ESTUDIO DEL PRONÓSTICO DE LA DEMANDA DE ENERGIA ELECTRICA, UTILIZANDO MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

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1 Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP. ISSN ESTUDIO DEL PRONÓSTICO DE LA DEMANDA DE ENERGIA ELECTRICA, UTILIZANDO MODELOS DE SERIES DE TIEMPO RESUMEN El presene ariculo describe un pronosico de demanda de energía elécrica, uilizando la meodología ARIMA (Auorregresive-Inegraed-Moving Average), el paquee esadísico SPSS (Saisical package for he social sciences) los daos hisóricos han sido suminisrados por la Empresa de Energía de Pereira van desde el primero de enero de 00, hasa el de diciembre de 00. PALABRAS CLAVES: Pronósico, Modelos ARIMA, auocorrelación. ABSTRACT The presen aricle describes a forecas of demand of elecrical energ, using mehodolog ARIMA (Auorregresive-Inegraed-Moving Average) and he saisical package SPSS (Saisical package he social sciences) he hisorical daa he have been provided b he Compan of Energ of Pereira and go from firs of Januar of 00, o he of December of 00. KEYWORDS: Forecas, ARIMA models, auocorrelaion. JOAQUÍN MURILLO S Profesor Faculad de Ingeniería Elécrica Universidad Tecnológica de Pereira jmurillo@up.edu.co ALVARO TREJOS Profesor Faculad de Ingeniería Indusrial Universidad Tecnológica de Pereira alvaro@up.edu.co PATRICIA CARVAJAL OLAYA Tesisa Maesría en Invesigación Operaiva Esadísica Universidad Tecnológica de Pereira pacarva@up.edu.co. INTRODUCCIÓN En el acual marco de liberalización de los mercados de la energía elécrica que se presena en Colombia, donde las grandes indusrias superficies comerciales pueden suscribir conraos de compra de energía elécrica, las empresas proveedoras de ese servicio (comercializadoras o empresas de disribución locales), deben cumplir con unos crierios mínimos que la Comisión Reguladora de Energía Gas, en asocio con el Cenro Nacional de Despacho, dependiene de ISA, prevén para que esas empresas denro de su esrucura de operación, elaboren de manera ópima una predicción confiable de la carga, porque de no hacerlo fallar el sisema, deben asumir las mulas correspondienes por incumplimieno, sobre odo las consecuencias que raería para el funcionamieno en condiciones ópimas del sisema de disribución local. El presene rabajo inena modelar los consumos de energía elécrica aplicando los modelos ARIMA.. SERIES DE TIEMPO Básicamene una serie de iempo se le denomina a cualquier variable que conse de daos reunidos, regisrados u observados sobre incremenos sucesivos de iempo. Por lo ano, se conclue que es una secuencia ordenada de observaciones sobre una variable en paricular. Una serie esacionaria es aquella cuos momenos al origen a la media no varían a ravés del iempo. Esas siuaciones se presenan cuando los parones de demanda que influen sobre la serie son relaivamene esables. Fecha de Recibo: Agoso de 00 Fecha de Acepación: 5 Noviembre de 00. COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO La descomposición clásica es un méodo que se basa en el supueso que la serie de daos se pueden desagregar en componenes como: endencia, ciclo, esacionalidad e irregularidad; que se describen a coninuación:.. Tendencia Una serie de iempo con endencia es aquella que coniene un componene de largo plazo que represena el crecimieno o declinación de la serie a ravés de un período amplio... Esacional Se define como esacional una serie de iempo con un parón de cambio a si mismo año ras año. Por lo regular, el desarrollo de una écnica de pronósico esacional comprende la selección de un méodo muliplicaivo o uno de adición esimar después índices esacionales a parir de la hisoria de la serie... Ciclo El efeco cíclico se define como la flucuación en forma de onda alrededor de la endencia. Los parones cíclicos ienden a repeirse en los daos cada dos, res o más años. Es difícil esablecer un modelo para esos parones cíclicos, a que no son esables..4. Irregular El componene irregular de la serie de iempo es el facor residual, es decir, odo lo que sobra oma en consideración las desviaciones de los valores reales de la serie de iempo en comparación con los esperados; es el elemeno aleaorio.

