Nallely Jacqueline Reyes-García and Francisco Venegas-Martínez and Salvador Cruz-Aké

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1 MPRA Munich Personal RePEc Archive A Comparaive Analysis among GARCH-M, EGARCH and PJ-RS-SV (Poisson Jumps - Regime Swiching - Sochasic Volailiy) Approach o Model he Mexican Sock Index Nallely Jacqueline Reyes-García and Francisco Venegas-Marínez and Salvador Cruz-Aké Insiuo Poliécnico Nacional, Insiuo Poliécnico Nacional, Insiuo Poliécnico Nacional 31 January 018 Online a hps://mpra.ub.uni-muenchen.de/84304/ MPRA Paper No , posed February :08 UTC

2 1 Un análisis comparaivo enre GARCH-M, EGARCH y PJ-RS- EV para modelar la volailidad de Índice de precios y coizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (A Comparaive Analysis among GARCH-M, EGARCH and PJ-RS-SV (Poisson Jumps - Regime Swiching - Sochasic Volailiy) Approach o Model he Mexican Sock Index) Nallely Jacqueline Reyes-García Insiuo Poliécnico Nacional njacqueline.reyesg@gmail.com Francisco Venegas-Marínez Insiuo Poliécnico Nacional fvenegas1111@yahoo.com.mx Salvador Cruz-Aké Insiuo Poliécnico Nacional salvador.ake@gmail.com Resumen El presene rabajo compara la capacidad de varios modelos de volailidad dependiene del iempo para explicar la dinámica esocásica del Índice de Precios y Coizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). En paricular se analizan procesos los ARCH, M- GARCH, EGARCH y difusiones con salos esocásicos y con cambio de régimen para la volailidad (PJ-RS-SV por las siglas en inglés de Poisson Jumps - Regime Swiching - Sochasic Volailiy). En odos los casos, se realiza una paramerización economérica que sirve como base para la simulación Mone Carlo de posibles rayecorias del IPC. Por úlimo se muesran y se analizan las diferencias obenidas por las disinas meodologías ane cambios en el precio inicial y la volailidad inicial. Clasificación JEL: C58, C15, C13. Palabras Clave: Volailidad esocásica, simulación Mone Carlo, GARCH-M, EGARCH y PJ-RS-SV. Absrac This paper is aimed a comparing he capabiliy of several models of ime-dependen volailiy o explain he sochasic dynamics of he Mexican Sock Index (IPC is acronym in Spanish) of he Mexican Sock Exchange (BMV is acronym in Spanish). In paricular, he processes ARCH, M-GARCH, EGARCH, and diffusion wih sochasic jumps and regime swiching for volailiy PJ-RS-SV (Poisson Jumps - Regime Swiching Sochasic Volailiy) are analyzed. In all cases, an economeric parameerizaion is made ha serves as a basis for he Mone Carlo simulaion of possible IPC pahs. Finally, he differences obained by he disinc mehodologies in he face of changes in he iniial price and iniial volailiy are shown and analyzed. JEL Clasificación: C580, C50, C13. Keywords: Sochasic volailiy, Mone Carlo simulaion, GARCH-M, EGARCH y PJ- RS-SV.

3 1. Inroducción En la lieraura financiera se encuenran muchos modelos que inenan explicar el comporamieno de los rendimienos de diferenes acivos, pero la mayoría iene problemas para describirla de forma realisa ya que los cambios esrucurales inroducen dificulades en el modelado de la dinámica de dichos rendimienos a lo largo del iempo. Como un ineno para enmendar esa deficiencia se han desarrollado modelos que consideran cambios en la disribución de las series financieras; véanse, por ejemplo: Durham y Park (013), Chrisoffersen, Sana-Clara y Yan (010), Heson, y Jacobs (009), Das y Sundaram (1999), González-Aréchiga, Díaz-Tinoco Venegas-Marínez (001) y Venegas-Marínez (008), enre muchos oros. En el presene rabajo se inena modelar con diferenes procesos esocásicos la dinámica de los rendimienos y la volailidad del Índice de Precios y Coizaciones (IPC) del mercado mexicano accionario. Enre más voláiles sean los precios de los acivos, más grande es el riesgo de mercado, lo cual puede producir grandes ganancias pero ambién grandes pérdidas, moivo por el cual los paricipanes en los mercados accionarios esán ineresados en predecir la endencia de dicha volailidad. Esa invesigación se enfoca en examinar la dinámica de los rendimienos del índice bursáil, IPC, de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) mediane la aplicación de varias meodologías esadísicas. Una de esas meodologías incorpora los cambios de régimen y los salos a ravés de un sisema de ecuaciones diferenciales esocásicas, cuyos resulados serán comparados con oros modelos economéricos como son los ARCH, GARCH-M, EGARCH. El presene rabajo se ha organizado de la siguiene manera: en la próxima sección se esablecen los modelos y sus supuesos básicos; en la sección 3 se realiza un análisis comparaivo de los pronósicos de cada uno de los modelos y se discue sobre las diferencias obenidas; por úlimo, en la sección 4 se presenan las conclusiones resalando las venajas y limiaciones de los diferenes modelos uilizados.

