6.2 Ecuaciones diferenciales: crecimiento y decrecimiento

Transcripción

1 SECCIÓN 6. Ecuaciones diferenciales: crecimieno decrecimieno 6. Ecuaciones diferenciales: crecimieno decrecimieno Usar la separación de variables para resolver una ecuación diferencial simple. Usar funciones exponenciales para modelar el crecimieno decrecimieno en problemas de aplicación. Ecuaciones diferenciales En la sección anerior se aprendió a analizar de manera visual las soluciones de ecuaciones diferenciales mediane los campos de pendienes, la solución aproximada de forma numérica mediane el méodo de Euler. Analíicamene, se aprendió a resolver sólo dos ipos de ecuaciones diferenciales, las de las formas f(x) f(x). En esa sección, se aprenderá a resolver un ipo más general de ecuaciones diferenciales. La esraegia es reescribir la ecuación de manera al que cada variable ocurre sólo en un lado de la ecuación. La esraegia se denomina separación de variables. (Se esudiará esa esraegia más a dealle en la sección 6..) EJEMPLO Resolver una ecuación diferencial x x x Escribir la ecuación original. Muliplicar ambos miembros por. Inegrar con respeco a x. x. AYUDA DE ESTUDIO Se puede usar derivación implícia para verificar la solución en el ejemplo. EXPLORACIÓN En el ejemplo, la solución general de la ecuación diferencial es x C. Usar una herramiena de graficación para graficar varias soluciones pariculares, ésas se dan por C ±, C ± C 0. Describir las soluciones gráficamene. Es verdadero o falso el enunciado de cada solución? La pendiene de la gráfica en el puno (x, ) es igual a dos veces la razón de x. Explicar el razonamieno. Esán odas las curvas para las cuales ese enunciado es verdadero represenadas por la solución general? x C Así, la solución general esá dada por x C. Aplicar la regla de la poencia. Reescribir, sea C C. Cuando se inegran ambos miembros de la ecuación en el ejemplo, no se necesia agregar una consane de inegración a ambos miembros de la ecuación. Si se hace, se obendrá el mismo resulado que en el ejemplo. x C x C x C x C C x C En la prácica, más personas prefieren usar la noación de Leibniz las diferenciales cuando se aplica separación de variables. La solución del ejemplo se muesra abajo por medio de esa noación. x x x x C x C

2 6 CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales Modelos de crecimieno decrecimieno En muchas aplicaciones, el rimo o velocidad de cambio de una variable es proporcional al valor de. Si es una función del iempo, la proporción se puede escribir como se muesra. Razón de cambio de es proporcional a. k d La solución general de esa ecuación diferencial se proporciona en el siguiene eorema. TEOREMA 6. MODELO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL Si es una función derivable de al que > 0 k, para alguna consane k, enonces Ce k C es el valor inicial de, k es la consane de proporcionalidad. El crecimieno exponencial se produce cuando k > 0, el decrecimieno cuando k < 0. Demosración 7 6 (0, ) (,.67) (, ) = e 0.66 Si la razón de cambio de es proporcional a, enonces sigue un modelo exponencial Figura 6.8 AYUDA DE ESTUDIO Mediane propiedades logarímicas, noar que el valor de k en el ejemplo puede ambién escribirse como ln. Así, el modelo (ln se conviere en e ), el cual se puede reescribir como. k k d k d k d ln k C e k e C Ce k Escribir la ecuación original. Separar variables. Inegrar con respeco a. d. Enconrar la aniderivada de cada miembro. Despejar. Sea C e C. Así, odas las soluciones de k son de la forma Ce k. Diferenciar la función Ce k con respeco a, verificar que k. EJEMPLO Uso de un modelo de crecimieno exponencial La razón de cambio de es proporcional a. Cuando 0,. Cuando,. Cuál es el valor de cuando? Solución Dado que k, se sabe que se relacionan con la ecuación Ce k. Al aplicar las condiciones iniciales se encuenran los valores de las consanes C k. Ce 0 ek C k ln 0.66 Cuando 0,. Cuando,. Así, el modelo es e Cuando, el valor de es e 0.66().67. (Ver la figura 6.8.)