2 8 4. PROCESO ESTOCASTICO DISCRETO 4.. Proceso Esocásico (Univariane) Secuencia de variables aleaorias ordenadas equidisanes cronológicamene referidas a una caracerísica de una única unidad observable en diferenes momenos o fechas. Represenaciones: (Z ) = 0, ±, ±,... ; (Z ) donde Z es una variable aleaoria referida a la caracerísica de la unidad observable considerada en el momeno. 4.. Muesra Una muesra de amaño o longiud N (finio) procedene de un proceso esocásico (Z ) es un subconjuno de N componenes consecuivos de (Z ). Represenaciones de una muesra: Z, Z,... Z N ; Z (Z, Z,... Z N )'; (Z ) N = Proceso esocásico :..., Z -, Z 0, Z, Z,..., Z N ; Z N+,... Muesra : Z, Z,... Z N Serie emporal : z, z,... z N Se elaborará un modelo esadísico para una muesra Z procedene de un proceso esocásico a parir de una única realización paricular de Z (una serie emporal z). Bajo cieras condiciones, un modelo para Z puede describir la evolución emporal de (Z ) a lo largo de oda su hisoria reciene no sólo a lo largo del inervalo muesral. Se uilizará el modelo anerior para describir en érminos probabilísicos algunos componenes fuuros Z N+l (l ) del proceso (Z ), es decir, prever Z N+l Z N+. Se seleccionará un modelo denro de una clase general de modelos de reconocida uilidad prácica (ARIMA), que implique cieras propiedades eóricas compaibles con las propiedades observadas (muesrales) en z. Para poder inferir la esrucura probabilísica de Z ha que suponer cieras hipóesis sobre la misma, de manera que lo que no se suponga se pueda inferir a parir de una única realización paricular (una única serie emporal z) de Z. Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP - Auocorrelación: valor consane en el iempo que mide la relación exisene enre cada par de componenes de un proceso separados por un inervalo emporal (reardo) dado. Pero muchas series emporales no pueden considerarse generadas por un proceso esacionario (son series no esacionarias), a que suelen presenar cieras endencias marcadas (no presenan afinidad hacia algún valor consane en el iempo) una dispersión creciene. Para lograr la esacionariedad se realizan una serie de ransformaciones en búsqueda de esabilizar el nivel la dispersión de la serie. El primer paso en la idenificación del modelo consise en deerminar si la serie es o no esacionaria. En ese úlimo caso, se inena converirla en esacionaria a ravés del méodo de diferenciación. Para verificar que componenes iene la serie, necesariamene iene que observarse el gráfico de dispersión de la serie original, los correlogramas simples. Además es conveniene observar el grafico de la serie que resula luego de diferenciar la serie ano regular como esacionalmene. A coninuación se presena la gráfica de dispersión de observaciones de la serie original en forma seccionada por cuarimesres, a que el programa SPSS presena una limiane al mosrar los gráficos cuos daos superen los 000. Tomemos por ejemplo el grafico de dispersión del primer cuarimesre del ano Se supone hipóesis de esacionariedad en la serie. Algunas propiedades eóricas de un proceso esocásico implicadas por esa hipóesis son las siguienes: - Media: valor consane en el iempo alrededor del cual evoluciona de manera aleaoria (erráica) un proceso esocásico esacionario HORA - Varianza: valor consane en el iempo que mide la dispersión (variabilidad) de la evolución de un proceso esocásico esacionario alrededor de su media. Figura. gráfica de dispersión del consumo de energía

3 Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP 9 AC F Nº de reardos 6 7 Figura. Gráfico de las auocorrelaciones simples ACF parcial Nº de reardos Límies confidencial es Coeficiene Límies confidencial es Coeficiene Figura. Gráfico de las auocorrelaciones parciales La grafica de dispersión de la serie observada, aunque sea un / de periodo anual, va a ser exacamene igual en su configuración a los oros ercios de gráficas pueso que perenecen a una misma serie de observaciones que es el conjuno del año 00. Por lo ano se analizará auocorrelaciones. el resulado de sus 5. IDENTIFICACIÓN DE UN MODELO ARIMA En la idenificación de un modelo enaivo, observamos las auocorrelaciones simples noamos que los rerasos caen hacia cero después del cuaro coeficiene de auocorrelación e inmediaamene, después del quino coeficiene es significaivamene diferene de cero hasa el onceavo