CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. En este capítulo se expondrán los diversos modelos de pronósticos así como su notación, la

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1 CAPÍTULO III. METODOLOGÍA En ese capíulo se expondrán los diversos modelos de pronósicos así como su noación, la esimación de sus parámeros para poder enonces escoger el modelo que más se adecue a la Serie de Tiempo de los siniesros del Seguro de Gasos Médicos. III.1 Análisis de Regresión El análisis de regresión es un concepo de gran imporancia para la esadísica moderna, de igual forma es rascendene para fines de predicción. Esa es una herramiena muy úil y poderosa para analizar la relación asociada enre una variable dependiene y una o más independienes. Ésa puede ser usada para: Deerminar si las variables independienes explican una variación significaiva en la variable dependiene: si exise una relación. Deerminar cuano de la variación en la variable dependiene puede ser explicada por las variables independienes: fuerza de la relación. Deerminar la esrucura o forma de la relación: la ecuación maemáica que relaciona las variables dependienes e independienes. Predecir los valores de la variable dependiene. Conrolar a oras variables independienes cuando se evalúe las aporaciones de una variable o un conjuno de variables. 33

2 También las variables independienes pueden explicar la variación en la variable dependiene, eso no necesariamene implica causa. El uso de los érminos variables de crierio y variables de pronosicador, dependiene e independiene respecivamene, en el análisis de regresión surge de la relación maemáica enre las variables. El análisis de regresión es afecado por la nauraleza y el grado de asociación enre las variables y no implica ni asume ningún efeco. Por al moivo, para un análisis de regresión se oman los daos hisóricos y la serie se cree que esará influenciada. Si los daos esán influenciados por el iempo se raa de una regresión de series de iempo; si no hay referencia con el iempo en los daos, enonces esaremos hablando regresión de cross-secional. III.1.1 Modelo de Regresión Bivariada La regresión es el mecanismo para esimar la relación maemáica enre dos series de daos. Para ese caso en paricular, se omarán los siniesros y el iempo como variables dependiene e independiene respecivamene. Para el uso de una regresión simple, el primer paso es el supueso de exisencia de una relación básica enre dos variables y puede ser represenada por alguna forma funcional. Maemáicamene, eso puede escribirse como: Y = f (X ) (3.1) 34

3 Donde: Y = Es la variable dependiene, la que se quiere pronosicar X = Es la variable independiene influenciada por Y Eso indica que el valor de Y esá en función del valor de X. En la regresión simple, la cual iene una variable dependiene y ora independiene, eso es asumido para ener una relación lineal y además la función maemáica puede ser escria como Yˆ = a + + ε (3.2) bx Donde: Yˆ = Es la variable proyecada X = Es la variable explicaiva a = Inercepción en el eje Y b = Valor de la pendiene ε = Error Es imporane noar que mienras una regresión cuanifica la relación enre variables, no puede demosrar la causalidad. Eso es, que la regresión no puede confirmar que la variable 35

4 independiene influye en la variable dependiene. La ecuación que resula sólo puede deerminar si exise una relación cuaniaiva significaiva enre las series examinadas 8. El érmino regresión fue inroducido por Francis Galon. En un famoso arículo Galon planeó que, a pesar de la presencia de una endencia en la que los padres de esaura ala enían hijos bajos, la esaura promedio de los niños nacidos de padres de una esaura dada endía a moverse o regresar hacia la esaura promedio de la población oal. En oras palabras, la esaura de los hijos inusualmene alos o de padres inusualmene bajos iende a moverse hacia la esaura promedio de la población. En palabras de Galon, se raaba de una regresión a la mediocridad. 9 III.1.2 Deerminación de los parámeros La línea que mejor se ajuse a un conjuno de punos de daos X - Y, es aquella que minimiza la suma de las disancias al cuadrado de los punos a la línea, medidas en dirección verical o hacia Y. A esa línea se le conoce como la línea de regresión y su ecuación se denomina ecuación de regresión. Para la esimación de dicha línea su uiliza el méodo de mínimos cuadrados, iene como objeo desarrollar una ecuación lineal que mejor represene la relación hisórica enre los daos mediane una línea, da una solución para los valores a y b minimizando los errores de la siguiene manera: 8 Mauro Rodríguez 9 Damodar Gujarai 36

5 2 ( Y Y ) i = i e (3.3) 2 ˆi Es necesario ambién obener las medias de X y Y Donde: Y Y = y X X = (3.4) n n n = Número de observaciones Con las ecuaciones aneriores se podrá ya obener los valores para a y b n n x y x i i i i i= 1 i= 1 i= 1 b = (3.5) n n 2 2 n xi xi i= 1 i= 1 n n y Donde: a = Y bx (3.6) a = Inercepción en el eje Y b = Pendiene x = Valor de x en el periodo i i y = Daos reales u observados en el periodo i i X = Promedio de odas las X Y = Promedio de odas las Y 37