4 . Breve descripción de los diferenes ipos de modelos 3.1 Modelos de volailidad esocásica, SV Los modelos de volailidad esocásica (SV, por sus siglas en inglés) fueron propuesos en el rabajo seminal de Taylor en Esos modelos raan a la varianza condicional como un proceso esocásico no observado, el cual es conducido por un componene aleaorio que conjuna odos los facores exógenos que afecan la varianza. Es decir, la volailidad se modela como una variable laene (no observable) cuya evolución se rige por un proceso esocásico auorregresivo (AR). 1 En general, los modelos SV ienen ciero grado de dificulad en la esimación de sus parámeros ya que la función de verosimiliud, usualmene, es desconocida y por ello se recurre a la simulación Mone Carlo. Es imporane desacar que ese ipo de modelos son, en general, no lineales y no gaussianos. iempo,, La disribución coninua más simple para modelar una volailidad dependiene del es la disribución log-normal. De al manera que log N, con cieros parámeros y. Esa disribución garaniza resulados posiivos para la volailidad y permie el cálculo de momenos y la idenificación de cualquier exceso de curosis en los rendimienos (Taylor, 1986). Asimismo, las auocorrelaciones de volailidad en los procesos SV son proporcionales a los excesos de renabilidad absolua. Eso quiere decir que las auocorrelaciones de volailidad disminuyen lenamene. Así, el proceso esocásico esacionario más simple para volailidad esocásica es un proceso gaussiano AR en logarimos: 1 log (log( ) ). (1) En ese caso, el parámero, 1 1, represena persisencia de la volailidad. Los residuos de volailidad,, son variables aleaoria independienes e idénicamene disribuidos (... i i d ) 0, n N con (1 )..1.1 Propiedades básicas del modelo SV de Taylor n El modelo SV de Taylor (el más simple) esá dado por: 1 Un proceso esocásico auorregresivo es una sucesión de variables aleaorias ordenadas en el iempo en Varios esudios, por ejemplo, Harvey y Shephard (1996) y Andersen (1996) proporcionan evidencia empírica a la disribución lognormal para el modelado de la volailidad bajo cieras condiciones.

5 4 r u () donde u N (0,1) son variables i.. i d y los procesos y u son esocásicamene independienes. En ese caso, los rendimienos son procesos esricamene esacionarios ya que es el produco de procesos independienes esricamene esacionarios. También son de covarianza esacionaria ya que la varianza es finia. Oras propiedades del modelo son: i. Todos los momenos son finios y la curosis es igual a 3exp(4 ). ii. La correlación enre los rendimienos r y r es cero para odo 0. iii. La correlación enre el cuadrado del exceso del rendimieno s ( r ) y es posiivo para odo 0 cuando es posiivo. La correlación es aproximadamene igual a C p p. La función de auocorrelación de a r iene aproximadamene la misma forma que la de s para odo p posiivo. Conviene señalar que el modelo SV log-normal no permie a la volailidad reaccionar asiméricamene a las caídas de precios y aumenos de precios ya que es independiene de los signos de odos los rendimienos aneriores..1. Descripción del modelo de volailidad esocásica en iempo coninuo De acuerdo con Grajales-Correa, Pérez-Ramírez y Venegas-Marínez (008) y Venegas- Marínez (008), un modelo simple de volailidad esocásica en iempo coninuo del precio de un acivo saisface la siguiene las siguienes ecuaciones 3 : ds S d S du (3) donde es rendimieno medio esperado (anualizado) y el proceso 0, T s U es un movimieno browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filración aumenada, 0, T U, F U, F U, P U. Asimismo, la volailidad insanánea,, saisface d A, d B, dw (4) 3 Véanse ambién Venegas Marínez (001), (006) y Venegas-Marínez, Medina Hurado, Jaramillo y Ramírez Aehorúa (008) para más dealles sobre procesos de difusión.

6 Punos donde A, y B, son funciones bien comporadas y el proceso 0, T 5 W es un movimieno browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filración, F, P, F F con Cov d U,dW d. aumenada W W W W W 0, T. Modelo markoviano de cambio de régimen El modelo markoviano de cambio de régimen es muy úil debido a sus bondades en la descripción de cambios en el comporamieno promedio y/o en la volailidad de la serie...1 Propiedades básicas del modelo de cambio de régimen El modelo consise en un sisema múliple de ecuaciones diferenciales esocásicas, las cuales inenan describir el comporamieno de series de iempo en diferenes regímenes. El modelo permie capurar parones dinámicos más complejos que el del aparado anerior y una de sus caracerísicas es que el mecanismo de cambio de régimen se conrola mediane una variable de esado no observada que sigue una cadena de Markov de orden uno. En las úlimas décadas esos modelos se han popularizado. La evidencia empírica que proporcionan esos modelos para la descripción de series de iempo se puede enconrar, por ejemplo, en Magrebí, Kim y Nishina (007) que sugieren que ese ipo de modelos dependienes del régimen permien realizar ajuses sobre los errores de pronósico (Cheng, Ho, Hu y Wang, 01). Asimismo, como los quiebres esrucurales son caracerísicos de muchas series de precios de acivos financieros se hace necesario uilizar modelos más flexibles que admian diferencias en el comporamieno de una variable en función de los esados de la nauraleza o regímenes. En la Gráfica 1 se observa la endencia del IPC y se desacan visiblemene los quiebres esrucurales. Gráfica 1. Índice de Precios y Coizaciones ( ) 45, , , , , , , , , Periodo Fuene: Elaboración propia con daos de Banxico

