enfoque Varianzas-Covarianzas En ese enfoque se asume para los rendimienos de la carera considerada que R ~ N(0, σ ), con R independiene de R s para s. En definiiva se asume que los rendimienos de la carera son normales de media 0 (se asume que la media es cero debido al supueso de que la magniud de la media es muy pequeña en relación a la desviación ípica) y varianza σ consane en el iempo. Además se supone que los rendimienos son independienes enre sí en el iempo. Denoando por z c el percenil c de la normal ipificada, enconramos que Q 1 c (R ) = z 1 c σ = z c σ por lo que susiuyendo en [3], enemos el valor del VaR propueso por esa meodología VC VaR = P zc σ [4] Si la carera esá formada por N acivos, el valor de σ se corresponde con una combinación de las varianzas y covarianzas de los rendimienos de los acivos que 1 N complean dicha carera. Así, llamando R = (R,R,...,R ) al vecor formado por los rendimienos individuales, con pesos la mariz columna w T =(w 1, w,...,w N ) denro

7 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 15 de la carera, enonces R es la media ponderada con pesos w i de los rendimienos, eso es, y por ano σ es: siendo σ i la varianza de σ = N i= 1 R w = N i= 1 i σi i i w R + i< j i R y σ ij la covarianza enre σ = w T Σ w w w σ i j ij i R y j R. Maricialmene con Σ la mariz de varianzas-covarianzas de los rendimienos. Cuando la carera incluye una gran canidad de acivos o insrumenos mas complejos, es necesario recurrir a écnicas que permian reducir el número de facores de riesgo. La solución habiual es reducir la dimensionalidad de Σ mediane la carografía o descomposición de los acivos que componen la carera mediane acivos de referencia para los que disponemos de daos necesarios. De esa forma los disinos insrumenos pueden ser descrios mediane combinaciones de ales acivos de referencia. Las fórmulas visas hasa ahora en ese enfoque sólo expresan la relación enre el VaR y los parámeros del modelo (básicamene Σ) que evidenemene deben ser esimados pues son desconocidos. Para obener el VaR se propone una esimación de Σ a parir de las úlimas v observaciones r={r, r -1,..., r -v+1 }. Una esimación de Σ es la ofrecida por el esimador Máximo Verosímil que llamaremos Σˆ. Es sencillo comprobar que Σˆ es la mariz de varianzas-covarianzas muesral de las observaciones. De esa forma, el VaR resulane de ese enfoque es: VaR VC = P z σˆ [5] c Merece la pena hacer dos observaciones a la anerior fórmula. La primera es que implíciamene ˆσ es una esimación de σ que cambia con el iempo, pues para calcular ˆσ se uilizan disinas secuencias de observaciones hisóricas cada vez. Por oro lado, y más imporane, al susiuir en [4] σ por ˆσ pasamos lieral-

8 16 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA mene a desconocer las propiedades probabilísicas del VaR resulane, pueso que evidenemene esas caracerísicas concreas no se conservan. El raamieno de Varianzas-Covarianzas permie obener Inervalos de Confianza (IC) para la volailidad σ (supuesamene consane) de la carera a parir de ˆσ. En efeco, es sencillo demosrar que a nivel de confianza (1-γ) el inervalo de colas iguales que se obiene es: IC σ σ (v 1) ˆ ( ) = T χv 1,1 γ / 1 γ ˆ (v 1) σ, χ v 1, γ / siendo χ v, γ el percenil γ de la disribución Chi-cuadrado con v grados de liberad.... Enfoques por simulación Simulación Hisórica Ese enfoque uiliza la función de disribución empírica provisa por las observaciones hisóricas de los rendimienos r={r, r -1, r -,...,r -v+1 } para esimar Q 1-c (R +1 ) y susiuirlo en [3], de manera que encaja en un raamieno no paramérico del problema, ya que no supone ninguna disribución para la variable rendimieno. Así, si llamamos Qˆ al percenil (1-c) de la muesra r, el VaR es: 1 c VaR SH = P Qˆ 1 c el cual posee un alo grado inuiivo y no iene problemas de error en la especificación del modelo observacional, pues ése no se explícia. Aunque a la meodología se le inuye robusez ane la aparición de observaciones de rendimienos aípicos, en érminos esadísicos las écnicas no paraméricas suelen ser menos poenes que las paraméricas. Simulación por Mone-Carlo. Es un enfoque poene y flexible para la esimación del VaR. En ese caso, la disribución de las variaciones hipoéicas en el valor de la carera se simula mediane números aleaorios a parir de un proceso esocásico. Sin embargo, la complejidad de ese procedimieno crea ineviablemene problemas. Por un lado, es compuacionalmene muy inenso, por oro, requiere de una doación de personal muy cualificado.

