Series Temporales Univariantes

Transcripción

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2 Profesoras Carolina García-Maros María Jesús Sánchez Naranjo

3 ÍNDICE Inroducción a las series emporales (objeivos, clasificación de los modelos de series, análisis descripivo ). Funciones de auocorrelación simple y parcial Procesos esacionarios: Modelos AR, MA y ARMA Modelos ARIMA Modelos ARIMA esacionales. Ejemplos prácicos Algunas ideas sobre: modelos mulivarianes y modelos de heerocedasicidad condicional

4 Bibliografía Box, G.E.P., Jenkins, G.M. y Reinsel, G. (1994). Time Series Analysis: Forecasing and Conrol. Prenice Hall. Peña, D. (010). Análisis de Series Temporales. Alianza Ediorial. Chafield, C. (1989). The Analysis of Time Series. An Inroducion. Chapman & Hall.

5 Qué sé de Esadísica? Qué debo saber? Inferencia (Conrases) y modelos de regresión lineal

6 Objeivo del análisis de series emporales Explicar la evolución de una variable a lo largo del iempo Prever sus valores fuuros

7 Gráfico emporal del precio de un componene elécrico Gráfico Temporal de la emperaura de un proceso químico (cada minuo) 43 18,8 Pecio Temperaura 18, ,6 17, 16,8 16, Gráfico Temporal para la serie de pasajeros de avión 800 Número de pasajeros

8 Clasificación n de los modelos de series emporales EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE RESPUESTAS (número de variables que evolucionan en el iempo que se esudian): RESPUESTA UNIVARIANTE RESPUESTA MULTIVARIANTE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

9 Clasificación n de los modelos de series emporales Lineales Esacionarios No esacionarios No lineales

10 Series esacionarias: Esacionarias en la media y la varianza (frecuenes en el mundo físico, pero no en el social o económico). Series no esacionarias: Su variabilidad y/o su media cambian en el iempo. El cambio en la varianza implica que la dispersión (variabilidad) no es consane en el iempo. El cambio en la media implica endencia (a crecer o decrecer), la serie no oscila alrededor de un valor consane. Fenómenos sociales. Paua que se repie: serie esacional. NO HISTOGRAMA, NO MEDIA, NO DESVIACIÓN TÍPICA

11 Cómo deecamos si una serie es o no esacionaria en varianza? 100 Non saionary in variance ime series ime Saionary in variance ime series ime

12 Cómo deecamos si una serie es o no esacionaria en media?

13 Cómo deecamos si una serie es o no esacionaria en media? Gráfico Temporal de la emperaura de un proceso químico (cada minuo) Temperaura 18,8 18, ,6 17, 16,8 16,

14 Descomposición básica de una serie emporal Valor observado = endencia+ esacionalidad + comp. irregular Z = T +S + I Tendencia: movimieno suave de la serie a largo plazo Esacionalidad: movimienos de oscilación denro del mes, año (p. ej.) Irregular: variaciones aleaorias alrededor de los componenes aneriores.

15 Modelos univarianes de series emporales Objeivo: Z =f(z -1,Z -, )+ a Z =Z * + a (1) a es independiene de su pasado Exisen dos enfoques básicos para obener (1): Posular la forma de Z * (siendo Z * la pare predecible). Obener a en la serie (a es la pare no predecible). Los méodos clásicos buscan Z * y el enfoque Box-Jenkins se cenra en a.

16 Análisis univariane: enfoques z = z * + a z = Serie observada z * a = Componene predecible = Componene aleaoria Dos enfoques: 1. Méodo clásico: buscar. Meodología Box-Jenkins: buscar z * a z FILTRO a

17 Cómo es a? a debe ser un proceso de ruido blanco E[a ]=0 =1,,... Var[a ]=σ =1,,... Cov[a, a -k ]=0 k=±1,±

18 Eapas para la consrucción de un modelo ARIMA(p,d,q) Serie observada Idenificación del modelo ARIMA(p,d,q) Transformaciones Selección p,d,q Esimación de parámeros y conrases Función de verosimiliud Cálculo de esimadores y esadísicos Críica y diagnosis: validación del modelo NO Es el modelo adecuado? SI Predicción Analizar esrucura Daos anómalos

19 Herramienas a uilizar para idenificar el modelo Gráfico de la serie: a la visa de la evolución emporal de la variable de inerés se deeca 1) La necesidad de esabilizar la varianza y ) La necesidad de esabilizar la media si ésa no es consane (proceso no esacionario en media) Tiempo Función de auocorrelación simple (FAS, en inglés ACF). Función de auocorrelación parcial (FAP, en inglés PACF).

