Fundamentos de Vibraciones Mecánicas. Definiciones y Terminología.

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1 Fundamenos de Vibraciones Mecánicas. Definiciones y Terminología. José María Rico Marínez Deparameno de Ingeniería Mecánica Faculad de Ingeniería Mecánica Elécrica y Elecrónica Universidad de Guanajuao Salamanca, Go , México jrico@salamanca.ugo.mx Inroducción Esas noas ienen como objeivo proporcionar al lecor las definiciones, clasificación y resulados fundamenales de vibraciones mecánicas. El propósio es agilizar el aprendizaje de esos emas que, usualmene, no requieren de conocimienos muy profundos de oras maerias. 2 Vibración: Definición y Clasificación. En esa sección se definirán las vibraciones mecánicas y se clasificarán en base a sus caracerísicas fundamenales. Definición : Vibración. Es la variación con respeco al iempo, de la magniud de un parámero que define, oalmene o parcialmene, el esado de un sisema mecánico, elécrico, económico, biológico, respeco a una referencia específica, cuando la magniud del parámero es alernaivamene mayor y menor que la de referencia. Una vibración es, simplemene, una función no monóonica del iempo, f(); así pues, en senido esrico, las funciones consanes; es decir aquellas que f() =c I d, () donde I d es el inervalo de definición de la función, no saisfacen definición. Exisen ejemplos muy variados de vibraciones:. El volaje de un circuio de corriene alerna. En el reso de esas noas, el lecor puede emplear como sinónimos las palabras vibración y función.

2 2. La presión denro de un anque de almacenamieno de una compresora durane su llenado y descargado. 3. La presión inerna de la cabina de un avión durane un viaje. 4. La disancia que se comprime un resore en los amoriguadores de la suspensión de un auomóvil durane el viaje a ravés de una carreera llena de baches. 5. El valor relaivo de la moneda de un país con respeco a la moneda de oro. 6. La emperaura de un paciene afecado de paludismo. Aún cuando muchos de las definiciones y resulados obenidos en ese curso son aplicables a cualquier ipo de sisema frecuenemene denominado sisema dinámico, el énfasis en ese curso es el esudio de los sisemas mecánicos. La definición es demasiado amplia y es posible, y conveniene, resringir la definición a clases pariculares de vibraciones. Definición 2: Vibraciones Deerminisícas y Probabilísicas o Esocásicas. Una vibración se denomina deerminísica si es posible conocer la función, f(), que describe la función. En conrase, una vibración se denomina probabilísica o esocásica si lo único a lo que es posible aspirar es conocer una función de probabilidad de la ampliud del parámero descrio por la función. En un curso inroducorio de vibraciones mecánicas, las únicas vibraciones que se esudian son las deerminísicas. Las vibraciones probabilíicas o esocásicas han enconrado un campo de aplicación imporane en el esudio de las vibraciones producidas por la ineracción de fluidos y sólidos, por ejemplo en las vibraciones de aviones supersónicos y cohees. Definición 3: Vibraciones Periódicas y Aperiódicas. Las vibraciónes deerminísicas se clasifican en vibraciones periódicas y aperiódicas. Una vibración periódica es aquella que se repie con odas sus caracerísicas después de un inervalo de iempo concido como Periodo de la Vibración yrepresenado por T. Maemáicamene, la función que describe la vibración o función priódica debe saisfacer la condición f( + T )=f() I d. (2) Si la vibración o función no saisface la ecuación 2, la vibración o función se denomina aperiódica. En la prácica de la ingeniería mecánica, la gran mayoria de las vibraciones son aperiódicas; sin embargo, en un curso inroducorio de vibraciones mecánicas las que se esudian a mayor profundidad son las vibraciones periódicas. Las razones de esa aparene conradicción son: El esudio de las vibraciones periódicas es mucho mas simple que las vibraciones aperiódicas. 2

3 Frecuenemene, las vibraciones aperiódicas esán consiuidas por una componene periódica y una componene aleaoria 2. De manera que los problemas que ocasionan las vibraciones aperiódicas pueden resolverse mediane el análisis de la componene periódica, eliminando de alguna manera, por ejemplo promediando, la componene aleaoria. La figura muesra un ejemplo de una vibración periódica. Noe que la vibración se repie con odas sus caracerisicas después de un inervalo de iempo. 2.5 Ejemplo de Vibracion Periodica 2.5 Desplazamieno, u.l Tiempo, segundos Figure : Ejemplo de Vibración Periódica. La figura 2 muesra un ejemplo de una vibración aperiódica. 3 Propiedades de Vibraciones Periódicas. En esa sección se analizarán, con mayor profundidad, las caracerísicas de las vibraciones periódicas. En primer lugar puede observarse que si T es un inervalo de iempo que saisface la ecuación 2, enonces f( +2T )=f(( + T )+T )=f( + T )=f(). (3) 2 En senido esrico esas vibraciones deberian caracerizarse como probabilísicas o esocásicas. 3