reraso, donde es cero hasa el receavo, luego es significaivamene diferene de cero así sucesivamene en forma sinusoidal pero negaivamene. Según el anerior comporamieno basado en el análisis gráfico de las auocorrelaciones simples parciales ACF PACF, el esadísico Ljung-Box, enre oras la eoría BOX-JENKINS nos dice que la serie no presena un parón de esacionariedad. Por lo ano, es necesario ransformar la serie buscando esacionariedad, diferenciándola para lograr un modelo que se puede adapar a nuesro objeivo. No sabemos qué an exioso pueda ser ese modelo, eso se logra comparándolo con oros. Se propone enonces consruir un modelo para cada hora del día, odos los días del año. Es decir, se consruirían 4 modelos, cada uno de esos lógicamene con 65 observaciones suficienes para realizar un pronósico confiable. En la siguiene sección se evaluará la esacionalidad de las series mediane las pruebas analíicas gráficas. Es decir, se mosrarán los modelos horarios de demanda de energía eniendo en cuena que se consruó uno para cada hora del día, por se muesran 4 modelos diferenes con las respecivas pruebas que corroboran su idoneidad. Esas pruebas son seis, de las cuales res son de ipo analíico las oras res de ipo gráfico. Las analíicas son: la prueba de iniciación del modelo, es decir, cuando desde el programa asignamos los parámeros numéricos al modelo ARIMA, deerminamos la esacionalidad cíclica o regular se involucra o no una consane. La segunda prueba es uilizar un esadísico descripivo enre la observación de la serie original el pronósico que se genera con el modelo; ese descripivo hace una comparación en función de los valores mínimo máximo de las series, la media de ésas su desviación ípica. El ercer modelo analíico es una prueba de normalidad del error de la observación de la serie original, denominada prueba de Kolmogorov-Smirnov de una muesra. Las res pruebas de ipo gráfico es un muligráfico donde esará represenada la observación de la serie original, el pronósico arrojado por el modelo los errores ano por arriba como por abajo. Después se enconrará un hisograma donde podemos ver la normalidad gráfica del error de la observación de la serie original por úlimo la auocorrelación simple del error de la observación de la serie original. Se mosrarán enonces primero las pruebas de carácer analíico poseriormene las pruebas de ipo gráfico. Anes de eso se hará un análisis a las gráficas de auocorrelaciones a cualquier modelo horario, a que ésas presenan una gran similiud en su comporamieno. Análisis de la hora uno: la gráfica de auocorrelación muesra un parón de no esacionaridad dado que sus rezagos esán denro de los límies prácicamene son casi cero, por ano, se probarán varios modelos omando en cuena las aneriores recomendaciones, para cada hora se probaron 6 modelos diferenes luego se confronaron enre sí para escoger el que mejor se adape a nuesras

4 Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP perspecivas de pronósico a coro plazo. En un cuadro se mosrarán 5 modelos con sus respecivas pruebas eóricas, seguidamene aparece el análisis analíico gráfico al modelo que cumplió odas las pruebas objeivos de ese proeco. ARIMA (,0,0)*(,,0) Se omará enonces un hora aleaoria del día se realizará un análisis compleo NO ESTACIONA L ESTACIONAL PARÁM ETROS CORRE LACIÓ N p d q P D Q CONSTANTE SCR DE SIGNIFI PARÁ CATIVO METR S OS AKAIKE DIA S DURANTE UN AÑO DE TOMA DE INFORMACION Fígura 4. Gráfica de consumo durane un año Esadísicos descripivos SI 55 OK OK 65 SAR no NO 06 es cero OK 5 SAR, 0 0 SI 509 CTE; no son cero OK SI 464 AR, CTE; no son cero OK SI 7 Tabla. Análisis para la hora 8 del día NO ESTACIO ESTACIO NAL NAL p d q P D Q SCHWARZ RESIDUO S ALEATO RIOS NORMALIDAD CTE no es cero OK PRONÓSTICOS NO NO OK NO NO OK NO NO OK # ITERACIONES Fi for MWHT from ARIMA, MOD_ N N válido (según li N Mínimo Máximo Media Desv. íp Tabla. Esadísicos Descripivos Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muesra N Parámeros normales a,b Diferencias más exremas Z de Kolmogorov-Smirnov Sig. asinó. (bilaeral) Media Desviación ípica Absolua Posiiva Negaiva a. La disribución de conrase es la Normal. b. Se han calculado a parir de los daos. Tabla. Prueba de Kolmogorov Smirnov Error for MWHT from ARIMA, MOD_ NOCON E NO NO OK NO NO OK Tabla. Coninuación 50 Fi for MWHT from AR IMA, MOD_ NOCON 95% LCL for MWHT fro El cuadro anerior esán represenadas las pruebas eóricas, que permiirán saber si el modelo descrio allí es el ópimo para pronosicar. Media m ARIMA, MOD_ NOCON 95% UCL for MWHT fro m ARIMA, MOD_ NOCON DAY, period 7 Figura 5. Inervalos de confianza para los pronósicos