20 ACF o FAS Función de auocovarianzas γ (, ) = [( µ )( µ )] = k E z z γ, Coeficiene de auocorrelación AR() k La FAS es la represenación reardo-coeficiene de auocorrelación 1 ρ k Cov( z, z k ) =. Var ( z ) Var ( z ) 0. 8 x = -.9 x +. 5 w + w -1-1 k k = 0, ± 1, ±,... k 0. 6 Auocorrelación R e a r d o

21 PACF o FAP Herramiena fundamenal para deerminar el orden de un proceso auorregresivo. El coeficiene de correlación parcial mide la relación enre x y x -k elimina el efeco de x -1, x -,, x -k+1. AR(1) AR() x x x x x x x x x x cuando se La ACF sólo iene en cuena que x y x - esán relacionados en ambos casos, si se mide la relación direca enre ellos (eliminando el efeco debido a x -1 ), para un AR(1) es nulo pero no para un AR(). El número de coeficienes disino de cero indica el orden del proceso auorregresivo.

22 Herramienas a uilizar para idenificar el modelo Gráfico de la serie x = -.9 x +. 5 w + w -1-1 Función de auocorrelación simple Auocorrelación R e a r d o x = 1.5 x x + w Función de auocorrelación parcial Auocorrelación re a rd o

23 Pasos para la idenificación del modelo Transformaciones para conseguir proceso esacionario 1. Heerocedasicidad: obención de λ Gráfico de la serie y gráfico rango-media para z y para z (λ Transformación Box-Cox 800 Pasajeros de avión Pasajeros (en logarimos) Pasajeros

24 Pasos para la idenificación del modelo. Deerminación del orden de diferenciación regular d: número de diferencias que se deben aplicar para converir la serie en esacionaria. Gráfico de la serie y ACF de la serie original: IBM ACF para IBM ibm Auocorrelaciones 0,6 0, -0, -0, reardo

25 Pasos para la idenificación del modelo Gráfico de la serie y ACF de la serie diferenciada d (1,,...) veces ACF para IBM con d=1 5 1 ibm con d= Auocorrelaciones 0,6 0, -0, -0, reardo 3. Idenificación de la esrucura esacionaria: deerminación de los ordenes p y q del modelo. Funciones de auocorrelación simple y parcial (AR(p) y MA(q)).

26 Proceso esacionario (en senido débil) µ = µ = ce, σ = σ = ce γ (, k) = E[( z µ )( z k µ )] = γ k, k = 0, ± 1, ±,...

27 Proceso Auo-Regresivo de orden 1, AR(1). z = φz + a 1 a N z = φz + a 1 (0, σa ) a N a,..., a,... independienes 1 a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, 1 var[ E[ a zz σ ] = ] 0, 1 φ σ (0, a ) = σa var[ z ] = 1 φ

28 Proceso Auo-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS y FAP. z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, k γ α σa var[ z ] = 11 1 φ α kk k = φ, k = 1,... = φ = 0, k > 1

29 Proceso Auo-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS o ACF. z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, σa var[ z ] = 1 φ

30 Proceso Auo-Regresivo de orden 1, AR(1). FAP o PACF. z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, σa var[ z ] = 1 φ

31 Proceso Auo-Regresivo de orden, AR(). z = φz + a 1 = (0, + σa ) + za φnz 1 1 a,..., a,... independienes 1 a N E[ z ] = 0, (0, a ) a,..., a,... independienes σa var[ z ] = 1 φ 1 φz a σ 1 φ σ var[ z ] = ( ) 1 + φ {(1 φ ) φ } a 1

32 Proceso Auo-Regresivo de orden, AR(). FAS y FAP. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN La auocorrelación simple decrece con el reardo de forma exponencial. La auocorrelación parcial no es significaiva para reardos >.

