CIRCUITO RLC ESTADO TRANSITORIO

Transcripción

1 5 UTO L ESTADO TANSTOO OBJETVOS Medir la consane de iempo de un circuio de un circuio, ano para valores grandes como pequeños. Medir indirecamene la carga y la energía almacenadas en un condensador Enconrar experimenalmene la respuesa de un circuio a una señal cuadrada, por medio de las señales de salida en el condensador. Medir la frecuencia de oscilación y el iempo de relajación de un circuio L en serie, y compararlos con los valores eóricos. Para un circuio L en serie, medir la corriene, la derivada de la corriene respeco del iempo y la energía máxima en la bobina Esudiar el comporamieno de la corriene de un circuio L en serie, en condiciones de subamoriguamieno, sobreamoriguamieno y amoriguamieno críico. Medir la resisencia que corresponde a un amoriguamieno críico y compararla con el valor eórico. MATEALES Osciloscopio Generador de funciones Tablero elecrónico para enrenamieno Volímero ronómero Teser ables PATE TEÓA

2 En los circuios en esado esacionario, las fuenes de fuerza elecromoriz, ya esán conecadas, y las corrienes y diferencias de poencial en cada uno de sus elemenos ya han alcanzado valores consanes en el iempo. Esa es la condición de la mayoría de los circuios que esudiamos. Al conrario del esado esacionario, en el esado ransiorio, las fuenes de fuerza elecromoriz acaban de conecarse al circuio, o de desconecarse del mismo, por ende, ano las corrienes, como las diferencias de poencial en los elemenos del circuio, varían con el iempo. uando las fuenes se conecan, las corrienes y poenciales pasan del valor cero a sus valores esables. Si las fuenes se desconecan esando ya esablecidos poenciales y corrienes, esos pasarán de sus valores de régimen esable, al valor cero. UTO AGA DE UN ONDENSADO onsidere el circuio en serie de la figura. Supongamos que el condensador esá inicialmene descargado, por lo ano, no hay corriene mienras el inerrupor S esá abiero (Fig. a). uando S se cierra en el iempo =, la carga fluye, el condensador comienza a cargarse a ravés de la resisencia, y se produce una corriene en el circuio, la cual se maniene hasa que el condensador se carga oalmene (Fig.b). El valor de la carga máxima que adquiere el condensador, depende de la fem de la fuene. Fig. (a) Fig. (b) Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuio un insane después de cerrar el inerrupor S enemos; q () donde es la caída de poencial en la resisencia y q la caída en el condensador. omo en = el condensador no iene carga q = y la ecuación () muesra que el valor de la corriene inicial es () Para enconrar la expresión maemáica de la corriene en el circuio, y de la carga en el condensador, ambas en función del iempo, se debe resolver la ecuación diferencial (). Derivando la ecuación () respeco del iempo:

3 d q dq d (3) d d d omando en cuena que dq la ecuación anerior se puede expresar como; d d d d d (4) como y son consanes, la ecuación 4 puede inegrarse por separación de variables, y uilizando las condiciones iniciales para =, = d d ln (5) e -/ (6) e -/ (7) Para deerminar la carga en el condensador en función del iempo se pude susiuir: = dq/d en la ecuación 7, e inegrar ora vez. dq d e -/ dq e -/ d q dq e d q() = (- e -/ ) (8) q() = Q M (- e -/ ) (9) donde Q M = es la carga máxima en el condensador. En las figuras y 3 se muesran las graficas de la corriene en el circuio y de la carga en el condensador. Se puede ver que la carga para = es igual a cero y iende a su valor máximo para. Al conrario, la corriene iene su valor máximo para 3

4 = y decae exponencialmene hasa cero cuando. La canidad que aparece en los exponenes se llama consane de iempo o iempo de vida media y se denoa con la lera griega:. Esa consane represena el iempo que ardaría la corriene en decrecer hasa e de su valor inicial, en efeco: e - = =.37 e y, en un iempo = la carga aumena desde cero hasa q( ) = Q M (- e - ) =.63Q M DESAGA DE UN ONDENSADO Fig. Fig. 3 Fig. 4 Fig.5 onsideremos el circuio mosrado en la figura 4, que consa de un condensador inicialmene cargado con Q M, una resisencia y un inerrupor S. Mienras el inerrupor esá abiero, la diferencia de poencial a ravés del condensador es V =, y la caída de poencial en la resisencia es cero, ya que =. Si el inerrupor se sierra en =, el condensador comienza a descargarse a ravés de la resisencia. Aplicando las leyes de Kirchhoff durane la descarga del condensador (Fig. 5) se iene: q () Q M 4

5 La corriene en el circuio es igual a la rapidez de decrecimieno de la carga en el condensador dq () d y la ecuación se puede escribir como: dq d () q negrando y omando en cuena que para =, q = Q M se obiene: q Q M dq q d ln q Q M q Q e -/ (3) M dq omo, al sacar la derivada negaiva de la ecuación 3 se obiene la corriene d como función del iempo. QM e -/ = e -/ e -/ (4a) donde la corriene inicial es igual a QM. (4b) La carga en el condensador (Fig. 6) y la corriene en el circuio (Fig. ) decaen exponencialmene a una rapidez caracerizada por la consane de iempo = Fig. 6 5