7 Nivel 6 La ocurrencia de sucesos que afecan la dinámica de una serie de iempo puede producir cambios en el comporamieno de los agenes: pánicos, especulaciones, cambios de políicas. Esos sucesos, a su vez, dan lugar, usualmene, a cambios de régimen. En la Gráfica 1 se observa que el IPC muesra diferenes endencias separadas en el iempo, lo que implica la exisencia de cambios esrucurales, mismos que son mejor percibidos en la Gráfica donde claramene sobresalen los periodos de ala volailidad comparados frene a los que son de baja volailidad (lo que se conoce como Markov Regime Swiching). Gráfica : Rendimieno del IPC ( ) Periodo Elaboración Fuene: propia con Elaboración base en las propia esadísicas con daos de de BANXICO Banxico En general, cuando se hace referencia al rendimieno de un índice bursáil se considera la variación logarímica del precio de cierre del índice para dos días consecuivos de mercado. Así, el rendimieno, y, diario del índice bursáil para el día, esá dado por la siguiene fórmula: 1 y 100 log p log( p ) (5) donde p es el nivel del índice en el día y 1 p es el nivel del índice en el día 1. Por oro lado, es necesario enfaizar algunas caracerísicas disinivas que ienen los rendimienos 4 por ejemplo: clusers 5 de volailidad, exceso de curósis, ala persisencia de volailidad y asimería (o sesgo), enre oros. Con base en (5) se realizó el cálculo del 4 Desde el rabajo seminal de Fama (1965) se esudian las caracerísicas comunes de los rendimienos. 5 Son los periodos caracerizados por ala y baja volailidad. Si la volailidad es ala en un periodo, iende a seguir siéndolo; y si es baja en un periodo, iende a seguir siendo baja en el siguiene periodo.

8 7 rendimieno logarímico del IPC con Excel y se obuvieron los resulados mosrados en la Gráfica en donde se pueden observar varios clusers 6 de volailidad a lo largo del periodo..3 Modelos PJ bivariados normales Los modelos PJ (Poisson Jumps por sus siglas en inglés) bivariados normales suponen que los salos a escala se oman en proporción a la volailidad del componene de difusión del proceso. Eso es, si J 1 y J provienen de una disribución bivariada normal con: J exp v / N,, J s N, (6) 1 1J 1J J J De esa manera se ienen salos más grandes cuando la volailidad es mayor, el Modelo PJ bivariado normal es capaz de proporcionar dinámicas más realisas para cieros rendimienos como se muesra en Durham and Park (013). Se denoa el amaño medio esperado del salo (condicional al esado de volailidad) como: J 1 1J E e 1.4 Familias de modelos SV y EJ.4.1 Modelo SV auorregresivo (7) J El modelo SV auorregresivo planea que el logarimo de la volailidad se rige por un proceso esocásico de ipo auorregresivo. La especificación de la ecuación de la media es: r, (14) * donde r es el rendimieno de la serie, es media del proceso de los rendimienos, * es un parámero de escala posiivo, es un proceso esocásico que genera la volailidad, es el ermino de perurbación aleaoria N (0,1) i.i.d, y y son procesos independienes. Aneriormene se señaló que son dos ecuaciones las comúnmene uilizadas en los modelos SV, la segunda ecuación se refiere a la ecuación de la volailidad, la cual se expresa mediane h e, (15) 6 Los clusers más evidenes son a mediados del año 006, a finales del 008, seguido del principio del 009, y a finales del 011. Muchos evenos generados por la especulación en su mayoría y no es de omiirse por rezagos de crisis financieras como la de 008 que afecó primordialmene a Esados Unidos, pero en paralelo afecó a nuesro país.

9 donde h, (16) log( ) Es imporane mencionar que Taylor (1986), inicialmene propuso con 1y v N. (0, v) h h v, (17).4. Modelo SV auorregresivo asimérico 8 El modelo SV auorregresivo asimérico propueso por Harvey y Shephard (1996) iene la siguiene forma funcional definida por las ecuaciones de la media y volailidad como sigue: r, (14) * h e, (15) La única diferencia en comparación con el modelo en la subsección anerior, son las perurbaciones, ya que aquí ésas se rigen por una disribución normal bivariada: En ese caso se iene que si: 0 1, v N i. i. d. v 1 0 v v 0: un valor negaivo en en el periodo induce valores posiivos v en el periodo 1 y volailidad más ala. 0 : un valor posiivo en durane el periodo induce valores negaivos v en el periodo 1y volailidad más baja. 0 : implica un modelo de volailidad esocásica auorregresivo. Hasa ahora sólo se han descrio los modelos SV más uilizados para esimar la volailidad de series financieras, en el Cuadro 1 se enlisan oros modelos. (18) Cuadro 1. Modelos SV Auor(es) Das y Sundaram (1999) Harvey y Siddique (1999) Johnson (00) Aporación principal Muesran que la volailidad de la volailidad y la correlación enre las innovaciones en el precio de un acivo y su volailidad (efeco apalancamieno) afecan la forma de la sonrisa de volailidad. También muesran que el amaño y la inensidad de los salos en los rendimienos ambién afecan la forma de la sonrisa. Desacan que los modelos GARCH incorporan el sesgo variable en el iempo. Desarrolla un modelo SV con correlación variable en el iempo enre el rendimieno y las innovaciones en la volailidad.