33 Proceso Auo-Regresivo de orden p, AR(p). z = φz + a 1 a N (0, σa ) z = φz + φz φ z + a a,..., 1a,... 1 independienes p p 1 a N 1 E[ z ] = 0, (0, σa ) σa var[ z] = 1 φ a,..., a,... independienes E[ z ] = 0,

34 Proceso Auo-Regresivo de orden p, AR(p). Sobre la noación: El operador reardo B Bz = z 1 B z = z p B z = z p z = (1 B) z = z z 1 (1 ϕb) z a z (1 ϕb ϕ B...) a = = = = a + ϕa + ϕ a (1 θba ) z a (1 θb θ B...) z = = = = z + θz + θ z

35 Proceso Auo-Regresivo de orden p, AR(p). FAS y FAP. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN La auocorrelación simple decrece con el reardo de forma exponencial. La auocorrelación parcial no es significaiva para reardos > p.

36 Modelos auorregresivos: AR(1), AR(),..., AR(p) Modelo AR(1) γ ( h) h ρ( h) = = φ, h 0 y 0 < φ < 1 γ (0) (Fácil de idenificar) Modelo AR() ρ( h) = φ1ρ ( h 1) + φρ( h ), h 1 Modelo AR(p) ρ( h) = φ1ρ ( h 1) + φρ( h ) φpρ( h p) h 1 Si p>1 la idenificación uilizando sólo la ACF no es posible

37 Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). z = φz + a 1 a N z (0, σa ) 1 1 a,..., a,... independienes 1 a N = θa + a E[ z ] = 0, a,..., a,... independienes 1 σa var[ z ] = E[ z ] 1 0, φ (0, a ) var[ z ] = σ (1 + θ ) σ = a 1

38 Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP. z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, γ γ 1 σa var[ z ] = k 1 φ α kk = θ = 0, k > 1 k = θ, k = 1,...

39 Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, σa var[ z ] = 1 φ

40 Proceso de Media móvil de orden, MA(). z = φz + a 1 z = (0, θσa ) θa + a a N a,..., a,... independienes 1 a[ ] = 0, N σ 1,..., a z,... E z 1 1 var[ ] = 1 φ (0, σa ) a a independienes E[ z ] = 0, var[ z ] = σ (1 + θ + θ ) a 1

41 Proceso de Media móvil de orden, MA(). FAS y FAP. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN La auocorrelación simple no es significaiva para reardos >. La auocorrelación parcial decrece con el reardo de forma exponencial.

42 Proceso de Media móvil de orden q, MA(q). z = φz + a 1 a N(0, σa ) z = aa 1,..., a,... θ1aindependienes 1 θa... θ a q q E[ z ] = 0, q z = (1 θb θ B... θ B ) a 1 q σa var[ z ] = = 1 φ E[ z ] 0, var[ z ] = ( ) σ θ θ a 1 q

43 Proceso de Media móvil de orden q, MA(q). FAS y FAP. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN La auocorrelación simple no es significaiva para reardos > q. La auocorrelación parcial decrece con el reardo de forma exponencial.

44 Proceso ARMA(1,1). z = φz + a z = φz θa + a 1 a N (0, σ a ) 1a N 1 1 a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, a,..., a independienes 1 σa var[ z ] = E[ z ] 1 0, φ var[ z ] (0, σa ) = = σ a 1+ θ 1 φ θφ

45 Proceso ARMA(1,1). FAS y FAP z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, σa var[ z ] = 1 φ

46 Proceso de ARMA (1,1). FAS y FAP. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN FAS: decrecimieno geomérico dependiene del parámero auorregresivo. FAP: Decrecimieno geomérico dependiene del parámero de media móvil.

47 Proceso ARMA(p,q). z = φz + a 1 a N(0, σa ) = φ + φ φ θ θ... θ + z z z z a a a a 1 1 p p 1 q q 1 1 a,..., a,... independienes 1 (1 φb φb... φ B ) z = (1 θ B θ B... θ B ) a a N p q 1 E[ z ] = 0, p 1 q σ (0, a ) σa var[ z ] = 1 φ a,..., a independienes E[ z ] = 0,

