FIABILIDAD (I): CONCEPTOS BÁSICOS

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1 Concepos básicos de Fiabilidad FIABILIDAD (I): CONCEPTOS BÁSICOS Auores: Ángel A. Juan Rafael García Marín RELACIÓN CON OTROS MATH-BLOCS Ese mah-block forma pare de una serie de 8 documenos relacionados odos ellos con la Fiabilidad de componenes desde un puno de visa esadísico: Concepos Básicos (I). Idenificación y descripción gráfica de los daos (II). Análisis paramérico de los iempos de fallo (III). Análisis no paramérico de los iempos de fallo (IV). Comparación no paramérica de muesras (V). Tess de vida acelerada (VI). Modelos de regresión para observaciones censuradas (VII). Análisis Probi (Éxio / fracaso) (VIII). MAPA CONCEPTUAL Función de Supervivencia y Tasa de Fallos Tabla de Superv. Fiabilidad (I): Concepos Básicos Exponencial Disribuciones habiuales en fiabilidad Weibull Lognormal Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

2 Concepos básicos de Fiabilidad INTRODUCCIÓN Muchas de las écnicas que se presenan a lo largo de ese rabajo, en especial las no paraméricas, fueron inicialmene desarrolladas para su uso en esudios médicos y biológicos bajo el nombre genérico de análisis de supervivencia (comparación de diferenes raamienos médicos, deerminación de los facores que inervienen en la supervivencia de los peces de un río, ec.). En la acualidad, sin embargo, la aplicación de dichas écnicas, en especial las paraméricas, se ha exendido a oras áreas como la económica o la indusrial bajo el nombre de análisis de iempos de fallo (esablecimieno de períodos de garanía de un produco, diseño de planes de manenimieno prevenivo, ec.). La fiabilidad de un disposiivo (componene o sisema), someido a unas condiciones de rabajo concreas, es la probabilidad de que ése funcione correcamene ( sobreviva sin fallar) durane un deerminado período de iempo. Así pues, la fiabilidad consiuye un aspeco fundamenal de la calidad de odo disposiivo. Por al moivo, resula especialmene ineresane la cuanificación de dicha fiabilidad, de forma que sea posible hacer esimaciones sobre la vida úil del produco. Así, por ejemplo, en el caso de una avionea monomoor, será de gran conveniencia conocer la probabilidad de ése falle en diferenes eapas de su vida (ras 500 horas de funcionamieno, 800 horas de funcionamieno, ec.). El obener una buena esimación de la fiabilidad del moor, posibiliará la oma de decisiones racionales acerca de cuándo conviene revisarlo o cambiarlo por oro nuevo. Hay una caracerísica común a los daos que aparecen en la mayoría de los esudios sobre la fiabilidad de un disposiivo, y es el hecho de que conengan observaciones censuradas: supongamos que se lleva a cabo una invesigación, de duración predeerminada, para analizar la efecividad de un nuevo méodo de producción de bombillas. La variable de inerés en ese caso sería el número de días que cada una de las bombillas sobrevive (funciona correcamene, sin fallos). A primera visa, parecería sensao uilizar los méodos esadísicos radicionales (ano paraméricos como no paraméricos) con objeo de describir el iempo medio de supervivencia y comparar el nuevo méodo de producción con los méodos aneriores. Sin embargo, al final de la invesigación, es probable que siga habiendo bombillas que funcionen correcamene, y el invesigador no será capaz de esimar con precisión cuáno iempo más permanecerán sin fallar. Para rabajar con ese ipo de daos con información parcial no servirán pues los méodos radicionales, sino que serán necesarias écnicas específicas como las que presenamos en ese rabajo. El mah-block comienza con la definición de res concepos esadísicos básicos: función de fiabilidad, vida media de un disposiivo, y asa de fallo. Se clasifican después los disinos ipos de observaciones censuradas, y se comena el uso de los ess Chi-cuadrado para realizar conrases de hipóesis. El documeno concluye con la presenación de las ablas de supervivencia (un méodo clásico, no paramérico, que permie realizar esimaciones sobre los iempos de fallo), y de algunas de las disribuciones eóricas que más se uilizan en el análisis de la fiabilidad como son la exponencial, la Weibull, y la lognormal. Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

