Serie Apuntes de Clase ΩΒΓ

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1 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 Rafael Busamane Romaní UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

2 La Serie Apunes de Clase Omega Bea Gamma iene por objeivo difundir los maeriales de enseñanza generados por los docenes que ienen a su cargo el desarrollo de las asignauras que forman pare de los Planes de Esudios de las Escuelas Académico-Profesionales de la Faculad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos Esos documenos buscan proporcionar a los esudianes la explicación de algunos emas específicos que son abordados en su formación universiaria Encargados de la serie: Busamane Romaní, Rafael rbusamaner@unmsmedupe Cisneros García, Juan Manuel jcisnerosg@unmsmedupe Faculad de Ciencias Económicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos Calle Germán Amézaga N 375 Ciudad Universiaria, Lima 1 Perú La Serie Apunes de Clase ΩΒΓ es promovida y desarrollada por un colecivo de docenes del Deparameno de Economía de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos El conenido de cada publicación es ínegramene responsabilidad de cada auor, no represena necesariamene los punos de visa de los inegranes del colecivo, ni de la Universidad

3 Modelos de Heeroscedasicidad Condicional Auorregresiva Rafael Busamane Romaní Resumen En el presene rabajo se inroduce al lecor en los modelos de series emporales no lineales Por un lado, se esudian los modelos Auorregresivos para la varianza condicionada Heerocedásica, principalmene los modelos ARCH y GARCH, EGARCH, ARCH M, TGARCH, ec Sus principales propiedades y su imporancia en la modelación economérica financiera, así como algunas herramienas o meodologías para la esimación de ese ipo de modelos Ese documeno es la primera pare de oro documeno que presenara las esimaciones uilizando sofwares como el Eviews o Saa Palabras Claves: Méodos economéricos: modelos uniecuacionales; series emporales, modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Clasificación JEL: C, C9 Esudios concluidos de Docorado en Economía con mención en los Recursos Naurales (c), Universidad Nacional Auónoma de México MBA Gerencial, CENTRUM Ponificia Universidad Caólica del Perú Maesría en Economía con mención en Finanzas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos B Sc Economía, UNMSM Profesor Auxiliar del Deparameno de Economía de la UNMSM Invesigador asociado al Insiuo de Invesigaciones FCE - UNMSM Conaco: rbusamaner@unmsmedupe El auor agradece la colaboración en la elaboración del presene documeno a Oscar Díaz Barzola, alumno de la Faculad de Ciencias Económicas de la UNMSM Conaco oscardiaz96@oulookcom

4 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM 1- INTRODUCCIÓN Muchos de los modelos en la lieraura financiera siguen especificaciones lineales, sin embargo, algunos aspecos del comporamieno económico, y en especial las aciudes de los inversionisas hacia el riesgo y los reornos esperados, encuenran una mejor represenación en especificaciones nolineales Por ejemplo, las ineracciones esraégicas enre los paricipanes del mercado y los procesos por los cuales la información es incorporada en la esrucura de precios de los acivos son inherenemene no lineales (Aranda R, 00) En ese senido, la consrucción de modelos no lineales resula un aspeco imporane denro del análisis financiero, a pesar de que esos muesran una mayor dificulad al momeno de su especificación y esimación que las represenaciones lineales, requiriendo en muchos casos el uso de méodos compuacionales En las siguienes páginas nos cenraremos en los avances más modernos regisrados en ese campo de la modelación financiera, en especial en los modelos no lineales en varianza, que resulan paricularmene úiles al momeno de evaluar las percepciones de riesgo de los agenes que paricipan en la economía (Aranda R, 00) Numerosos esudios empíricos sobre el mercado financiero han mosrado que el comporamieno de alguna variables claves del mismo, ales como el precio de los acivos financieros, las asas de inerés, el ipo de cambio, ec, ienden a mosrar una disribución de probabilidad con unas caracerísicas que se alejan del supueso normal de media cero y varianza consane, especialmene cuando se cuena con información de ala frecuencia Eso dio paso a un imporane esfuerzo Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 1