10 9 Jhones (003) Carr y Wu (007) Chisoffesen, Heson y Jacobs (009) Propone un modelo de elasicidad consane de la varianza que incorpora un efeco apalancamieno variable en el iempo. En su modelo, los salos de los ipos de cambio pueden ser posiivos y negaivos y son conducidos por procesos de Levy independienes. Proponen un modelo SV de dos facores que puede generar una correlación variable con el iempo. Sana Clara y Yun (010) Desarrollan un modelo que permien que la inensidad del salo sea esocásica. Durham y Park (013) Ese describe dinámicas más realisas mediane la generación de salos más grandes cuando la volailidad es mayor. Además, incorpora una función de cambio de régimen que permie cambios aleaorios en los parámeros que rigen la volailidad de la volailidad. Ese modelo conocido como PJ-RS-SV (regime-swiching in volailiy of volailiy) es consisene con los cambios en la forma de la disribución de rendimienos. Fuene: Elaboración propia 3. Análisis comparaivo de los modelos y resulados empíricos Con el fin de realizar el análisis comparaivo enre las alernaivas se calcularan 1000 rayecorias mediane simulación Mone Carlo. La ruina de simulación consise en los siguienes pasos: 1. Primero se calculan los rendimienos anualizados del IPC. Se obiene el rendimieno medio anualizado 3. Se calcula la desviación esándar de los rendimienos medios anualizados 4. Se generan dos números aleaorios uniformes y se susiuyeron en la Z de la fórmula de Box-Muller: Z lnu cos( U ) (19) 1 5. Finalmene se susiuyen los valores en la siguienes expresiones: S S e Z S S e Z (0) 1 donde, S0 rendimieno del día de hoy; = un día como proporción de año 360

11 10 6. La ruina proporciona valores para cada año. El periodo que se uilizó comprende 10 años ( ) por lo que cada rayecoria considera 10 años con la inención de obener un mejor resulado. 3.1 Esimación con modelos Markov Regime Swiching El caso más simple de modelo de cambio de régimen es el de Halmilon (1989), el cual se represena por: y y 1 U, s 1 y U, s (1) donde s es el esado o régimen y U es una perurbación que se supone que es independiene e idénicamene disribuida cadena de Markov: U (0, ) i. i. d. Los esados siguen una Pr( s i s j) =, i, j=1,., () 1 ij El valor ij se conoce como la probabilidad de ransición de ir del esado j al esado i y se supone que es independiene del iempo (homogénea en el iempo). Las probabilidades de ransición pueden ser represenadas en una mariz de la siguiene manera: en la cual se cumple j1 ij , (3) 1para oda i. La cadena de Markov permie la conmuación enre los diferenes regímenes y, por ano, puede capurar parones dinámicos de mayor complejidad. Para el caso del IPC se obuvieron los siguienes daos: Cuadro. Mariz de Transición esimada Marices de ransición: Probabilidades de ransición de la cadena de Markov Muesra (ajusada): 464 Observaciones incluidas: 463 después de los ajuses P(i,j)=P(s() = j s(-1) = i) (fila = i / columna = j) 1 Todos los periodos

12 Fuene: Elaboración propia 11 El valor en la mariz de ransición (ver Cuadro ) represenan la probabilidad de pasar de volailidad ala a volailidad ala en el primer periodo, mienras que la probabilidad de pasar de volailidad ala a volailidad baja en el primer periodo es De la misma forma se inerprean los oros valores. A coninuación, en la Gráfica 3, se presena el pronósico de los úlimos 5 días sobre los rendimienos del IPC, mediane un ARCH(1,1). Gráfica 3: Rendimieno del IPC y su pronósico ARCH (1,1) Elaboración propia Fuene: Elaboración propia Como se puede observar en la Gráfica 3, el pronósico realizado indica que el modelo esá subesimado, lo cual se confirma en el Cuadro 3. Cuadro 3. Pronósico del modelo MS Día Rendimieno IPC Esimación del Rendimieno del IPC Fuene: Elaboración propia 3.. Esimación, evaluación y pronósico del modelo ARCH El modelo básico ARCH fue desarrollado por Engle (198) al proponer que la volailidad condicionada cambiane en el iempo se modelara mediane un proceso auorregresivo de heeroscedasicidad condicional (ARCH). Esa aproximación permie la descripción de la varianza a ravés de érminos de perurbación esocásicos de periodos pasados. En ese caso, la varianza no es consane y depende del cuadrado de las innovaciones pasadas.

