Estudio Empírico de la Selección y Estimación de los Modelos de Crecimiento Estadístico

Transcripción

1 Esudio Empírico de la Selección Esimación de los Modelos de Crecimieno Esadísico S. Amirkhalhali, U.L.G. Rao and S. Amirkhalkhali 1 Resumen: En ese papel se comparan los modelos de crecimieno Lineal Exponencial con el fin de permiirle al invesigador seleccionar el modelo apropiado con el propósio de esimar la asa de crecimieno. Conclue que el modelo exponencial se sobre impone al modelo Lineal. Empírical Economics, Vol. 10, 1985, páginas Inroducción En su rabajo pionero Pesek (1961) se preguna acerca de los méodos uilizados para calcular las asas de crecimieno. Desaforunadamene Pesek no consideró ningún modelo esadísico formal, ni comparó las propiedades de los esimadores usados para calcular las asa de crecimieno. Los invesigadores empíricos a menudo uilizan dos modelos de crecimieno esadísico, a saber: el modelo Lineal (ML) el modelo Exponencial (ME). De acuerdo con eso, nosoros consideramos esos dos modelos formulamos la siguiene inerrogane: Cuál de los dos modelos provee una mejor caracerización, en senido esadísico, del proceso bajo invesigación?. Con ese fin se esiman comparan las asas de crecimieno de varios agregados macroeconómicos para un grupo de países indusrializados. Más imporane aún, se usará el crierio Error Absoluo Medio Porcenual (MAPE, por sus siglas en inglés) para comparar la acuación relaiva de los modelos esimados. En la sección se inroducen los modelos. También se discuen las asas de crecimieno basadas en cada uno de ellos el crierio del MAPE para seleccionar el mejor modelo. En la sección 3 se presenan e inerprean los resulados empíricos. Finalmene, en la sección 4 se resumen las conclusiones 3.. Objeivos 1. Esimar los parámeros α, β σ para cada uno de los modelos considerados. Seleccionar el modelo que mejor se ajuse a los daos de la muesra 3. Esimar la asa de crecimieno θ basado en cada uno de los modelos 3 Los Modelos los Esimadores de las Tasas de Crecimieno En esa sección se especifican los dos modelos los esimadores correspondienes de las asas de crecimieno. También se discue el crierio para seleccionar el mejor modelo. 1 Samad Amirkhalkhali, U.L. Gouranga Rao Saleh Amirkhalkhali, An Empirical Sud of Selecion and Esimaion of Saisical Growh Models. Deparameno de Economía, Universidad Dahlhousie. Halifax, Nueva Escocia, Canada, B Traducción, adapación comenarios de Hécor L. MATA Brio, Profesor iular de la Faculad de Ciencias Económicas Sociales (FACES) de la Universidad de los Andes (ULA), para uso exclusivo de los alumnos de Economía Aplicada Economería I, respecivamene. Mérida, Marzo de Los números enre corchees indican los números de las ecuaciones. La lieraura ciada se indica con números enre parénesis.

2 3.1 El Modelo Lineal El modelo Lineal se especifica de la siguiene forma: [1] = α + β + u, 1,,..., T. en donde: = denoa la observación h de la variable dependiene es el período de iempo. u es el érmino error, con sus supuesos caracerísicos: NID(0, σ ) La pendiene β = d d (derivada de la variable dependiene con respeco al iempo) mide la endencia lineal en el agregado macroeconómico. Dado que el modelo lineal [1] saisface odos los supuesos esándar del modelo de regresión normal, se puede uilizar los esimadores Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) con el fin de obener los esimados ópimos α ˆ de α, βˆ de β σˆ de σ. Noen que los esimados αˆ βˆ serán idénicos a los esimados de Máxima Verosimiliud (MV) debido a que los errores u siguen una le de probabilidad normal. La asa de crecimieno se esima, a parir del modelo Lineal, de la siguiene forma: ˆβ [] θ = en donde: θ es la asa de crecimieno βˆ es la pendiene o coeficiene de regresión esimado a parir del modelo lineal es la media ariméica de la variable. Por lo que θ mide la asa de crecimieno promedio en durane los T períodos 3. El Modelo Exponencial El modelo Exponencial se especifica al como sigue: u [3] = AB e, A,B > 0, 1,,..., T. en donde, = u ienen el mismo significado que en el modelo Lineal Debido a que los errores esán normal e independienemene disribuidos, u NID( 0, σ ), el anilogarimo de lo errores u (recuerden que la variable fue ransformada en logarimos) son variables aleaorias independienemene disribuidas las cuales siguen una le de probabilidad Log normal con media igual al anilogarimo de ( σ / ) varianza igual al anilogarimo de σ (anilogarimo( σ )-1).