3 SECCIÓN 6. Ecuaciones diferenciales: crecimieno decrecimieno 7 TECNOLOGÍA La maoría de las herramienas de graficación iene funciones para ajusar curvas que se pueden usar para enconrar modelos que represenen los daos. Usar la función de regresión exponencial la información del ejemplo para enconrar un modelo para los daos. Cómo se podría comparar el modelo obenido con el modelo dado? El decrecimieno radiacivo se mide en érminos de la vida media que es el número de años requeridos para reducir la muesra radiaciva a la miad. La asa de desinegración es proporcional a la canidad presene. Las vidas medias de algunos isóopos radiacivos comunes muesran: Uranio ( 8 U) Pluonio ( 9 Pu) Carbono ( C) Radio ( 6 Ra) Einsenio ( Es) Nobelio ( 7 No) años 00 años 7 años 99 años 76 años segundos EJEMPLO Desinegración radiaciva Suponer que 0 gramos del isóopo 9 Pu se liberaron en el accidene nuclear de Chernobl. Cuáno iempo omará a los 0 gramos disminuir a gramo? LAZARENKO NIKOLAI/ITAR-TASS/Landov Solución Considerar que represena la masa (en gramos) del pluonio. Dado que la asa de desinegración es proporcional a, se sabe que Ce k donde es el iempo en años. Para enconrar los valores de las consanes C k, aplicar las condiciones iniciales. Con base en que 0 cuando 0, se puede escribir 0 Ce k(0) Ce 0 lo cual implica que C 0. Luego, con base en el hecho de que la vida media de 9 Pu es de 00 años se puede ener 0 cuando 00, se puede escribir 00 ln k k. k 0e 00 e 00k Así, el modelo es 0e Modelo de vida media. Para enconrar el iempo en que 0 gramos decrecen a gramo, se puede despejar para en la ecuación NOTA El modelo de decrecimieno exponencial en el ejemplo se pudo escribir como 0( ) 00. Ese modelo es más fácil de derivar, pero para algunas aplicaciones no es conveniene usarlo. 0e La solución es aproximadamene años. Del ejemplo, noar que en un crecimieno o decrecimieno exponencial es fácil obener el valor de C cuando se da el valor de para 0. El siguiene ejemplo demuesra un procedimieno para resolver C k cuando no se conoce el valor de en 0.

4 8 CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales EJEMPLO Crecimieno de población Suponer que una población experimenal de moscas se incremena conforme a la le de crecimieno exponencial. Había 00 moscas anes del segundo día del experimeno 00 moscas después del cuaro día. Cuánas moscas, aproximadamene, había en la población original? Solución Sea Ce k el número de moscas al momeno, donde se mide en días. Noar que es coninua donde el número de moscas es discreo. Dado que 00 cuando 00 cuando, se puede escribir 00 Ce k 00 Ce k Por la primera ecuación, se sabe que C 00e k. Al susiuir ese valor en la segunda ecuación, se obiene lo siguiene. Número de moscas Figura 6.9 Unidades vendidas (en miles) Figura 6.0 (0, ) = e 0.9 (0, ) (, 00) (, 00) Tiempo (en días) (, ) (6, 7 00) = e Tiempo (en meses) 00 00e k e k 00 00e k ln k ln k 0.9 k Así, el modelo de crecimieno exponencial es Ce 0.9. Para resolver C, reaplicar la condición 00 cuando obener 00 Ce 0.9 C 00e Así, la población original (cuando 0) consisía en aproximadamene C moscas, como se muesra en la figura 6.9. EJEMPLO Venas decrecienes Cuaro meses después de que se deuviera la publicidad, una compañía fabricane noifica que sus venas han caído de unidades por mes a Si las venas siguen un parón de decrecimieno exponencial, qué unidades habrá después de los siguienes dos meses? Solución Usar el modelo de decrecimieno exponencial Ce k, donde se mide en meses. De la condición inicial ( 0), se sabe que C Además, dado que cuando, se iene e k 0.8 e k ln 0.8 k 0.08 k. Así, después de meses más ( 6), se puede especular que la asa de venas mensuales será e unidades.. Ver la figura 6.0.