13 1 A coninuación se realiza un análisis de las esadísicas descripivas de la serie. Los daos uilizados provienen de Banxico. El periodo que conemplan los daos diarios de cierre del IPC es del 6 de marzo de 004 al 31 de diciembre de 013. Si se omien los días que el mercado no operó se obienen 464 observaciones. Gráfica Gráfica. 4 Hisograma y esadísicos del del Rendimieno del IPC del IPC Gráfica 4: Hisograma y esadísicas descripivas del rendimieno del IPC Muesra: Series: IPCR Observaciones incluidas: 464 Media Mediana Máximo Mínimo Desviación esándar Sesgo Curosis Elaboración propia Elaboración propia Fuene: Elaboración propia En la gráfica 4 se muesra el hisograma de la serie y sus esadísicas descripivas. Conviene señalar que el valor de la curosis es de Es decir, la serie iene exceso de curosis (comparada con la curosis de la disribución normal). Por lo ano es lepocúrica, lo que, a su vez, implica que asigna diferenes probabilidades a valores exremos en comparación con la disribución normal. Asimismo, la probabilidad de que los rendimienos sean negaivos es mayor que la probabilidad que proporciona la disribución normal. Es decir, la probabilidad de obener pérdidas es mucho mayor y, por úlimo, ambién se observa que la disribución empírica iene un pequeño sesgo posiivo de Con base en el correlograma y de acuerdo al comporamieno de los rezagos se iene que la serie es esacionaria. También se realizó la prueba de raíz uniaria con un p-valor de 0.000, con lo cual la serie no iene raíz uniaria y así se confirma que la serie no iene endencia y, por lo ano, no se rechaza que la serie sea esacionaria. Así mismo se deecó el efeco ARCH mediane la prueba de muliplicadores de Lagrange LM donde se obuvo un p-valor de 0.000, lo que significa que se rechaza la hipóesis nula de que no hay ARCH y, por lo ano, se acepa que la serie iene efeco ARCH. También se examinaron los residuos y se corroboró que los rendimienos presenaban clusers de volailidad como se muesra en la Gráfica 5. Es decir, que periodos de baja (ó ala) volailidad son seguidos por periodos de baja (ó ala) volailidad. En la misma gráfica se puede apreciar que el periodo

14 13 de mayor volailidad se da en los días que corresponden a agoso de 008, lo cual se asocia con la crisis financiera global ocurrida en ese año. Gráfica 5: Rendimienos del IPC ( ) Fuene: Elaboración propia Después de mosrar evidencia empírica que sopora el uso de los modelos de la familia ARCH, se esima a coninuación un primer modelo ARIMA(1,1,0), con el cual se obuvieron los valores más pequeños en los crierios AIC y SIC. El pronósico para los úlimos 5 días de mercado se presena en la Gráfica 6. Gráfica 6: Rendimienos del IPC y su pronósico ARIMA (1,1,0) Fuene: Elaboración propia Como se puede observar en la gráfica anerior, el pronósico realizado indica que el modelo esá subesimado de acuerdo con los valores del Cuadro 4. Día Elaboración propia Cuadro 4. Pronósico del modelo AR(1) Rendimieno IPC Esimación del Rendimieno del IPC

15 Fuene: Elaboración propia 14 Como los modelo ARIMA ienen varias limiaciones, es perinene emplear un modelo que permia incorporar la varianza (no consane), como lo es el modelo ARCH que a coninuación se dealla. Para seleccionar el mejor modelo se escoge el que enga los valores más pequeños en los crierios de información de Schwarz (SIC) y Akaike (AIC). Para el pronósico se consideró un inervalo de confianza del 95% de confianza como se muesra en el Cuadro 5. Modelo Cuadro 5. Resulados de los modelos ARCH Parámero consane Parámero ARCH(1) Parámero ARCH() Parámero ARCH(3) Suma de coeficienes ARCH(1) ARCH() ARCH(3) Fuene: Elaboración propia Como se puede observar en el Cuadro 5, la suma de los coeficienes del modelo ARCH(3) es mayor en comparación con los oros dos modelo. La suma de los parámeros de dicho modelo es de y al parecer no es un valor cercano a la unidad y, por lo ano, no refleja que los shocks de volailidad sean persisenes. A coninuación se observa en el Cuadro 6 que incluso los valores de los crierios de información AIC y SIC son los más pequeños para ese mismo modelo, por lo que se puede decir que el ARCH(3) es el mejor modelo; al menos de los res que se esimaron. Cuadro 6. Crierios de información de los modelos ARCH Modelo Crierio AIC Crierio SIC ARCH(1) ARCH() ARCH(3) Fuene: Elaboración propia 3.3 Esimación, evaluación y pronósico del modelo GARCH En 1986 Bollerslev generalizó el modelo ARCH a GARCH donde se reduce el número de parámeros a esimar de infinio a únicamene dos. De al forma que al igual que el modelo anerior, ambién se oma en cuena el exceso de curosis y los clusers de volailidad. En

16 15 ese modelo la varianza condicional depende de la varianza de los periodos aneriores y del cuadrado de las innovaciones pasadas. En la esimación de los modelos GARCH, en el Cuadro 7, sobresale el de mayor valor de la suma de los parámeros, el modelo GARCH (,). Aunque, por oro lado, ese modelo iene 3 elemenos que resularon esadísicamene no significaivos, además de que el signo de algunos coeficienes resuló negaivo. Cuadro 7. Resulados de los modelos GARCH Modelo Parámero consane Parámero ARCH(1) Parámero ARCH() Parámero ARCH(3) Parámero GARCH(1) Parámero GARCH() Parámero GARCH(3) Suma de coeficienes GARCH(1,1) GARCH(1,) { } GARCH(1,3) { } { } GARCH(,1) { } GARCH(,) { } {1.1875} {-0.137} GARCH(,3) GARCH(3,1) { } { } GARCH(3,) { } { } { } { } GARCH(3,3) {} No significaivos esadísicamene con un inervalo de confianza del 95% Fuene: Elaboración propia En el Cuadro 8 se resumen los crierios AIC y SIC para cada esimación realizada de los modelos GARCH. Cuadro 8. Crierios de información de los modelos GARCH Modelo Crierio AIC Crierio SIC GARCH(1,1) GARCH(1,) GARCH(1,3) GARCH(,1) GARCH(,) GARCH(,3) GARCH(3,1) GARCH(3,) GARCH(3,3) Fuene: Elaboración propia De acuerdo con el Cuadro 8, el valor más pequeño del crierio AIC se obuvo para el modelo GARCH(3,3). En conrase, el mínimo valor sobre el crierio SIC lo arrojó el