6 n = Número oal de daos hisóricos Para obener los parámeros de la ecuación de regresión usamos el méodo de mínimos cuadrados, ése considera que la disancia enre las observaciones acuales Y, y las observaciones esimadas Y ˆ, deberían ser mínimas. En el caso de una regresión exponencial se usará la función: X ˆ = a b (3.7) Y * Se puede hacer que la regresión exponencial aunque no es lineal es linealizable omando logarimos y haciendo un cambio de variable de la siguiene manera: v = log ˆ se iene que la función anerior nos generaría Y ( a * bx ) = log a X log b v = log Yˆ = log + Donde: a = ani log A b = ani log B En la figura 3.1 se muesran los pasos que se deben hacer para uilizar la regresión. 38

7 Graficar los daos Formular el modelo general Esimar los parámeros Deerminar la relación que exise enre las variables Prueba de significancia Esimar el coeficiene de regresión esandarizado Verificar la cereza de la predicción Examinar los residuos Validar el modelo Figura 3.1 Diagrama de Flujo para la Regresión Fuene: Markeing Reserch, p. 45. III.2 Series de Tiempo Uno de los problemas que inena resolver las series de iempo es el de predicción. Denro de los seguros, ese méodo se orna imporane pues a veces los daos esán afecados por influencias exernas y es posible que arrojen información inconsisene. Dada una serie { x, n ( ), x( ) 1 L } el objeivo de inerés es describir el comporamieno de la serie, invesigar el mecanismo generador de la serie emporal y buscar posibles parones que permian pronosicar el fuuro (Bowerman, 1987). III.2.1 Definición 39

8 Llamamos Serie de Tiempo a una secuencia ordenada de observaciones en el iempo de una variable cuaniaiva. Es una secuencia ordenada debido a que los daos se omaron en diversos momenos del iempo; es decir, los valores han sido regisrados conforme a su orden de aparición. Su objeivo es el de pronosicar la variación de fenómenos para un fuuro. Esas series se pueden clasificar en coninuas y discreas. Un ejemplo de una serie coninua son los precios, el inerés y la emperaura. Para el caso discreo son odas aquellas observaciones que se dan en un iempo deerminado ya sea diaria, semanal, mensual o anual. Para el caso de ese rabajo, el pronósico sólo se basará en los valores y errores de los pronósicos pasados de los siniesros en forma mensual en el Seguro de Gasos Médicos Mayores Individual. El primero y más imporane de los pasos en el análisis de una serie de iempo y en el consecuene desarrollo de un modelo de pronósico, es la recolección de daos confiables y válidos. Esas observaciones serán denoadas por { x( ),, x( n )} = { x( ) : T R} 1 L con x( i ) el valor de la variable x en el insane i. Si T = Z se dice que la serie de iempo es discrea y si T = R se dice que es coninua (Osrom, 1984). III.2.2 Análisis de series de iempo El primer paso en el análisis de series de iempo, consise en graficar la serie. Eso permie deecar las componenes esenciales de la serie. El gráfico de la serie permiirá: 40

9 a) Deecar Oulier: Se refiere a punos de la serie que se escapan de lo normal. Un ouliers es una observación de la serie que corresponde a un comporamieno anormal del fenómeno. b) Tendencia: Es el comporamieno de la serie a largo plazo, para deecarla es necesario que la serie conenga un número de observaciones elevado y con eso se deermina si exise una ley de crecimieno, decrecimieno o esabilidad. Ese comporamieno se basa en diferenes disribuciones como son: lineal, exponencial, parabólico, logísico, ec. Número de Siniesros. Mujeres (0-4 años) 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1, Figura 3.2 Siniesros Mujeres 0 a 4 años Fuene: Elaboración propia En la figura 3.2 se puede apreciar una endencia del crecimieno de siniesros para las edades enre 0 y 4 enre los años 1995 y c) Variación esacional: Son movimienos de la serie que se repien de forma periódica. La periodicidad generalmene es el año, aunque puede ser el mes, la semana o incluso el día. 41

10 d) Variaciones cíclicas: Ese componene iene un marcado carácer económico, ya que presena movimienos a plazo medio, periodos superiores al año, que se repien de forma casi periódica, aunque no son an regulares como las variaciones esacionales. Ésas resulan difíciles de aislar porque se pueden superponer ciclos de disinos periodos o ampliudes. La ampliud es el número de años que dura un ciclo compleo. e) Variaciones accidenales: No responde a ningún parón de comporamieno, sino que es el resulado de facores foruios o aleaorios que inciden de forma aislada y no permanene en una serie. Esos facores pueden ser de índole muy diversa. f) Variación esacional: La variación esacional represena un movimieno periódico de la serie de iempo. III.2.3 Modelos de series de iempo Exisen dos ipos de méodos que nos ayudarán a analizar la serie de iempo; los univariados y los mulivariados. Los primeros únicamene analizan las series pronosicadas; los segundos abarcan oras variables y son similares a los modelos de regresión, son raramene uilizados en la prácica porque su nauraleza es muy compleja. Para fines de ese rabajo se habla sobre los univariados, los cuales envuelven la examinación de un conjuno de daos básicos 42