5 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM de invesigación desinado a describir y modelar de forma más complea ese comporamieno no esándar en las variables económicas y financieras; de hecho, el inerés de la agenda de invesigación se dirigió a raar de modelar la volailidad observada en las variables (Arce, 1998) ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE ESTE TIPO DE MODELOS: (i) Colas anchas de gran densidad: Los reornos de los acivos financieros iende a ser lepocúricos; eso es, se caracerizan por disribuciones de probabilidad con una curosis superior a 3, y por lo ano más apunada que la disribución normal (ii) Agrupamieno en la volailidad: Eso significa que grandes cambios en las variables ienden a ser seguidos por grandes cambios, de cualquier signo, mienras que pequeños cambios en las variables ienden a ser seguidos por pequeños cambios de cualquier signo, con lo cual el comporamieno de las variables esá lejos de ser una normal (iii) Efeco Leverage: Ese efeco se refiere a la endencia observada generalmene en los cambios en los precios de las acciones a esar negaivamene correlacionado con los cambios en la volailidad de dicha acción; o la endencia observada en los cambios en la inflación a esar negaivamene correlacionada con los cambios en la volailidad de la inflación La exisencia de cosos fijos, financieros y de operación, proporciona una explicación parcial a ese fenómeno (iv) Periodos sin ransacciones: La información que se acumula cuando los mercados financieros esán cerrados se refleja en los precios cuando Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael

6 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM esos se vuelven a abrir Por ejemplo, si la información se acumula a una asa consane en cada día del calendario, enonces la varianza de los reornos en el periodo que ranscurre enre cierre del viernes y el cierre del lunes siguiene, debería ser res veces la varianza desde el cierre del lunes al cierre del mares Algunos auores, sin embargo, indican que la información se acumula a una asa más lena cuando los mercados esán cerrados, en comparación a cuando esos esán abieros Por lo ano, las varianzas ienden a ser mayores después de los fines de semana y feriados, y más bajas en los días normales, pero no ano como podría esperarse si la asa de arribo de las novedades fuera consane (v) Evenos predecibles: Sin ser una sorpresa, las salidas o apariciones predecibles de información imporane esán asociados con una elevada volailidad ex ane Por ejemplo, exise evidencia que demuesra el hecho que la volailidad de los reornos de las acciones en empresas individuales es mayor cerca de los anuncios respeco de las ganancias Lo mismo ocurre en el caso del ipo de cambio, cuando se libera imporane información macroeconómica (vi) Volailidad y correlación serial: Se ha enconrado evidencia de una fuere relación inversa enre la volailidad y la correlación serial en los índices accionarios en Esados Unidos (vii) Comovimienos en las volailidades: Exise evidencia que apoya la idea que las volailidades enre disinos acivos financieros ienden a moverse de manera conjuna Por ejemplo, se señala que un cambio de un 1% de la volailidad del mercado implica un cambio de aproximadamene 1% en la volailidad de cada acción Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 3