17 16 modelo GARCH (1,1). Por lo ano, el mejor modelo de ese ipo al parecer es el GARCH(1,1) ya que el GARCH(3,3) muesra un signo negaivo en uno de sus coeficienes. Además se uilizó de forma alernaiva el crierio Hannan-Quinn, el cual resuló ser menor para el modelo que se eligió. Gráfica 7: Desviación esándar y varianza condicional del modelo GARCH (1,1) Elaboración propia Fuene: Elaboración propia 3.4 Esimación, evaluación y pronósico del modelo EGARCH El modelo GARCH fue propueso por Bollerslev en 1986, es un modelo ARCH generalizado que inicialmene desarrollo Engle en 198 y a parir de enonces se han propueso diversas varianes. Ese ipo de modelos se especifican a ravés de un sisema de dos ecuaciones y con ese ipo de modelos es posible la esimación de la volailidad. La primera ecuación explica la evolución de los rendimienos en función de rendimienos pasados y la segunda ecuación modela la evolución de la varianza de los rendimienos, y mediane la varianza se realiza la esimación de la volailidad. En ese caso, si y es una serie de observaciones diarias, y se define en función de sus valores pasados como: y y y y U (8) n n U h v (9) En donde v es un conjuno de variables v N (0,1) i. i. d. y h E u lo que conduce a 1( ) una heeroscedasicidad condicional. Un proceso GARCH se define de la siguiene forma: h h h h u u u. (10) r r 1 1 m m Una limiación de los modelos GARCH es que la varianza condicional responde de la misma manera a los residuos posiivos que a los negaivos. Para enmendar eso Nelson (1990) y (1991) propone el modelo GARCH exponencial o EGARCH, lo cual permie una

18 17 respuesa asimérica de la varianza condicional en función del signo de los residuos. Es decir, se puede modelar la asimería de la volailidad condicional. Nelson define su modelo EGARCH como: a, (0,1) a N ln kg a. k k1 ( ), 1 1 (11) donde k y 1 son sucesiones no esocásicas de números reales. Por oro lado, auores como Grajales (008) para esimar la volailidad condicional describen el modelo EGARCH (1,1) de la siguiene forma: 1 1 ln( ) ln (1) y, por lo ano, exp 0 1 1ln( 1) 1 1 (13) En ese ipo de modelos a diferencia de los modelos GARCH no hay resricciones en los parámeros, mienras que el modelo GARCH iene una limiación imporane ya que raa los efecos de modo simérico pues considera los cuadrados de las innovaciones. Ora limiación son las resricciones que deben cumplir los parámeros (Grajales-Correa, e al., 008, p.10). Como consecuencia del modelado GARCH, las disribuciones que se usan son siméricas, y no se puede modelar la correlación negaiva enre los cambios en los precios de los acivos y los cambios en la volailidad, pues, en general, dichos cambios son asiméricos. Los resulados para el modelo EGARCH (1,1) se presenan en el Cuadro 9. Cuadro 9. Resulados de los modelos EGARCH (1,1) Variable dependiene: IPCR Méodo: ML-ARCH(Marquard)-Disribución normal Fecha: 10/4/14 Hora: 17:08 Muesra: Observaciones incluidas: 464 Convergencia lograda después de 13 ieraciones Varianza de la muesra previa: (parámero=0.7) LOG(GARCH)=C()+C(3)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)))+C(4) *RESID(-1)@SQRT(GARCH(-1))-C(5)*LOG(GARCH(-1)) Variable Coeficiene Error esándar Esadisico Prob. C

19 Varianza de la ecuación C() C(3) C(4) C(5) R-cuadrada Media de la Var. Dep R cuadrada- Ajusada Desviación de la Var. Dep Desviación de la Reg Crierio de Akaike Suma de residuos Cuad Crierio de Schwarz Log Verosimiliud Crierio de Hannan-Quinn Esadísico Durbin- Wason Fuene: Elaboración propia 18 Observe, en el Cuadro 9, que odos los parámeros del modelo son esadísicamene significaivos, y los crierios AIC y SIC son mucho menores que los de los modelos esimados con anerioridad. A pesar de que exisen dos signos negaivos se puede suponer que es un buen modelo con un nivel de confianza del 95%. Para la evaluación del modelo se muesra a coninuación la varianza y desviación esándar del EGARCH(1,1). Gráfica 8: Desviación esándar y varianza condicional del modelo EGARCH (1,1) Fuene: Elaboración propia De acuerdo con los crierios SIC y AIC obenidos en los mejores 3 modelos se puede observar en el Cuadro 10 que, efecivamene, el mejor modelo es el modelo EGARCH, el cual presena los valores más bajos para los crierios de información. Además de que dicho modelo permie capurar los efecos asiméricos que muesran los rendimienos del IPC y, de igual forma, los coeficienes obenidos son esadísicamene significaivos. Cuadro 10. Crierios de información de los modelos Modelo Crierio AIC Crierio SIC ARCH(1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) Fuene: Elaboración propia

