GUÍA DE EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Transcripción

1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT GUÍA DE EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS. El vendedor de un pueso de periódicos asigna las siguienes probabilidades de demanda de la revisa Fine: Suceso : Demanda de ejemplares 3 Probabilidades a. Si el vendedor puede devolver los ejemplares que no se vendan y recuperar odo el dinero, cuános ejemplares debe pedir?. b. Si el vendedor no puede devolver los ejemplares que no se vendan, cuános ejemplares debe pedir?.. Suponga que una ienda de abarroes compra 5 envases de leche descremada a un precio de mayoreo de $. por envase y revende la leche a $.65 por envase. Después de la echa de vencimieno, la leche que no se vendió se quia de los anaqueles y el endero recibe un crédio del disribuidor igual a 3/ del precio de mayoreo. Si la unción de probabilidad de la variable aleaoria X, el número de envases que no se vendió, es: [X ] a. Deermine la ganancia esperada del endero 3. El porcenaje de alcohol (X) en ciero compueso se puede considerar como una variable aleaoria, donde X se encuenre en el inervalo ], [ y iene la siguiene unción de densidad de probabilidad: T ( ) 3 (- ) < < e.o.c a. Halle la unción de disribución de probabilidad F X (). b. Cuál es la probabilidad que el porcenaje de alcohol sea cuano mucho de dos ercios?. c. Si un compueso en una primera inspección obuvo un porceneje de alcohol menor a un medio. Cuál es la probabilidad que en una segunda inspección enga una porcenaje superior a dos ercios?. d. Supóngase que el precio de vena del compueso anerior depende el conenido de alcohol. Especíicamene, si /3 < X < /3, el compueso se vende a C dólares por galón; de oro modo se vende a C dólares por galón. Si el coso es de C3 dólares por galón, enconrar la disribución de probabilidad de la uilidad nea por galón.

2 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT. Un abricane de calculadoras elecrónicas orece una garanía de dos años. Si la calculadora llega a allar durane ese período, se reemplaza. El iempo (años) hasa la alla se modela acepablemene con la.d.p. dada por: T ( ) 3 e. o.c. a. Qué porcenaje de calculadoras se espera usarán la garanía?. b. Deermine el coeiciene de asimería de Pearson. Inerpree. c. El coso de producción de una calculadora es de $5 (dólares), y la ganancia por vena de una unidad es de $5 (dólares). Cuál es el eeco sobre las uilidades esperadas en la abricación de calculadoras, que producen las reposiciones debido al uso de la garanía? d. Cuál es la probabilidad de que de calculadoras abricadas allen la primera y la cuara?. 5. El abricane de un ónico para el cabello quiere producir un nuevo produco. Los beneicios incremenales son de $ dólares por unidad (sobre la base del valor neo acual (VAN)) y la inversión en equipo necesario es de $ 5 dólares. Si la esimación de la demanda es: Demanda (unidades) Probabilidad a. Deermine la canidad de producos mínimos que debe producir. b. Deermine el beneicio neo esperado. c. Cómo cambiaría el valor esperado si la probabilidad de demanda de 3 es de. y la probabilidad de 7 uera de Un proesor a ravés de los años, ha noado que sus alumnos (en grupos de a dos) ardan un iempo T (en horas) de armar los aparaajes necesarios para eecuar un eperimeno, dicho iempo esá adecuadamene modelado por la siguiene unción de disribución: F T ( ) - < < < 5 5 a. Halle la unción de densidad de probabilidad T (). b. Qué porcenaje de los grupos arda más de 3 minuos en armar el aparaaje?. c. Halle la esperanza y la varianza de T, e inerpree adecuadamene.