3 Ese es el bien conocido modelo de la asa de crecimieno compueso el cual es discuido en Goldberger [15-16] Johnson [66-68]. Si θ represena la asa de crecimieno compuesa, enonces β = ( 1 + θ). El objeivo es esimar los parámeros A, B σ del modelo exponencial la asa de crecimieno θ. Dado que el modelo [3] no se puede esimar direcamene mediane el méodo de los MCO, se hace necesario linealizarlo previamene en logarimo, al como se indica en [4]: [4] Ln = α + β + u, 1,,..., T. = en donde: α = Ln A β = Ln B El modelo ransformado [4] saisface odos los supuesos del modelo de regresión normal en donde la variable dependiene es el logarimo del agregado macroeconómico, es decir Ln. De aquí que los esimados de Máxima Verosimiliud  de A Bˆ de B vienen dados por [5] A = ani log arimo ( α) B = anilogarimo ( β ~ ) α β respeciva- En donde α ~ β ~ son los esimados de máxima verosimiliud de mene. Noen que el mejor esimado insesgado cuadráico (cuadráico en de Ln ~σ de σ se puede obener a parir de los residuos de la ecuación esimada. Finalmene, el esimado 4 de Máxima Verosimiliud de la asa de crecimieno θ para el modelo de regresión exponencial viene dado por la siguiene expresión: [6] ~ θ = B ~ 1 4. Selección del Modelo Uno de los objeivos principales de ese esudio consise en examinar cual de los dos modelos considerados se ajusa mejor a los daos de los agregados macroeconómicos. Para al fin se uilizará el crierio del Error Absoluo Medio Relaivo (MA- PE, por sus siglas en inglés) con el fin de medir la bondad del ajuse. El MAPE se define como: [6] MAPE = 100 ( ŷ / )/ T 4 son asinóicamene insesgados, consisenes asinóicamene eficienes. Esos esimadores esarán insesgados en pequeñas muesras, siendo fácil mosrar que E(B ~ ) = ani log arimo( β + var( β ~ ) / ). Dado que se conoce el sesgo, se puede corregir el sesgo en B ~ obener el esimador insesgado B & = B ~ / ani log arimo (var( β ~ ) / ). A ~ B ~ En ese rabajo se esimó la asa de crecimieno basada ano en el esimador sesgado B ~ como en el esimador insesgado B &, obeniéndose los mismos resulados. Eso es lo que se esperaba en visa del hecho de que los errores esándar son mucho más pequeños los esimados de las asa de crecimieno, en odos los casos. Dada esa circunsancia, no se reporan las asas de crecimieno esimadas a parir de B & )

4 en donde: ŷ son los valores observados de la serie macroeconómica son los valores esimados de la variable dependiene El MAPE es por definición un número puro posiivo que no depende de las unidades de medida. Para decidir cual de los dos modelos se ajusa mejor a los daos de los agregados macroeconómicos se calculan comparan sus respecivos MAPEs, seleccionando aquel que enga el MAPE más bajo. Además del crierio MAPE exisen oros para medir la bondad del ajuse. El MAPE parece ser el más popular enre los invesigadores, por lo que será uilizado en ese rabajo. Para una discusión adicional acerca de las medidas de la bondad del ajuse, consulen a Klein [4-43]. Adicionalmene, cuando se esima un modelo usando series emporales, al como es nuesro caso, generalmene resula que los errores de la ecuación esimada esán seriamene auo correlacionados. Confronados con esa siuación, la maor pare de los invesigadores asumen que los errores siguen un esquema auo regresivo de primer orden. La prueba esadísica de Durbin-Wason (DW), desarrollada para probar la significancia del coeficiene de auo correlación de primer orden en los errores, es la prueba mas comúnmene uilizada en las invesigaciones empíricas. Vean, por ejemplo, a Johnson [ ]. De acuerdo con eso se procederá a comparar los resulados de los modelos con respeco a sus DWs. 4. Resulados empíricos A coninuación se esiman las asas de crecimieno para cuaro agregados macroeconómicos a parir de los modelos [1] [3], respecivamene. Dichas series son: el produco inerno bruo (GDP, por sus siglas en inglés), la formación brua de capial fijo (GFCF), el empleo (EM) el cambio en el índice de precios de los consumidores (CPI). Se considerarán los países del llamado grupo de los siee, formado por Canadá, Francia, Alemania, Ialia, Japón, Reino Unido los Esados Unidos de Nore América, con el fin de comparar las asas de crecimieno. El período considerado es el comprendido enre los años A Propósio se dividió dicho período en dos sub períodos en virud de la ocurrencia de algunos cambios esrucurales ocurridos en la economía de los países indusrializados desde , los cuales resularon en sagflaion. Dichos períodos son: , respecivamene. En ese aspeco, los precios del peróleo debido al poder de mercado de la OPEC, por una pare el incremeno en el poder oligopolísico ano del produco como en el mercado de la mano de obra por la ora, pudieran ser los responsables de al siuación. Las ablas 1 hasa la 4 muesran las asas de crecimieno esimadas por países, por sub períodos, por modelos por agregados económicos. Los modelos se idenifican por los esimadores uilizados: LS represena el modelo Lineal ML represena el modelo Exponencial. Las asas de crecimieno esán en un odo de acuerdo con la división del período de iempo. Para casi odos los países las asas de crecimieno esimadas de las series GDP, GFCF EM, para el período , son más bajas que las obenidas para el período Eso es ciero para el caso de las asas de crecimieno esimadas en ambos modelos. En casi odos los casos, las asas de crecimieno esimadas a parir del Modelo Lineal son más bajas que aquellas esimadas con el modelo Exponencial.