7 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM (viii) Variables Macroeconómicas y Volailidad: Dado que los valores de las acciones esán esrechamene relacionados con la salud de la economía, es naural esperar que las medidas de inceridumbre macroeconómicas ales como la varianza condicional de la producción indusrial, las asa de inerés, el crecimieno moneario, ec Debería ayudar a explicar los cambios en la volailidad del mercado accionario 3 MODELOS DE HETEROSCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA La volailidad es una caracerísica inherene a las series de iempo financieras En general, no es consane y en consecuencia los modelos de series de iempo radicionales que suponen varianza homocedásica, no son adecuados para modelar series de iempo financieras Engle (198) inroduce una nueva clase de procesos esocásicos llamados modelos ARCH, en los cuales la varianza condicionada a la información pasada no es consane, y depende del cuadrado de las innovaciones pasadas Bollerslev (1986) generaliza los modelos ARCH al proponer los modelos GARCH en los cuales la varianza condicional depende no solo de los cuadrados de las perurbaciones, como en Engle, sino además, de las varianzas condicionales de periodos aneriores (Casas Monsegny & Cepeda Cuervo, 007) En 1991, Nelson presena los modelos EGARCH, en los cuales fórmula para la varianza condicional un modelo que no se compora de manera simérica para perurbaciones posiivas y negaivas, como sucede en los modelos GARCH; expresando oro rasgo de la volailidad: su comporamieno asimérico frene a las alzas y bajas de los precios de un acivo financiero Un elevado número de rabajos sobre modelos de volailidad se han publicado en las úlimas décadas Ver Poon y Granger (003), Hansen y Lunde (006) y Novales y Gracia (1993) 31 SERIES DE TIEMPO NO LINEALES Y ANÁLISIS ECONOMÉTRICO Consideremos un modelo ípico de series de iempo para una variable aleaoria Se relacionará una serie de iempo X con una secuencia subyacene de shocks, que han afecado sus valores pasados En análisis lineal de series de iempo se asume que los shocks no esán correlacionados en el iempo, aunque no necesariamene son idénicas e independienemene disribuidas Por el eorema de Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 4

8 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Wold, cualquier serie puede ser represenada como un promedio móvil infinio MA (00) de shocks, y esa represenación MA lineal resume los comporamienos de la varianza y de las auocovarianzas no condicionales presenes en la serie En el análisis de series de iempo no lineales comúnmene se asume que los shocks que esán derás de una serie son idénicos e independienemene disribuidos, pero en vez de asumir una represenación lineal lo que se busca es una represenación no lineal que relacione la serie w con la hisoria de los shocks: eso es X = f(, -1, -,) 1 En la que se asume que Q 0,1 iene media cero y varianza uniaria eso es Donde Q es una ciera disribución de probabilidad no necesariamene normal y f () Es alguna función no lineal desconocida La mayoría de esas represenaciones son basanes difíciles de manejar, pero casi odos los modelos de volailidad caen denro de una clase más resringida que se puede represenar como: X = f(, -1, -,) La función f Represena la media condicional de x (condicional a oda la información pasada) Una observación imporane respeco de la información referida a los rendimienos de acivos financieros es que los reornos elevados ienden a ser seguidos por reornos de igual magniud, lo que parece indicar que su volailidad esá correlacionada Con el fin de capurar esa aparene correlación se diseñaron los modelos de heeroscedasicidad condicional auorregresiva 3 NO ESTACIONARIEDAD EN VARIANZA Muchas series económicas y financieras se caracerizan por ener períodos de relaiva ranquilidad seguidos por oros de ala volailidad Debido a ello, la Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 5

9 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM hipóesis de varianza consane de muchas series al analizarlas se ajusa poco a la realidad La familia de modelos ARCH y GARCH preende resolver ese problema, y consiuyen un ineno de conseguir predicores de esa volailidad uilizando información condicional, en ese caso información sobre la esrucura del érmino de error, que permia llevar a cabo una esimación de la volailidad de los rendimienos del acivo en cuesión durane períodos más coros Supongamos que enemos la serie (Aragonés González & Blanco Viñas, 1996): y=μ +ε 3 Donde es la pare deerminísica y la aleaoria Asumamos además que el error de la ecuación depende de una variable cualquiera x, de forma al que: v x 4 Siendo un ruido blanco con media 0 y varianza, por lo que: V ( y ) V ( ) x 5 Es decir, la varianza del error no es consane Hay que considerar enonces dos siuaciones: Si la x es conocida y es consane sería el caso, por ejemplo, de que la variable x sea una función de : x h Por lo que: 6 V y h 7 Sabiendo ello, se puede ransformar la daa a fin de esabilizar la varianza (que no dependa de ) Así, se planea una ransformación de ransformación de Taylor alrededor de : y, g y, vía una Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 6