3 Concepos básicos de Fiabilidad FUNCIÓN DE FIABILIDAD, VIDA MEDIA Y TASA DE FALLO Noación: en lo que sigue, se denoará por T a la variable aleaoria coninua que describe los iempos de fallo de un deerminado disposiivo, i.e.: T = iempo ranscurrido hasa que se produce el fallo". Denoando por f() a la función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de T, y por F() a su función de disribución (f.d.), se cumplirá: b P ( a T b) = f ( ) d F( ) = P( T ) = a Dado 0 < p <, por p se denoará al cuanil p de F(), i.e., p será el menor insane emporal al que F() = P( T ) p. La función de fiabilidad ) o función de supervivencia S(), es la complemenaria de la f.d. de T, i.e., nos deermina la probabilidad de que el disposiivo sobreviva al insane (esa función deermina la proporción de disposiivos iniciales que seguirán funcionando correcamene en el insane ): S ( ) ) = F( ) = P( T > ) Se llama vida media o iempo medio hasa el fallo (Mean Time To Failure) de un disposiivo a la esperanza de la v.a. T, i.e., la vida media deermina el iempo de duración esperada de un disposiivo: 0 f ( u) du df( ) f ( ) = d MTTF = E [] T = 0 f ( ) d Cuando se consideren disposiivos reparables (que puedan seguir funcionando ras un fallo), se hablará de iempo medio enre fallos (MTBF). Se define la asa de fallo media en el inervalo (, ) como: h(, ) ) ) = ( ) ) Observar que ) ) represena la proporción de disposiivos oales que, habiendo sobrevivido al insane, han fallado en el inervalo (, ). Al dividir esa diferencia por ) se obiene la proporción de disposiivos supervivienes a que han fallado en (, ), i.e.: ) ) ) es la probabilidad condicional de que un disposiivo que haya sobrevivido al insane falle en el inervalo (, ). Finalmene, al dividir por la longiud del inervalo, obenemos la proporción anerior (su media) por unidad de iempo. Haciendo ender a, obenemos la llamada asa de fallo o asa de riesgo: h( ) ) lim ( ) = ) R ( ) F ( ) = = = ) ) ) f ( ) ) La asa de fallo puede pues inerprearse como la velocidad a la cual se producen los fallos, i.e.: es una medida de lo propenso que resula el disposiivo a fallar en función de su edad. Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

4 Concepos básicos de Fiabilidad En la mayoría de los disposiivos elecromecánicos, la función asa de fallo iene forma de bañera: cuando se inicia la vida de un aparao, la asa de fallo insanánea resula ser relaivamene ala (es lo que se denomina "moralidad infanil"); una vez que los componenes y pares elecromecánicas se han acoplado, la asa de fallo es relaivamene consane y baja (eapa de vida úil ); más adelane, ras un iempo de funcionamieno, la asa de fallo vuelve a incremenarse hasa que, finalmene, odos los disposiivos habrán fallado ( efeco envejecimieno ). PERÍODO INFANTIL T suele seguir aprox. una disrib. Weibull Tasa de fallo ETAPA VIDA ÚTIL T suele seguir una disrib. Exponencial o Weibull h() PERÍODO DE DESGASTE T suele seguir una disribución Weibull Así, por ejemplo, muchos auomóviles nuevos suelen presenar pequeños defecos de funcionamieno al poco de comprarse (elevada asa de fallos inicial). Una vez solvenados ales defecos, es de esperar que el vehículo proporcione un largo y complaciene período de funcionamieno (baja asa de fallos inermedia). Mas arde, conforme pasan los años, el auomóvil se vuelve más propenso a sufrir averías hasa que, finalmene, después de 5 o 0 años, prácicamene odos los vehículos esán inservibles (elevada asa de fallos final). Observar que, a parir de la úlima ecuación, es posible expresar ) como función de h(): df( ) f ( ) d d ) d ) h ( ) = = = - h( ) d = - ) ) ) d ) si ahora omamos inegrales a ambas pares: de donde: 0 d u) h u) du = du = - u) ( 0 0 [ log u) ] = -log ) R ( ) = e - h(u)du 0 Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

