APLICACIONES DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LA VIDA REAL Y OTRAS ÁREAS

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1 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LA VIDA REAL Y OTRAS ÁREAS AUTORÍA SERGIO BALLESTER SAMPEDRO TEMÁTICA DIDÁCTICA, MATEMÁTICAS ETAPA ESO, BACHILLERATO Resumen En ese arículo veremos algunas aplicaciones a la vida real y oras áreas de las ciencias de las Maemáicas. Uno de los concepos más imporanes en Maemáicas es el de función, ya que se puede aplicar en numerosas siuaciones de la vida coidiana, y deerminar las relaciones que exisen enre magniudes ano en Maemáicas, Físicas, Economía, ec., y poder calcular el valor de una de ellas en función de oras de las que depende. Ya desde hace años, se observaron fenómenos que esaban relacionados con oros, así el volumen de un gas a emperaura consane, esá relacionado con la presión, la fuerza de aracción enre dos cuerpos se vio que esaba relacionada con la masa de esos cuerpos y la disancia que les separa, y el capial final de una inversión esá deerminado por el capial inverido y el iempo que dure esa inversión, ec. Esas aplicaciones serán úiles para el profesor/a a la hora de raar las diferenes unidades didácicas ano en ESO como en Bachillerao, podrá dar diferenes ejemplos y aplicaciones sobre las maemáicas en la vida o en diferenes áreas, eso faciliará la didácica de las maemáicas para su enseñanza y aprendizaje para los alumnos/as. Palabras clave Aplicaciones Vida coidiana Didácica Funciones C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 1

2 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 1. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A DISTIINTAS ÁREAS: En cualquier área de las ciencias, exisen leyes en las que se relacionan disinas magniudes, emperaura-presión, masa-velocidad, inensidad del sonido-disancia, ec. Es decir, a parir de los valores de algunas magniudes se obienen los valores de oras de forma direca a ravés de fórmulas ya demosradas. Un puno de origen del concepo de función nace precisamene de las relaciones que manienen diferenes magniudes, así pues la función se puede represenar algebraicamene o de forma gráfica en la que se relacionan varias magniudes enre sí. Mediane la represenación gráfica de esas relaciones enre diferenes magniudes, se pudo dar de forma visual esa relación e inerprearla de forma rápida y sencilla. Una forma de represenación es la que se hace mediane ejes caresianos, en la que se la función se represena de forma general por la relación numérica de magniudes en una gráfica. Así pues, la función la podremos represenar ano gráficamene como mediane una expresión algebraica o fórmula. Euler fue el primero en emplear la expresión f(x) para represenar una función f asociada a un valor x. Es decir, con esa represenación que es empleada hoy, se comienza la uilización del concepo de función al y como hoy se eniende. Función en Cinemáica: El problema consise en expresar la relación enre el espacio recorrido y el iempo inverido en ello. Si queremos la función que represena el espacio recorrido por un móvil, con velocidad uniforme que pare del reposo e( ) = v que es una función del ipo f ( x) = m x cuya gráfica es una reca dependiene de m y que pasa por el origen de coordenadas. Oro problema muy común y que su uso es muy esudiado es el lanzamieno de proyeciles. Las funciones son de ipo cuadráica de la forma y = ax + bx + c. Por ejemplo, si queremos calcular la disancia que alcanza un objeo que es lanzado hacia arriba con una inclinación deerminada α y a una velocidad inicial de lanzamieno v, en función del iempo se puede represenar de forma gráfica y algebraica: x = x y = v v x y y = v = v + v + v x y x y g 1 C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com g

3 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Según las magniudes que se quieran relacionar las expresiones ano gráficas como algebraicas serán las adecuadas: Función en Dinámica: Cuando una parícula iene una rayecoria curvilínea, esá someida a una aceleración perpendicular a la rayecoria y dirigida hacia el cenro de la curva, llamada aceleración cenrípea y cuya expresión es v M v a =, esa aceleración es producida por una fuerza cuya expresión es F = M a = expresión R R que es una función cuadráica. También en dinámica se emplean funciones que describen fenómenos coidianos. Las funciones se pueden obener de forma experimenal o por medio de fórmulas. Represenar por ejemplo la longiud que puede alcanzar un muelle desde el que se cuelga un peso viene dada por una función de ipo lineal del ipo y = ax + b que se represena por una reca. También por la ley de Hooke F = Kx se puede deerminar por medio de una abla de valores o por una gráfica la fuerza o peso que se debe aplicar para que el muelle se desplace una ciera disancia. Por ejemplo, si se iene un muelle con una consane de elasicidad k =, 5, podemos ir represenando la relación enre las magniudes fuerza-disancia C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 3