10 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM g ( y ) g( ) y - g ' y y 8 V g(y ) g y ' g ' y h V ( y ) 9 Enonces, para esabilizar la varianza la ransformación a aplicar debería ser: g ' y h 1 10 De forma al que la varianza de la serie ransformada sea igual a Por ejemplo, si y iene una desviación esándar proporcional a su nivel, es decir, h( ), enonces: g ' y 1 11 Por lo que: g y Ln ( ) 1 Es decir, se iene una ransformación logarímica de la serie a ravés de la cual se garanizaría la esabilidad de su varianza Cabe noar que esa es la ransformación más uilizada para realizar la corrección de no esacionariedad en varianza Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 7

11 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM b) Si una de las dos condiciones no se cumplen se usan los modelos ARCH Si la ransformación logarímica no corrige la no esacionariedad en varianza, y no se iene claridad de cuál podría ser la ransformación apropiada, se opa por modelar la volailidad de la serie a ravés de los procesos ARCH: el modelo de heerocedasicidad condicional1 auorregresiva cuyo principal objeivo es modelar y predecir la volailidad de una serie En 198, Rober Engle inroduce por primera vez un modelo que apunaba a incorporar en el análisis economérico esándar, la heeroscedasicidad evidenemene que se observaba en los daos; ese modelo se conoce como modelo ARCH (AuoRegresive Condiional Heeroskedasic) El modelo ARCH es úil no solo porque capura la mayor pare de los hechos esilizados, sino que ambién porque iene aplicación en diversas áreas Por ejemplo, el modelo ha sido uilizado en valoración de acivos (Asse Pricing) con la finalidad de esear los modelos CAAPM, I CAPM, APT; para desarrollar los es de volailidad para comprobar la eficiencia de mercado, y para esimar riesgos sisemáicos de las variables en el iempo en el conexo de modelos de mercado También ha sido uilizado para medir la esrucura emporal em srucure de la asa de inerés; para desarrollar esraegias de coberura ópimas en conexos dinámicos; para examinar como fluye la información enre países, mercados, y acivos; para valorar opciones y para modelar el premio al riesgo En macroeconomía ha sido ambién uilizado 1 Por qué hablamos de una varianza condicional? Porque es más pequeña que la no condicional (esa úlima se considera además como la predicción de largo plazo de la varianza) Veámoslo en el caso de un AR(1) Como vimos anes, para ese modelo: 0 y V y 1 Si en cambio queremos hallar esos esadísicos condicionados a la información pasada endríamos: y y -1 V y y y y dado que 1-1, podemos deducir que V y V y Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 8

12 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM para consruir careras de deuda para países en desarrollo, para medir la inceridumbre inflacionaria, para examinar la relación enre la inceridumbre en el ipo de cambio y el comercio exerior, para esudiar el efeco de las inervenciones del Banco Cenral, y para caracerizar la relación enre la macroeconomía y el mercado accionario Un proceso ARCH pude definirse de varias maneras, la más simple de definir es en érminos de la disribución de los errores provenienes de un modelo de regresión dinámico Sea la variable y una variable aleaoria generada por el siguiene proceso ' y x 13 Donde x es el vecor de variables predeerminadas, de orden kx1, el cual puede incluir valores rezagados de la variable dependiene, y es un vecor de parámeros a esimar El modelo ARCH (q) caraceriza la disribución de los error esocásico condicionado a las realizaciones de un conjuno de variables 1 y 1 x 1 y x es,,,, ; de hecho la especificación original propuesa por Engle / N (0, h ) 14 1 Supongamos enonces que podemos modelar la varianza condicional (no consane) como un AR (q), es decir: q -q 15 Donde v es un ruido blanco Tomando esperanza condicional de la ecuación anerior se obiene que: h q-q 16 Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 9

