Análisis estocástico de series temporales

Transcripción

1 Análisis esocásico de series emporales Ernes Pons Análisis esocásico de Series Temporales

2 Moivación Ejemplos /2/89 29/2/90 29/2/9 29/2/92 29/2/93 29/2/94 29/2/95 29/2/96 29/2/97 29/2/98 29/2/99 29/2/00 29/2/0 29/2/02 29/2/03 Número de pasajeros en líneas aéreas Rendimienos del IBEX35 Queremos aprovechar las herramienas esadísicas para: a)predecir valores fuuros. b)con un mejor conocimieno de las propiedades de la predicción (varianza error, inervalos de confianza, ec..). c)seleccionar la mejor predicción. d)disponer de herramienas para ir mejorando la predicción. Análisis esocásico de Series Temporales

3 Análisis esocásico de series emporales Tres niveles de aplicación: Modelos univarianes Se esudia una sola variable usando su evolución hisórica como información para predecir su evolución fuura. Modelos de función de ransferencia Se esudia la relación enre una variable oupu y un conjuno de variables explicaivas (inpus). Se permie que sean los daos los que decidan la dinámica del modelo, es decir, cómo afeca cada inpu al oupu y además, el error de esos modelos no iene por qué cumplir las hipóesis radicionales (media nula, varianza consane y ausencia de auocorrelación). Modelos mulivarianes Se esudian las relaciones dinámicas enre dos o más variables y esas relaciones no ienen por qué ir en una sola dirección. Por ejemplo, las venas de una empresa pueden esar influidas por los gasos en publicidad, pero a su vez, las venas pueden influir en esos gasos. Análisis esocásico de Series Temporales

4 Análisis esocásico de series emporales Caracerísicas de ese enfoque Se preende enconrar un modelo escueo, sencillo (con pocos parámeros) que pueda reproducir la inercia (auocorrelación) observada en muchas series reales. Esa meodología funciona de un modo ieraivo a la hora de consruir modelos. Las eapas de ese proceso son: (a) Idenificación del modelo. (b) Esimación del modelo idenificado. (c) Diagnosis del modelo esimado. (d) Uilización del modelo Análisis esocásico de Series Temporales

5 . Procesos esocásicos Definición : El operador reardo, B, es un operador al que aplicado a una variable emporal la rearda, es decir, By =y -. Propiedades: En general, B y =y -. Cuando se aplica a una consane, Bδ=δ. Definición 2: El operador diferencia regular es un operador al que aplicado a una variable emporal la ransforma de la siguiene forma: y = B) y = y y ( Propiedades: En general, y = ( B) y Análisis esocásico de Series Temporales

6 . Procesos esocásicos Definición 3: El operador diferencia esacional es un operador al que aplicado a una variable emporal la ransforma de la siguiene forma: s Observaciones: y = ( B ) y s = y y s a) y y y b) s y = y ( + B + + B s ) Análisis esocásico de Series Temporales

7 . Procesos esocásicos Definición 4: Definimos un proceso esocásico como una sucesión infinia de variables aleaorias, cada una de ellas referida a un insane de iempo y ordenadas cronológicamene: y, = y, y, y.. Definición 5: { } { } 2 3 Definimos una serie emporal como una realización finia (de amaño uno) de unl proceso esocásico: T { y} { y y y y } =, 2, 3, = T Análisis esocásico de Series Temporales

8 Recordaorio sobre eoría de la probabilidad Ω = { ω} Espacio muesral:, el conjuno de posibles resulados de un experimeno aleaorio ω Ω Resulado:, un elemeno cualquiera del Espacio Muesral E Ω Suceso:, un subconjuno del Espacio Muesral F = { E : E Ω} σ-álgebra:, colección de sucesss que deseamos esudiar Z : Ω S Variable aleaoria: una función del Espacio Muesral al conjuno de esados S Conjuno de Esados: S, es el espacio que coniene odos los posibles valore de una variable aleaoria. Las elecciones más comunes son los números naurales N, los reales R, vecores de dimensión R, los reales posiivos R +, ec. P : F [0,] Probabilidad:, función que cumple las res reglas básicas esudiadas µ : B [0,], B { A : A R} Disribución: donde es un espacio de Borel (o espacio de mesura) Análisis esocásico de Series Temporales