20 Esimación, evaluación y pronósico del modelo PJ-RS-SV (Durham y Park, 013) Cuando se combinan procesos de difusión con procesos de salos se ienen colas gordas lo que lleva a la violación del supueso de normalidad esacionaria para series de rendimienos. Eso obliga a uilizar oras herramienas que consideren colas gordas o colas pesadas, lo cual esá relacionado con la asimería y la curosis de las series de rendimienos. Dicha fusión de procesos da pie a racionalizar dinámicas de precios que no pueden generarse con modelos que sólo consideran movimienos brownianos. Durham y Park (013) proponen un modelo de volailidad esocásica (SV) con una función de cambio de régimen que permie cambios aleaorios en los parámeros que rigen la volailidad de la volailidad. El modelo es conocido como PJ-RS-SV (Poisson jumps, regime-swiching in volailiy of volailiy) y es consisene con cambios en la disribución de los rendimienos. En una primera ecuación se modela el rendimieno con un movimieno browniano geomérico combinado con salos de Poisson. En una segunda ecuación se modela la volailidad con un proceso de reversión a la media ambién combinado con salos y en la ercera ecuación modela el cambio de régimen (dos posibles esados). Los amaños de los dos salos de Poisson provienen de una disribución normal bivariada. específicamene, dado un espacio de probabilidad (, F, ) rendimienos de un acivo, y, siguen una ecuación de la forma P fijo y una filración F Más, los 1 y = S expv d exp v / d W + J dn 1J dv k v v S d S dw J dn ds 1S dn J 1 1 (4) (5) (6) donde v y s son el esado de la volailidad y el régimen de esado, respecivamene. El esado de régimen es 0 y 1. correlación s. N 1 y W 1 y W son los movimienos brownianos esándar con N son procesos de Poisson con inensidades s y s 1, respecivamene. A coninuación se supone que la escala de los salos es en proporción a la volailidad del componene de difusión del proceso. Eso es, bivariadas normales: J 1 y J son variables

21 J / exp v / N,, J / s N, (7) 1 1J 1J J J 0 con Corr 7 ( J1, J ) J (8) Es decir, J ' ( J1, J) es un vecor aleaorio de dimensión con 1J EJ ( 1), J EJ ( ), 11 Var J1 ( ), Var( J ) y 1 Corr( J1, J ). Así, la mariz de varianzas-covarianzas esá dada por y (9) de 1 (30) Por lo ano, f J, J 1 ρ exp J-μ ' J-μ (31) 1 1 J1 -μ1j J -μj J1 -μ1j J -μ J J-μ ' J-μ ρ 1 1 ρ En ese caso, es imporane recordar que para generar variables aleaorias normales bivariadas con X Nx, x y y, y Y N, con correlación enre X y Y dada por se generan dos variables normales independienes Z1 y Z y se uiliza la ransformación: X xz x (3) 1 Y y[ Z 1 Z ] y (33) 1 Como se mencionó anes, dado que el esado de régimen es 0 ó 1, enonces 7 Si corr ( J, J ) es cero, enonces f ( J, J ) f ( J ) f ( J ) y J 1 J y J son independienes.

22 s 0 dn 1 ds 1(0) ds 1 s 1 dn 1 ds 1(1), ds 1 s 0 (34) 1 Por lo que si s 1 enonces s vuelve a su esado inicial s 0. Para esimar el parámero k del modelo, se emplea el méodo generalizado de momenos MGM, como en la implemenación de modelo de Vasicek (1977) de al forma que a =1 y b / a (35) 0 1 con lo cual se obiene k = 0.8. En cuano al número de salos promedio se iene que después de calcular res desviaciones hacia arriba y res hacia abajo, los valores que queden fuera se consideran como salos. El número oal de salos que se obiene durane el periodo que comprende 10 años es de 114 salos y para calcular el parámero de inensidad se uiliza #salos / años, lo cual conduce a 114 / Análisis comparaivo de meodologías Se realizaron 1000 simulaciones para cada modelo, ano para el modelo PJ-RS-SV, como para el EGARCH y uno de promedios con fines comparaivos. Por cuesiones ilusraivas, sólo se muesran cinco de las mil simulaciones con S 0 = Y Gráfica 9: Simulaciones PJ-RS-SV Simulaciones SJ-RS-Vol con Yo= Trayecoria 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 Trayecoria Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos

23 Gráfica 10: Simulaciones EGARCH Simulaciones Gráfica EGARCH 3. con Yo=477 Simulaciones EGARCH con Yo= Trayecoria 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 Trayecoria Fuene: elaboración propia con base a los resulados obenidos Trayecoria 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 Trayecoria 5 Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Gráfica 11: Simulaciones promedios Simulaciones EGARCH con Yo=477 Simulaciones MEDIA con Yo= Trayecoria 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 Trayecoria 5 Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos En el Cuadro 11 se muesra el promedio de las simulaciones cuando S 0 = Y 0 =477. Cuadro 11. Comparación esadísica ( ) Parámeros IPC PJ-RS-SV EGARCH PROMEDIO Promedio Desviación Sesgo Kurosis Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Es imporane resalar que en la Gráfica 11, la rayecoria del modelo PJ-RS-SV capura los efecos de curósis y asimería de forma más realisa en cuano a su signo. En el Cuadro 1 se muesra la comparación del úlimo dao del año 013 que sirve como base para comparar los modelos. De esa manera, se puede saber que ano se dispersan los daos simulados de los observados. El modelo PJ-RS-SV capura de forma muy cercana el promedio de la serie original. 0 Fuene: elaboración propia con base a los resulados obenidos Trayecoria 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 Trayecoria 5