6 UTO L En un circuio L en régimen ransiorio (Fig. 7), ano la corriene, como la carga en el condensador, ienen un comporamieno oscilaorio amoriguado. Eso es debido a que iene dos posibilidades de almacenar energía: energía elécrica en el capacior y energía magnéica en el inducor. Esando el capacior cargado, la energía se encuenra almacenada en el campo elécrico del condensador, cuando se cierra el inerrupor, la descarga del condensador produce una corriene, y la energía comienza a almacenarse en el campo magnéico, que se crea en el inducor como efeco de esa corriene. A su vez, en el inducor se produce una fem auoinducida la cual produce una corriene en senido conrario a la inicial, que a su vez, vuelve a cargar el condensador, pero ahora, con diferene polaridad. El condensador vuelve a descargarse y el proceso se repie. De esa manera la energía oscila enre el inducor y el capacior. Fig. 7 En un circuio L ideal, sin resisencia alguna, esas oscilaciones se manendrían eernamene, pero, debido a la resisencia naural de odo circuio (represenada en el circuio con ), las oscilaciones son amoriguadas y la energía decae exponencialmene. Para comprobar el comporamieno descrio, aplicaremos las leyes de Kirchhoff al circuio de la figura 7, en el momeno en que se cierra el inerrupor S, y el condensador comienza a perder su carga inicial Q. Avanzando en senido conrario a las manecillas del reloj. como: Q d L d dq Q dq d Q d L L d d (5) (6) Para resolver esa ecuación diferencial, se usa como solución de prueba: Q e cos Q (7) Esa función Q() iene una pare que oscila con el iempo: amoriguamieno exponencial: Q e cos y ora de Susiuyendo en la ecuación diferencial (6) las expresiones de dq d Q Q(), y d d y resolviendo se encuenra como solución: Para más dealles consular la guía; TEOÍA ESTADO TANSTOO UTO L 6

7 Q e Q cos (8) La consane de iempo del circuio cumple con la relación: L (9) L Y, la frecuencia de oscilación del circuio esá dada por: L 4L () que generalmene se escribe de la forma: () donde es la frecuencia de oscilación del circuio ideal sin resisencia ( = ), a esa frecuencia se la conoce como frecuencia de resonancia del circuio. () L omo el cuadrado de la frecuencia angular de oscilación es la diferencia de dos érminos, es posible que sea posiivo, cero o, negaivo. Eso depende del valor de respeco de. Subamoriguamieno Si enonces es real, y el circuio oscila con esa frecuencia. En ese caso se dice que el circuio esá subamoriguado. Susiuyendo y por las expresiones 4 y 7, enemos que la relación es equivalene a: L (3) 7

8 Sobreamoriguamieno Si enonces es imaginaria, eso muesra que el circuio no puede efecuar oscilaciones. En ese caso se dice que el circuio esá sobreamoriguado. En ese caso: Amoriguamieno críico L (4) Ocurre cuando = o lo que es igual, cuando: = L (5) En ese caso = y represena el límie superior de los valores de, que permien oscilaciones en el circuio. Finalmene; cuando las oscilaciones son permiidas: Q e Q y el volaje en el condensador: V cos (6a) Q e cos V e cos (6b) El comporamieno de esa función, así como, las gráficas para los res grados de amoriguamieno, se ilusran en las figuras 8 y 9, respecivamene. Fig. 8 8

9 Fig. 9 PATE EXPEMENTAL ATVDADES PEVAS A LA SESÓN DE PÁTA. A parir de la ecuación (3), deducir la expresión del volaje en el condensador como función del iempo, para el proceso de descarga.. Explicar las condiciones de subamoriguamieno, sobreamoriguamieno y amoriguamieno críico, para el circuio L en serie. ATVDADES A EALZA DUANTE LA SESÓN DE PÁTA.- Ensambla el circuio mosrado en la figura, en el cual el inerrupor, lo simularás conecando y desconecando el cable que coneca el erminal posiivo de la fuene. Fig, En ése circuio el condensador es elecrolíico, esos condensadores poseen polaridad, de modo que su erminal posiivo debe esar conecado al erminal posiivo de la fuene y el negaivo, al negaivo de la fuene; de oro modo, puede dañarse irreversiblemene. es una resisencia que se elige enre un rango de a 5 K, usa el valor = 5 K,. El volímero, es un volímero analógico de baja resisencia inerna, v = 9.86 K..- Una vez armado el circuio, pídele a u profesor que lo revise anes de prender la fuene. Enciende la fuene, y ajusa el volaje de manera que el volímero marque V 9