5 SECCIÓN 6. Ecuaciones diferenciales: crecimieno decrecimieno 9 En los ejemplos al, en realidad no se uvo que resolver la ecuación diferencial k. (Eso se hizo una vez en la prueba del eorema 6..) El siguiene ejemplo ilusra un problema cua solución involucra la écnica de separación de variables. El ejemplo concierne a la le de enfriamieno de Newon, la cual esablece que la razón de cambio en la emperaura de un objeo es proporcional a la diferencia enre la emperaura del objeo la emperaura del medio circundane. Temperaura (en F) (0, 00) (0, 90) (.09, 80) = e Tiempo (en minuos) Figura 6. EJEMPLO 6 Le de enfriamieno de Newon Sea la emperaura (en F) de un objeo en una habiación cua emperaura se conserva consane a 60. Si la emperaura del objeo baja de 00 a 90 en 0 minuos, cuáno iempo se requerirá para bajar la emperaura a 80? Solución Por la le de enfriamieno de Newon, se sabe que la razón de cambio en es proporcional a la diferencia enre 60. Eso se puede escribir como k( 60), Para resolver esa ecuación diferencial, usar la separación de variables, como se muesra. k d k d ln 60 k C Ecuación diferencial. Separar variables. Inegrar cada miembro. Enconrar la aniderivada o primiiva de cada miembro. Dado que > 60, 60 60, se pueden omiir los signos del valor absoluo. Mediane noación exponencial, se iene 60 e k C Mediane 00 cuando 0, se obiene Ce k(0) 60 C, lo cual implica que C 0. Dado que 90 cuando 0, 0 0e 0k Así, el modelo es k 60 d e k 0 k 0 ln e Ce k. finalmene, cuando 80, se obiene e e e ln minuos. C e C Modelo de enfriamieno. Así, se requerirán alrededor de.09 minuos más para enfriar el objeo a una emperaura de 80 (ver la figura 6.).

6 0 CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales 6. Ejercicios En los ejercicios a 0, resolver la ecuación diferencial.. x x x 9. x x 0 0. En los ejercicios a, escribir resolver la ecuación diferencial que modela el enunciado verbal.. La razón de cambio de Q con respeco a es inversamene proporcional al cuadrado de.. La razón de cambio de P con respeco a es proporcional a.. La razón de cambio de N con respeco a s es proporcional a 00 s.. La razón de cambio de con respeco a x varía junamene con x L. Campos de pendienes En los ejercicios 6, una ecuación diferencial, un puno un campo de pendienes son dados. a) Trazar la gráfica de dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial sobre el campo de pendienes, uno de los cuales pasa a ravés del puno dado. b) Usar la inegración para enconrar la solución paricular de la ecuación diferencial usar una herramiena de graficación para represenar la solución. Comparar el resulado con la gráfica en el aparado a).. x 6, 0, x 6 x 7 x x 00x x, 0, En los ejercicios a, escribir resolver la ecuación diferencial que modele el enunciado verbal. Evaluar la solución en los valores específicos de la variable independiene.. La razón de cambio de es proporcional a. Cuando x 0, 6 cuando x,. Cuál es el valor de cuando x 8?. La razón de cambio de N es proporcional a N. Cuando 0, N 0 cuando, N 00. Cuál es el valor de N cuando?. La razón de cambio de V es proporcional a V. Cuando 0, V 0 000, cuando, V 00. Cuál es el valor de V cuando 6?. La razón de cambio de P es proporcional a P. Cuando 0, P 000, cuando, P 70. Cuál es el valor de P cuando? En los ejercicios a 8, enconrar la función exponencial Ce k que pase a ravés de los dos punos dados.. 6. ( 0, ) (, ) (, ) (, ) 6 (0, ) ( ), (, ) (, ) En los ejercicios 7 a 0, enconrar la función f() que pasa a ravés del puno (0, 0) con la primera derivada dada. Usar una herramiena de graficación para represenar la solución d d x d d x Desarrollo de concepos 9. Describir qué represenan los valores de C k en el modelo de crecimieno decrecimieno exponencial, Ce k. 0. Proporcionar una ecuación diferencial que modele el crecimieno decrecimieno exponencial. En los ejercicios, deerminar los cuadranes en los cuales la solución de la ecuación diferencial es una función creciene. Explicar. (No resolver la ecuación diferencial.).. x x