4 Comparacion de los Desplazamieno en un Sisema Bajo un Pulso Cuadrado de 0 seg.y Bajo Condiciones Iniciales Condicion Inicial 60 Desplazamieno, u.l Pulso Tiempo, segundos Figure 2: Ejemplo de Vibración Aperiódica. Mediane inducción es fácil probar que si f( + T )=f() Enonces, para cualquier valor de enero n, f( + nt)=f(). (4) La conclusión es que si T es un periodo de la vibración, enonces odo nt es ambién un periodo de la vibración. Así pues, es necesario diferenciar uno de esos periodos. Definición 4. Periodo Fundamenal. El inervalo de iempo mas pequeño que saisface la ecuación 2, es decir f( + T )=f(), se conoce como el periodo fundamenal. En el reso del curso y a menos que se diga lo conrario, siempre que se refiera a un periodo deberá enenderse que se refiere al periodo fundamenal. Una vez definido el periodo fundamenal, es posible deerminar la frecuencia de una vibración periódica. Definición 5. Frecuencia. La frecuencia de una vibración periódica, f, se define como el número de veces que una vibración se repie en un inervalo de iempo. f = T. (5) 4

5 Las unidades de la frecuencia son ciclos/segundo, ambién denominados Herz, o ciclos por minuo. Exisen dos parámeros imporanes en el esudio de las vibraciones periódicas, que son el valor promedio y el valor cuadráico medio de una vibración. Definición 6. Valor Promedio y Valor Cuadráico Medio de una Vibración Periódica. Sea y = f() una vibración periódica de periodo T. Enonces, el valor promedio 3 y el valor cuadráico medio, roo mean square, de la vibración se definen respecivamene como y ȳ = T a+t a a+t f() d. (6) yr.m.s 2 = (f()) 2 d. (7) T a El valor promedio se emplea en la eoria de comunicación mediane redes y no encuenra mucha aplicación en el campo de las vibraciones mecánicas. Por el conrario, el valor cuadráico medio iene una aplicación imporane en el campo de las vibraciones mecánicas, pues se asocia al conenido de energía de una vibración. Considere el sisema mosrado en la figura 3. Incidenalmene, el sisema es un sisema vibraorio de un grado de liberad. Suponga que el resore es lineal y de consane k y que la masa del sisema, m, es consane. Además suponga que en la posición mosrada la longiud del resore es su longiud libre; es decir, en esa posición la deformación del resore es nula. Sea x() el movimieno periódico de la masa y T su periodo, enonces en un momeno dado la energía poencial de deformación del resore esádadapor E p = 2 kx()2. Si se desea obener el valor promedio de la energía poencial del resore durane el movimieno periódico se iene que Ē p = +T E p d = +T T T 2 kx()2 d = 2 k +T x() 2 dx = T 2 kx2 r.m.s. De manera similar, la energía cinéica de la masa del sisema esá dada por E c = 2 m ẋ2. Si se desea obener el valor promedio de la energía cinéica de la masa del sisema Ē c = +T E c d = +T T T 2 m ẋ()2 d = 2 m +T ẋ() 2 dx = T 2 m ẋ2 r.m.s. 3 No debe confundirse el valor promedio con el promedio de una función 5

6 Figure 3: Sisema Vibraorio Para Mosrar el Significado del Valor Cuadráico Medio. 4 Vibraciones Armónicas Denro de las vibraciones periódicas exise una clase muy imporane de vibraciones denominadas armónicas, poseriormene se mosrará quecualquier vibración periódica puede escribirse como una serie de vibraciones armonícas, de manera que, el esudio de las vibraciones armónicas consiuye la piedra fundamenal para el esudio de vibraciones periódicas. Es imporane señalar que hasa ese puno, no se ha expresado la función, f(), que describe la vibración. En el esudio de las vibraciones armónicas, por primera vez, la función se describe de manera explícia. Definición 7: Vibración Armónica. Una vibración se denomina armónica si la relación enre el parámero de la vibración y el iempo esá dada por x() =x 0 Sen(ω+ φ), (8) donde, por convención, el valor de x 0 es siempre posiivo. La figura 4 muesra una vibración armónica Exisen muchas propiedades y definiciones acerca de las vibraciones armónicas. Traaremos de indicarlas de una manera lógica y sisemáica.. Una vibración armónica es periódica. De la rigonomería, se iene que Sen(α +2π) =Sen(α) Cos(2 π)+cos(α) Sen(2 π) =Sen(α) (9) Además, 2π es el ángulo mas pequeño que saisface esa idenidad. Por 6

7 2 Desplazamieno Versus Tiempo en un Sisema No Amoriguado.5 Desplazamieno, u.l Tiempo, segundos Figure 4: Vibración Armónica. lo ano, x( + 2 π ω ) = x 0Sen(ω ( + 2 π ω )+φ) =x 0Sen(ω+ φ + ω 2 π ω ) = x 0 Sen((ω+ φ)+2π) =x 0 Sen(ω+ φ). (0) Ese resulado indica que el periodo fundamenal de una vibración armónica esá dadopor T = 2 π ω. () Como consecuencia, la frecuencia de una vibración armónica esá dada por f = T = 2 π ω = ω 2 π. (2) La ecuación indica que ω y f represenan la misma dimensión. De aquí que ω se denomine frecuencia circular. Sin embargo, las unidades de ω son rad./seg. 2. Ampliud de una vibración periódica. De la rigonomería se sabe que los valores máximos y mínimos de la función Seno esán dados por Max Sen(α) =+, y Min Sen(α) =. 7