10 Noa: ada vez que engas que modificar el circuio, primero debes bajar el volaje y apagar la fuene. Eso es con la finalidad de eviar que la fuene se corocircuie accidenalmene. 3.- onecando y desconecando el cable que sale del erminal posiivo de la fuene, puedes inducir la carga y la descarga del condensador. Para el proceso de descarga, la ecuación (3) muesra que la carga en función del iempo esá dada por y, por ende, el volaje en el condensador: V Q q Q e -/ (3) M e -/ = VM M V e -/ El iempo que demora la carga y en consecuencia el volaje, en llegar a la miad de su valor inicial, es conocido por iempo de semivida / y esá dado por: M / V calculando el logarimo naural se iene: / VM e e / / ln ln La consane de iempo del circuio =, puedes medirla si conoces el iempo de semivida / / ln on un cronómero mide veces el iempo de semivida y calcula la consane de iempo promedio, con su respecivo error esadísico: Δ A parir del valor de, calcula la capacidad del condensador con su error y, compárala con su valor nominal. Para el valor de la resisencia oal, debes omar en cuena la resisencia del volímero V = 9.86 K y, considerar que la resisencia oal esá afecada con un % de error.

11 5.- Ahora, con la ayuda del Excel encuenra el valor de por cálculo esadísico. Para eso, mide los iempos que arda el condensador en descargarse hasa: 8, 7, 6, 5, 4, 3 y volios. ada iempo debes medirlo 3 veces y sacar un iempo promedio para cada volaje. 6.- Grafica el volaje en función del iempo (V = f()). Haz un gráfico de dispersión con solamene los punos, luego, colócale su línea de endencia exponencial con su ecuación. Obendrás una función de la forma: V V e -/τ M 7.- De la ecuación, encuenra y compáralo con el valor calculado previamene. 8.- epie las pares 3 y 4, esa vez, con un condensador de F y usando el osciloscopio en la modalidad D para medir el volaje (el osciloscopio puedes manenerlo encendido el reso de la pracica), como se muesra en la figura. La resisencia del osciloscopio es de M, lo suficienemene grade como para dar una consane de iempo, ambién, grande. onsidera que la resisencia del osciloscopio esá afecada con.% de error. Usa como enrada del osciloscopio el canal. Fig. 9.- Prueba repeir las medidas aneriores con un condensador de. F. Te das cuena que el iempo de descarga del condensador es muy coro para medirlo con un cronómero? uando el iempo de vida media es muy coro, no puedes medirlo con un cronómero, necesias hacer que el fenómeno se repia periódicamene para deenerlo con el osciloscopio, sincronizando el barrido de ése con la periodicidad del fenómeno. Para que la carga y descarga del condensador se repia periódicamene, se iene que alimenar el circuio con una señal cuadrada. Esa señal, que carga y descarga el condensador periódicamene, es proporcionada por un generador de funciones.

12 Fig. 3 nsala el circuio mosrado en la figura 3, y varía la frecuencia del generador hasa que la señal del condensador enga la forma mosrada en la figura 4. Mide el iempo de semivida / ( / = ) en la panalla del osciloscopio (Fig. 4), deermina la consane de iempo y compárala con el valor eórico calculado con los valores de los elemenos del circuio. Fig. 4.- alcula la carga máxima Q o y la energía máxima U o almacenadas en el condensador. Q V U V.- nsala el circuio mosrado en la figura 5, para esudiar las oscilaciones amoriguadas del volaje y la carga en el condensador..- Mide la frecuencia de oscilación y la consane de iempo Fig. 5 En la pare eórica, se dedujo que para un circuio L en esado ransiorio, el volaje en el condensador durane la descarga, esá dado por la expresión:

13 V V e cos Por lo ano, para dos valores del volaje V( ) y V( ) separados en el iempo un período de oscilación: T se iene: V V e cos y V V e cos Y como esos volajes difieren en un período de oscilación, se iene que los ángulos de fase deben ser iguales: T V cos = cos en consecuencia exp e y V T V ln V En consecuencia, el iempo de vida media lo puedes medir, midiendo los volajes máximos de dos oscilaciones consecuivas, y el período T de oscilación (Fig. 6). Por medio del periodo T ambién se puede conocer la frecuencia angular de oscilación = T Mide vez ano como y compáralos con los valores calculados a parir de los elemenos del circuio. No olvides incluir las resisencias de la bobina y del generador En la pare eórica se demosró que:. L 4L y L Fig. 6 3

14 .- nsala el circuio mosrado en la figura 6. Variando la resisencia del poenciómero, encuenra el caso de amoriguamieno críico, y mide la resisencia críica c (previamene, ienes que aislarla del circuio, sin alerar su valor) y compárala con el valor eórico: L 4.- Vuelve a conecar el poenciómero y variando su resisencia, desde el valor mínimo, hasa el valor máximo, observa el sobreamoriguamieno, y el subamoriguamieno (ver figura 3 de la eoría). Explica el comporamieno de la señal en cada caso. Fig Apaga la fuene, el eser y el osciloscopio, desconeca los cables y colócalos en el lugar donde los enconrase. 6.-Procesa us daos e imprime u informe 4