3 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT 7. Are Compuers ha recibido un conrao para abricar dos sisemas de compuación X 6 para una universidad japonesa. El conrao esablece que Are recibirá 5 millones de yenes denro de seis meses, al enregar las compuadoras. La asa acual de cambio es de 5 yenes por dólar; sin embarga hay cieras preocupaciones en los mercados inancieros acerca del valor de yen a uuro. Esa siuación se releja en el mercado de divisas a uuro, en donde se pueden comprar o vender yenes adelanados seis yenes a una asa de 55 yenes por dólar. Especíicamene, Are puede vender barao los 5 millones de yenes y recibir ahora 967 dólares. El esorero de Are ha asignado las siguienes probabilidades a la asa de cambio denro de seis meses: Tasa de cambio (yenes por dólar) Probabilidad a. Suponiendo que Are esá dispuesa a usar el valor medio esperado como crierio de decisión, debe vender los yenes ahora (en mercados a uuro) o esperar a que reciba el pago denro de los próimos seis meses?. b. Sería el valor medio esperado un crierio razonable para ese problema. 8. Sea X una v. a. con unción de densidad de probabilidad dada por: X + ( ) - < < a. Encuenre la unción de densidad de probabilidad de la variable aleaoria Y X. b. Deermine la Probabilidad b. [Y /] b. [Y 6] b.3 [Y Y /] 9. Sea X una v. a. con unción de cuanía de probabilidad dada por: X ( ) 3,, 3 a. Encuenre la unción de masa de probabilidad de la variable aleaoria Y X. b. Deermine la esperanza y varianza de X. c. Deermine la esperanza y varianza de Y. d. Deermine la Probabilidad d. [Y 5] d. [Y 5] d.3 [Y 6 Y > ]

4 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT. Considere una variable aleaoria X, con unción de disribución deinida en el gráico siguiene: F ( ),8,6,, a. Deermine el valor de las siguienes probabilidades: [X ] [X 3] [X ] [5.5 X 7.5] [X]. La canidad de dinero ahorrada (en miles de pesos), X, es considerada como una variable aleaoria (Ahorro por persona en un mes), que iene una unción de probabilidad acumulada dada por la siguiene unción: F X ( ) < a. Graique la unción de disribución acumulada de X. [X] y [X]. b. Deermine la probabilidad de que en un mes la canidad de dinero ahorrada sea: b. Superior a $. b. Superior a $ 5 y menor o igual a $ 5.. La velocidad de una molécula en un gas uniorme en equilibrio es una variable aleaoria V cuya disribución de probabilidad es: kv V ( v) - e bv v > Donde k es una consane apropiada y b depende de la emperaura absolua y la masa de la molécula. a. Encuenre la unción de densidad de la energía cinéica W de la molécula, donde W mv /. b. Deermine el valor esperado, la variabilidad y la variabilidad relaiva de la variable W.

5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT 3. Una gasolinera recibe bencina una vez por semana. Si su volúmen de vena en miles de liros se puede modelar por la.d.p. 5 ( () ) si a. Deermine la capacidad del depósio de la gasolinera de orma que la probabilidad de que se agoe la bencina en una semana deerminada sea 5%. b. Si los ingresos se pueden esimar por la unción aleaoria Y X + (M$). c. Calcular [Y] y [Y]. Inerpree. Deermine la densidad de Y, (y).. Considere la variable aleaoria X con una disribución Uniorme en el inervalo (, ), es decir; X U(, ). Se deine la unción Y g (X), en donde la unción g esá dada por: Y g (X) 3 + ; ; < a. Encuenre la unción de densidad de probabilidad de Y, y evaluar [3/ < Y < 5/]. b. Deermine la [Y]. 5. Sea U una v.a., proveniene de una disribución dada por: g (u, ^ ) u ep ˆ ]-, [ (u) ^ >. ^ ^ a. Deermine para que valores de ^ es g (u, ^ ) unción de densidad. b. Encuenre la disribución de Z (u) U. 6. La canidad de ciero produco, en cienos de kilogramos, vendida diariamene en un supermercado, se disribuye como una variable aleaoria con la siguiene unción de densidad: ( ),5 < < m en oro caso a. Cuál es la canidad máima del produco que podrá vender ese supermercado? b. Si se consideran días malos a aquellos en que la canidad vendida del produco esá por debajo de la canidad vendida esperada, cuál es la probabilidad de que un día no se considere malo? c. El supermercado esá obligado a pagar un impueso diario de $9 si la canidad vendida del produco supera los 5 kilogramos y $ si esa canidad no supera los 5 kilogramos. En cualquier oro caso, el impueso será de $5. Deermine la canidad de dinero que el supermercado espera gasar mensualmene por concepo de impuesos.