11 Un modelo clásico para una serie de iempo, supone que una serie x ( ), x( 2),..., x( n) 1 puede ser expresada como suma o produco de res componenes: endencia, esacionalidad y un érmino de error aleaorio. Exisen res modelos de series de iempo, que generalmene se acepan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, enre los componenes de los daos observados. Esos son: a) Adiivo: X() = T() + E() + A() b) Muliplicaivo: X() = T() E() A() c) Mixo: X() = T() E() + A() Donde: X(): Serie observada en insane T(): Componene de endencia E(): Componene esacional A(): Componene aleaoria (accidenal o ruido blanco) La figura 3.3 ilusra posibles parones que podrían seguir series represenadas por los modelos (a), (b) y (c). 43

12 (a) (b) (c) Figura 3.3 Parones de las Series de Tiempo. Fuene: Elaboración propia III.2.4 Méodo de descomposición El méodo de descomposición es una écnica que se esrucuró desde 1920 y ha demosrado ser excelene para la predicción de venas agregadas y oras variables a coro y mediano plazo. Es un méodo cuaniaivo que nace empíricamene a base de prácica y relaciones esadísicas. No se considera explicaivo, ya que no podemos inferir esadísicamene sobre sus resulados, lo que represena uno de los punos débiles del méodo. Sin embargo, iene una enorme venaja: es sencillo de uilizar y fácil de comprender su aplicación. En las úlimas décadas se ha converido en el méodo más popular en el cálculo de pronósicos agregados en la manufacura y oras áreas, debido a su senido prácico y resulados comprobados. Lo imporane del méodo es que se idenifican odos los componenes de una serie y se proyecan hacia el fuuro, excepo el componene aleaorio, del cual sólo se analiza su comporamieno hisórico, lo que es sumamene imporane Mauro Rodríguez 44

13 III Pasos para Desesacionalizar Series de Tiempo A coninuación se enuncian los principales pasos para desesacionalizar y pronosicar el número de siniesros mediane del méodo de descomposición lineal y exponencial de una serie de iempo: 1. Recopilación de los daos mensuales Figura 3.4 Daos mensuales Fuene: Elaboración propia 2. Calcular el promedio móvil de orden 12, ya que para ese caso en paricular la esacionalidad (E) es anual 45

14 Figura 3.5 Promedio móvil de orden 12 Fuene: Elaboración propia 3. Dividir los siniesros enre el promedio móvil correspondiene, con ello se obiene la razón que se uilizará para calcular los índices esacionales Figura 3.6 Valor de la Razón ExR Fuene: Elaboración propia 4. Dividir el número de siniesros enre el índice de esacionalidad para obener los siniesros desesacionalizados, se elimina la aleaoriedad (picos en los siniesros), dejando con eso res componenes de la serie del número de siniesros: aleaoriedad, endencia y ciclo 46

15 Figura 3.7 Desesacionalidad de los siniesros Fuene: Elaboración propia 5. Se elimina la aleaoriedad de la serie del número de siniesros. (a) Calcular un promedio móvil de orden 3 de la desesacionalidad Figura 3.8 Promedio móvil de orden 3 Fuene: Elaboración propia (b) Calcular un promedio doble de orden 3, será un promedio móvil de orden 3 de los promedios aneriores. Figura 3.9 Promedio móvil doble de orden 3 Fuene: Elaboración propia 47

16 (c) Obener la serie de ciclo-endencia, que será considerada como nuesra serie básica, y cuyo análisis es imperaivo para fines de predicción. Lo anerior resula de sacar un promedio móvil de orden 2 de la desesacionalidad. Figura 3.10 Valores de la serie ciclo-endencia Fuene: Elaboración propia 6. Ahora, podemos despejar cada uno de los componenes de la serie: Aleaoriedad: se divide la desesacionalidad enre la serie de ciclo-endencia. Figura 3.11 Valores de la aleaoriedad Fuene: Elaboración propia Tendencia: ésa resula de calcular una regresión ya sea lineal o exponencial dependiendo del caso. 48

17 Figura 3.12 Valores de la regresión lineal Fuene: Elaboración propia Ciclo: se calcula dividiendo la desesacionalidad enre la endencia. Figura 3.13 Valores del ciclo Fuene: Elaboración propia Algunos punos adicionales para que el méodo se desarrolle saisfacoriamene: 1. El promedio móvil de orden 12 se inicia en el periodo 7, debido a que siempre se busca valores cenrales. 2. Cuando el número de periodo es impar el promedio móvil se coloca en el cenro de los periodos que se promedian; cuando el orden es par el promedio móvil se cenra por si sólo, simplemene hay que iniciar el promedio en el primer periodo. 3. Uilizar un promedio medial (mediana), eliminando el valor menor y mayor anes de promediar las razones de esacionalidad para cada mes, esas razones nos sirven para obener los índices esacionales. Con eso se eliminará aún más la aleaoriedad. 49

18 Las razones calculadas aneriormene se ordenan de forma verical de manera que omen el lugar que correspondan al mes (periodo) de que se rae Figura 3.14 Razones ordenas conforme al orden Fuene: Elaboración propia Figura 3.15 Razones ordenas conforme al orden Fuene: Elaboración propia 50

