Profesora Anna Patete, Dr. M.Sc. Ing. Escuela de Ingeniería de Sistemas. Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

Transcripción

1 Modelado de Sisemas Físicos Profesora Anna Paee, Dr. M.Sc. Ing. Deparameno de Sisemas de Conrol. Escuela de Ingeniería de Sisemas., Mérida, Venezuela. Correo elecrónico: Página web: hp://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apaee/ Prof. Anna Paee 1

2 Modelado de Sisemas Físicos Unidad II: Modelado de sisemas mecánicos y elecromecánicos. Tema 1. (Pare elécrica) Componenes básicos deuncircuio i elécrico. Ley de Ohm. Leyes de Kirchhoff. Modelos maemáicos de sisemas elécricos. Prof. Anna Paee 2

3 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Las variables de inerés en el análisis de circuios son los volajes y las corrienes en diferenes punos a los largo del circuio. Méodo de Nodos: consise en obener las ecuaciones maemáicas que represenan la dinámica del circuio aplicando la Ley de Nodos de Kirchhoff a cada nodo del circuio. Prof. Anna Paee 3

4 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Considere el circuio de la figura, donde e es la enrada al circuio (fuene de alimenación de volaje) y se desea medir (salida del sisema) el volaje en el capacior. Suponga además que para odo < 0 el inerrupor esá abiero (por lo ano no hay flujo de corriene en el circuio) y para 0 esá cerrado. El condensador no esá cargado inicialmene, así V C (0) = 0. V e V e Prof. Anna Paee 4

5 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Nodo A: i () i () i () = 0 (1) Sabemos que: 1 dvc = + () V i = C C() i3 () d VC(0), C () 3 0 d Ve() VA() VR 1() = R1i1(), Ve() VA() = R1i1(), i1 () = R1 V A VR 2() = R2i2(), VA () 0 = R2i2(), 2() () i = R Susiuyendo las corrienes en (1) Ve() VA() VA() dvc() C = 0 R R d Prof. Anna Paee 5

6 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Necesiamos hallar el modelo en función de V y V e C que son las variables de enrada y salida respecivamene Sabemos que: V R i R3() = 3 3(), A C 3 3 V () V () = dv R i (), C () () () VA = VC + RC 3 d Enonces: dvc() dvc() Ve() VC() RC 3 VC() + RC 3 d d C () C dv = 0 R R d 1 2 Ve() VC() RC 3 dvc() VC() RC 3 dvc() dvc() C = R R R d R R d d Prof. Anna Paee 6

7 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Llamamos, RC 3 RC 3 dvc () 1 1 Ve () + + C + VC () + = 0 R1 R2 d R1 R2 R1 V () y () C V () u() e = Variable de salida = Variable de enrada RC RC C y () + + y () = u () R1 R2 R1 R2 R1 o R R R y = y + u RC RC RC RC C + + C R1 R2 R1 R () () () Prof. Anna Paee 7

8 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Podemos escribir el sisema en su represenación inerna (variables de esado). Podemos llamar a y () = x () Variable de esado que es medida (así ambién es la salida) x ( ) = Ax( ) + Bu( ) R1 R2 y ( ) = Cx( ) + Du( ) a = RC 3 RC 3 C x () = ax () + bu (), x(0) = R1 R2 y () = x () 1 R1 b = RC 3 RC C R1 R2 Prof. Anna Paee 8

9 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Análisis del sisema: Es un sisema de primer orden. Es decir, la EDO es de orden 1. Así n = 1 Sí analizamos el circuio, ese primer orden surge de la presencia del condensador en el circuio. Sí el circuio i esuviese compueso solamene de resisencias, i enonces el sisema sería de orden cero (sin érminos derivaivos o inegrales, sería una ecuación algebraica). El numero de condensadores e inducancias en un circuio deermina el orden del sisema. Prof. Anna Paee 9

10 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Simulaciones: Sisema de primer orden dinámica sobreamoriguada R = 1 Ω, R = 2 Ω, R = 3 Ω, 1 2, 3 C = 0.01 f, V ( ) = 1v e R = 3 Ω, R = 2 Ω, R = 1 Ω, 1 2, 3 C = 0.01 f, V ( ) = 1v e Prof. Anna Paee 10