13 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Es decir: h q -q 17 Con 0 0, i 0 para i = 1,,3,,q, para así garanizar que la varianza condicional sea posiiva Se puede noar que elemenos de 1 y x ' 1 1 i, i =1,,3,q, h es función de los Que no es ora cosa que el modelo ARCH (q) (Engle, 198) Ese ipo de modelos son de especial imporancia cuando se quiere esimar y predecir las flucuaciones de variables de inerés, como podrían ser los precios de las acciones y ora información financiera Asimismo, el mejorar la esimación de la varianza hace posible la deerminación de inervalos de confianza de mayor precisión y eleva la calidad de la esimación de los parámeros del modelo original Finalmene, la varianza esimada puede ser uilizada como variable explicaiva en algún modelo económico en el que se quiera relacionar el comporamieno de una variable con la volailidad de ora Cabe mencionar que, la especificación lineal no es la más conveniene ya que el modelo para y y su varianza condicional son esimados mejor simuláneamene usando MV Por ello, Engle propone rabajar con una especificación muliplicaiva, cuyo ejemplo más simple es (Belran Barco, 00): v 18 Donde v es un ruido blanco con media 0 y varianza 1, 1 es independiene y 0 y 1 son consanes al que 0 y Esa especificación se raduce en una Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 10

14 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM varianza condicional dependiene del primer rezago de la misma, o ARCH (1), de la forma: E( / 1,,) o En un modelo ARCH, la esrucura del error es al que la media condicional e incondicional sean 0, y a la vez, que la secuencia no presene correlación enre sus elemenos El puno clave es que los errores no son independienes enre si en su varianza (segundo momeno), de modo que la varianza condicional es un proceso auorregresivo La heerocedasicidad condicional es se puede observar en y al verificarse un proceso ARCH, de modo que ese ipo de modelación periodos de volailidad y esabilidad en la serie y permie capurar Específicamene, en un modelo ARCH la esrucura del error y los parámeros de auocorrelación del proceso y inusualmene grande (en valor absoluo) en ineracúan muuamene Cualquier shocks v sería asociado a una varianza persisenemene grande en las secuencias de errores presene y fuuros, siendo el valor de 1 lo que deerminará la persisencia Cabe mencionar que es posible generalizar la especificación del proceso a ravés de un ARCH de orden mayor en el caso en que odos los shocks desde, 1 hasa ienen un efeco direco sobre, de al manera que la varianza condicional sigue un proceso auorregresivo de orden q q Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 11

15 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM q v o i i i 1 0 El que da origen a un ARCH de orden q 3 EL MODELO GARCH GARCH es la abreviaura de Generalized Auorregresive Condiional Heeroscedasiciy y da nombre a la ampliación del modelo ARCH ya comenado que realizó Bollerslev (1986) para los órdenes p,q, y Taylor (1986), para el caso específico de los órdenes 1,1 Bollersev (1986) propone una exensión a la función de varianza condicional que recibe el nombre de ARCH generalizado o GARCH De gran uilidad en los rabajos empíricos Bollersev sugiere la siguiene especificación para la varianza condicional (Arce, 1998) 4 Basado en una exensión del rabajo de Engle, desarrolló una écnica que permie que la varianza condicional siga un proceso ARMA En ese senido el proceso que sigue el error puede ser represenado por: v h 1 Donde: 1 v q p o i i i i i 1 i 1 h h En el que se incorpora una esrucura dinámica más compleja en la ecuación de la varianza, con componenes auorregresivos y de medias móviles Se puede observar que en ese caso que: Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 1

16 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM q p 1 o i i i i 3 i1 i1 E( /,,) h h Donde los s y s son menores que 1, para que el modelo no sea explosivo Así, como se ve en (14), la varianza condicional depende de una consane, de la volailidad pasada y de la esimación de la varianza condicional en el pasado El puno imporane es que la varianza condicional de esa dado por E 1 h, por lo ano, los componenes de condicional de h son los que deerminan la varianza La secuencia v es un ruido independiene de los valores pasados de por lo que la media condicional e incondicional de será siempre cero Hay que considerar que un modelo ARCH de orden alo puede ener una represenación GARCH más parsimoniosa, que es más sencilla de idenificar y esimar Esa especificación más parsimoniosa permiirá que se esablezcan menos resricciones para los coeficienes, o que se ve reforzado por la esrucura del proceso GARCH, la que deermina que odos los coeficienes que aparecen en h sean posiivos Además se iene la seguridad de que la varianza condicional es finia dado que odas las raíces conenidas en la ecuación de h deben caer denro del círculo uniario Es por esa razón que los modelos GARCH suelen ser más beneficiosos El modelo ARCH (q) que anes se presenaba, puede mosrar cieras dificulades de esimación cuando se aplica a esrucuras dinámicas en los cuadrados de las series Por ejemplo, en las series financieras, el número de reardos a uilizar es muy elevado y ello llevaría a un engorroso número de ieraciones para alcanzar una Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 13