19 Una vez hecho lo anerior, se oma odo enero, febrero, marzo así hasa diciembre y se saca su medial, máximo, mínimo y ajuse. A coninuación se ilusrará lo que se hizo: Medial: promedio de los daos menos el valor mínimo y máximo de cada uno de los periodos de cada año. Figura 3.16 Daos mensuales de odos los años Fuene: Elaboración propia Facor de ajuse: suma de odos los mediales de cada mes enre 12 (a) Suma de odos los mediales Figura 3.17 Suma de los mediales Fuene: Elaboración propia (b) Dividir la suma de los mediales enre 12 51

20 Figura 3.18 Facor de ajuse Fuene: Elaboración propia Ajuse: se muliplica el medial de cada mes por el facor de ajuse Figura 3.19 Valor del ajuse de cada mes Fuene: Elaboración propia 4. La endencia para ese caso se esimará mediane una regresión lineal simple y el méodo de regresión exponencial. 5. Con la aplicación de los promedios móviles a los daos desesacionalizados, se pierden cuaro valores de la serie ciclo-endencia, dos al principio y dos al final. 6. Para concluir, se muliplican los componenes proyecados: índice esacional, endencia y ciclo para enconrar el pronósico correspondiene. Figura 3.20 Valor del pronósico Fuene: Elaboración propia 52

21 Con lo calculado aneriormene se puede pronosicar el número de siniesros que se uvo en el Los índices esacionales son los mismos para cada enero, los mismos para cada febrero y así sucesivamene. Para la endencia, regresión del 2005, se uiliza la regresión lineal de los siguienes 12 periodos con sus respecivos parámeros. Se pronosica muliplicando los índices esacionales, el ciclo y la endencia (IE*Ciclo*Tend). Figura 3.21 Valor del pronósico con regresión lineal Fuene: Elaboración propia Para el ciclo se hace un promedio de odos los 120 valores que nos arrojó la descomposición. 53

22 Figura 3.22 Promedio del ciclo Fuene: Elaboración propia Para el caso de regresión exponencial se usarán los mismos pasos que se usó en la regresión lineal. La endencia, regresión, se calculará con la regresión exponencial. Figura 3.23 Valor de la regresión exponencial Fuene: Elaboración propia Para el ciclo se hace un promedio de odos los 120 valores que nos arrojó la descomposición. Figura 3.24 Promedio del ciclo Fuene: Elaboración propia 54

23 Para la endencia, regresión 2005, se uiliza la regresión exponencial de los siguienes 12 periodos con sus respecivos parámeros, dependiene e independiene. Se pronosica muliplicando los índices esacionales, el ciclo y la endencia (IE*Ciclo*Tend). Figura 3.25 Valor del pronósico con regresión exponencial Fuene: Elaboración propia III.2.5 Méodo Box-Jenkins El méodo Box-Jenkins (B-J), llamado así después de que los dos esadisas briánicos George Box y Gwilym Jenkins lo desarrollarán en 1970, es una de las más sofisicadas écnicas de series de iempo. El modelo es ieraivo, y sigue una esraegia sisemáica de selección de la función que más se acerca al parón de comporamieno de la serie de iempo en esudio. La nauraleza compleja de B-J lo ha hecho más popular en los círculos académicos que en las indusrias. Es por ello que muchas compañías no lo han usado exiosamene para proyecar las series de daos. A pesar de que es una esrucura eórica rigurosa, los objeivos y la meodología general de B-J son consisenes con las oras aproximaciones de series de iempo. Primero, B-J deermina el parón esencial de los daos y proyeca esas endencias hacia el fuuro. En 55

24 suma, iene gran cereza y exaciud en sus resulados en el inmediao y coro plazo, en especial para periodos de 12 a 18 meses. La mea fundamenal de B-J es desarrollar un modelo el cual recree mejor las series hisóricas analizadas mediane la predicción. Finalmene, un ancho rango de coeficienes es examinado para deerminar el que disminuya el error hisórico. III Caracerísicas especiales El desarrollo de un modelo B-J requiere como paso inicial la creación de series secundarias que provengan de la original. Esas nuevas series son desarrolladas rerasando k veces las observaciones originales. La principal herramiena uilizada para comparar las nuevas series son las auocorrelaciones, la cuales miden la relación enre cualquiera de dos conjunos de daos de la misma serie. El grado de esa correlación usa el insrumeno llamado coeficiene de correlación (r), el cual iene la caracerísica de 1 r 1. Si enemos un r = 1 implica que exise una fuere relación enre la serie original y la serie secundaria, eso significa que cuando el valor de una serie se incremena, el valor de la ora serie ambién iende a incremenarse. Si r = 1 represena una relación inversa muy fuere, eso significa que si una serie llega a incremenarse la ora decrecerá. Un valor de 0 en la auocorrelación refleja que exise complea independencia enre la serie original y la secundaria; es decir que no hay ninguna relación enre ellas. 56