5 Concepos básicos de Fiabilidad OBSERVACIONES CENSURADAS Normalmene, los esudios de fiabilidad ienen una duración predeerminada, por lo que no odos los disposiivos analizados habrán fallado a su conclusión. Por ano, el invesigador sabrá que un ciero número de disposiivos han sobrevivido durane el período de iempo que ha durado el es, pero desconocerá el momeno exaco en que hubieran fallado si el esudio se hubiese prolongado de forma indefinida. Ese ipo de daos se llaman observaciones censuradas. Las observaciones de censura por iempo o de ipo I aparecen al finalizar un es de duración predeerminada: de los disposiivos supervivienes sólo se sabe que no han fallado hasa ese momeno. En ese caso, el iempo de duración del es es fijo, mienras que el número de producos que fallan es una v.a. Por conra, las observaciones de censura por fallos o de ipo II aparecen cuando el es coninúa hasa que una proporción predeerminada de disposiivos hayan fallado. Ahora, el número de producos que fallan es fijo, siendo el iempo de duración del es una v.a. CENSURA TIPO I T 6 5 T 5 0 T 0 T 0 CENSURA TIPO II T 6 5 T 5 T T T El Disposiivo falla CENSURA A DERECHA CENSURA A IZQUIERDA Fallo observado Fallo NO observado En los gráficos aneriores muesran los dos ipos de censura: en el primero, el experimeno ermina cuando se llega al insane 0 ; en el segundo, el experimeno ermina cuando falla un deerminado porcenaje de disposiivos, en ese caso 5. Por ora pare, cuando la censura ocurre para un > 0 (siendo = 0 el insane en que se inicia el es de fiabilidad) esaremos ane lo que se conoce como censura a la derecha. Podría ocurrir ambién que la censura uviera lugar para < 0 (censura a la izquierda): por ejemplo, en una invesigación médica sobre el cáncer, se puede saber que el paciene ingresó en el hospial en una fecha deerminada (fecha de inicio del es), y que sobrevivió durane un inervalo emporal Proyeco e-mah 5 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

6 Concepos básicos de Fiabilidad definido; sin embargo, probablemene no se conocerá cuándo aparecieron por primera vez los sínomas de la enfermedad. Se suele hablar de censura por inervalos o arbiraria para referirse a observaciones que han sido censuradas ano a derecha como a izquierda (es decir, de ellas sólo sabemos que enran en la invesigación cuando ésa ya esaba inicializada y salen de la misma, sin haber fallado, anes de que finalice) CENSURA ARBITRARIA O POR INTERVALOS Fallo observado Fallo NO observado CENSURA SIMPLE CENSURA MÚLTIPLE Finalmene, se puede ener censura simple (si el experimeno finaliza en el mismo insane para odos los disposiivos observados), o censura múliple. Un ejemplo de esa úlima sería cuando los pacienes abandonan el hospial en insanes diferenes (bien por esar recuperados, bien por irse a oro cenro, ec.). INTERPRETACIÓN DE LOS TESTS CHI-CUADRADO χ En los próximos mah-blocks se usará un es χ para conrasar la bondad del ajuse propueso o para conrasar diferencias enre grupos. Dado que las hipóesis del es serán diferenes según el conexo en que esemos, ambién lo serán las conclusiones que se exraigan a parir del p-valor. Un p-valor es esadísicamene significaivo cuando sea menor o igual a una consane prefijada α. Si así ocurre, se rechazará la hipóesis nula H 0 en favor de la hipóesis alernaiva H. La consane α represena la probabilidad condicional de rechazar la hipóesis nula, a parir de las observaciones, en el supueso de que esa hipóesis sea ciera (eso se conoce como error de ipo I). Por al moivo, ineresa elegir un valor muy pequeño para α. Proyeco e-mah 6 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

7 Concepos básicos de Fiabilidad Habiualmene se oma α = 5, con lo cual sólo en 5 de cada 00 casos en los que H 0 sea ciera será rechazada. Si se preende ser aún más exigenes en cuano a las evidencias que se han de presenar para rechazar la hipóesis nula, se omará α = o bien α = 05. Observar, sin embargo que, si bien escogiendo un α diminuo resula más improbable un error de ipo I, ambién resulará más probable comeer un error de ipo II, i.e.: que la hipóesis nula sea acepada en las ocasiones en que ésa sea falsa. α = Pr(rechazar H 0 cuando H 0 ciera) Fijar α= 5 ó ó 05 según nivel de exigencia NO rechazar H 0 p-valor <= α? Rechazar H 0 Así, cuando se use un es χ para conrasar si las observaciones se pueden ajusar mediane una disribución exponencial (i.e., para conrasar si los daos obenidos podrían corresponder aproximadamene a una v.a. que siguiese dicha disribución), el es será: H 0 : Las observaciones corresponden (aproximadamene) a una disrib. Exponencial. H : Las observaciones NO corresponden a una disrib. Exponencial Obener aquí un p-valor significaivo implicará que la disribución uilizada no es buena para ajusar los daos. Si se recurre a un es χ serán: para conrasar posibles diferencias enre grupos muesrales, las hipóesis H0 : Todos los grupos son (aprox.) iguales H : Todos los grupos NO son iguales Un p-valor significaivo implicará acepar la exisencia de diferencias enre grupos. Finalmene, un es χ para deerminar la validez de un modelo de regresión será de la forma: H 0 : El modelo propueso NO es mejor que el modelo nulo (i.e.: odos los coeficienes son cero) H : El modelo propueso es significaivamene mejor que el nulo (i.e.: no odos los coeficienes Si el es resula significaivo, se endrá que al menos una de las variables explicaivas del modelo afeca al valor de la variable dependiene. Proyeco e-mah 7 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

