Luis H. Villalpando Venegas,

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1 2007 Luis H. Villalpando Venegas, [SIMULACIÓN DE PRECIOS DEL PETROLEO BRENT ] En ese rabajo se preende simular el precio del peróleo Bren, a ravés de un proceso esocásico con reversión a la media, con el fin de valuar opciones sobre el precio a ravés del méodo Mone Carlo.

2 2 1. INTRODUCCIÓN Se puede definir a un commodiy como un produco alamene esandarizado y que puede ser ransado fluidamene en los mercados inernacionales. Enre esos producos se encuenran alimenos, minerales preciosos, no preciosos y el peróleo. Deaon y Laroque (1992): Esablecen que, por lo general los precios de los commodiies son sumamene voláiles. Las serie de precios no muesran una endencia clara incluso si se analiza un período de iempo lo suficienemene exenso, exhibiendo algunos salos que luego desaparecen rápidamene. Los precios de los commodiies presenan un proceso de reversión a su valor medio de largo plazo. Adicionalmene, y de modo similar a oros acivos financieros, esas variables exhiben períodos de elevada volailidad concenrados alrededor de cieros aconecimienos y una marcada asimería en su comporamieno frene a shocks de carácer exógeno. El precio del peróleo iene enre sus principales propiedades la reversión a la media y la endencia esocásica. Esa reversión a la media se explica debido a que se espera que los precios converjan hacia el valor del coso marginal de exracción por barril de crudo de largo plazo, al mismo iempo, ese valor límie puede flucuar de manera aleaoria debido a shocks exógenos que se producen en el mercado inernacional del peróleo. Los rabajos que han inenado modelar esadísicamene dicha serie han analizado el problema en érminos de endencias de largo plazo y de volailidad a coro plazo. El objeivo de ese análisis es modelar el comporamieno del precio del peróleo a ravés de un modelo esocásico, el cual pare del hecho que la variación de la serie de precios sigue un proceso esocásico con reversión a la media. En segundo érmino se propone uilizar ese proceso para ejemplificar la valuación de una opción sobre el precio del peróleo. 2. PROCESO ESTOCASTICO CON REVESIÓN A LA MEDIA Una variable cuyos valores cambian con el iempo de manera inciera se dice que sigue un proceso esocásico. Ese puede ser en iempo discreo o iempo coninuo si los cambios se realizan en punos fijos del iempo o en cualquier insane respecivamene. Bajo la hipóesis de que los precios de algún acivo crecen a una asa m y que los cambios en los precios en un inervalo de iempo ienen una varianza 2 enonces el

3 3 comporamieno de las variaciones en el precio de las acciones por ejemplo, puede represenarse por un proceso geomérico según la ecuación: ds usd SdW Para =0 N En donde se denomina volailidad del precio de la acción y es la asa esperada de reorno y W es un proceso Browniano. Los movimienos brownianos ienden a alejarse de sus valores iníciales, lo cual es apropiado para algunas variables como los precios de los acivos especulaivos pero, en oros casos, aunque los valores de coro plazo se muevan aleaoriamene, en largo plazo ienden a ajusarse hacia promedios hisóricos. En ese caso, se dice que la variable sigue un proceso de reversión hacia la media, el cual puede ser represenado por la siguiene ecuación diferencial esocásica. ds k ) ( m S d dw Para =0 N (1) Siendo K la velocidad de reversión a la media y m el nivel de largo plazo al cuál reviere la variable S. La volailidad de S es y dw represena un proceso de Browniano. Específicamene, el parámero K debería omar valores enre -1 y 1, donde 1 indica un ajuse insanáneo, mienras que si el parámero iende a cero, el ajuse será más leno. 3. DATOS Se uilizaron 239 daos diarios del precio del peróleo ipo Bren, a parir del 02 de enero de 2007 a 05 de diciembre de 2007, cuya fuene fue la Secrearía de Energía. En el gráfico 3.1 se muesra la serie del precio del Bren, la cual muesra un comporamieno esocásico. Gráfica 3.1 Precios del Bren