6 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT 7. Sea X una variable aleaoria, al que: (, θ) ( + θ) θ ˆ [, ] (). a. Deermine para que valores de θ es (, θ) unción de densidad. b. Demuesre que Z - ( + θ) ln (X), se disribuye Chi-cuadrado (). c. Deermine [Z]. 8. Una empresa debe decidir acerca del amaño de una nueva plana en Concepción. En ese momeno la empresa sólo iene un poencial de venas mínimo en las ciudades del Sur. Sin embargo, cuando la plana de Concepción esé uncionando, se emprenderá una campaña de promoción. En ciero modo, dado los recursos disponibles para la campaña, la empresa no esá segura del éio de ésa. Se esima que hay una probabilidad de. de oporunidad de que la empresa cape una paricipación signiicaiva del mercado, en oro caso, sólo logrará una paricipación moderada. Se necesiará de una plana grande si se consigue una paricipación signiicaiva, con un coso de US$ 8 millones, mienras que si la paricipación es moderada basa con una plana pequeña con un coso de US$ 5 millones. Si se consigue una paricipación signiicaiva del mercado, el valor presene esimado de las uilidades resulanes (ecluyendo el coso de la plana) es de US$ 3 millones; si se logra una paricipación moderada, el valor presene esimado de las uilidades resulanes (ecluyendo el coso de la plana) es de US$ 8 millones. La gerencia iene ora alernaiva en cuesión; consruir una plana pequeña, esperar el resulado de la campaña de promoción y luego ampliar la plana si la siuación lo ameria, con un coso de US$.5 millones. a. Trazar un árbol que muesra las disinas alernaivas de la Gerencia. b. Sobre la base de la Uilidad Nea Qué decisión debe omar la Gerencia de la empresa?. 9. Un volaje aleaorio X esá disribuido uniormene en el inervalo (-k, k). Si X es la energía recibida en un disposiivo no lineal, con las caracerísicas que se muesran en la igura siguiene, enconrar la disribución de Y en los siguienes casos: Y y Y g (X). -. -a. a.. X a. k < a. b. a < k <. c. k >. c. Deermine [Y].

7 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT. Sea X una v.a.al que esá bien modelada por la siguiene unción: g () ep { } κ ˆ ]-, [ (). Encuenre κ al que g() se unción de densidad y unción de disribución de i n X. i. El iempo de vida en meses de ciero ipo de bombillas es una variable aleaoria con unción de densidad dada por: ( ) ep Ι(, ) ( ) Un vendedor, que en cada bombilla vendida gana en un principio $ [US], se compromea a lo siguiene: si la bombilla se unde anes del cuaro mes, devuelve al comprador $ 6 [US], y si se unde en un insane enre el cuaro mes y el seo mes, le devuelve (6 3X) [US]. Si se unde más arde no devuelve nada. a. Deermine la unción de disribución de la ganancia de la bombilla. b. Calcular la ganancia media de la bombilla. c. Si vende a un comprador 8 bombilla, Ha cuános esperaría devolver $ 6 [US]?, cuál es la probabilidad que enga que devolver $ 6 [US] a lo menos ha cuanos esperaba devolver $ 6 [US]?.. Considérese la resisencia a la leión, en kilos por pulg, de un maerial normal de acero a ensión, A36, la cual se encuenra bien modelada por la siguiene unción. k ( 35 ) 35 < 6 k X( ) ( 55 ) < 55 a. Deermine la consane k, al que X sea unción de densidad. Deermine el coeiciene de simería de Pearson para las resisencias. b. Cuál es la resisencia sobre la cual se encuenra el 5% de odas las resisencias?. c. Considerando los conraos esablecidos por un nuevo, pero imporane empresario, se ha llegado a un acuerdo. Cuando la resisencia a la leión de una prueba sea inerior a 38 [K/pl ], el pago por cada unidad es de $ US; cuando la resisencia a la leión de una prueba sea superior a 5 [K/pl ], el pago por cada unidad es de $95 US; mienras si la resisencia a la leión de una prueba se encuenra enre los 38 a 5 [K/pl ], el pago por cada unidad es de US X $ US. Deermine: c. La unción de disribución del coso de cada unidad de maerial. c. Cual es el coso esperado de cada unidad de maerial.