8 Concepos básicos de Fiabilidad TABLA DE SUPERVIVENCIA o ACTUARIAL Uno de los méodos no paraméricos más clásicos y direcos para describir la fiabilidad de una muesra es la abla de supervivencia, la cual no es más que una abla de frecuencias mejorada y ampliada. A parir de ella es posible hacer una primera esimación sobre el comporamieno de la función de supervivencia S(), de la función de disribución F(), de la función de densidad f(), y de la asa de fallo h(). El análisis del siguiene ejemplo, consruido con ayuda de la hoja de cálculo Excel (ver archivo TablaSup.xls ), permiirá enender su funcionamieno: TABLA DE SUPERVIVENCIA (Life Table) Inpus: Inervalos, disposiivos enranes, disp. censurados, y disp. fallados. Noa: A fin de obener esimaciones razonables, el número de disposiivos observados habrá de ser mayor de 0. Disposiivos Esimaciones Inervalo Inicio In. Enranes Censurados En Riesgo Fallados Prob. Fallo Prob. Superv. ) f() h() ,0 9 0,76 0,67, ,6 0, 0,8667 0, ,7, ,977 0, ,09 0 8, ,9 0, ,5 5, ,90 0, ,8, ,90 0, ,8 9 8,5 0,5 0,767 0, ,55 6 5, ,909 0, ,9 5,5 0, 0,7778 0, ,7,0 0 0,500 0,7500 0, ,6 0,0 0 0,5000 0,5000 0, ,00 0,5 0, f.d.p. f() f.d. F() Probabilidad Probabilidad,00 0,80 0,60 0, Inervalo Inervalo Función de Supervivencia ) Tasa de Riesgo h() Probabilidad,00 0,80 0,60 0, Inervalo Tasa de Riesgo Inervalo Proyeco e-mah 8 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

9 Concepos básicos de Fiabilidad La disribución de los iempos de supervivencia (o iempos de fallo) se divide en un deerminado número de inervalos. Se denoará por ( i-, i ] al i-ésimo inervalo. Para cada inervalo se regisra el número de observaciones o disposiivos que han enrado en buen esado n i (enranes), el número de los que han fallado en él d i (fallados), y el número de observaciones perdidas o censuradas en él r i (censurados). A parir de esos daos, es posible calcular oros esadísicos adicionales que se describen a coninuación: Número de observaciones en riesgo n i : es el nº de observaciones que enró en el inervalo respecivo en buen esado, menos la miad del nº de observaciones perdidas o censuradas en dicho inervalo: r i ni = ni Probabilidad de fallo: para cada inervalo, es la proporción de observaciones en riesgo que fallan. En el caso de que un inervalo no regisre ningún fallo, se acosumbra a omar 0,5 en lugar de 0 a la hora de conabilizar el número de fallos (a fin de suavizar las funciones esimadas): d pˆ i i = n' i Probabilidad de supervivencia: es la proporción de observaciones en riesgo que sobreviven ( probabilidad de fallo): qˆ i = pˆ i Función de supervivencia: para cada inervalo, es la proporción de observaciones que han logrado llegar hasa él en buen esado. Se calcula muliplicando la proporción de supervivienes de odos los inervalos aneriores (se supone que los fallos en un inervalo son independienes de los aneriores): S ˆ i i = Sˆ( i ) = ˆ j j= ( p ) Función de densidad de probabilidad (f.d.p.): para cada inervalo, es una esimación de la probabilidad de fallo por unidad de iempo. Para calcularla, primero se halla la diferencia enre la proporción de disposiivos supervivienes al inicio del inervalo y la proporción de supervivienes al final del inervalo. El valor que obenido se dividirá por la longiud del inervalo: ˆ ˆ ˆ Si Si+ f i = i i Tasa de fallo o de riesgo: es la probabilidad, por unidad de iempo, de que un disposiivo que haya sobrevivido hasa el inicio del inervalo falle en él. Para hallarla, primero se calculará el cociene enre el nº de fallos (usando 0,5 cuando ése sea 0) y la longiud del inervalo. El resulado obenido se dividirá por la media enre el número de disposiivos enranes en dicho inervalo y el número de disposiivos enranes en el inervalo siguiene: h ˆ i di ( i i ) = ( ni + ni+ ) / A fin de obener esimaciones razonables de la función de supervivencia, de la función de densidad de probabilidad, y de la función asa de fallo, será necesario disponer de, como mínimo, 0 observaciones compleas (no censuradas). Proyeco e-mah 9 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