25 III Función de auocorrelación muesral Esa función iene como objeivo principal examinar la dependencia que exise enre las variables en una serie de iempo para lograr hacer pronósicos de valores fuuros. Eso se puede medir con la auocorrelación debido a que mide la correlación enre dos variables del mismo proceso separados por una disancia de k rezagos en el iempo. El coeficiene de correlación enre las variables Z y Z +k esará dado por: ( Z Z ) + k ( Z Z + k ) E( Z ) E( Z + k ) σ ( Z ) σ ( Z ) ρ, E = (3.8) + k Un proceso esocásico se dice que es esacionario si además de que la media y la varianza no cambian a ravés del iempo y no hay parón esacional, los coeficienes de correlación enre dos valores dependen sólo de la disancia enre ellos y no del iempo en sí mismo. Un proceso esacionario, la auocorrelación del rezago k se denoa como ρ, su fórmula es: k ρ k = E ( Z Z ) + k 2 z σ 2 µ (3.9) E Z = E Z +k = y σ ( Z ) = σ ( Z ) + k = σ. z Donde ( ) ( ) µ Las propiedades de auocorrelación ρ las podemos deducir de un coeficiene de k correlación ordinario ρ ( X, Y ). De esa manera ρ k esá en menos dimensión; es decir, no 57

26 depende de la escala de medida de las variables que van a ser pronosicadas. Cuando k rezagos de observaciones son cercanos en valor, se esperaría enconrar un ρ cercano a 1. Cuando una observación grande en el iempo es seguida de una observación pequeña en el iempo +k, enconraríamos ρ cercano a -1. Si exise una relación pequeña enre ellas se k esperaría enconrar ρ cercano a cero. De lo anerior podemos deducir que en un proceso k esacionario las auocorrelaciones son cercanas a cero y lejanas a ± 1 ; de ahí la imporancia de la función de auocorrelación (FAC) que nos indica si es un proceso esacionario esencial o no. k Para medir las auocorrelaciones de la serie de iempo observada se usa la fórmula siguiene: r k N k = 1 = N ( z z)( z z) ( z z) = 1 + k 2 (3.10) Esa fórmula nos indica que se ienen N daos hisóricos x 1, x 2,..., x n se pueden formar N k parejas de daos hisóricos coniguos, es decir, (x, xk + 1)( xk + 1, xk + 2 ), K, ( xn k 1, x 1 N k ) y calcular el coeficiene de correlación, que se denominará coeficiene de auocorrelación del k - ésimo orden y se denoará como r. k Se necesian al menos un número no menor a 50 observaciones para obener valores de auocorrelaciones muesrales válidas y se recomienda hacer a lo más N / 4 grupos para observar el comporamieno de la función de auocorrelación. Se infieren muchas de las 58

27 propiedades del proceso esocásico a parir del esudio de la función de auocorrelación muesral. La esacionariedad o no esacionariedad puede ser deerminada por el uso de la FAC muesral. En un proceso esacionario esa función iende a caer rápidamene a cero conforme el rezago k crece o corarse después de un deerminado rezago k = q ; es decir, que después de ciero reraso las auocorrelaciones serán cero. El decremeno en la FAC de un proceso esacionario se debe a que solamene unas cuanas variables adyacenes esán relacionadas linealmene. La FAC muesral de una serie esacionaria puede ender rápidamene a cero por el lado posiivo, por el lado negaivo o alernando con disinos números de rezagos, lo que significa que las observaciones crecen y decrecen alrededor de la media Cuando el proceso esocásico no es esacionario en media; es decir, cuando hay una endencia creciene o decreciene, las auocorrelaciones muesrales caerán muy lenamene. Eso es porque las observaciones enderán a esar del mismo lado de la media de la serie por muchos periodos y por lo ano se producen auocorrelaciones muesrales grandes aún en rerasos lejanos. La esacionalidad se puede reconocer visualmene, aunque algunas veces es muy ala la variabilidad de los daos o exise una endencia muy fuere en ellos que no hace an fácil reconocer ese parón. Para esos casos la FAC muesral facilia el reconocimieno de la esacionalidad ya que presena ala correlación posiiva o negaiva enre observaciones. 59

28 En resumen, es una buena herramiena para la idenificación de parones básicos y deermina un modelo apropiado para los daos de las series. Sirve para medir la asociación que exise enre dos series y describe la endencia para pasar de una variable hay un cambio en la ora. Un coeficiene de auocorrelación es similar a un coeficiene de correlación con excepción de que en el primero se describe la asociación (dependencia muua) enre valores de la misma serie pero en períodos de iempo diferenes. III Función de Auocorrelación Parcial Muesral La Función de Auocorrelación Parcial (FACP) muesral nos sirve para idenificar un modelo adecuado para una serie mediane su comparación con la FACP eórica. La Auocorrelación Parcial eórica ρ es la auocorrelación enre dos variables Z y kk Z + k separadas por un rezago de k unidades de iempo, no afecada por las variables Z Z Z + 1, + 2,..., + k 1 eliminadas. A coninuación se presena la fórmula para esas auocorrelaciones: r1 si k = 1 k 1 rk rk 1rk j rkk = j= 1 (3.11) si k = 2,3,... k 1 1 rk 1r j j= 1 60

