UNIDAD III: VECTORES AUTOREGRESIVOS (MODELOS VAR) DR. ROGER ALEJANDRO BANEGAS RIVERO, PH.D.

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1 UNIDAD III: VECTORES AUTOREGRESIVOS (MODELOS VAR) DR. ROGER ALEJANDRO BANEGAS RIVERO, PH.D. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

2 Modelos de Vecores Auoregresivos (VAR) Modelos auoregresivos es una propuesa generalizada por Sims (980). Un modelo VAR es en escencia un sisema de modelos de regresión con variables predeerminadas. Ej. Exisen más de una variable dependiene. El caso más simple es un VAR bivariado: u 0 k k k k u 0 k k k k Donde u i esá iid con E(u i )=0, i=,; E(u u )=0. Ese análisis se puede exender a un modelo VAR(g), de al forma que exisen g variables endógenas en g ecuaciones. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

3 Modelos de Vecores Auoregresivos (VAR) Noación concepos Un aspeco imporane de modelos VARs es la abreviación de su noación. Por ejemplo, considere que exise un vecor de variable endógenas con un rezago p=. u Se reescribe como: 0 u 0 o 0 0 u u de una manera más compaca se rescribe como VAR(p) o VAR(): = u g g gg g g Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

4 Modelos de Vecores Auoregresivos (VAR) Noación concepos (con d) Ese modelo se puede exernder en p rezagos para cada variable incluída en cada ecuación: = p -p + u g g gg g gg g gg g g Se puede exender ese caso para un modelo con variables en diferencias (coro plazo) relaciones de coinegración (largo plazo): el llamado vecor con correcor de errores (VECM). Los modelos VAR esán específicados con variables esacionarias. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

5 Modelos VAR comparado con ecuaciones esrucurales Venajas de los modelos VAR - No necesia especificar cuales son endógenas o exógenas: odas son endógenas. - Tiene maores venajes que los modelos ARIMA: pueden inervenir oras variables exógenas. - Se asume que no exisen efecos simuláneos: se puede aplicar de forma separada MCO para cada ecuación. - Los pronósicos de modelos VAR son frecuenemene mejores que los modelos esrucurales. Problemas con modelos VAR - Modelos VARs son aéoricos (al igual que los modelos ARIMA) - Cómo se decide el amaño ópimo del rezago? - Muchos parámeros! Si se ienen g ecuaciones para g variables se ienen p rezagos en cada ecuación, se iene que esimar (g+ pg ) parámeros. e.d. g=3, p=3, nùmero de parámeros = Se debe asegurar que odos los componenes VAR son esacionarios? - Còmo se inerprean los coeficienes? Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

6 Escogiendo el amaño ópimo de rezago para un VAR enfoques posibles: resricciones enre ecuaciones crierios de informaciòn. Resricciones enre ecuaciones. En el espírio de modelos VAR(irresricro), cada ecuación debe ener el mismo amaño de rezago. Suponga un modelo bivariado VAR(8) que se esima con base en 8 rezagos para cada ecuación, se quiere examinar que 4 de 8 son cero de forma conjuna. Eso se realiza mediane la razón de verosimiliud (LR) Se denoa una mariz residual de varianza - covarianza(dado por uˆ uˆ /T), como ˆ..La razón de verosimiliud se prueba por: LR T log ˆ r log ˆ u Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

7 Escogiendo el amaño ópimo de rezago para un VAR (con d) Donde ˆ r es la mariz residual de varianza-covarianza resrica (4 rezagos), ˆ u es la mariz residual de varianza-covarianza irresrica (8 rezagos) T es el amaño de la muesra. La prueba esadísica esá asinóicamene disribuida con una con grados de liberad igual al número oal de resricciones.. En el modelo VAR se esán Resringiendo 4 rezagos para dos variables en cada una de las dos ecuaciones: = un oal de 4 * * = 6 resricciones. En el caso general se ienen un VAR con g ecuaciones, se quiere imponer la resricción que q rezagos son iguales a cero; en consecuencia, se endría g q resricciones de forma conjuna. Desvenajas: conduciendo la prueba LR es ediosa requiere disribución normal en los residuos. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

8 Crierios de información para el amaño del rezago VAR Se aplican versiones mulivariadas de crierios de información, lo cual se puede definir a ravés de: MAIC ln ˆ k / T ln ˆ k MSBIC ln(t) T ˆ k MHQIC ln ln(ln(t)) T k es el número oal de regresores en odas las ecuaciones, que será igual a g k + g para g ecuaciones, cada uno con k rezagos de las variables g, más ún ermino consane en cada ecuación. Esos valores se consruen para 0,, rezagos (se deermina un número máximo rezago preesablecido k ). Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

