Analogías electromecánicoacústicas

Transcripción

1 cceso Digibug: hp://hdl.handle.ne/048/47659 cceso Serie F C DIEGO PBLO RUIZ PDILLO Profesor del Deparameno de Física plicada de la Universidad de Granada. Coordinador del Laboraorio de cúsica y Física mbienal de la Universidad de Granada. Tel: dpruiz@ugr.es nalogías elecromecánicoacúsicas ovimieno armónico amoriguado Todos los sisemas vibranes esán sujeos a fuerzas de fricción que provocan una disminución de la ampliud con el iempo. Fuerza de fricción dx F R R resisencia mecánica Solución compleja: j j x () e ( e e ) Forma paricular de la solución: x () e cos( ) d Nueva ecuación del movimieno d x dx R 0 kx R Concepos relacionados: Proponemos una solución del ipo x() e Frecuencia angular naural del oscilador amoriguado/no amoriguado. Tiempo de relajación. moriguamieno críico d 0

2 Oscilaciones forzadas Sisema mecánico que efecúa oscilaciones sinusoidales de periodo T y ampliud consane. Nueva ecuación del movimieno Proponemos una solución del ipo d x dx j R cos( ) kx Fo x() e Solución compleja: F0 x() e jr ( k ) j u () R F0 e k j( ) j Solución real: Fsin( ) x () Z Fcos( ) u () Z k arcan R Impedancia mecánica: k Z R j R jx f Z u X = Reacancia mecánica dmiancia mecánica (Y ): Y =/Z 3 Resonancia mecánica La frecuencia (angular) de resonancia mecánica es aquélla a la cual la reacancia mecánica X se hace cero. Poencia de un oscilador forzado Poencia insanánea (Pi) F i cos( )cos( ) Z Poencia promedio (P) T F cos( ) 0 i Z ) esa frecuencia la fuerza da la máxima poencia al oscilador ) La impedancia mecánica iene su valor mínimo Z =R 3) áxima ampliud de velocidad Facor de calidad (Q) 0 Q ω 0 frecuencia de resonancia ω,(ω ) frecuencia menor (mayor) a la resonancia donde el valor de la poencia promedio ha decaido a la miad. 4

3 nalogías elecroacúsicas La elecroacúsica es la pare de la acúsica que esudia el modelado de sisemas mecánicos y acúsicos mediane circuios elécricos. Esraegia pliación de la eoría de circuios elécricos para resolver problemas acúsicos, pueso que ambos sisemas poseen ecuaciones diferenciales análogas. Venajas ) Permie la resolución de ecuaciones diferenciales de manera sencilla e inuiiva. ) Esudio de la conversión de señales acúsicas en elécricas (y viceversa) es mucho más sencillo. TRNSDUCCIÓN. Ejemplo: d x dx R cos( ) kx Fo Ec. oscilador forzado (sisema mecánico) Reescrio como f=f(u), donde u es la velocidad de oscilación del sisema. du Ru u F() C 5 Circuios mecánicos Resisencia mecánica (R ) Formalmene, un disposiivo mecánico se compora como una resisencia mecánica cuando, accionado por una fuerza, ésa es proporcional a la velocidad que adquiere. f () R u() Que es una expresión análoga a la ley de Ohm en una resisencia elécrica. e () Ri () E y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: u () f() R 6 3

4 Circuios mecánicos asa mecánica ( ). Es la pare imaginaria posiiva de la impedancia mecánica y represena la capacidad de la maeria de almacenar energía en forma de inercia cuando se le aplica una fuerza. du() f() (Ley de Newon) Que es una expresión análoga a la ecuación de auoinducción de una bobina en un circuio elécrico. di() e () LE y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: u () f() 7 Circuios mecánicos Compliancia mecánica (C ). Es la pare imaginaria negaiva de la impedancia mecánica y represena la capacidad de una suspensión de almacenar energía elásica cuando se le aplica una fuerza. f () u() C (Ley de Hooke) Que es una expresión análoga a la ecuación del condensador en un circuio elécrico e () i () C y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: E df () u () C 8 4

5 Circuios mecánicos Resumen. 9 Cómo se escribe el circuio mecánico equivalene? nalogía movilidad. ) En el sisema mecánico, se localizan las masas con diferene velocidad, u, u, u n. ) Se asigna a cada una de esas velocidades un nudo en el circuio análogo. 3) Se dibuja una línea de referencia en la base que represena la ierra o velocidad nula, de modo que cada nudo posee una velocidad diferene a la del oro nudo referida al nudo de ierra. 4) Todas las masas (condensadores en analogía de movilidad) se conecan enre nudos y ierra, cada una en el nudo de su velocidad correspondiene. El reso de elemenos se conecan enre nudos o nudos y ierra. 0 5