9 Recordaorio sobre eoría de la probabilidad El vecor de variables aleaorias: Z= (Z, Z 2,, Z ) es un vecor de dimensión donde cada componene es una variable aleaoria La sucesión de variables aleaorias: Z= (Z, Z 2,, Z n ) es una sucesión de n variables aleaorias Si inerpreamos =,, T como momenos en la línea emporal, Z puede inerprearse como el resulado de un experimeno aleaorio que se repie en cada momeno del iempo. Un aspeco diferene, en relación a la siuación en que sólo consideramos una variable aleaoria es que ahora podemos analizar la esrucura de dependencias denro del vecor de variables aleaorias Función de disribución F Z de Z: Es la colección de probabilidades: F Z (z) = P(Z z,,z n z n ) = P({ ω: Z ( ω) z,,z n ( ω) z n }) Análisis esocásico de Series Temporales

10 Recordaorio sobre eoría de la probabilidad En definiiva, un proceso esocásico es una sucesión de variables aleaoria indiciadas según el iempo y definidas en un espacio muesral Ω Supongamos un proceso esocásico { y, T} = { y ( ω), T, ω Ω} () Si fijamos enemos: Z (ω), Z :Ω R es una variable aleaòria. (2) Si fijamos ω enemos yω : T R es una realización o rayecoria del PE A la sucesión de variables aleaorias la denominamos proceso esocásico Una realización concrea del proceso esocásico es una serie emporal Análisis esocásico de Series Temporales

11 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Idea inuiiva : De la misma manera en que en la inferencia esadísica es habiual basarnos en la hipóesis de que enemos variables aleaorias i.i.d. (independienes e idénicamene disribuidas), en el análisis de series emporales vamos a basarnos en dos hipóesis que ienen una función equivalene : Esacionariedad (susiuye a la hipóesis de disribución idénica) Ergodicidad (susiuye a la hipóesis de independencia) Análisis esocásico de Series Temporales

12 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Definición 6: Un proceso esocásico es de segundo orden si para cualquiera de las variables aleaorias se cumple 2 E y <, ( ) Esa propiedad garaniza que podemos caracerizar un serie emporal a ravés de los dos primeros momenos de la función de disribución del proceso esocásico, es decir, su vecor de medias y mariz de varianzas y covarianzas: [ ( ) ( ) ( )] E y E y2 E y T var( y) cov( yy2) cov( yyt ) cov( y2y) var( y2) cov( y2yt ) cov( yty) cov( yty2) var( yt) Análisis esocásico de Series Temporales

13 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Definiciones 7-0: Para un proceso esocásico de segundo orden podemos definir varias funciones: La función media: µ = Ey ( ), La función varianza: La función auocovarianza: 2 σ = var( y ), γ s, = E[( y µ )( ys µ s)],, s La función auocorrelación: s, E[( y µ )( ys µ s )] =, s, 2 2 σσ s Análisis esocásico de Series Temporales

14 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Definición : Un proceso esocásico es esacionario en senido esrico si al realizar un mismo desplazamieno en el iempo de odas las variables aleaorias la disribución no varia, es decir para cualquier,, 2, s : Definición 2: Fy (, y, y, y ) = Fy (, y, y, y ) s 2 3 Un proceso esocásico es esacionario en senido débil si se cumplen las siguienes condiciones:, : Ey ( ) = µ 2 2 E[( y E( y)) ] = σ E[( y E( y ))( y E( y ))] = γ s Análisis esocásico de Series Temporales

15 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Idea inuiiva : Nuesros supuesos habiuales en el análisis aplicado de series emporales serán los siguienes: Esacionariedad (débil): La media y la varianza de las variables aleaorias son consanes y las auocovarianzas enre dos variables aleaorias solo dependen de la disancia emporal que las separa Ergodicidad. Hipóesis écnica para poder realizar esimaciones. Normalidad: El proceso esocásico generador de los daos ienen una función de disribución normal. Linealidad: El valor de cada variable aleaoria depende de forma lineal de los valores del reso de variables aleaorias del proceso esocásico (o de oros procesos esocásicos). Análisis esocásico de Series Temporales