8 Por lo ano, el mayor valor absoluo que el parámero de una vibración armónica puede ener esá dadopor Max x() = Max x 0 Sen(ω+ φ) = x 0 Sen(ω+ φ) = x 0. (3) La magniud x 0 se denomina la ampliud de la vibración armónica. Además, la magniud 2 x 0, que es la disancia enre un máximo y un mínimo de la vibración se denomina ampliud pico a pico de la vibración armónica. 3. Forma polar y algebraica de una vibración armónica. Aplicando la ecuación (8), se iene que x() = x 0 Sen(ω+ φ) =x 0 (Sen(ω) Cosφ + Cos(ω) Senφ) = (x 0 Cosφ)Sen(ω)+(x 0 Senφ)Cos(ω) = b 0 Sen(ω)+a 0 Cos(ω) (4) Esa expresión de la función de una vibración armónica se denomina forma algebraica de una vibración armónica, en conrase la expresión original de la vibración armónica, dada por la ecuación (8), se denomina forma polar de una vibración armónica. Es fácil observar que para pasar de la forma algebraica a la forma polar, b 0 = x 0 Cosφ, y a 0 = x 0 Senφ. (5) En senido conrario, para pasar de la forma algebraica a la forma polar, se iene que elevando al cuadrado y sumando esas dos úlimas ecuaciones, se iene que a b 2 0 = x 2 0(Sen 2 φ + Cos 2 φ)=x 2 0, por lo ano x 0 = a b2 0 Además, Tanφ= Senφ Cosφ = x 0Senφ x 0 Cosφ = a 0 b 0 por lo ano φ = Tan a 0. (6) b 0 Elánguloφ se denomina el ángulo de fase de una vibración armónica. La figura 5 muesra dos vibraciones de la misma frecuencia que esán desfazadas un ciero ángulo de fase. Puede observarse como una de las gráficas de la figura cruza la línea x = 0, llega a su máximo, de nuevo cruza la línea x = 0 y llega a su mínimo con el mismo adelano o reraso respeco a la segunda gráfica. Debe noarse que para que esa caracerísica se presene la frecuencia circular de ambas funciones, ω, debe ser la misma. De ora manera, el adelano o reraso de una vibraciónrespecoalaoravariaría a ravés del iempo y se haría imposible hablar de un ángulo de fase. 8

9 .5 Dos Funciones Armonicas Desfazadas 0.5 Funciones Armonicas Tiempo, seg. Figure 5: Dos Vibración Armónicas Desfazadas. 5 Derivadas de una Vibración Armónica. En esa sección se analizarán las derivadas de una vibración armónica. Suponga que una vibración armónica esá dada por x() =x 0 Sen(ω+ φ), Enonces la primera derivadadeesavibración, es ora vibración cuya ecuación esá dadapor ẋ() = d d x() =x 0ωCos(ω+ φ) =x 0 ωsen(ω+ φ + π ), (7) 2 donde, aplicando idenidades rigonoméricas, se ha ransformado la función Coseno en función Seno. La segunda derivada de la vibración esará dada por ẍ() = d dẋ() = x 0ω 2 Sen(ω+ φ) =x 0 ω 2 Sen(ω+ φ + π), (8) donde, aplicando idenidades rigonoméricas, se ha incluido el signo menos, incremenando el ángulo de fase. Debe noarse que la segunda derivada de la función armónica puede escribirse en érminos de la misma función armónica como se muesra a coninuación ẍ() = x 0 ω 2 Sen(ω+ φ) = ω 2 x 0 Sen(ω+ φ) = ω 2 x(). 9

10 Por lo ano ẍ()+ω 2 x() =0. (9) Laecuación 9es la ecuación diferencial mas simple que una función armónica debe saisfacer. La ecuación diferencial es ordinaria, lineal, de coeficienes consanes, homogenea y de segundo orden. Ese resulado es la primera indicación de la imporancia del conocimieno de las ecuaciones diferenciales para el esudio de las vibraciones mecánicas. Finalmene, mosraremos como las vibraciones armónicas pueden represenarse como vecores roaorios o fasores. Considere la vibración armónica y sus derivadas inroducidos en esa sección. En paricular, la vibración armónica puede represenarse mediane un vecor vibraorio de longiud igual a su magniud, x 0, y al que en un insane arbirario, el vecor forma con el eje horizonal un ángulo ω+ φ, vea la Figura 6. Es fácil mosrar que la componene verical del vecor esá dada en el mismo insane arbirario por x 0 Sen(ω+ φ). De aquí que, el vecor roaorio o fasor represene la vibración. El mismo argumeno puede aplicarse a la primera y segunda derivada de la vibración. 4 Figure 6: Represenación de una Vibración Armónica y sus Derivadas. 4 En ese caso, se seleccionó un valor de ω>. 0