9 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO EL ENFOQUE BAYESIANO En ese aparado proponemos una meodología bayesiana para el cálculo del VaR. La versailidad y la poencia del análisis bayesiano convieren a esa écnica en una seria alernaiva a la meodología clásica. El objeivo del rabajo es fundamenalmene inroducorio, por lo que describiremos las venajas del uso de la meodología bayesiana (enre oras para su aplicación en las finanzas) e inroduciremos los concepos mas imporanes, maerializando el uso de la esadísica bayesiana para el cálculo del VaR a ravés de dos modelos univarianes El VaR Bayesiano La esadísica bayesiana consiuye un enorno de rabajo propio e independiene de la esadísica clásica, cuyos fundamenos difieren de forma imporane de los fundamenos propios de la esadísica clásica. De gran imporancia (y en el conexo del cálculo del VaR lo es) es la disribución prediciva que caraceriza el comporamieno de una observación fuura de la variable de inerés, condicionada a las observaciones pasadas. Sea X +1 la observación fuura de la variable de inerés X (piénsese en el rendimieno de la carera mañana), cómo se compora X +1 si en el proceso hemos observado x={x 1,x,...,x }? La respuesa a esa preguna esá en la disribución de probabilidad p(x +1 x) que se conoce como disribución prediciva. Aplicando sencillas leyes de probabilidad, se obiene p 1 1 (x + x) = p(x + θ)p( θ x) dθ en donde p(x + 1 θ) es el modelo supueso para x y p( θ x) es la disribución a poseriori, eso es, p( θ x) = p(x θ)p( θ)/p(x) y p( θ) es la disribución a priori. Para la definición del VaR es imporane el límie inferior de predicción a un nivel de probabilidad c, eso es, fijado c calcular aquel puno de la disribución prediciva p(x +1 x) que deja por debajo suya una probabilidad de (1-c). Ese puno lo denoaremos Q 1-c (X +1 x), que cumple: Pr( X+ 1 Q1 c (X + 1 x) x) = 1 c

10 18 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 3.. El VaR desde un enfoque bayesiano Dada una carera de negociación, hemos llamado R a la renabilidad de la carera en el insane. Para calcular el VaR a parir de [3], uilizaremos la disribución prediciva p(r +1 r) donde r={r, r -1,..., r -v+1 } son los v aneriores rendimienos de la carera. Definición 1. Dada una carera y la muesra r={r, r -1,..., r -v+1 } de la variable Rendimienos (R), donde R +1 es su Renabilidad en el insane +1, definimos el B Valor en Riesgo Bayesiano en el insane ( VaR ) a un nivel de probabilidad c como: B + VaR = PQ1 c(r 1 r) siendo P el valor de la carera en el insane. B La inerpreación del VaR es muy sencilla. Con la información incorporada en el procedimieno (incluye el modelo, la disribución a priori y las observaciones), la probabilidad de que la renabilidad en el insane +1 sea mayor que el VaR B es c. B La bondad en el cálculo del VaR depende en gran pare de la buena elección del modelo para describir el comporamieno de la renabilidad en el iempo. Cuano B mejor refleje la realidad mejor será el valor del VaR. En los modelos escogidos endrá que haber compromiso enre fidelidad a la realidad y sencillez. En los úlimos años ha aumenado la producción de maerial cienífico sobre selección de modelos bayesiano (Berger y Perichi, 000). Por el momeno, la selección de modelos (en érminos formales) queda fuera de nuesros propósios. Seguiremos el principio de evaluar los modelos según su capacidad prediciva, lo que creemos es un posicionamieno sensao del problema. La disribución a priori p(θ) es imporane, aunque en problemas con amaño de muesra grandes (a diario se uilizan usualmene amaños de muesra grandes) su influencia en el resulado final será pequeña. Uilizaremos alernaivas que permian un raamieno auomáico del problema, de al forma que no sea necesario asignar objeivamene la disribución a priori. Concreamene, uilizaremos disribuciones a priori mínimo informaivas y écnicas Empírico-Bayes.

11 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO Algunos modelos para careras univarianes El objeivo de ese aparado es inroducir la aplicación del VaR bayesiano en careras sencillas Rendimienos normales. Varianzas iguales Consideremos el modelo siguiene Modelo (Norm) R σ ~ N(0, σ ) σ ~ p( σ ) = 1/ σ Ese modelo es adecuado para describir careras con rendimienos cenrados en 0 (hipóesis usual en ese conexo) y con volailidades desconocidas pero consanes en el iempo (hipóesis incumplida con frecuencia), además el comporamieno de la variable renabilidad condicionada a σ debe ser Normal. Como disribución a priori para σ hemos uilizado la mínimo informaiva usual (Yang y Berger, 1996), conocida como disribución a priori de referencia (Berger y Bernardo, 199). El raamieno analíico de ese modelo es sencillo, por lo que se pueden enconrar fórmulas explícias de la disribución prediciva que permian definir el VaR asociado. Para una muesra de rendimienos r={r, r -1,..., r -v+1 }, la disribución prediciva del rendimieno en el insane +1 asociada al Modelo es(1): R +1 r ~ S(0,1/S donde S = ri / v. La disribución prediciva es una -Suden cenrada en 0 y con varianza aproximada S. El VaR usando el Modelo es por ano,v) (1) S(µ,λ,ν) denoa la disribución -Suden no cenral. La densidad es: Γ((v + 1) / ) p(y µ, λ, v) = Γ(v / ) Γ(1/ ) λ v 1 (v+ 1)/ [ 1+ λv (y µ ) ]