4 Precio /11/ /10/ /10/ /09/ /08/ /08/ /07/ /07/ /06/ /05/ /05/ /04/ /03/ /03/ /02/ /01/ /01/2007 En el cuadro 3.1 se muesran las esadísicas descripivas de la serie. En donde desaca el alo nivel del precio medio que se dio durane el Cuadro 3.1 Esadísicas Descripivas De los Precios del Bren Esadísicas BRENT Media Mediana Máximo Mínimo Desv. Es Simería 0.20 Kurosis ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para poder llevar al cabo el proceso esocásico aneriormene descrio se necesian esimar los siguienes parámeros; m y k. Con respeco a la sigma y el nivel medio a largo plazo se uilizaron como esimadores hisóricos de la serie, por lo cual y m= Para esimar el facor k se propuso uilizar el siguiene modelo auo regresivo de orden uno, denominado ambién proceso de reversión a la media, porque el valor de S iende hacia su valor esperado a largo plazo. Una expresión maemáica que muesra ese proceso es: S S k S E( S) 1 1 Para =0 N (2)

5 5 Donde E(S) es el valor medio esperado de la variable aleaoria S, y K es la velocidad con la que se aproxima el valor de la variable S a su valor medio (velocidad de ajuse)). De al manera que si el valor de S-1 es superior al valor medio esperado, el valor de S probablemene será inferior a dicho valor esperado. Desarrollando la ecuación (2). S S ks ke( S) 1 1 S ke( S) (1 k) S 1 S S 1 Para =0 N (3) Donde B=(1-k) y ke(s) La B esimada 1 que se enconró es de.996, por lo que la K esimada es de.004. De esa forma susiuyendo en la ecuación (1), el proceso Browniano para simular el precio del Bren es el siguiene: ds (71.67 S ) d 11. dw Para =0 N 5. SIMULACION DE LOS PRECIOS Desarrollando la ecuación (1) se llega a: S S.( 1 kd dw k m d Para =0 N (4) d ) En donde: S. Es el precio del Bren. K. Velocidad de reversión a la media. Volailidad. m. Media W. Proceso Browniano. 1 Anexo A; Resulados del Modelo

6 Precio 6 A coninuación se muesra, en el gráfico 5.1, 20 simulaciones para 60 inervalos del precio del Bren a parir de 06 de diciembre de En donde el úlimo precio observado fue de dólares por barril 05 de diciembre de Gráfica 5.1 Precios simulados del Bren Parámeros Precio inicial S0= volailidad valor esperado m Velocidad de reversión K= precio del ejercicio q= 85 horizone emporal T= número inervalos n= 60 amaño inervalo d= numero de simulaciones nsim Simulaciones esocásicas VALUACIÓN DE UNA OPCION DEL PRECIO DEL BRENT En ese inciso se obendrá la valuación de una call, mediane simulaciones Monecarlo debido a que es una opción con un pay-off que no es radicional. Las caracerísicas de la call son: T=60 días, q(precio de ejercicio)=85 dólares por barril r(asa libre de riesgo 2 )=7.9% S0=91.16 dólares por barril. El precio de la call esa dado por la siguiene ecuación: V e E ( S q) r( T ) Para =0 T (4) 2 TIIE 28 días

7 7 En donde: r. Es la asa libre de riesgo. S. Es el precio del Bren. q. Es el precio del ejercicio. El valor esperado del pay-off que se obuvo fue de 6.12, el cual se obuvo mediane un méodo Monecarlo 3 que consó de 20,000 simulaciones de 60 inervalos cada simulación. Lo cual se muesra en el cuadro 6.1. Cuadro 6.1 Valor esperado del pay-off E(S) E(S-q) Ahora raemos el pay-off esperado a valor presene a ravés de la ecuación (3) siendo el valor de la Call el 05 de diciembre de 2007: Precio inicial S0= volailidad valor esperado m Velocidad de reversión K= precio del ejercicio q= 85 horizone emporal T= número inervalos n= 60 amaño inervalo d= numero de simulaciones nsim 20,000 V El precio esperado en 60 días, después de las 20 mil simulaciones es de dólares, el cual es apenas menor que el precio S0 (91.16), lo que es un reflejo de que la k ienda a cero. Ya que se espera que el precio siga alejado de su media. 7. CONCLUCIONES. La baja velocidad del precio del peróleo Bren, para regresa a su media iene las siguienes implicaciones sobre las opciones. Las Calls que esén por encima de la media (71.6 dólares) endrán una ala probabilidad de ser ejercidas, en cambio las Pus que esén por encima de la media endrán una ala probabilidad de no cobrarse. 3 ANEXO B; Código en VB para las simulaciones Mone Carlo.

8 8 BIBLIOGRAFÍA Hull J.C.(2002), Opions, Fuures and oher Derivaives, Prenice Hall. Deaon, A. y G. Laroque (1992). On he Behaviour of Commodiy Prices. Review of Economic Sudies 59, Mascareñas J (2006). Procesos Esocásicos: Inroducción, Universidad Compluense.

9 9 ANEXO A

10 10 ANEXO B