7 SECCIÓN 6. Ecuaciones diferenciales: crecimieno decrecimieno Desinegración radiaciva En los ejercicios a 0, complear la abla de los isóopos radiacivos Desinegración radiaciva El radio radiacivo iene una semivida o vida media de aproximadamene 99 años. Qué porcenaje de una canidad dada permanece después de 00 años?. La prueba del carbono La prueba del carbono supone que el conenido de dióxido de carbono sobre la Tierra ho iene el mismo conenido radiacivo que el de hace siglos. Si eso es ciero, la canidad de C absorbido por un árbol que creció hace varios siglos debe ener la misma canidad de C absorbida por un árbol que crece ho. Una pieza de carbón viejo coniene sólo % de la canidad de carbono de una pieza de carbón acual. Hace cuáno iempo fue quemado el árbol para formar la pieza anigua de leño? (La vida media del C es 7 años.) Inerés compueso En los ejercicios a 8, complear la abla para una cuena de ahorros en la que se iene un inerés coninuo Isóopo 6 Ra 6 Ra 6 Ra C C C 9 Pu 9 Pu Inversión inicial Semivida o vida media (en años) 99 0 g 99. g g 7 g 7 g $ 000 6% $8 000 $ g 00. g g Tasa anual % Canidad inicial Inerés compueso En los ejercicios 9 a, enconrar el capial principal P que debe inverirse a una asa r, a un inerés mensual compueso, al que $ garanicen la jubilación en años. 9. r 7 %, r 8%,. Inerés compueso En los ejercicios a 6, enconrar el iempo necesario para que $ 000 se dupliquen si se invieren a una asa de r compuesa a) anual, b) mensual, c) diaria d) coninua.. r 7%.. r 8.% 6. Canidad después de 000 años Tiempo para duplicar 7 años $ 00 años $00 $ 9.8 $ 000 $ 6.6 r 6%, r 9%, r 6% r.% Canidad después de 0 años Canidad después de años 0 Población En los ejercicios 7 a 6, se dan la población (en millones) de un país en 007 la razón de cambio coninua anual especulada k de la población. (Fuene: U.S. Census Bureau, Inernaional Daa Base.) a) Enconrar el modelo de crecimieno exponencial P Ce k de la población con 0 correspondiene a 000. b) Usar el modelo para predecir la población del país en 0. c) Discuir la relación enre el signo de k el cambio en la población para el país País Leonia. Egipo Paragua Hungría Uganda Para discusión Población de a) Suponiendo un incremeno en la población de insecos en un número consane cada mes, explicar por qué el número de insecos puede ser represenado por función lineal. b) Suponiendo un incremeno en la población de insecos en un porcenaje consane cada mes, explicar por qué el número de insecos puede ser represenado por función exponencial. 6. Modelo maemáico Sea un culivo con una canidad inicial de cien bacerias N el número de bacerias que se cuenan cada hora durane horas. Los resulados se muesran en la abla, donde es el iempo en horas. 0 N a) Usar la función de regresión de una herramiena de graficación para enconrar un modelo exponencial para los daos. b) Usar el modelo para esimar el iempo requerido para que la población se cuadriplique. 6. Crecimieno de bacerias El número de bacerias en un culivo se incremenó de acuerdo con la le de crecimieno exponencial. Después de horas se ienen bacerias en el culivo 0 bacerias después de horas. a) Enconrar la población inicial. b) Escribir un modelo de crecimieno exponencial de la población baceriana. Sea el iempo en horas. c) Usar el modelo para deerminar el número de bacerias después de 8 horas. d) Después de cuánas horas la canidad de bacerias será de 000? 6. Curva de aprendizaje El gerene de una fábrica ha calculado que un rabajador puede producir más de 0 unidades en un día. La curva de aprendizaje del número N de unidades producidas por día después de que un nuevo empleado haa rabajado días es N 0( e k ). Después de 0 días en el rabajo, un rabajador produce 9 unidades. k