12 130 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA B,Norm VaR = P S [6] v, c denoando v,c el percenil c de la disribución S(0,1,v) y S = + S. Como la disribución -Suden es similar a una Normal cuando el parámero ν es lo suficienemene grande enonces si ése es grande (ν 30), VaR B,Norm = P z S Ese valor coincide numéricamene con el VaR propueso desde un enfoque clásico bajo hipóesis de normalidad. Esa coincidencia numérica, que no concepual, explica la validez prediciva del procedimieno clásico Un modelo de esrucura jerárquica Considérese el siguiene modelo: Modelo 3. (IG) R σ ~ N(0, σ ) σ α, β ~ IG( α, β) α, β ~ p( α, β) c σ indepen- con R independiene de {R s, σ,α,β} condicionalmene sobre diene de σ s condicionado a α, β para s. s σ, y La esrucura jerárquica propuesa modeliza el comporamieno de las varianzas σ como observaciones de una disribución común. La novedad es que aunque las elasicidades engan un comporamieno común, sus valores varían con el iempo, lo que parece mas realisa. Aunque un raamieno Bayesiano requiere modelizar el comporamieno de (α,β), nosoros usaremos la écnica del Empírico-Bayes (EB) (Carlin y Louis, 000) para raar el Modelo 3 y así eviar asignar la disribución a priori p(α,β). Para usar el EB, enconraremos ( α ˆ, βˆ ), esimaciones MV de (α,β) provisas por las observaciones de r, e incluiremos esa esimación en el Modelo 3 como consane conocida. La función de verosimiliud L(α,β) que se debe maximizar para obener ( α ˆ, βˆ ) a parir de una muesra r={r, r -1,..., r -v+1 } es: α Γ(( α + 1) / ) β L ( α, β) = α+ 1/ [7] Γ( α)(ri / + β) i= v+ 1

13 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 131 La opimización de [7] se puede abordar por procedimienos numéricos habiuales, disponibles en cualquier paquee esadísico. Condicionado a ( α ˆ, βˆ ), la disribución prediciva del rendimieno en el insane +1 es: R + 1 por lo que el VaR uilizando el Modelo 3 es: r,( αˆ, βˆ) ~ S(0, αˆ / βˆ, αˆ ) βˆ B,IG VaR = P αˆ, c [8] αˆ Esa segunda aproximación del VaR iene una forma similar a la obenida en [6] aunque con caracerísicas propias imporanes. Comprobamos que β αˆ es aproximadamene la media a poseriori de σ + 1, por lo que se puede considerar ese facor como un represenane de la variabilidad previsa para el insane +1. Los grados de liberad del percenil de la -Suden cambian (no son consanes como ocurría con el Modelo ) y se auoajusan a las circunsancias propias de cada periodo de observación por lo que (8) se regula para ajusar el parámero grados de liberad a las circunsancias. Soluciones clásicas al cálculo del VaR proponen que la disribución condicional de los rendimienos sea -Suden con grados de liberad consanes y ajusados por el invesigador. Al uilizar grados de liberad consanes, las caracerísicas de la disribución no se ajusan a los daos y los resulados no son buenos. 4. EL ENFOQUE ROBUSTO Una posible alernaiva a los procedimienos clásicos en el esudio del Valor en Riesgo, es la uilización de écnicas robusas para su cálculo. La esadísica robusa es una rama de la esadísica la cual preende esudiar el comporamieno de diferenes procedimienos cuando exise una pequeña variación en los supuesos iniciales, o cuando exise la posibilidad de que el modelo esé conaminado por cieras observaciones conocidas por el nombre de Ouliers (que llamaremos Observaciones Aípicas) que producen influencias en los resulados que conllevan a resulados erróneos. La experiencia y los esudios de simulación sobre los procedimienos propuesos en esadísica robusa, aconsejan el uso de esas écnicas en oda modelización

14 13 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA esadísica. Así, dado el diseño de esos procedimienos, en el caso en el que no exisan Observaciones Aípicas en los daos del esudio (cosa que en la prácica es oalmene imposible de confirmar), el resulado que proporcionan esos méodos son idénicos a los dados por el esimador clásico al que susiuye o complemena. En cambio, en presencia de Observaciones Aípicas, las buenas propiedades de las que gozan esos procedimienos ane ellas (propiedades específicas descrias en Orega, 000), nos aseguran una esimaciones más fiables de los parámeros en esudio. En definiiva, podemos decir que, aunque exisen cieros conras en la uilización de los méodos robusos, como la pérdida de eficiencia (por la conroversia conocida enre eficiencia y robusez) y la mayor complejidad y iempo de cálculo de ellos, ésos son generalmene asumidos o sacrificados en pro de unos mejores resulados en el senido de esimaciones que responden a la mayoría de las observaciones de la muesra uilizada para la deerminación del modelo en esudio. Presenaremos a coninuación un enfoque del problema que nos ocupa, desde un puno de visa robuso, proponiendo poseriormene una esimación robusa del Valor en Riesgo pariendo del Enfoque de Varianzas-Covarianzas presenado en la Sección Enfoque robuso del VaR El enfoque de Varianzas-Covarianzas supone que la variable que represena el rendimieno de la carera en esudio cumple el supueso de Normalidad. De esa forma el Valor en Riesgo se definía, ver [4], como un múliplo de la volailidad de la renabilidad de la carera en esudio. Para obener una esimación del VaR se proponía una esimación de la desviación ípica ( σˆ ) a parir de las observaciones hisóricas de los rendimienos en el horizone emporal, ver [5]. El esimador de escala ˆσ no es nada adecuado en presencia de Observaciones Aípicas, ya que es conocido que una única observación de la muesra es capaz de influir de al manera en su cálculo que puede arrasrarla hacia cualquier valor deseado. Así, ya que la presencia de Observaciones Aípicas es posible en la variable en esudio, y que los procedimienos clásicos no esán proegidos ane ellas, proponemos un esudio mediane oros esimadores de escala con buenas propiedades en robusez, de manera que nos proporcionen resulados más reales del Valor de Riesgo Esimadores de Escala Robusos Muchos esimadores de escala se definen uilizando un esimador de posición como base para su consrucción, e incluso siguiendo su esrucura (por ejemplo, la