17 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM solución al sisema planeado, pudiendo darse el caso de no enconrar nunca una solución Por ello, el mismo Engle propuso ya en 1983 cieras resricciones a los parámeros del ARCH (1) que simplificaban su esimación; pero esas no eran un proceso generalizable, por lo que la aporación de Bollerslev es decisiva a la hora de poder doar de uilidad al modelo presenado por Engle El modelo GARCH es al modelo ARMA igual que el ARCH al AR y, siempre y cuando las condiciones de esacionariedad lo permian, ambos son suscepibles de escribirse como procesos de medias móviles de orden infinio Por ello, se podría pensar en el modelo GARCH como un ARCH de orden infinio Por ejemplo, aplicando (18) para un GARCH (1,1), se puede escribir: h Luego, es posible hallar la represenación ARCH ( ) de (19) susiuyendo recursivamene el rezago de la varianza: h h h 1 ( h Al final endremos h 1 ( ) 3 i i i i Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 14

18 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Así hasa el infinio se logra: 0 1 j1 j Nóese que la expresión (1) es similar al esimador de la varianza muesral pero con pesos menores para rezagos más disanes de 4 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARCH (Belran Barco, 00) Para especificar un modelo ARCH es posible llevar a cabo las siguienes eapas: 1 Especificar correcamene la media de la serie, a ravés del méodo de selección Box & Jenkins; esimar el modelo y recoger los residuos Analizar los residuos al cuadrado de la esimación de la ecuación, a ravés de dos procedimienos: Observar el correlograma de los residuos al cuadrado, para deerminar qué componenes ARCH (GARCH) son significaivos Llevar a cabo el ARCH LM es, cuya hipóesis nula es que no hay érminos ARCH (GARCH), es decir, dado: ˆ f Tesear: -1, -, ; ' s 6 Ho: ' s 0 (no hay érminos ARCH GARCH) Para ello se uiliza el esadísico TR q Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 15

19 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM 3 Con el modelo GARCH (p, q) elegido probar de nuevo a fin de verificar que oda la regresividad de la varianza haya sido bien recogida 5 EL TEST DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (TEST LM) Uno de los es que nos permien verificar si las perurbaciones siguen procesos de heeroscedasicidad condicional auoregresiva es el LM (Muliplicadores de Lagrange) propueso por Engle (198) Esos Tes involucran dos eapas: Primera Eapa: Usar MCO para esimar el modelo ARMA (p,q) o regresión más apropiada Y Y Y Y p p 7 Segunda eapa: Obener el cuadrado de los errores ajusados Regresionar el cuadrado de esos residuos sobre una consane, y sobre los q valores rezagados del mismo:,,,, 1 3 p p p 8 9 Si no exisen efecos ARCH y GARCH, los valores esimados de los coeficienes hasa deberían ser 0 De ahí, que esa regresión puede ener un adecuado poder explicaivo lo que se verifica a ravés del coeficiene de deerminación (R esadísico), el cual, en ese caso, regisrará un valor muy bajo Con una muesra de T residuos, bajo la hipóesis nula de que no exisen errores que siguen un proceso ARCH, es es esadísico TR converge a una disribución Si TR es lo suficienemene grande, se rechaza la hipóesis nula de que los errores no siguen Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 16

