Lección 13 Introducción a los sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales
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- Jorge Marín Farías
- hace 6 años
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1 Lección Inroducción a los sisemas no lineales de ecuaciones diferenciales Un modelo de Gierer-Meinhard para ecuaciones de ipo Acivador-Inhibidor Modelo G-M: con = [A], = [B]. k = k = k = k 4 = A B A + D A + B A + C A + C B + C E d d = k k d d = k k 4 d d = d d = Sisema auónomo de primer orden no lineal de dimensión. ( ( (
2 Represenaciones gráficas de las soluciones Para una solución ( = ((, ( del sisema = f (,, = g(,, Tres ipos de gráficas: Dibujo de las componenes, (, (, de la solución. Dibujo de la curva paramérica ((, (. Ambos dibujos a la vez. Dibujo de las componenes de la solución,.5 ( ( Gráfica de las componenes de las soluciones de las ecuaciones de Gierer-Meinhard d d = d d = para k i =, obenida mediane méodos numéricos. 4
3 Curvas paraméricas Pensando en ((, ( como las coordenadas en el insane de un puno (o parícula en movimieno, I R R ( = ((, ( es una curva en el plano : raecoria de la parícula o curva paramerizada. (, Gráfica de la circunferencia unidad a parir de sus ecuaciones 5 paraméricas = cos(, = sen(. Cómo pasar de la curva paramérica a las componenes =, ( (, Gráfica de la circunferencia de las curvas componenes. Curvas componenes de la solución del sisema G-M que pasa por ( = ( 5, 7 sabiendo que la curva paramérica es: ( ( 6.5.5?
4 Plano de Fase Cada solución ( = ( (, ( del sisema = f (,, = g(,,, es una curva paramérica ( en el plano : plano de fase El plano de fase con algunas curvas solución dibujadas en él: rerao de fase del sisema. Cómo conseguir un rerao de fase de un sisema dado? Supondremos sisemas auónomos: = f (, = g(,. Vecor angene a la raecoria ((, ( en el puno (, : ( (, ( = (f (,, g(, Conclusión: En cada puno del plano de fase podemos dibujar el 7 vecor angene a la curva solución ((, (. Rerao de fase del sisema Gierer-Meinhard = / = (, (, (.5,. (-.454,.978 (.9,.9 (.89,. (,. (.844,.68 (, (-.746,-.4 (.4, (-.75,.577 (,.5 (-4,-.9 (4 Campo vecorial Campo vecorial solución (.5, PPLANE: hp://mah.rice.edu/ dfield/dfpp.hml
5 La gráfica complea Gráfica de las soluciones de = f (, : curva (, (. Se dibuja en el plano..5 = 4 4 Gráficas solución de d d = ( = f (, Gráfica de las soluciones de = g(, Se dibuja en el espacio. : curva (, (, ( Eisencia unicidad de soluciones Teorema Si las funciones f (,, f (,, esán definidas, son coninuas sus derivadas parciales son coninuas en una región R de R, enonces dado cualquier puno (,, R, el problema de condiciones iniciales = f (,, = f (,,, ((, ( = (, iene una única solución definida en un inervalo que coniene a. Además, la solución esá definida, por lo menos, hasa que la curva (, (, ( abandone la región R (,, 5 5 R Gráficas de la solución de = + ( = ( con la condición inicial ((, ( = (,
6 Unicidad en el plano de fase Dos curvas solución en el plano de fase para un sisema auónomo no pueden coincidir en ningún puno salvo que ambas curvas coincidan. Ejemplo La gráfica de la solución del sisema de Gierer-Meinhard para unas concenraciones iniciales de los compuesos A B de 5 moles/cm moles/cm, respecivamene, esá dada en la Figura. Si se comienza las reacciones con unas concenraciones iniciales de.5 moles/cm, respecivamene, para cada susancia, puede alguna de las susancias, en algún momeno, llegar a alcanzar una concenración de,5 moles/cm?..5.5 (,.5 (.5,.5.5 Para el sisema Punos soluciones de equilibrio = f(,, un vecor es un puno de equilibrio si f(, =. Si es un puno de equilibrio, la función vecorial consane ( = es una solución de equilibrio. Ejemplos = =. Puno de equlibrio: (, = (,. Solución de equilibiro: ( =, ( = o ( = = (. Punos de equlibrio: (,, = (4 7 (, 4/7, ( (, (/5, /5. ( Solución de ( equilibiro: ( =, ( =, 4/7 ( =, 4 ( = ( ( /5. /5
7 Nulclinas Las nulclinas son las curvas donde ( = o donde ( =. Ejemplo: las nulclinas de = respeco de son = = =. Y la única nulclina respeco de es =. Observación: Las nulclinas son los punos donde se producen los cambios de signo de las derivadas punos donde (, ( pasan de crecer a decrecer o al revés..5 < < < >.5 < > > >.5.5
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