15 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 133 varianza mediane la media). En general, el comporamieno ane la presencia de Observaciones Aípicas de los esimadores de escala definidos mediane un esimador de posición, heredan las propiedades de esos úlimos, por lo que el uso de esimadores de posición más resisenes a la presencia de Observaciones Aípicas promee unos esimadores más adecuados al esudio de muesras conaminadas. Por ora pare, como es conocido y se comena en diversos rabajos (por ejemplo; Marin y Zamar, 1993), la eficiencia es un concepo que en general se conrapone al de robusez, de manera que esimadores poco robusos son muy eficienes, y viceversa. Por lo ano, es necesario omar una decisión de compromiso de manera que no sea dejada de lado oalmene ninguna de las dos caracerísicas. Un esimador de posición con buenas propiedades en robusez es la conocida mediana, aunque su eficiencia en poblaciones siméricas con respeco a la media es del 64%. La media y la mediana pueden ser considerados como elemenos exremos de una familia conocida por el nombre de Trimmed Means, que raduciremos por Medias Truncadas. Los elemenos de esa familia uilizan para su definición un parámero o Nivel de Truncamieno (número real que denoaremos por α), donde la Media Truncada a Nivel de Truncamieno α (α_truncada) se consruye como la media de las observaciones de la muesra eliminando el α% de las observaciones mayores y el α% de las menores. Es decir, dada la muesra x={x 1,x,...,x n } de la variable X, donde denoamos por x [i] a la observación en la posición i-ésima de una ordenación de menor a mayor de los elemenos de x, y eligiendo α [0,50) donde a=in(αn/100) (donde In denoa pare enera), se define α_truncada de x, que denoaremos por α_trun(x), de la forma: n a 1 α_ Trun(x) = x[] i [9] n a i= a+ 1 Noar que un runcamieno a nivel 0 coincide con la media muesral, y si α iende a 50 enonces el concepo iende a la mediana muesral, de manera que, omando por convenio que 50_Truncada es la mediana, podemos definir las α_truncada para odo α en el inervalo cerrado [0,50]. Las propiedades de ese esimador son esudiadas en Hoaglin y oros (1983). De ellas, y uilizando propiedades de los Esadísicos Ordenados(), es fácil demosrar que α_truncada es un esimador Insesgado. Por ora pare, respeco de las propiedades en robusez de esos esimadores (ver Rousseeuw y Leroy, 1987) () La propiedad necesaria se puede enunciar de la forma: Si x={x 1,x,...,x n } es una muesra aleaoria simple de amaño n de la variable X, que sigue una Disribución Simérica de media µ, y recordando la noación de x [i], enonces se cumple que: E[x [n-i+1] ]+E[x [i] ] = µ,, para odo i=1,,...,n.

16 134 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA son Equivarianes Afín, ienen Puno de Rupura de valor (a+1)/n, con Puno de Rupura Asinóico de α/100 y son B-Robusos siempre que a 1. Además, de la conroversia enre Robusez y Eficiencia (considerando Eficiencia Relaiva con respeco a la media), debemos hacer noar que la Eficiencia de esos esimadores bajo el supueso de Normalidad en la variable observada (siguiendo a Hampel y oros, 1986) puede ser aproximada mediane la forma lineal ( α)%, por lo que los elemenos de esa familia recorren los diferenes rangos de esa propiedades enre el 64% (de la mediana) y el máximo, el 100% (de la media). Es fácil observar que la media (0_Truncada) iene la mayor Eficiencia posible en Disribuciones Normales, juno con el peor comporamieno ane Observaciones Aípicas (Puno de Rupura de valor 0, con Función de Influencia no acoada, es decir no es B-Robuso,...), mienras que, en el oro exremo, la mediana (50_Truncada) iene una Eficiencia menor (del 64%) bajo Normalidad, siendo su Puno de Rupura Asinóico el máximo posible, con Función de Influencia acoada, y en definiiva comporamienos más idóneos para el raamieno de Observaciones Aípicas. Reomando el comenario inicial de esa sección, en el que se exponía el hecho de que es habiual la consrucción de esimadores de escala a parir de esimadores de posición, creemos que una buena elección para la consrucción de esimadores de escala sería la uilización de los elemenos de la familia de Medias Truncadas. Esa decisión generaría una familia de esimadores de escala con elemenos recorriendo combinaciones de ambas propiedades genéricas anes ciadas La Familia de Esimadores αβ-truncada Pariendo de la esrucura de la conocida varianza (definida como la media de los cuadrados de las disancias de las observaciones a la media), en Orega (000) se propone la consrucción de una familia de nuevos esimadores de escala, siguiendo la esrucura de la varianza pero susiuyendo medias por elemenos de la familia de las Medias Truncadas. Así, dada la esrucura de la varianza y las Medias Truncadas, se define una familia de esimadores de escala mediane dos parámeros de runcamienos; uno uilizado para calcular un esimador de posición que haga las veces de media (denoado por α), y oro que nos proporcione, en vez de la media de las disancias de las observaciones a esa medida de posición, la media runcada de ésas disancias (denoado por β). La propuesa de los elemenos de dicha familia de esimadores de escala, dada la muesra x={x 1,x,...,x n } de la variable X, eligiendo los parámeros α [0,50] y β [0,50] y conocida la familia Medias Truncadas [9], queda definido el concepo αβ_truncada sobre x como:

17 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 135 αβ_ Trun(x) = C ( ) X ( α, β) β _ Trun xi α _ Trun(x) [10] i donde C X (α,β) es un coeficiene, dependiene de la disribución de la variable X, y de α y β, que nos asegura la consisencia de ese esimador. Noar que, moviendo α y β en el inervalo [0,50] se consruye una familia, de manera que cada elemeno de ésa proporciona una Media Truncada (a nivel β) de las disancias de la colección de x a un represenane de esos, calculado mediane ora Media Truncada (ahora a nivel α). En Orega (000) se encuenran abulados los valores de los coeficienes C X (α,β) para variables X Normales y cualquier combinación de α y β. La familia αβ_truncada ienen buenas propiedades en robusez como, que son esimadores Equivarianes, con Eficiencia Relaiva bajo Normalidad (con respeco a la varianza corregida) enre el 38.35% y el 100%, dependiendo de los Niveles de Truncamieno considerados, con Puno de Rupura de valor Min{a+1,b+1}, con a=in(αn/100) y b=in(βn/100), siendo el Puno de Rupura Asinóico de la forma Min{α/100,β/100}, y con Curva de Sensibilidad acoada siempre que Min{a,b}>1. Por eso, dicha familia forma un abanico de esimadores de escala con buenas propiedades ane la presencia de Observaciones Aípicas, siendo de inerés su uso en el caso de muesras conaminadas. Los Niveles de Truncamieno (valores de α y β) influyen de manera direca en las propiedades del esimador αβ_truncada que definen, como ocurre para la familia de Medias Truncadas. Siguiendo algunos esudios sobre ese ema para el caso de la familia de Medias Truncadas (ver: Hoaglin y oros, 1983; Hampel y oros, 1986 y Peña, 199) se consideran unos niveles acepables para α [0,10], es decir, eliminar de la muesra en esudio menos del 10% de las observaciones menores y mayores de ésa. Así, para el caso de los elemenos de la familia αβ_truncada, ambién consideraremos Niveles de Truncamieno en el inervalo [0,10], dependiendo del valor a priori que pensemos puede haber de Observaciones Aípicas en el esudio. 4.. Esimación robusa de VaR Dada la definición de VaR en [4], donde bajo los supuesos del Enfoque de Varianzas-Covarianzas se consruye mediane VaR = P zcσ, con P el valor inicial VC de la carera, en el inervalo emporal considerado, z c el percenil c de la Normal esándar considerado y σ la esimación mediane el esimador Máximo Verosímil, ahora, uilizando las écnicas robusas descrias en el aparado anerior, propone-

18 136 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA mos una esimación robusa del parámero σ mediane la familia de esimadores αβ_truncada. Así, elegidos unos deerminados Niveles de Truncamieno (α y β) y considerada la muesra r={r, r -1,..., r -v+1 } de la variable R, definimos un esimador robuso de σ uilizando [10] de la forma: σ ~ = [11] [ αβ _ Trun(r) ] 1/ Noar que para la definición de ese esimador, es necesaria la elección de unos concreos Niveles de Truncamieno, los cuales deben ser deerminados de manera que la pérdida de eficiencia del esimador considerado sea la mínima posible, y al mismo iempo, sea suficienemene robuso como para proeger la esimación de las posibles Observaciones Aípicas. Una vez calculado σ ~ para unos deerminados Niveles de Truncamieno, el Valor en Riesgo Robuso, denoado por VaR, queda definido de la R forma: Definición. Dada una carera y la muesra r={r, r -1,..., r -v+1 } de la variable R Rendimienos (R), definimos el Valor en Riesgo Robuso en el insane, VaR, a un nivel de probabilidad c como: VaR R = P z ~ σ c donde P es el valor inicial de la carera, z c es el percenil c de la Normal esándar, y σ ~ es dada por (11) para la muesra r y deerminados Niveles de Truncamieno α y β. En definiiva, mediane la Definición proponemos una nueva aproximación de VaR basándonos en el Enfoque de Varianzas-Covarianzas y mediane écnicas robusas, que nos aseguran un comporamieno de dicho valor no influido por posibles Observaciones Aípicas en la muesra uilizada para la esimación. 5. APLICACIÓN A LA CARTERA DEL IBEX Los modelos descrios en ese rabajo serán aplicados sobre una carera de rena variable. Adicionalmene uilizaremos una serie de medidas sencillas, propuesas por Hendricks (1996), con el objeivo de evaluar, a un nivel básico, el comporamieno de los modelos propuesos.