5 Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP 4 Para la gráfica anerior, se puede observar como es la curva de observación real (daos reales e hisóricos), conra la curva de pronósico (resulado del modelo buscado del programa SPSS). Las curvas resanes, dan indicio del comporamieno del pronósico, ano por encima como por debajo. emporales, en función del modelo seleccionado se diseña una ecuación siguiendo la meodología Box- Jenkins. = φ + ϕ 7 + ϕ 4 = Es la serie emporal de indicador que se modeliza Desv. íp. = 4.97 Media =. N = φ = Coeficiene auorregresivo de la pare no esacional ϕ,ϕ = Corresponden a los coeficienes auorregresivos de la pare. 7 = Corresponde a la observación (esacional) de la hora siee días arás. 4 = Corresponde a la observación esacional) de la hora caorce días arás. Error for MWHT from ARIMA, MOD_ NOCON Figura 6. Disribución de los errores La gráfica inerior indica la normalidad de los errores, es visible como es la concenración de daos, circunscria a la curva gaussiana, lo que indica una gran afinidad de los daos, sin imporar la magniud de esos Error for MWHT from ARIMA, MOD_ NOCON Pronósico hora 8: Día Domingo: φ = 0.88 φ = φ = Ñ = = 0.88( 54.0) 0.687( 47.08) 0.044( 46.6) = Resulado maemáico. Y T Y = 55.4 Resulado SPSS -.5 Límies confidencial es Pronósico hora 9: ACF Nº de reardos Coeficiene Fígura 7. Gráfico de auocorrelaciones de los errores El gráfico anerior nos muesra la Función de Auocorrelación (ACF en inglés), indica el error del pronósico, se encuenra denro del límie de ajuse, es decir, la desviación de daos no exise, aunque para oras horas algún valor pueda salir, pero ese depende de la magniud de los daos. Día sábado: φ = 0. φ = φ = Ñ =.587 = 0.( 6.507) ( 6.6) 0.047( 6.4) = Resulado maemáico. Y T Y = Resulado SPSS Después de disponer de un modelo ARIMA: (,0,0)*(,,0) individual para cada una de las series

6 4 HORA 8 DAY DATE FIT SUN MON 4.80 TUE WED THU FRI SAT CONCLUSIONES En posible modelar los consumos de energía elécrica en los municipios de Colombia uilizando la meodología propuesa por Box Jenkis, dado que el comporamieno de esas series no es compleamene aleaorio se pueden describir como series de iempo con una ala probabilidad de éxio en la modelación a ravés de dicha meodología. Para faciliar la búsqueda de un buen modelo que represene la serie consumo de energía en el Municipio de Pereira durane el año 00, se oma la decisión de dividir los daos en 4 series correspondienes a los promedios de consumo por cada hora del día; con ello se aíslan las perurbaciones causadas por el mes, la semana la hora. Scienia e Technica Año IX, No, Diciembre 00. UTP 7. BIBLIOGRAFÍA [] ABRIL, J.C. Análisis esadísico de series de iempo basado en modelos de espacio de Esado. E.U.D.E.B.A., 999. [] AJUB, Albero. Ecuaciones en diferencias finias. Ediorial del Colognia, 985. [] CARVAJAL, Paricia; TREJOS, Alvaro. Trabajo de esis en series de iempo. UNIVALLE, 99. [] CHAO, Lincoln L. Esadísica para Ciencias Sociales Adminisraivas. Bogoá: McGraw-Hill. [4] CHATFLELD, Clirisopher. The analsis of ime series. An inroducion. Fourh ediion. Cliaprnan and Hall, London New York. [5] DASH, P.K.; SATPANTHY, H.P.; LIEW, A.C.; RAHMAN, S.A. Real-ime shor-erm load forecasing ssem using funcional link nework,k IEEE. Transacions on Power Ssems. Vol., Nro.. Ma 997. Como ilusración del uso de la meodología propuesa por Box Jenkis se modela la serie correspondiene al consumo de energía elécrica a las 8 de la mañana. Los daos originales no muesran esacionaridad, por ano se aplica una diferenciación esacional con ello se suaviza la serie logrando esacionariedad de al forma que así se pueda ajusar un modelo ARIMA a los daos en esudio. El modelo ARIMA que mejor ajusa describe el consumos de energía elécrica a las 8 a.m., luego de analizar las auocorrelaciones simples parciales es ARIMA(,0,0)(,,0) El modelo ARIMA(,0,0)(,,0) maemáicamene se expresa de la siguiene manera: = φ 7 + φ 4 φ Los errores producidos por ese modelo cumplen con los supuesos de normalidad aleaoriedad, lo que permie confiar en la bondad de ajuse del mismo.