48 Proceso ARMA(p,q). Esrucura de la FAS y la FAP. AR(p) MA(q) z = φz + a 1 a N 1 (0, σa ) a,..., a,... independienes E[ z ] = 0, ACF Muchos coeficienes disinos a 0 σa var[ z ] = 1 φ 0 excepo los primeros q PACF 0 excepo los primeros p Muchos coeficienes disinos a 0 ARMA(p,q) Muchos coeficienes disinos a 0 Muchos coeficienes disinos a 0

49 Procesos inegrados.

50 Procesos inegrados.

51 Procesos inegrados. Modelos ARIMA (p,d,q). d φ( B) z = θ ( Ba ) (1 φb φb... φ B )(1 B) z = (1 θb θ B... θ B ) a a N 1 p d q 1 p 1 q σ (0, a ) a,..., a,... independienes

52 Procesos ARIMA esacionales

53 Algunos ejemplos... Un ipo de fala de esacionariedad en la media muy habiual en la prácica: el comporamieno esacional.

54 Algunos ejemplos... Un ipo de fala de esacionariedad en la media muy habiual en la prácica: el comporamieno esacional.

55 Algunos ejemplos... Un ipo de fala de esacionariedad en la media muy habiual en la prácica: el comporamieno esacional.

56 Precios de energía elécrica. FAS y FAP muesran ambién la presencia de esacionalidad

57 Qué es una serie esacional? Diremos que una serie es esacional cuando su media no es consane en el iempo pero varía de forma periódica, cíclica. Si E z E z s enonces diremos que la esacionalidad es de periodo s. En series diarias, en las que suele haber esacionalidad semanal: s=7. En series mensuales s=1. En series horarias, esacionalidad diaria: s=4. En series bimensuales, la esacionalidad anual hace que s=6, y análogamene con las cuarimesrales (s=3) y rimesrales (s=4).

58 Tipos de esacionalidad MODELADO DE LA ESTACIONALIDAD DE FORMA ADITIVA Consise en escribir la serie como suma de un proceso esacionario y un componene esacional: z S s n La serie no es esacionaria, pues el componene esacional no oma mismo valor en odos los periodos.

59 Represenación del IPI en España para los disinos meses. Efeco esacional.

60 Demanda. Efeco esacional.

61 Formas de modelar la esacionalidad Que sea deerminisa, es decir consane para el mismo mes de disino año. Senos y cosenos. Inroducir s-1 variables ficicias Que la esacionalidad evoluciona en el iempo pero oscilando alrededor de un valor fijo Permiir que sea cambiane en el iempo sin ningún valor medio fijo, en ese caso diremos que la esacionalidad es no esacionaria. Primera forma sencilla de modelar la esacionalidad: z z s a

62 Diferencia esacional z z s a, a : Proceso esacionario En el caso más sencillo, si a es ruido blanco diremos que la serie z sigue un proceso I(1) s z z s a s z a,a N 0, a s 1 B s Operador diferencia esacional

63 Diferencias regulares y esacionales Si al aplicar a la serie z : D diferencias esacionales y d diferencias regulares enemos un proceso de ruido blanco, diremos que dicha serie sigue un modelo I(d)xI(D) s. D: número de diferencias esacionales s: orden de la esacionalidad d: número de diferencias regulares 1 B s D 1 B d z a,a N 0, a Podemos ener que aplicar más de una diferencia regular, pero es muy infrecuene ener que hacer más de una diferencia ésacional. En cualquier caso d 3.

64 Procesos ARIMA esacionales Si al aplicar a la serie z : D diferencias esacionales y d diferencias regulares enemos un proceso esacionario, pero no ruido blanco: D: número de diferencias esacionales s: orden de la esacionalidad d: número de diferencias regulares 1 B s D 1 B d z y,y esacionario, pero con esrucura de dependencia... Generalizar el modelo ARMA incluyendo además de la dependencia regular, ambién la esacional.