19 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO Planeamieno general El análisis de los modelos propuesos se realizará sobre la carera del IBEX, asumiendo que la inversión inicial en cada periodo es siempre la misma. Arbirariamene hemos elegido una cifra de 100 millones de euros para poder presenar gráficos y ablas en euros, aunque la valía de los resulados es independiene de esa cifra. Figura 1 EVOLUCIÓN DE LA RENTABILIDAD DEL IBEX 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% -,00% -4,00% -6,00% -8,00% 5/01/93 5/04/93 5/07/93 5/10/93 5/01/94 Renabilidad 5/04/94 5/07/94 5/10/94 5/01/95 5/04/95 5/07/95 5/10/95 5/01/96 5/04/96 5/07/96 5/10/96 5/01/97 5/04/97 5/07/97 5/10/97 5/01/98 5/04/98 5/07/98 5/10/98 El periodo de análisis se inicia el 5/01/93 y finaliza el 30/1/98. La oma de observaciones es diaria, por lo que el periodo considerado coniene 1490 observaciones. La Figura 1 muesra la evolución de los rendimienos diarios de dicha carera durane el periodo de análisis. En dicho gráfico se puede observar que el periodo de análisis incluye periodos de baja volailidad y ala volailidad. Inuimos dos subperiodos bien diferenciados respeco al comporamieno de la carera. Un primer subperiodo caracerizado por poca volailidad y un comporamieno regular de los rendimienos, que abarca (aproximadamene) del día 5/01/93 al 9/1/95 y un segundo subperiodo del /01/96 al 30/1/98 de ala volailidad y mayor inesabilidad en el comporamieno (especialmene las fechas de la moraoria Rusa cercanas al 30/1/98 aparece una gran variabilidad en la carera). Las caracerísicas esadísicas de esa carera se muesran en la Figura. En esa abla se disinguió los dos subperiodos mencionados aneriormene. Enconramos que la desviación ípica en el segundo subperiodo es aproximadamene un 40% mayor que en el primer subperiodo, lo que confirma lo que se puede apreciar

20 138 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA en la Figura 1. Todavía es mas sorprendene la diferencia enre subperiodos en la forma de la disribución. El es de Kolmogorov-Smirnof realizado en los dos subperiodos demuesra que la hipóesis de normalidad no es desechable para el primer ramo de observaciones (p-valor de 0.33), mienras que la hipóesis de normalidad no es acepable para la segunda pare observacional (p-valor de 0.001). Figura CARACTERÍSTICAS DE LA RENTABILIDAD DEL IBEX POR SUBPERÍODOS Periodo Días Media D. Típica p-valor(ks) Toal(05/01/93 a 30/1/98) % 1.614% Primero (5/1/93 al 9/1/95) % 1.071% 0.39 Segundo (/1/96 al 30/1/98) % % En consecuencia el comporamieno de la carera no es homogéneo en el iempo. Considerando el oal del periodo podemos apreciar en la Figura que la hipóesis de normalidad es insosenible (p-valor de Kolmogorov-Smirnof de 0.001). Figura 3 HISTOGRAMA DE LA RENTABILIDAD DEL IBEX (PERÍODO: 5/01/93 HASTA 30/1/98, DONDE SE HA SUPERPUESTO UNA CURVA NORMAL CON MEDIA Y VARIANZA IGUALES A LAS ENCONTRADAS EN LA CARTERA EN EL PERÍODO EN ESTUDIO 0,040 0,035 0,030 0,05 0,00 0,015 0,010 0,005 0,000-0,046-0,04-0,038-0,035-0,031-0,07-0,03-0,019-0,016-0,01-0,008-0,004 0,000 0,003 0,007 0,011 0,015 0,018 0,0 0,06 0,030 0,034 0,037 0,041 0,045 Frecuencia relaiva Inervalos de rendimieno Ibex Normal

21 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 139 Esas caracerísicas condicionaran los resulados obenidos por los modelos basados en el supueso de normalidad, especialmene cuando se uilicen alos niveles de confianza. La Figura 3 muesra el hisograma de los rendimienos de la carera analizada, juno con el perfil de la Normal de igual media y varianza. Como se puede apreciar, la disribución real de la carera presena picos más alos que la correspondiene a una disribución normal y, además, presena una mayor frecuencia de resulados exremos de los que se esperaría en una disribución normal. Esas caracerísicas son propias de una disribución con un coeficiene de apunamieno significaivamene mayor que el de una disribución normal. 5.. Cálculos de los modelos y resulados Para comparar los resulados obenidos a parir de las propuesas realizadas a lo largo del rabajo, decidimos uilizar un periodo de esimación de 75 observaciones. En consecuencia calculamos, para cada uno de los enfoques propuesos, 1415 esimaciones del VaR, a parir de niveles de probabilidad c=0.95 (un 5% de excepciones esperadas) y de c=0.99 (un 1% de excepciones esperadas). Considerando una inversión inicial, en cada periodo, consane de 100 millones de euros (P = ), el cálculo del VaR mediane cada uno de los méodos considerados es: Bayesiano (Bnorm): Traamieno bayesiano al modelo Normal sobre las observaciones. Lo que da lugar a: VaR B,Norm = P S 75, c recordamos que la expresión de arriba coincide con la propuesa por la meodología clásica (ver [5]), por lo que los resulados obenidos en ambos coinciden. Bayesiano (B.GI): Traamieno Empírico-Bayes al modelo jerárquico Normal con varianzas disribuidas Gamma-Inverida. Da lugar a: VaR B,IG = P αˆ, c βˆ αˆ siendo αˆ y βˆ los esimadores máximos verosímiles (máximos de [7]) a parir de las aneriores 75 observaciones. Robuso (Rob): Traamieno robuso. Obeniéndose como resulado VaR R = P z ~ σ c