16 2. Concepos de esacionariedad y ergodicidad Para realizar inferencia necesiaremos un supueso adicional que no analizaremos en dealle: Ergodicidad (condiciones suficienes) Un proceso esocásico esacionario en senido débil es ergódico respeco de la media cuando se cumple la siguiene propiedad: T y µ T T = Un proceso esocásico esacionario en senido débil es ergódico respeco de la varianza cuando se cumple la siguiene propiedad: T T = ( y µ )( y µ ) γ + T Análisis esocásico de Series Temporales

17 3. Funciones de auocovarianza y auocorrelación Definición 3: Para un proceso esocásico esacionario en senido débil se define la función de auocovarianza como: Propiedades: γ = E[( y µ )( y µ )], ) γ 0 0 2) γ =, γ 3) γ γ n n 4) a a γ i= j= i 0 j ( i j) 0, ( a, an ) Análisis esocásico de Series Temporales

18 3. Funciones de auocovarianza y auocorrelación Debemos observar que gracias a la hipóesis de esacionariedad débil el vecor de medias y la mariz de varianzas y covarianzas de una serie emporal de T observaciones ahora depende sólo de T+ parámeros: γ γ γ γ 0 2 T γ γ γ γ 0 T 2 EY ( ) = µ var( Y) γ γ γ γ Σ= = 2 0 T 3 γt γt γt γ Análisis esocásico de Series Temporales

19 3. Funciones de auocovarianza y auocorrelación Definición 4: Para un proceso esocásico esacionario en senido débil se define la función de auocorrelación como: Propiedades: γ =, γ 0 ) 0 = 2) = Ζ, 3), Ζ n n 4) a a i= j= i j ( i j) 0, ( a, an ) Análisis esocásico de Series Temporales

20 Análisis esocásico de Series Temporales Debemos observar que gracias a la hipóesis de esacionariedad débil la mariz de correlaciones de una serie emporal de T observaciones ahora depende sólo de T- parámeros: 3. Funciones de auocovarianza y auocorrelación T T T T T T

21 3. Funciones de auocovarianza y auocorrelación Definición 5: Para un proceso esocásico esacionario en senido débil se define la función de auocorrelación parcial como: α = corr( y, y y,, y + ) Ζ Observación: A parir de los coeficienes de la función de auocorrelación pueden calcularse los coeficienes de la función de auocorrelación parcial. Es suficiene con resolver el siguiene sisema de ecuaciones y omar α = : α 2 2 α α α 0 2 = Análisis esocásico de Series Temporales

22 4. Funciones de auocov. y auocorr. muesrales Observación: Para odos los concepos del aparado anerior, aplicados a procesos esocásicos, pueden definirse los concepos equivalenes a nivel muesral para cualquier serie emporal. En emas poseriores analizaremos sus propiedades como esimadores. Definición 6: Para una serie emporal Y,Y 2,,Y T se define la función de auocovarianza muesral como: γˆ = T T = + ( y y)( y y) Análisis esocásico de Series Temporales

23 4. Funciones de auocov. y auocorr. muesrales Definición 7: Para una serie emporal Y,Y 2,,Y T se define la función de auocorrelación muesral como: Definición 8: ˆ ˆ γ = Ζ γ ˆ0 Para una serie emporal Y,Y 2,,Y T se define la función de auocorrelación parcial muesral como la sucesión ˆ α ˆ ˆ ˆ 0, α, α2,, α, donde ˆ0 α = y obiene omando ˆ α = ˆ de la solución del siguiene sisema de ecuaciones: α ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ α ˆ α ˆ α 0 ˆ ˆ 2 = ˆ Análisis esocásico de Series Temporales

24 5. Ruido blanco y camino aleaorio Definición 9: { } Diremos que un proceso esocásico ε, Ζ es un ruido blanco (whie noise) cuando: E(ε ) = 0 Ζ var( ε ) 2 = σ Ζ ε cov( ε, ε ) = s Ζ s 0 Habiualmene usaremos la siguiene noación abreviada: ε ~ WN o ε ~ WN(0, Podemos comprobar que se raa de un proceso esocásico de segundo orden esacionario en senido débil. 2 σ ε ) Análisis esocásico de Series Temporales

25 5. Ruido blanco y camino aleaorio Definición 20: { } Diremos que un proceso esocásico y, Ζ es un camino aleaorio (random wal) cuando y y = ε es ruido blanco. { } En ese caso podemos comprobar como y, Ζ no es esacionario en senido débil. Análisis esocásico de Series Temporales