29 Donde rkj = rk 1, j rkkrk 1, k j para j = 1,2, K, k 1. La FACP es un lisado o un despliegue gráfico de r para rezagos desde k = 1,2, K Se emplean para ayudar a la idenificación del grado de relación enre los valores reales de una variable y los valores aneriores de la misma, mienras que se manienen consanes los efecos de las oras variables (periodos rerasados). Nuevamene, las auocorrelaciones muesrales parciales son sólo esimadas de las correspondienes correlaciones eóricas y, para series muy chicas, al vez difiera considerablemene de sus conrapares eóricas. De cualquier forma, la FACP muesral iende a seguir el mismo parón de la FACP eórica, es por ello, que se podrá usar la FACP muesral para idenificar el modelo apropiado para el proceso esocásico fundamenal ya que ésa es muy úil para la idenificación; ya que ésa iende a caer rápidamene a cero con mayores rezagos o a corarse en cualquier rezago en paricular si se rabaja con una serie esacionaria. kk III Modelo auorregresivo (AR) En Series de Tiempo, modelar la información conenida en valores pasados de una variable económica y es úil para pronosicar valores fuuros. Exise un modelo esadísico que refleja esa caracerísica. En ese modelo se iene la forma siguiene: Y + e ' = µ + φ1y 1 + φ2y φpy p (3.12) En donde: 61

30 µ '= Término consane Y = Variable dependiene Y 1, Y 2, Y p = Variables independienes que son variables dependienes desfasadas un número específico de periodos φ 1, φ2, φ p = Coeficienes de regresión e = Término de residuo que represena sucesos aleaorios no explicados por el modelo Los coeficienes anes mencionados se pueden esimar por medio del méodo de mínimos cuadrados no lineal. Ese méodo uiliza una écnica de solución ieraiva para calcular los parámeros en vez de usar un cálculo direco. Se emplean esimaciones preliminares como punos iniciales; luego esas esimaciones se mejoran sisemáicamene hasa enconrar valores ópimos. En la figura 3.26 ilusraremos un ejemplo de un modelo AR de orden 1, modelo AR(1) y de un modelo AR de orden 2, modelo AR(2); se pueden agregar érminos para represenar un modelo AR(p), en donde p es el número de observaciones aneriores a incluir en el pronósico del siguiene periodo. En las figuras (a) y (b) se ilusran las funciones eóricas de auocorrelación y de auocorrelación parcial para un modelo AR(1); se puede observar que el comporamieno de las auocorrelaciones es muy diferene ya que en las figuras (a) y (b) se desciende a cero de forma gradual y caen a cero después del primer periodo de reraso en las auocorrelaciones parciales. En las figuras (c) y (d) se ilusran ambién las funciones eóricas de auocorrelación y auocorrelación parcial para un modelo AR(2); se 62

31 puede observar que el comporamieno de las auocorrelaciones nuevamene es muy diferene ya que en la figuras (c) y (d) se desciende a cero de forma gradual y caen a cero después del segundo periodo de reraso raándose de las auocorrelaciones parciales. De forma análoga pasará dependiendo del valor de p. Debe recordarse que las funciones de auocorrelación de la muesra diferirán de esas funciones eóricas por la variación de la muesra. En la prácica los dos casos más comunes que se pueden enconrar es cuando p = 1 y p = 2, correspondienes a los modelos AR(1) y AR(2) con las ecuaciones (3.13) y (3.14) respecivamene: Y µ + e (3.13) ' = + φ1y 1 Y µ + e (3.14) ' = + φ1y 1 + φ2y 2 Usando el operador de rezago B, las ecuaciones quedan de la siguiene manera: ' ( 1 1B ) Y = µ + e φ (3.15) 2 ' ( 1 1B φ2b ) Y = µ + e φ (3.16) 63

32 Figura 3.26 Gráficas y coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial de los modelos AR(1) y AR(2). Fuene: Pronósicos en los Negocios, p. 433 III Modelo de promedio móvil (MA) Se puede modelar la información conenida en los residuos pasados de una variable y es úil para pronosicar valores fuuros. Exise un modelo esadísico que refleja esa caracerísica. En ese modelo se presena de la forma siguiene: 64

33 ~ z = a θ a... θ a 1 1 θ 2a q q 2 q ( 1 θ B θ 2B + + θ q B ) a = 1... (3.17) = θ ( B) a Donde: z~ = Variable dependiene θ 1, θ 2, θ q = Peso específico a = Residuo o error a 1, a 2, a q = Valores previos de residuo Ese modelo proporciona pronósicos z~ con base en una combinación lineal de errores aneriores, los pesos pueden ener valores posiivos o negaivos pero por convención se presenan con signo negaivo. En la figura 3.27 ilusraremos un ejemplo de un modelo MA de orden 1, modelo MA(1) y de un modelo MA de orden 2, modelo MA(2); se pueden agregar érminos para represenar un modelo MA(q), en donde q es el número de error aneriores a incluir en el pronósico del siguiene periodo. En las figuras (a) y (b) se ilusran las funciones eóricas de auocorrelación y de auocorrelación parcial para un modelo MA(1); se puede observar que el comporamieno de las auocorrelaciones es muy diferene ya que en las figuras (a) y (b) caen a cero después del primer periodo de reraso y se desciende a cero de forma gradual para las auocorrelaciones parciales. En las figuras (c) y (d) se ilusran las funciones eóricas de auocorrelación y de auocorrelación parcial para un modelo MA(2); se puede 65