22 140 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA donde σ ~ se calcula mediane [11] para Niveles de Truncamieno α 0 =0 y β 0 =5, ya que suponemos que la variable renabilidad es Normal de media cero, y el porcenaje de Observaciones Aípicas es pequeña, y con un Coeficiene de Consisencia, uilizando (10), de C X (α,β)= donde debemos recordar que z c y (75,c) denoan el percenil c de las disribuciones R Normal y 75, respecivamene. Por ora pare, VaR obenido cuena con buenas propiedades, ales como: ser Equivariane; con Puno de Rupura Asinóico de valor 5%; y con Curva de Sensibilidad acoada; con una pequeña pérdida de Eficiencia, siendo la Eficiencia Relaiva, con respeco a la Varianza Corregida del 87%. Figura 4 COMPORTAMIENTO DEL VAR BAYESIANO CON MODELO NORMAL (BNORM) (COINCIDENTE CON EL CLÁSICO). SE REPRESENTAN LAS PÉRDIDAS Y EL VAR (CAMBIADO DE SIGNO) PARA NIVELES c=0.95 (LÍ- NEA SUPERIOR) Y c=0.99 (LÍNEA INFERIOR) Pérdidas(euros) /04/1993 3/07/1993 3/10/1993 3/01/1994 3/04/1994 3/07/1994 3/10/1994 3/01/1995 3/04/1995 3/07/1995 3/10/1995 3/01/1996 3/04/1996 3/07/1996 3/10/1996 3/01/1997 3/04/1997 3/07/1997 3/10/1997 3/01/1998 3/04/1998 3/07/1998 3/10/1998 Pérdida -VaR 95% -VaR 99%

23 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 141 Figura 5 COMPORTAMIENTO DEL VAR BAYESIANO CON MODELO NORMAL- GAMMAINVERTIDA (B.GI). SE REPRESENTAN LAS PÉRDIDAS Y EL VAR (CAMBIADO DE SIGNO) PARA NIVELES c=0.95 (LÍNEA SUPERIOR) Y c=0.99 (LÍNEA INFERIOR) Pérdidas(euros) /04/1993 3/07/1993 3/10/1993 3/01/1994 3/04/1994 3/07/1994 3/10/1994 3/01/1995 3/04/1995 3/07/1995 3/10/1995 3/01/1996 3/04/1996 3/07/1996 3/10/1996 3/01/1997 3/04/1997 3/07/1997 3/10/1997 3/01/1998 3/04/1998 3/07/1998 3/10/1998 Pérdida -VaR 95% -VaR 99%

24 14 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Figura 6 COMPORTAMIENTO DEL VAR ROBUSTO (ROB). SE REPRESENTAN LAS PÉRDIDAS Y EL VAR (CAMBIADO DE SIGNO) PARA NIVELES c=0.95 (LÍNEA SUPERIOR) Y c=0.99 (LÍNEA INFERIOR) /04/1993 3/07/1993 3/10/1993 3/01/1994 3/04/1994 Pérdidas(euros) 3/07/1994 3/10/1994 3/01/1995 3/04/1995 3/07/1995 3/10/1995 3/01/1996 3/04/1996 3/07/1996 3/10/1996 3/01/1997 3/04/1997 3/07/1997 3/10/1997 3/01/1998 3/04/1998 3/07/1998 3/10/1998 Perdidas -VaR 95% -VaR 99% Las Figuras 4 a 6 comparan las pérdidas de la carera con las correspondienes medidas del VaR, obenidas mediane los diferenes méodos considerados, a niveles de probabilidad c=0.05 (línea superior) y c=0.01 (línea inferior). En aquellos casos donde la pérdida observada es inferior al VaR se produce una excepción. Enconramos que los conornos de las disinas propuesas es similar. Observamos que a coro plazo las oscilaciones de los valores del VaR para los modelos B.GI y Rob es mucho mayor que los demás, denoando mayor sensibilidad a los cambios en la carera. En paricular en el cálculo B.GI los conornos son muy flucuanes debido a que el modelo permie heerocedasicidad.

25 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO Evaluación de resulados En ese aparado aplicamos una serie de crierios de evaluación, propuesos en Hendricks (1996), que miden la bondad prediciva de los procedimienos. El Múliplo Medio analiza el amaño medio de las excepciones. Dicho valor ha sido calculado como la media del cociene enre el valor absoluo de la pérdida real y el correspondiene VaR en aquellos casos en los que se ha producido efecivamene una excepción, de manera que la medida obenida nos indica, en érminos porcenuales, el amaño medio de la excepción con respeco a su VaR correspondiene. Por ejemplo, si el valor medio del amaño de las excepciones es igual a 1.5, las pérdidas que suponen una excepción son por érmino medio superiores a su correspondiene VaR en un 50%. El Múliplo Máximo iene relación con la máxima pérdida del íulo o carera. El amaño máximo de la excepción esá medido en los mismos érminos que el crierio anerior, solo que ahora no promediamos los amaños de las excepciones si no que omamos para cada modelo el valor máximo observado. Esa forma de medir el amaño máximo de la pérdida realizada con respeco al correspondiene VaR esimado es por lo ano muy dependiene de la longiud del periodo analizado (en nuesro caso casi cinco años). Para periodos mas coros, el amaño medio de la excepción obenido sería menor. El Múliplo Necesario se cenra en el amaño del ajuse que se debería aplicar sobre los valores obenidos para alcanzar una coberura perfeca en función del nivel de confianza uilizado. Para obener dicho valor, simplemene calculamos a poseriori la canidad (múliplo) por la que habría que haber muliplicado cada uno de los valores producidos por un modelo para que en el periodo de análisis, dicho modelo hubiera cumplido perfecamene con el nivel de coberura deseado (95% o 99%). Ese crierio de evaluación de los modelos VaR es por lo ano un complemeno al crierio del porcenaje de excepciones, dado que iene en cuena el amaño del error poencial en la medida del riesgo en vez del porcenaje de excepciones producido por un modelo. Un valor muy cercano a uno significa que el modelo produce medidas del riesgo muy acepables e indicaría que el modelo no necesia ser corregido para producir una coberura perfeca. Esos crierios son en realidad un conjuno de medidas básicas, cuyo objeivo es describir el comporamieno de los modelos con respeco a deerminadas caracerísicas concreas. La Figura 7 muesra los resulados de aplicar dichos crierios a los res méodos propuesos, juno a los resulados obenidos sobre el modelo clásico. La evaluación se ha realizado sobre el periodo oal (1415 valores VaR) y