65 Procesos ARIMA esacionales La ecuación de un modelo muliplicaivo esacional ARMA (p,q)x(p,q) s : 1 1 B... p B p 1 1 B s... p B ps y 1 1 B... q B q 1 1 B s... Q B Qs a cona N 0, a Lo podemos escribir de forma compaca: p B p B s y q B Q B s a Y la fórmulación complea del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q) s para z : p B p B s d s D z q B Q B s a

66 Procesos ARIMA esacionales Para la fórmulación complea del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q) s para z : p B p B s d s D z q B Q B s a cona N 0, a p B 1 1 B... p B p, operador AR regular de ordenp p B s 1 1 B s... p B ps, operador AR esacional de ordenp d 1 B d,ddiferencias regulares s D 1 B s D,D diferencias esacionales q B 1 1 B... qb q, operador MA regular de ordenq Q B s 1 1 B s... Q B Qs, operador MA esacional de ordenq

67 Idenificación del modelo ARIMA esacional PASOS A SEGUIR Cuál es el orden de la esacionalidad? s=? Para ello es imporane conocer de qué daos se raa. Comprobar si la serie es esacionaria en varianza, y si no lo es omar logarimos. Comprobar si la serie es esacionaria en media, es necesaria una diferencia esacional? Es muy infrecuene que sea necesaria más de una diferencia esacional, es necesaria alguna diferencia regular? Usualmene p<4. Seleccionar el modelo ARMA muliplicaivo más adecuado. Seleccionando paso a paso, p, P, q y Q.

68 Idenificación del modelo ARIMA esacional La función de auocorrelación simple (FAS) de un ARMA(p,d)x(P,D) En los reardos bajos observamos únicamene lo correspondiene a la pare regular, En los reardos esacionales (s, s, 3s,...) observamos únicamene lo correspondiene a la pare esacional. Alrededor de los reardos esacionales (s-, s-1, s+1, s+, s-, s-1, s+1, s+,...) observamos lo correspondiene a la ineracción enre la pare esacional y regular. En concreo lo que se observa es la repeición de la FAS de la pare regular a ambos lados de los reardos esacionales: Si la pare regular es MA, a cada lado de los reardos esacionales endré q coeficienes significaivos. Si la pare regular es AR, a cada lado de los reardos esacionales endré el decaimieno exponencial propio de los AR.

69 Pasos para la consrucción de un modelo ARIMA

70 Eapas para la consrucción de un modelo ARIMA(p,d,q) Serie observada Idenificación del modelo ARIMA(p,d,q) Transformaciones Selección p,d,q Esimación de parámeros y conrases Función de verosimiliud Cálculo de esimadores y esadísicos Críica y diagnosis: validación del modelo NO Es el modelo adecuado? SI Predicción Analizar esrucura Daos anómalos

71 Eapas para la consrucción de un modelo ARIMA(p,d,q) Reglas prácicas 1. En primer lugar ha de esabilizarse la varianza si es necesario. Una vez esabilizada la varianza, y sólo si el proceso no es esacionario en media, se debe esabilizar la media (Tomando diferencias regulares (d), y/o esacionales, D). Una vez se iene una serie esacionaria y en desviaciones a la media.... Eviar la idenificación inicial de modelos mixos ARMA y comenzar con modelos AR y MA, preferiblemene de orden bajo. 3. Buscar modelos simples que expliquen los rasgos más obvios de la ACF. Coeficienes claramene significaivos, pauas de decrecimieno geoméricas o sinusoidales, ec. 4. Luego se uilizará la PACF para complear y confirmar los rasgos de la ACF.

72 ESTIMACIÓN DEL MODELO (dealles en Peña (010)). OBJETIVO: Obener las esimaciones de los parámeros que definen el modelo Parámeros: φ 1, φ,..., φ p, θ 1, θ, θ q, µ x y σ w X es esacionaria e inverible β =[φ 1, φ,..., φ p, θ 1, θ, θ q ] T w ~ N(0, σ w ) (i.i.d.) Diferenes enfoques: Condicionado No condicionado (esimación exaca) Independienemene del crierio que se elige hay dos problemas: Deerminación de condiciones iniciales Modelos no lineales

73 ESTIMACIÓN N DEL MODELO. Conrases sobre los parámeros. ˆ β Se obienen los valores de los parámeros esimados. Se obienen las desviaciones ípicas esimadas ˆ ˆ Son nulos los parámeros? ˆ H H 0 1 : β = : β 1 = φ1, β = φ,..., βh 1 = ϑq 1, βh = ˆ β i N ˆ ( i i β i 0 0, σ ( ˆ ˆ β i )) ˆ ˆ ϑ q

74 ESTIMACIÓN N DEL MODELO. Conrases sobre los parámeros. Se obienen los valores de los parámeros esimados. Se obienen las desviaciones ípicas esimadas Son nulos los parámeros? ˆ βi 0 σ ( ˆ β ) N(0,1); ˆ βi 0 ˆ( σ ˆ ) 1 β 1 Si Si Z n i ˆ β 0 Z = i i ˆ( σ ˆ β1) (,) noserechazah 0 y β i = 0. Si Z i (,) serechazah 0 y β i 0.