20 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM un proceso ARCH De oro lado, si TR es lo suficienemene bajo, es posible concluir que los errores no presenaran efecos ARCH 6 MODELOS ARCH M (ENGEL, LILUEN, ROBINS 1987) La eoría financiera sugiere que un acivo financiero con mayor riesgo financiero percibido podría oorgar en promedio un reorno mayor Por ejemplo, sea r la diferencia enre la asa de reorno ex_pos de un acivo cualquiera y el reorno de un acivo seguro alernaivo (Digamos un bono de BCRP) Supongamos, además, que r puede descomponerse en una pare anicipada en 1 por los inversionisas (que denoaremos por r*), y una pare no anicipada eso es: r r 30 * Enonces de acuerdo a la eoría financiera, el reorno promedio r * podría esar relacionado con la varianza del reorno (h) Para poder incorporar esa relación se posula el siguiene modelo de regresión con caracerísicas ARCH: Y = X β + δ h + ε ' ε = n n h = α + α ε + α ε + α ε α p ε p 31 ~ 0,1 Para N En esa formulación el efeco que la percepción de una mayor variabilidad en iene sobre Y es capurada por el parámero δ Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 17

21 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Engle, Lilien y Robins (1987) asumieron que el premio (prima) por el riesgo era una función creciene de la varianza condicional de (la medida del riesgo), en oras palabras, a mayor varianza condicional mayor premio por riesgo necesario para que los agenes decidan manener el acivo en el largo plazo Si definimos como h a la varianza condicional de Una variane del modelo ARCH M es usar la desviación esándar condicional en lugar de la varianza condicional El modelo ARCH M es frecuenemene usado en aplicaciones financieras donde el rendimieno esperado sobre el capial financiero esá relacionado con el riesgo esperado del capial Además ese modelo permie que la media de una serie dependa, enre oras variables, de su propia varianza condicional (o su desviación esándar) Es decir: y x 3 El objeivo del modelo es deerminar la relación exisene enre la media y la varianza de la serie De esa manera, por lo general, ese ipo de modelos se uilizan para esudiar mercados de acciones, y esablecer el rade off que exise enre el riesgo (su volailidad) y el rendimieno (su valor medio) de una acción Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 18

22 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM 7 MODELOS ASIMÉTRICOS Los modelos ARCH/GARCH suelen ignorar la información relacionada con la dirección de los reornos: sólo las magniudes ineresan No obsane, hay evidencia empírica que demuesra que las variables financieras son más voláiles ane shocks negaivos que ane shocks posiivos Efeco Leverage se refiere a la endencia observada en los cambios en los precios de las acciones a esar negaivamene correlacionados con los cambios en la volailidad de dicho sock; o a la endencia observada en los cambios en la inflación a esar negaivamene correlacionado con los cambios en la volailidad de la inflación La exisencia de cosos fijos financieros y de operación, proporciona una explicación parcial a ese fenómeno Esos modelos inenan medir el efeco leverage que caraceriza el mercado de valores: las variables son más voláiles ane shocks negaivos que ane shocks posiivos Las dos especificaciones más uilizadas son las siguienes: 71 TARCH (Zakaian, Glosen, Jaganahan y Runkle, 1993) Generalmene se observa a menudo que los movimienos descendenes en el mercado son seguidos por las volailidades más alas que los movimienos ascendenes de la misma magniud Para responder de ese fenómeno, Engle y Ng (1993) describen una Curva de Impaco de Noicias asimérica con la forma siguiene: Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 19

23 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Figura Nº1 Volailidad Las noicias Los modelos TARCH o Threshold ARCH se inrodujeron independienemene por Zakoian (1990) y Glosen, Jaganahan, y Runkle (1993) Ese modelo consise en una especificación cuadráica de la asimería de la forma: Y= X γ + Var(y) d Donde: d -1 1 si (Malas noicias) d -1 0 dom -1 0 Donde es el error es la noicia Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 0