6 Cómo se escribe el circuio mecánico equivalene? nalogía impedancia. ) signar a cada masa una velocidad única, y cada unión enre resisencias y compliancias, si ésas no incluyen masa. ) Para cada elemeno mecánico, indicar la corriene principal; para una masa, será una velocidad mienras que para una resisencia o compliancia, será una diferencia de velocidades enre sus exremos. 3) Es conveniene empezar al principio del sisema, dónde se aplica la fuerza o velocidad exerna. La velocidad en ese puno (inensidad en la analogía elécrica) es u s. 4) Dibujar un esquema de la disribución de las velocidades a parir del puno de parida y añadir ramas para represenar las diferencias de velocidades, de modo que odas las velocidades del puno ) deben aparecer en ese esquema. Una vez que se han dibujado odas las ramas, odos sus finales se recombinan a ierra para que la suma de ellas sea precisamene u s. 5) Inserar los elemenos correspondienes de las pares mecánicas (R resisencia, C condensadores y bobinas).en el puno inicial, donde se encuenra la exciación mecánica exerna, se siúa un generador de fuerza o velocidad. Cómo se escribe el circuio mecánico equivalene? Es conveniene comprobar que el comporamieno del circuio sea razonable y describa el fenómeno físico que ocurriría en el caso de modificar los elemenos reales del sisema mecánico. Comprobación de la validez del circuio. Forzar a una de las masas que no se mueva, o sea velocidad de dicha masa igual a cero, rompiendo el circuio en dicho puno. nular una compliancia corocircuiando el elemeno, es decir, se hace rígida o se deja en circuio abiero, es decir, se hace infiniamene elásica. 6

7 Cambio de analogía Los elemenos en serie pasan a elemenos en paralelo. Los elemenos de resisencia pasan a su inversa, los de capacidad a inducancia y los de inducancia a capacidad. La suma de caídas a lo largo de los elemenos en serie de una malla corresponden a la suma de corrienes de un nodo. Los generadores de caída consane se ransforman en generadores de flujo consane y viceversa. méodo del puno 3 Circuios acúsicos Velocidad volumérica (U) Derivada con respeco al iempo del volumen de aire que desplaza un radiador. (RDIDOR CÚSTICO). Para radiadores del ipo membrana, por ejemplo, o para alavoces, el volumen que mueven cuando su membrana de área S D se desplaza una disancia x es S D x. Por ano, U puede escribirse de modo general como: dv dx U SD SDu Impedancia acúsica: p Z U 4 7

8 Circuios acúsicos Resisencia acúsica (R ) La resisencia acúsica es la pare real de la impedancia acúsica y represena las pérdidas disipaivas que ocurren cuando hay movimieno viscoso de una canidad de gas a ravés de una malla fina o capilar. p () RU () Expresando la ley de Ohm en una resisencia elécrica. e () Ri () E y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: U () p () R 5 Circuios acúsicos asa acúsica ( ). Es la pare imaginaria posiiva de la impedancia acúsica y, pueso que es proporcional a la masa de aire en el inerior del elemeno, represena la capacidad del fluido de almacenar energía de inercia. du () p () y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: U () p () La compliancia acúsica del aire en un volumen arbirario es: l 0 S ρ 0 = Densidad esáica del aire =, Kg m -3 l = longiud del ubo S = Sección 6 8

9 Circuios acúsicos Compliancia acúsica (C ). Es la pare imaginaria negaiva de la impedancia mecánica y represena la propiedad de los medios fluidos por los que se propaga el sonido, según la cual, presenan ciera elasicidad cuando son comprimidos, de la misma forma que un muelle. p () U () C y en analogía admiancia o movilidad, puede expresarse como: dp() U () C La compliancia acúsica del aire en un volumen arbirario es: C V P 0 V = Volumen γ =.4 (Ce. adiabáico) P 0 = Presión amosférica. 7 Resumen Elemenos mecánicos y acúsicos 8 9

10 Ejemplo: Resonador de Helmholz () Ocarina. 9 Ejemplo: Resonador de Helmholz () La velocidad U será nula cuando las pares imaginarias de la impedancia sean iguales: j 3 jc f 0 3C hp:// 0 0

11 Filros acúsicos lgunos ejemplos de filros acúsicos: hp://