26 144 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA sobre los dos subperiodos en los que se hemos dividido el periodo oal (668 y 747 valores, respecivamene). Figura 7 RESULTADOS DE LOS PROCEDIMIENTOS ALTERNATIVOS. DIVIDIDOS EN DOS SUBPERIODOS Excepciones y múliplos Muesra (dias) Excepciones (número) Excepciones (porcenaje) Múliplo medio Múliplo máximo Múliplo necesario Panel A. VaR 95% Periodo oal (3/04/93 al 30/1/98) Bnorm ,88% 1,47 3,855 0,984 B.IG ,81% 1,449 3,941 0,987 Rob ,81% 1,450 3,946 0,996 Primer Per. (3/04/93 al 9/1/95) Bnorm ,4% 1,98,113 1,00 B.IG ,09% 1,318,11 1,001 Rob ,94% 1,335,119 0,997 Segundo Per. (0/01/96 al 30/1/98) Bnorm ,55% 1,560 3,855 0,950 B.IG ,55% 1,580 3,941 0,950 Rob ,69% 1,559 3,946 0,979 Panel B. VaR 99% Periodo oal (3/04/93 al 30/1/98) Bnorm ,77% 1,36,76 1,199 B.IG ,84% 1,35,843 1,04 Rob ,77% 1,347,790 1,4 Primer Per. (3/04/93 al 9/1/95) Bnorm ,0% 1,61 1,494 1,088 B.IG ,0% 1,6 1,511 1,078 Rob ,0% 1,75 1,498 1,068 Segundo Per. (0/01/96 al 30/1/98) Bnorm ,8% 1,356,76 1,6 B.IG ,41% 1,353,843 1,44 Rob ,8% 1,381,790 1,43 Los resulados muesran un buen comporamieno de odos los modelos a un nivel de confianza del 95%. En ninguno de los casos, el porcenaje de excepciones observado es muy disino del eórico. La propuesa Robusa desaca por su comporamieno en el segundo subperiodo, ano por el porcenaje de excepciones (más cercano al 5% objeivo), como por el múliplo necesario (más cercano a uno). Eso puede ser debido a que las écnicas robusas caracerizan de mejor modo los

27 ALTERNATIVAS ESTADÍSTICAS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO 145 comporamienos exremos, que son mucho más acusados sobre odo al final de dicho subperiodo. Sin embargo, los modelos muesran dificulades para capurar el riesgo de la carera a un nivel de confianza del 99%. El comporamieno de los modelos es muy diferene en cada uno de los subperiodos considerados. Durane el primer subperiodo (periodo de menor volailidad), odos los modelos producen porcenajes de excepciones compaibles con el 1% eórico. Sin embargo, durane el segundo subperiodo (con ala volailidad), el número de excepciones es excesivamene alo como para acepar la hipóesis de que el porcenaje de excepciones observado es igual al eórico. Noamos que en el segundo subperiodo, el porcenaje de excepciones observado es superior al predicho por odos los modelos, concluyendo que el percenil 1% de la disribución real de los rendimienos, en periodos de ala volailidad, esá más alejado de la media de lo que suponen los modelos uilizados. Eso indica que para predecir correcamene en esas circunsancias, se hace necesario seguir invesigando la forma de incorporar el raamieno de las colas gruesas mediane esos méodos. En la acualidad esamos considerando modelos de colas más densas, en el conexo bayesiano, y écnicas que proporciones oros niveles de runcamienos más adecuados, para el ámbio robuso. 6. CONCLUSIONES En ese rabajo se han presenado los concepos básicos para calcular el VaR uilizando meodologías bayesianas y meodologías robusas. El rabajo iene un alo componene divulgaivo en las écnicas presenadas, siendo su objeivo prioriario abrir posibles líneas de invesigación para fuuros rabajos. En la meodología bayesiana, inroducida en la Sección 3, la predicción se gesiona de manera muy naural, pudiendo inroducir modelos muy realisas y precisos para conseguir predicciones an aceradas como se quiera. En ese rabajo se aplicó la meodología bayesiana a dos modelos sencillos. Un análisis en dealle del funcionamieno de los modelos permiirá aprender sus debilidades para conseguir asignar modelos alernaivos que se ajusen más a las caracerísicas concreas de la carera en esudio. En paricular, observamos en la Sección 5, que en el esudio del IBEX se requieren modelos con colas más gruesas que la disribución Suden, pues ésa se manifiesa poco capaz de predecir correcamene los perceniles 0.05 y En raamienos no-bayesianos, modelos disinos al Normal dificulan muy seriamene su raamieno, lo que en la mayoría de las ocasiones induce a la so-