9 Modelos VAR inclue érminos conemporáneos? Si se asume un VAR de la forma: Qué sucede si se añaden érminos simuláneos o conemporáneos? u Se puede escribir como: u 0 u 0 0 u Esa es la forma primiiva del modelo VAR. 0 u u Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

10 VAR forma primiiva vs. VAR forma esándar Se puede ellevar a la pare izquierda: o B = u 0 0 u u Se puede muliplicar a ambos lados por B -, lo cual implica: o = B B B - u = A 0 + A - + e Esa es la forma esándar VAR, que se puede esimar mediane MCO. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

11 Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008 Significancia en bloque prueba de causalidad Un modelo VAR inclue varios rezagos de las variables, es díficil disinguir cual es significaiva cuál no. Para ilusración considere un modelo bivarido VAR(3): Ese VAR se puede expresar a ravés de ecuaciones individuales: Se esá ineresado en las pruebas de hipóesis en una forma maricial. u u u u

12 Significancia en bloque prueba de causalidad(con d) Hpohesis Implied Resricion. Lags of do no explain curren = 0 and = 0 and = 0. Lags of do no explain curren = 0 and = 0 and = 0 3. Lags of do no explain curren = 0 and = 0 and = 0 4. Lags of do no explain curren = 0 and = 0 and = 0 Se puede aplicar la prueba F-es para cada ecuación. Lo anerior es la llamada Causalidad de Granger. La causalidad de Granger busca las siguienes respuesas Los cambios en causan cambios en? Si causa a, los rezagos de deberían ser signficaivos en. En ese caso, se dice que causa Granger. Si causa, los rezagos de deberían ser significaivos para. Si ambos rezagos son significaivos, se dice que exise una causalidad bidireccional Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

13 Funciones de impulso-respuesa Los modelos VAR son díficiles de inerprear: una solución es consruir funciones de impulso-respuesa descomposición de varianza Las funciones de impulso-respuesa explican la respuesa de cada variable dependiene del VAR a un shock en el érmino de error. Un shock único es aplicado a cada variable dependiene del modelo VAR. Considere un modelo bivariado VAR(): u 0 u 0 Un cambio en u cambiará inmediaameene, cambiará ambién durane el período siguiene. Se puede examinar cuáno durará el impaco del shock en cada ecuación sobre odas las variables del sisema. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

14 Descomposición de la varianza La descomposición de varianza ofrece una manera diferene de examinar la dinámica VAR. Proporciona información de cambios en la variable dependiene debido a sus propios schoks versus shocks de oras variables. Sinónimos de shocks: choques, innovaciones, perurbaciones o impulsos. Lo anerior se consigue al deerminar que ano de los errores pronósicados de la varianza, en s-pasos hacia adelane, es explicada por las innovaciones de cada variable incluída en el sisema VAR: La descomposición de varianza brinda información acerca de la imporancia realaiva de cada shock enre las variables del modelo VAR. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

15 Funciones de impulso-respuesa la descomposición de varianza La ordenación de las variables Para realizar funciones de impulso-respuesa descomposición de la varianza, el orden en la ordenación de las variables es imporane. Desde que los signos de los coeficienes pueden ser posivos o negaivos, esadísicamene significaivos o no, la inerpreación de modelos VAR es díficil: cómo reacciona una variable frene a cambios, innovaciones o choques de oras variables? Se uiliza el análisis de impulso-respuesa en s-pasos hacia adelane. En la ordenación de impulso-respuesa Cholesk, se asume que las primera variable es exógena las que siguien son endógenas. La realización de impulso-respuesa mediane una específicación generalizada la ordenación de las variables no influe. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008

16 Funciones de impulso-respuesa la descomposición de varianza La ordenación de las variables Lo anerior se basa en que los errores del modelo VAR no esán relacionados. Sin embargo, lo anerior no es ciero. Los errores esán frecuenemene relacionados: ienen un mismo componene.. Lo que se iene que hacer es orogonalizar las innovaciones. En un VAR bivariado, ese problema se puede aribuir a parones comunes en el modelo VAR. En el caso más general, la oroganilización es más compleja pero la inerpreación es la misma. Inroducor Economerics for Finance Chris Brooks 008