24 Cuadro 1. Comparación esadísica Parámeros IPC PJ-RS-SV EGARCH MEDIA Promedio Desviación Sesgo Kurosis Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Las siguienes simulaciones se realizaron con S 0 = Y 0 = Conviene señalar que el modelo PJ-RS-SV iene la capacidad de capurar los efecos de asimería y los cambios esrucurales de forma muy parecida a los de la serie original del IPC Gráfica 1. Simulaciones SJ-RS-Vol Simulaciones EGARCH Simulaciones SJ-RS-Vol con Yo=45175 con Yo= Trayecoria 1 1 Trayecoria Trayecoria Trayecoria Trayecoria 3 3Trayecoria Trayecoria 4 Trayecoria 4 5Trayecoria 5 Elaboración propia con base en los resulados obenidos. Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Gráfica Gráfica 13: Simulaciones EGARCH Simulaciones Gráfica 3.5 EGARCH. Simulaciones EGARCH Simulaciones con Yo=45175 EGARCH con Yo= Trayecoria Trayecoria 1 1 Trayecoria Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 4 Trayecoria Trayecoria 5 5 Elaboración propia con base en los resulados obenidos. Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos

25 Gráfica 14: Simulaciones promedios Simulaciones MEDIA. Gráfica Simulaciones 3.6 EGARCH Simulaciones con Yo=45175 MEDIA con Yo= Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Se observa que además de replicar las propiedades esadísicas el modelo PJ-RS-SV muesra que cuando hay clusers de volailidad, los precios se incremenan y eso es a causa de la asimería capurada. De acuerdo con el Cuadro 13, si se compara el úlimo dao del 015 frene a la simulación del periodo se sigue maneniendo el signo de la curosis mosrando la bondad del modelo. Trayecoria Trayecoria 1 1 Trayecoria Trayecoria 3 Trayecoria 4 4 Trayecoria Trayecoria 5 5 Cuadro 13. Comparación esadísica ( ) vs 015 Parámeros IPC PJ-RS-SV EGARCH MEDIA Promedio Desviación Sesgo Kurosis Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos Finalmene se muesra en el Cuadro 14 que aun cuando se simulan rayecorias para el año 015, los promedios se dispersan menos y el modelo PJ-RS-SV proporciona pronósicos muy cercanos a los valores observados de la serie IPC. Cuadro 14. Comparación esadísica 015 Parámeros IPC PJ-RS-SV EGARCH MEDIA Promedio Desviación Sesgo Kurosis Fuene: Elaboración propia con base en los resulados obenidos

26 4. Conclusiones 5 Mediane la generación de salos más grandes cuando la volailidad es ala, el modelo PJ- RS-SV es capaz de proporcionar dinámicas más realisas. El moivo principal al que se aribuye ese comporamieno es que los salos son casi idénicos al comporamieno de los rendimienos del IPC, enonces se pueden capurar las caídas y auges denro de la serie. Las expecaivas de la volailidad fuura de la volailidad y el efeco de apalancamieno son diferenes dependiendo del régimen acual. La volailidad esimada de los parámeros de volailidad son para esado 0 frene a para el esado 1 en el modelo PJ-RS-SV. Ese rabajo fue desarrollado básicamene a parir de la propuesa de Durham y Park (013), la cual es básicamene es un modelo de volailidad esocásica que incorpora cambios de régimen que permien cambios esocásicos en los parámeros que rigen la volailidad de la volailidad. Para ello, a una ecuación de media se le inroduce un proceso de volailidad con salos, pero dichos salos dependen de la volailidad. El modelo PJ-RS- SV para el caso aplicado al mercado accionario mexicano iene un buen desempeño. Conviene mencionar que el modelo PJ-RS-SV con salos iene mejores resulados que aquellos sin salos, lo que sugiere que esá en mejores condiciones para capurar la fala de no-normalidad en los rendimienos y las innovaciones de la volailidad observadas en los daos. El modelo PJ-RS-SV, en paricular,como herramiena es sumamene úil por su capacidad de replicar las propiedades esadísicas. Por ejemplo se capuran los cambios de régimen que no se observan en oro modelo como el EGARCH, el cual se concenra en la volailidad de los rendimienos y aunque de alguna forma no es posible hacer compleamene una comparación, el EGARCH úil para paramerizar el amaño de los salos con la volailidad de los mismos. Como recomendación final, se pueden hacer exensiones al modelo en varias direcciones: por ejemplo; modelar el amaño de cada salo con funciones de valores exremos. Ora veriene puede ser que incluir salos de Poisson conaminados con procesos de Levy, los cuales podrían emplear subordinadores o relojes brownianos. El código uilizado 8 esá escrio en Visual Basic y la simulación para cada modelo ardó aproximadamene 30 minuos en arrojar resulados. 8 El código puede ser comparido al soliciarlo a cualquiera de los correos de los auores.

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