11 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Méodo de Mallas: consise en idenificar las corrienes incógnias (suponiendo arbirariamene la dirección de las corrienes alrededor de las mallas). Para obener el modelo se hace uso de la Ley de Mallas de Kirchhoff. Dado el circuio de la figura, suponga que el inerrupor esá abiero para y cerrado para 0 Se desea medir la corriene i (). < 0 V e Prof. Anna Paee 11

12 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Asumimos la dirección de la corriene según las agujas del reloj. Aplicamos la Ley de Mallas: V () V () V () = 0 e L R di() Ve () L Ri() = 0 d Como i () es lavariable ibl que se desea medir, enonces: i () = y () Así podemos llamar a la variable de enrada: Ve () = u() u () Ly () Ry () = 0 R 1 y () = y () + u () L L Prof. Anna Paee 12

13 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Represenación Inerna: Como i () = y () es la única variable, enonces i () = y () = x () x ( ) = y( ) = Ax( ) + Cx( ) + Bu( ) Du( ) R 1 x () = x () u (), x(0) 0 L + L = y () = x () Prof. Anna Paee 13

14 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Simulaciones: Sisema de primer orden R= 2 Ω, L= H, V () 1 e = v dinámica sobreamoriguada R= 10 Ω, L= 0.01 H, V () 1 e = v Prof. Anna Paee 14

15 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Considere el circuio de la figura. La variable medida es el volaje enel condensador. Las condiciones iniciales son nulas. Ve C Aplicando Ley de Mallas: V () V () V () V () = 0 e R L C di() 1 Ve () Ri () L i () d 0 d C = 0 Prof. Anna Paee 15

16 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Sabemos que: 1 y () = VC () = i () d C 0 Así: i () = CV () C V () = LCV () + RCV () + V () e C C C 1 1 V C() + R V C() + VC() = Ve() L LC LC Lamamos: V () = y () Variable de salida ld C V () = u() e Variable de enrada Prof. Anna Paee 16

17 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos 1 1 y () + R y () + y () = u () L LC LC o 1 1 y () = R y () y () + u () L LC LC Análisis del sisema: Debido a la presencia de un condensador y un inducor, el sisema resulane es de segundo orden, n = 2. La dinámica puede se sobreamoriguada o subamoriguada, eso dependerá de los valores de RLC,,. Prof. Anna Paee 17

18 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Represenación Inerna: Defino las variables de esado (cambio de variable): x1 () = Vc () x () = x () = V () 2 1 c Por loano,lal EDO del modelo del sisema se puedeescribir como: 1 1 y () = R y () y () u () + EDO de segundo orden L LC LC x 1() = x2() 1 1 x2 () = R x2 () x1 () + u () L LC LC DosEDO de primer orden Prof. Anna Paee 18

19 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Represenación Inerna: x ( ) = Ax ( ) + Bu ( ) y( ) = Cx( ) + Du( ) x 1() = x2() R 1 1 x 2() = x2() x1() + u() L LC LC y () = x 1 () x x () x () = = + u 1 1 () 1 R 1 (), x2() x2() LC L LC [ ] x () 1 = x2() y () 1 0 Prof. Anna Paee 19

20 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Simulaciones: Sisema de segundo orden R= 10 Ω, L= 0.01 H, C = 0.01 f, V ( ) = 1v e dinámica sobreamoriguada o subamoriguada R= 1 Ω, L= 1 H, C = 1 f, V ( ) = 1v e Prof. Anna Paee Sobreamoriguada Subamoriguada 20

21 Modelado Maemáico de Sisemas Elécricos Tarea: realizar el diagrama de bloques del sisema. x x () x () = = + u 1 1 () 1 R 1 (), x2() x2() LC L LC [ ] x () 1 = x2() y () 1 0 Prof. Anna Paee 21

22 Modelado de Sisemas Físicos Referencias del maerial usado para esas diaposiivas: Maerial de las diaposiivas de la Prof. Mariela Cerrada. Deparameno de Conrol, Faculad de Ingeniería,, Mérida, Venezuela, Ogaa, g, K. Dinámica de Sisemas, Prenice Hall, Lewis, J. Modelling Engineering Sysems, High Tex Publicaions, Richard Dorf. Circuios Elécricos, Alfa Omega, Prof. Anna Paee 22