24 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM Nóese que las buenas noicias ienen un impaco 1, mienras que las malas ienen uno 1+ Por ano si 0 se confirma el efeco leverage; si 0 no hay leverage sino sólo asimería Para especificaciones de mayor orden del modelo TARCH, se esima de la siguiene forma: q p 0 i -i -1d -1-1 i1 j1 35 En realidad es como si uviéramos dos modelos: q p 0 i -i -1 i1 j1 36 Buenas Noicias q p 0 i -i( 1 ) -1-1 i j1 37 Malas Noicias Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 1

25 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM 7 LOS MODELOS GARCH EXPONENCIALES (EGARCH (NELSON, 1991)) A parir de la esrucura de varianza propuesa por Engle (198) y uilizado por Bollersev (1986), Nelson (1991) propuso el siguiene modelo de evolución para la cual la varianza condicional de es una especificación logarímica de la asimería, de la forma: log X X e log(h )=log log Por lo que el efeco asimérico sería exponencial anes que cuadráico El efeco leverage se produce siempre que <0 En ese ipo de modelos los efecos se originan en los logarimos Donde: v h y iid v 1 v N(0,1) 41 Si 0 v, el modelo de Nelson implica que una desviación de de su valor esperado, hace que la varianza de sea más grande que si 0, una idea similar a la considerada en los modelos GARCH Una imporane venaja de ese modelo Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael

26 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM es que el parámero permie que el efeco anerior sea asimérico; eso es, si 0 una sorpresa o news posiiva v volailidad que una sorpresa negaiva, y si 0 iene el mismo efeco sobre la 1 0, enonces una sorpresa posiiva incremena la volailidad en menos de lo que hace una sorpresa negaiva, y si 1, una sorpresa posiiva reduce la volailidad, mienras que una sorpresa negaiva la incremena log(h )=log log Varias invesigaciones ha demosrado que la volailidad de las renabilidades de acivos financieros iende a crecer siguiendo la evolución de noicias posiivas y negaivas Ese fenómeno, conocido como predicción asimérica de segundos momenos se a verificado ano para acivos individuales como para índices de mercado De esa evidencia exisen razones para esperar que ales efecos aparezcan ambién en los Beas condicionales Específicamene, Braun, Nelson y Sunier (1995) sugieren una meodología para la esimación de los Beas condicionales basada en la versión bivariada del ARCH exponencial (EGARCH), permiiendo de esa manera la posibilidad de que los reornos posiivos y negaivos afecen a los Beas en forma diferene 1 El rol del apalancamieno operaivo y financiero Si el valor de una empresa en deuda cae, su nivel de apalancamieno se vería incremenando con respeco al parimonio, causando que la volailidad asociada a la renabilidad parimonial aumene Sin embargo, Black (1976), Chrisie(198) y Schwer(1985) demosraron Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 3

27 Serie Apunes de Clase ΩΒΓ N 06 Ocubre del 014 FCE / UNMSM que el apalancamieno operaivo y financiero no son suficienes para explicar las predicción asimérica de segundos momenos 1 Bibliografía Aragonés González, J, & Blanco Viñas, C (1996) Esimación de la volailidad condicional en el mercado de divisas con modelos de la familia GARCH Universidad Compluense de Madrid Obenido de hp://wwwaedemvirualcom/ariculos/iedee/v0/03043pdf Aranda, R (00) Modelos de volailidad especificación, esimación, y prueba de hipóesis Arce, R (1998) Inroducción a los Modelos Auorregresivos con Heerocedasicidad Condicional (ARCH) Insiuo Klein Obenido de hp://wwwuames/oroscenros/klein/docras/docra9806pdf Belran Barco, A (00) Economería de Series de Tiempo No Obenido de hp://economeriaiifileswordpresscom/010/01/belranpdf Casas Monsegny, M, & Cepeda Cuervo, E (007) Modelos ARCH, GARCH y EGARCH: Aplicaciones a series financieras Universidad de los Andes Obenido de hp://wwwscieloorgco/pdf/ceco/v7n48/v7n48a11pdf Modelos de Heerocedasicidad Condicional Auorregresiva Busamane Romaní, Rafael 4