5 En la abla 5 se muesra la prueba esadísica de Durbin Wason para los dos modelos basados en el período Es obvio que las magniudes del esadísico DW dependen casi eneramene de las series de los daos más que de los modelos de crecimieno uilizados. Cual de los dos modelos da mejor esimación de las asas de crecimieno?. Para dar respuesa a esa preguna ha que comparar la acuación relaiva de los modelos usando el crierio del MAPE. Los MAPEs correspondienes a los dos modelos se presenan en las ablas 6 hasa 9. Los resulados de dichas ablas hablan por si mismas. Los MAPES calculados a parir del modelo Lineal son más alos que aquellos calculados con el modelo Exponencial. En oras palabras, el modelo lineal uvo una acuación mu pobre relaiva al modelo exponencial. Eso es ciero para el caso de odos los países, para los cuaro series macroeconómicas para los res períodos de iempo considerados. Sin embargo, debe señalarse que ambos modelos ienen una pobre acuación especialmene en aquellos daos a los cuales se les ha removido la endencia, como es el caso de la serie CPI. No obsane, aún en ese caso, el modelo exponencial sigue reporando MAPEs más bajo que el modelo Lineal. 5. Conclusiones: 1. Los resulados empíricos del presene esudio permien concluir que el modelo exponencial, el cual se ajusa mejor a los daos, es más apropiado que el modelo Lineal.. Las asas de crecimieno esimadas a parir del modelo Exponencial ienden a ser más alas, por lo que se espera que las mismas sean más confiables que aquellas basadas en el modelo Lineal. 3. Se recomienda al invesigador empírico uilizar preferiblemene el modelo exponencial con el fin de esimar las asas de crecimieno de los agregados macroeconómicos Agradecimienos El auor agradece con graiud las numerosas sugerencias recibidas de un críico anónimo Bibliografía Goldberger, A. S.: Economeric Theor. John Wille, New Cork 1964 Johnson, J.: Economeric Mehods. McGraw-Hill, New York 1984 Klein, L. R.: A Texbook of Economerics, Prenice Hall, N.J OECD: Naional Accouns Paris 1983 OECD: Labour Force Saisics. Various sigues, Paris Pesek, B. P.: Economic Growh and is Measuremen. Economic Developmen and Culural Change, Vol 9, 1961,

6 Tabla 1. Tasa de Crecimieno porcenual de la Serie GDP. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 1. Tasa de Crecimieno porcenual de la Serie GFCF. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 1. Tasa de Crecimieno porcenual de la Serie EM. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 1. Tasa de Crecimieno porcenual de la Serie CPI. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA

7 Tabla 5. Pruebas Esadísicas de Durbin-Wason de los dos modelos d L d son 0.90 u 1.1 respecivamene al nivel de significación del 0.01 U GDP GFCF EM CPI ML ME Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 6. Error Absoluo Medio Relaivo (MAPE): GDP. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 6. Error Absoluo Medio Relaivo (MAPE): GFCF. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA Tabla 6. Error Absoluo Medio Relaivo (MAPE): EM. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA

8 Tabla 6. Error Absoluo Medio Relaivo (MAPE): CPI. Canadá Francia Alemania Ialia Japón Reino Unido USA