34 observar que el comporamieno de las auocorrelaciones es muy diferene ya que nuevamene en las figuras (c) y (d) descienden a cero y para las auocorrelaciones parciales caen a cero de forma gradual. Debe recordarse que las funciones de auocorrelación de la muesra diferirán de esas funciones eóricas por la variación de la muesra. Figura 3.27 Gráficas y coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial de los modelos MA(1) y MA(2). Fuene: Pronósicos en los Negocios, p. 434 III Modelo ARMA 66

35 Ese modelo es una combinación de los dos modelos aneriores, se conoce como Modelo Auorregresivo de Promedio Móvil (ARMA). La forma en que se denoa ese modelo será de la siguiene forma: ~ z = φ ~ ~ ~... θ 1 z 1 + φ2 z φ p z p + a θ1a 1 θ 2a qa q (3.18) Eso es: 2 p q ( φ B φ B φ pb ) ~ z = ( 1 θ1b θ 2B θ qb ) a 1 (3.19) De ahí: Donde: ( B) z θ ( B) a φ ~ = (3.20) ( B) z θ ( B) = φ ~, Son polinomios de grado p y q, en B a Los modelos ARMA (p,q) uilizan combinaciones de errores aneriores y valores aneriores y ofrecen poencial para ajusar modelos que no pudieron ajusarse en forma adecuada mediane los modelos AR y MA por sí solos. En la figura 3.28 se muesra un modelo ARMA(1,1) y los comporamienos eóricos de los coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial. 67

36 Figura 3.28 Gráficas y coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial de modelo mixo ARMA (1,1). Fuene: Pronósicos en los Negocios, p. 435 III Modelo ARIMA Además de los modelos AR, MA y ARMA, exise el modelo general denominado ARIMA. Dicho modelo uiliza las combinaciones de errores aneriores y valores aneriores como el modelo ARMA. La forma en que se denoa esá dada en las ecuaciones 3.19, 3.20, El modelo es conocido como Modelo Auorregresivo Inegrado y de Promedio Móvil, en la ( ) prácica se denoa como ARIMA p, d, q. 68

37 Donde: p = Orden del érmino auorregresivo d = Nivel de diferenciación q = Orden del érmino del promedio móvil Lo único en que esos modelos son diferenes son el grado de diferenciación que maneja el modelo ARIMA del modelo ARMA. III Modelo SARIMA El modelo es conocido como Modelo Esacional Auorregresivo Inegrado y de Promedio Móvil, en la prácica se denoa como ( ) S Donde: P = Orden del érmino auorregresivo D = Nivel de diferenciación Q = Orden del érmino del promedio móvil S = Esacionalidad SARIMA P, D, Q. Si exisen parones esacionales, el pronósico ienen una mayor dificulad debido a que además del parón enre periodo y periodo exise un parón repeiivo más largo que ocurre cada S-ésimo periodo, en donde S es la longiud de la esacionalidad. Al igual que en los modelos no esacionales, AR, MA, ARMA y ARIMA, exisen modelos para calcular el pronósico incluyendo el parón como son: SAR, SMA, SARMA y SARIMA. 69

38 Ese méodo raa de explicar la exisencia de un parón esacional anual en la Serie de Tiempo, aunque los daos sean independienes enre sí. Para los daos observados en la Serie de Tiempo, la ecuación del modelo queda de la siguiene forma: ~ φ ~ ~ ~ (3.21) z = 12 z 12 + φ 24 z φ12 p z 12 p + a θ12a 12 θ 24a θ12qa 12q 2 p q ( φ B φ B φ pb ) ~ z = ( 1 θ1b θ 2B θ qb ) a 1 (3.22) La forma en que se denoa un modelo ( ) ( ) S ARIMA p, d, q * SARIMA P, D, Q es la siguiene: p S d D S ( B) ϕ P ( B) y θ q ( B) θ Q ( B) A ϕ = (3.23) Donde: ϕ ϕ p S P p ( B) = ( ϕ B K ϕ B ) 1 = Operador auorregresivo regular de orden p 1 s sp ( B) = ( ϕ B K ϕ B ) s p 1 = Operador auorregresivo esacional de orden P d ( B ) d = 1 = Nivel de diferenciación D ( B ) D = 1 = Nivel de diferenciación esacional θ θ q S Q sp q ( B) = ( θ B K θ B ) 1 = Operador de promedios móviles regular de orden q 1 s SQ ( B) = ( ϕ B K ϕ B ) s q 1 = Operador de promedios móviles esacional de orden Q SQ 70