8 CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales a) Enconrar la curva de aprendizaje de ese rabajador. b) Cuános días pasarían anes de que ese rabajador produzca unidades por día? 66. Curva de aprendizaje Si en el ejercicio 6 el gerene requiere que un nuevo empleado produzca al menos 0 unidades por día después de 0 días en el rabajo, enconrar a) la curva de aprendizaje que describe ese requisio mínimo b) los días necesarios anes de que un rabajador produzca, como mínimo, unidades por día. 67. Análisis de daos La abla muesra la población P (en millones) de Esados Unidos desde 960 hasa 000. (Fuene: U.S. Census Bureau) Año Poblaci ón, P a) Usar los daos de para enconrar un modelo exponencial P para los daos. Considerar 0 en 960. b) Usar una herramiena de graficación para represenar un modelo exponencial P para los daos. Considerar 0 en 960. c) Usar una herramiena de graficación para razar los daos los modelos P P en la misma panalla. Comparar el dao real con las predicciones. Qué modelo se ajusa mejor a los daos? d) Esimar cuándo la población será de 0 millones. 68. Análisis de daos La abla muesra los ingresos neos las canidades requeridas para saisfacer la deuda nacional (fondos de garanía de los inereses adecuados por la Tesorería) de Esados Unidos desde 00 hasa 00. Los años de 007 a 00 son esimados las canidades monearias se dan en miles de millones de dólares. (Fuene: U.S. Office of Managemen and Budge) Año Ingresos Inereses Año Ingresos Inereses a) Usar la capacidad de regresión de una herramiena de graficación para enconrar un modelo exponencial R para los ingresos un modelo cuárico I para la canidad necesaria para saisfacer la deuda. Considerar como el iempo en años, con que corresponde a 00. b) Usar una herramiena de graficación para razar los punos correspondienes a los ingresos, razar el correspondiene modelo. Con base en el modelo, cuál es la asa de crecimieno coninuo de los ingresos? c) Usar una herramiena de graficación para represenar los punos que corresponden a la canidad necesaria para saisfacer la deuda, razar el modelo cuárico. d) Enconrar una función P() que aproxime el porcenaje de los ingresos necesarios para saisfacer la deuda nacional. Usar una herramiena de graficación para represenar esa función. 69. Inensidad del sonido El nivel del sonido (en decibeles), con una inensidad de I es I 0 log I 0 donde I 0 es una inensidad de 0 6 was por cenímero cuadrado, que corresponde a la inensidad del sonido más débil que se puede escuchar. Deerminar (I) para a) I 0 was por cenímero cuadrado (susurro) b) I 0 9 was por cenímero cuadrado (esquina de calle ruidosa) c) I 0 6. was por cenímero cuadrado (golpe de marillo) d) I 0 was por cenímero cuadrado (umbral de dolor) 70. Nivel de ruido Con la insalación de maeriales de aislamieno sonoro, el nivel de ruido en un audiorio se redujo de 9 a 80 decibeles. Usar la función exponencial del ejercicio 69 para enconrar el porcenaje de decrecimieno en el nivel de inensidad del ruido como un resulado de la insalación de esos maeriales. 7. Silviculura El valor de un erreno de árboles maderables es. V () e 08 donde es el iempo en años, con 0 correspondiene a 008. Si el dinero gana inereses coninuamene de 0%, el acual valor del bosque maderero en cualquier iempo es A() V()e 0.0. Enconrar el año en el cual el bosque se alará para maximizar la presene función valor. 7. Inensidad del erremoo En la escala de Richer, la magniud R de un erremoo de inensidad I es R ln I ln I 0 ln 0 donde I 0 es la inensidad mínima usada como comparación. Suponer que I 0. a) Enconrar la inensidad del erremoo de San Francisco en 906 (R 8.). b) Enconrar el facor para el cual la inensidad aumene si la medida en la escala Richer es el doble. c) Enconrar dr di. 7. Le de enfriamieno de Newon Cuando un objeo se exrae del horno se coloca en un enorno con una emperaura consane de 80 F, la emperaura en el cenro es 00 F. Una hora después de exraerlo, la emperaura del cenro es 0 F. Enconrar la emperaura del cenro horas después de exraer el objeo del horno. 7. Le de enfriamieno de Newon Un conenedor de líquido caliene se coloca en un congelador que se maniene a una emperaura consane de 0 F. La emperaura inicial del líquido es 60 F. Después de minuos, la emperaura del líquido es 60 F. Cuáno iempo se necesiará para que su emperaura disminua a 0 F? Verdadero o falso? En los ejercicios 7 a 78, deerminar si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuesre. 7. En el crecimieno exponencial, la asa de crecimieno es consane. 76. En el crecimieno lineal, la asa de crecimieno es consane. 77. Si los precios aumenan a una asa de 0.% mensual, enonces ésos aumenan a una asa de 6% por año. 78. El modelo exponencial de la ecuación diferencial de crecimieno es k, donde k es una consane. I 0