4 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Función en Energía: La energía cinéica viene expresada por Función de crecimieno ilimiado: Responde a la forma ( ) cx f x 1 Mv = a b con a, c> y b>1. Ec = de ipo cuadráico. Es por ejemplo el crecimieno de la población P = ( 1+ r' ) P, donde P es el crecimieno de la población al cabo de años, r ' es el crecimieno anual de la población de forma consane expresado en ano por 1, P es la población acual. Función de decrecimieno limiado: Su ecuación viene dada por ( ) cx f x C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 4 = a b con a>, b>1 y c>. Es por ejemplo la desinegración λ radiaciva cuya fórmula N = N e, donde N es el número de áomos en el momeno, N es el número de áomos radiacivos iniciales, λ es la consane de desinegración, es el iempo. Función de crecimieno limiado: bx Su ecuación es de la forma f ( x) a( e ),x fórmula viene dad por n n ( 1 e ) número de minuos que se les muesran. Función del sonido: = 1 con a>. es por ejemplo las pruebas de memoria cuya = donde n es el número de objeos que se pueden recordar y x es el La inensidad del sonido que podemos percibir desde un puno sonoro llamado foco dependerá de la disancia a la que se encuenre el recepor desde el puno emisor del sonido. 1 Así pues, esa inensidad que recibe el recepor vendrá dada por la fórmula: I = en la que I es la d inensidad del sonido medida en decibelios y d es la disancia medida en meros a la que se encuenra el recepor del emisor.

5 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 La función que represena las magniudes inensidad del sonido-disancia es de la forma: Función de Economía: Para el esudio de la función de coses de una empresa, cuando una empresa produce cieros bienes, genera cieros gasos llamados coses. Para ener una producción eficiene, la función de coses debe ser mínima. La función de coses depende de la relación: ( Q) = Cv( Q) C f C + donde Q es la canidad de produco producido, C es el cose oal, C v son los coses variables en función de la canidad de produco producido y C f son los coses fijos de producción. Función en Termodinámica: La Ley de Boyle, nos dice que para un gas a emperaura consane, se verifica la siguiene relación enre la presión y el volumen: P V = K P = Su represenación gráfica es una hipérbola equiláera cuyas asínoas coinciden con los ejes de coordenadas. En ese caso se represena mediane la rama posiiva de la hipérbola, pues no iene senido hablar de presiones o volúmenes negaivos. K V C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 5

6 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Función en la Ley de la graviación universal de Newon y Ley de Coulomb. Isaac Newon enunció que la fuerza con que se araen dos cuerpos es direcamene proporcional al produco de sus masas e inversamene proporcional al cuadrado de la disancia que les separa, se expresa maemáicamene como: Mm F = G d También la Ley de Coulomb nos dice que la fuerza de aracción o de repulsión de dos cargas es direcamene proporcional al produco de sus cargas e inversamene proporcional al cuadrado de la disancia que las separa, se expresa maemáicamene como: Esas dos funciones son racionales. Qq F = K d. APLICACIONES DE FUNCIONES CONCRETAS: Función logarímica: C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 6

7 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Es por ejemplo la ley de la medida de la inensidad de una onda que viene dada por siendo I la inensidad física del sonido, I la inensidad de referencia. Oro ejemplo es la escala de Richer M log1 b = 1 log = P donde M es la magniud del erremoo, P indica el número de veces que ha sido mayor la ampliud de la onda sísmica producida por el erremoo, en comparación con la onda en una siuación sin erremoo. Función radical: Son funciones del ipo y = kx, son funciones que se represenan mediane una semiparábola con su eje paralelo al eje de abscisas. Un ejemplo de la misma es por ejemplo cuando se quiere calcular el periodo de un péndulo T, que esa en función de la longiud del péndulo de la forma: T = l I I Funciones de proporcionalidad inversa: k Son funciones del ipo y =, viene represenada gráficamene por hipérbolas con las asínoas x paralelas a los ejes de coordenadas. Un ejemplo es por ejemplo en ópica en la que se puede represenar el aumeno que produce una lene según la disancia focal de la misma. El aumeno que se produce puede ser en una lupa común 4 del ipo A = donde A es el aumeno que se produce y x es la disancia a la que se coloca el objeo 4 x que esamos aumenando. Su represenación gráfica será del ipo: C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 7

8 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Funciones circulares: Las funciones circulares esán relacionadas con las vibraciones, propagación de ondas y movimieno pendular. Hay muchos campos de la ciencia en los que es imprescindible el uso de funciones circulares, ales como la Acúsica, Elecrónica, ec. Para un oscilador armónico simple, la posición de la parícula en función del iempo la podemos expresar como x ( ) = Asen( ω + ϕ), que es la ecuación del movimieno vibraorio armónico simle, donde A es la ampliud, ω la pulsación y φ la fase inicial. Maxwell descubrió las ondas elecromagnéicas, donde los campos elécrico y magnéico de una onda varía con el iempo según: E = E donde c es la velocidad de la luz en el vacío. senk B = B senk ( x c) ( x c) 3. BIBLIOGRAFÍA: Golosina, L. I. (198). Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Moscú: Ediorial Mir. Boyer, C. (7). Hisoria de la maemáica. Madrid: Alianza Ediorial, S.A. Mialare, G. (1994). Las Maemáicas: cómo se aprenden y cómo se enseñan. Madrid: Edorial ISS. C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 8

9 Auoría ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 3 OCTUBRE DE 9 Nombre y Apellidos: Sergio Balleser Sampedro Cenro, localidad, provincia: IES López Neyra, Córdoba, Córdoba sballess@yahoo.es C/ Recogidas Nº 45-6ºA 185 Granada csifrevisad@gmail.com 9