39 III Desarrollo del méodo Box-Jenkins Los pasos que se uilizaran para el desarrollo del modelo se verán a coninuación en la figura Figura 3.29 Diagrama de flujo del méodo de Box-Jenkins. Fuene: Pronósico en los Negocios, p. 432 III Idenificación del modelo Se debe deerminar si la serie es esacionaria, es decir, si el valor de la media varía a ravés del iempo. Si la serie no es esacionaria, en general se puede converir a una serie esacionaria mediane el méodo de diferenciación. Si eso no fuese suficiene se le aplica una ransformación a los daos y de ahí se usa una diferenciación para esacionar los daos. El analisa especifica el grado de diferenciación y el algorimo de B-J conviere los daos en una serie esacionaria y realiza los cálculos subsecuenes uilizando los daos converidos. 71

40 Una vez obenida una serie esacionaria, el analisa debe idenificar la forma del modelo a uilizar. Ese paso se logra mediane la comparación y la ubicación de los coeficienes de auocorrelación y de auocorrelación parcial de los daos a ajusar; cabe desacar que cada modelo iene un conjuno único de auocorrelaciones y auocorrelaciones parciales. En general, se pueden hacer pruebas durane la eapa 2 para deerminar si el modelo es o no el adecuado. Enonces, si el modelo no es saisfacorio, se puede inenar un modelo alernaivo. Si las auocorrelaciones descienden exponencialmene a cero, el proceso indicado es el AR; si son las auocorrelaciones parciales las que descienden a cero, enonces el proceso indicado es el MA; y ambos coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial desciende a cero, el indicado es un proceso ARMA. Se puede deerminar el orden de los procesos AR y/o MA conando el número de coeficienes de auocorrelación y auocorrelación parcial que son diferenes a cero de forma significaiva. Para idenificar que exisa esacionalidad en los valores p y q se observará en las gráficas de auocorrelaciones y auocorrelaciones parciales si los daos siguen una endencia mensual; es decir, que los valores en 12, 24, 36, ec., engan un incremeno significaivo. III Esimación del modelo y prueba de su adecuación Una vez seleccionado el modelo enaivo, se deben esimar los parámeros para ese modelo. Los parámeros mencionados aneriormene son p (número de observaciones aneriores) y q (número de error aneriores). 72

41 Anes de usar el modelo para pronosicar se debe verificar si es adecuado. Ese paso se realiza revisando los érminos de error, ε = Y Yˆ, para asegurarse de que son aleaorios. Esa verificación puede hacerse revisando que las auocorrelaciones de los érminos de error no son diferenes a cero, enonces el modelo resula ser inadecuado. Es por ello que se debe regresar al paso 1, inciso b, seleccionar un modelo alernaivo y después coninuar con el análisis. III Esadísico Q de Box-Ljung Exise una forma muy úil para verificar si el modelo es adecuado o no: se hace una prueba 2 Chi-cuadrada ( χ ) conocida como el esadísico Q de Box-Ljung sobre las auocorrelaciones de los residuos. Enre más chico sea el esadísico Q de los residuales, mejor será el modelo. La esadísica de prueba es: Q = N m 2 r k 2 (3.24) k = 1 N k ( N + ) Donde: N = Longiud de la serie hisórica k = Primeras k auocorrelaciones que se verifican m = Número máximo de rerasos verificados r = Función de auocorrelación de la muesra del k-ésimo érmino de residuo k 73

42 d = Grado de diferenciación para obener una serie esacionaria Ese esadísico iene una disribución Chi-cuadrada con k-r grados de liberad. Si el valor 2 calculado Q es mayor que la ( χ ) para k-r grados de liberad, enonces el modelo es inadecuado. Siguiendo la noación ( ) ( ) S liberad para ese esadísico son calculados como ARIMA p, d, q * SARIMA P, D, Q, los grados de k r, donde: N = n D ( S( P + Q) + p + q) N k = 4 r = p + q + P + Q Si con esas pruebas, los modelos son aproximadamene iguales, aunque ninguno de ellos se ajuse exacamene a los daos, se debe de escoger el modelo basándose en el principio de parsimonia y elegir el modelo más sencillo. Además, si el modelo ARIMA escogido es el correco, los residuales del modelo deben comporarse con las caracerísicas del ruido blanco, lo que significa que cada valor del proceso es independiene de su pasado, iene media cero, es esable en varianza, son observaciones incorrelacionadas y procede de una disribución normal. 74

43 III Pronósico con el modelo Una vez que se obuvo el modelo adecuado se pueden realizar pronósicos para uno o varios periodos fuuros. Con el mismo modelo se pueden formular inervalos de confianza. Al ener más daos disponibles, se puede uilizar el mismo modelo para revisar los pronósicos, seleccionando oro periodo de origen. Si la serie parece cambiar a ravés del iempo, pudiera ser necesario recalcular los parámeros, o incluso desarrollar un modelo nuevo por compleo. 75