75 DIAGNOSIS DEL MODELO. Se cumplen las hipóesis asumidas? 1. Análisis sobre los coeficienes. Los coeficienes del modelo son suficienes para represenar la serie 3. El modelo seleccionado debe ener un grado de ajuse elevado (en comparación con oros) 4. Análisis de residuos

76 DIAGNOSIS DEL MODELO. (1. Análisis sobre los coeficienes) Los coeficienes esimados deben cumplir condiciones de esacionariedad e inveribilidad. Cálculo de raíces de los polinomios Si alguna raíz esá muy cerca de la unidad hay que ener ciera precaución. Si es la correspondiene a la pare auorregresiva puede suceder que la serie esé subdiferenciada. Si exisen raíces comunes se podría uilizar un modelo con dos parámeros menos.

77 DIAGNOSIS DEL MODELO. (. Son suficienes los parámeros para represenar la serie? ) Consise en inroducir parámeros adicionales para esudiar si el modelo esá infradimensionado. ARMA (p,q) ARMA (p,q) ARMA(p+1,q) ARMA(p,q+1) Problema: redundancia paramérica.

78 DIAGNOSIS DEL MODELO. (3. Selección n del modelo más m s adecuado ) Fase de idenificación: varios modelos alernaivos. Cuál es el más adecuado? AIC BIC

79 DIAGNOSIS DEL MODELO. (4. Análisis de los residuos) Comprobar las hipóesis realizadas: Los residuos ienen media cero, La varianza de los residuos es consane: homocedasicidad, Los residuos son independienes, Los residuos se disribuyen normalmene.

80 Predicción n con modelos ARIMA Dos fuenes de inceridumbre: Media condicional y varianza condicional z = ψba ( ) z = ψa T + k j T + k j j= 0 e ( k) = z zˆ ( k) = a + ψa ψ a T T + k T T + k 1 T + k 1 k 1 T + 1 Vare ( ( k)) = σ (1 + ψ ) T 1 ψk 1 zˆ T ( k) ± 1.96 σˆ (1 + ψ ψ ) 1/ 1 k 1

81 Un ejemplo prácico

82 Un ejemplo prácico Daos de pasajeros de avión: Daos mensuales en miles de pasajeros, desde Enero de 1949 hasa Diciembre de Time Series Plo for Col_1 600 Col_

83 Un ejemplo prácico Proceso no esacionario. Además son necesarias una diferencia esacional y una diferencia regular (para que el proceso sea esacionario en media). 6.6 Time Series Plo for log(col_1) log(col_1)

84 Un ejemplo prácico Tras una diferencia esacional y ora regular Residual Auocorrelaions for adjused log(col_1) Auocorrelaions ARIMA(0,1,0)x(0,1,0)1 wih consan lag

85 Un ejemplo prácico Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1) 1 DIAGNOSIS DEL MODELO Residual Auocorrelaions for adjused log(col_1) Auocorrelaions ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)1 wih consan lag Residual Parial Auocorrelaions for adjused log(col_1 Parial Auocorrelaions ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)1 wih consan lag

86 Un ejemplo prácico Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1) 1. Predicción para los res años siguienes. log(col_1) Time Sequence Plo for log(col_1) ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)1 wih consan acual forecas 95.0% limi

87 Algunos emas avanzados en series emporales: Modelos mulivarianes (VARMA) y modelos de heerocedasicidad condicional (GARCH)

88 Ejemplo de serie emporal mulivariane Fuene: Course on Time Series Analysis (Prof. Andrés M. Alonso) y Peña (010).

89 Modelos de heerocedasicidad condicional (Ver documeno adjuno)

90 Ejemplo de serie con heerocedasicidad condicional. Series financieras: No predecimos la media condicional sino la volailidad o varianza condicional.

91 Ejemplo de serie con heerocedasicidad condicional. Series financieras: No predecimos la media condicional sino la volailidad o varianza condicional.