10 Concepos básicos de Fiabilidad DISTRIBUCIONES HABITUALES EN FIABILIDAD La abla de supervivencia proporciona una visión descripiva de cómo se disribuyen los iempos de fallo. Sin embargo, para poder realizar predicciones probabilísicas será necesario conocer cual es (aproximadamene) la disribución de la población que subyace ras las observaciones. Sea T la variable que represena los iempos de fallo de un deerminado disposiivo ( T > 0 ). El objeivo será conocer (si ello es posible) la función de disribución asociada a T, la cual será de la forma F( ; θ) = P( T ), siendo θ un vecor de parámeros. En general, la mayoría de disribuciones usadas en fiabilidad ienen, a lo sumo, res parámeros: Parámero de escala α: ese es el parámero que caraceriza a las disribuciones unipararaméricas. El parámero de escala define cuán dispersa se encuenra la disribución (en el caso de la disribución normal, el parámero de escala es la desviación ípica). Parámero de forma β: ese parámero define la forma de la disribución. Algunas disribuciones (como la exponencial o la normal) carecen de ese parámero pues ienen una forma predeerminada que nunca varía (en el caso de la normal, ésa iene siempre forma de campana). Parámero de localización γ: se usa para desplazar una disribución hacia un lado u oro. Eso significa que, dada una disribución cuyo dominio habiual sea [0, + ), la inclusión de un parámero de localización γ cambiará el dominio a [γ, + ). En el caso de la normal, el parámero de localización es la media. Se dice que una v.a. Y perenece a la familia localización-escala (locaion-scale) si su f.d. se puede expresar de la forma: µ F ( y; µ, σ) = P( Y y) = Φ y - σ donde Φ no depende de ningún parámero desconocido. En al caso, µ (-, + ) es el parámero de localización, y σ > 0 es el parámero de escala. Observar que Φ es la f.d. de la v.a. Z = (Y - µ)/σ. Muchas de las disribuciones más habiuales, o bien perenecen a esa familia o bien esán ínimamene relacionadas. Ejemplos de disribuciones que perenecen a esa familia son la normal, la logísica, y la de valores exremos: y µ σ Normal F(y; µ, σ) = Φ nor donde Φ nor es la f.d. de una N(0,) F(y; Logísica µ σ =, ) Φ y µ σ log is donde Φ logis (z) = exp(z) / ( + exp(z)) Se dice que una v.a. T perenece a la familia log-localización-escala si Y = log(t) es un miembro de la familia localización-escala. Ejemplos de disribuciones que perenecen a esa familia son la exponencial, la Weibull, la log-normal, y la log-logísica: log( ) LogNormal F( ; µ, σ) = Φnor σ log( ) Loglogísica F( ; µ, σ) = Φlogis σ µ µ log( ) µ Weibull F( ; µ, σ) = Φ ve donde Φ ve (z) = exp{-exp(z)} σ Proyeco e-mah 0 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

11 Concepos básicos de Fiabilidad Las disribuciones que más se emplean a la hora de modelar iempos de fallo, algunas de las cuales serán comenadas a coninuación, son la Weibull, la exponencial, la normal, la log-normal, la logísica, la log-logísica, y la de valores exremos. Disribución Exponencial: se uiliza para modelar el iempo ranscurrido enre dos sucesos aleaorios no muy frecuenes cuando la asa de ocurrencia, λ, se supone consane. En fiabilidad se usa para describir los iempos de fallo de un disposiivo durane su eapa de vida úil, en la cual la asa de fallo es (aproximadamene) consane, i.e.: h() = λ. Una asa de fallo consane significa que, para un disposiivo que no haya fallado con anerioridad, la probabilidad de fallar en el siguiene inervalo infiniesimal es independiene de la edad del disposiivo. La asa de fallo λ es el parámero que caraceriza a esa disribución. Ese valor es la inversa del iempo medio que ranscurre hasa el fallo (o enre dos fallos consecuivos, MTBF, si el disposiivo sigue funcionando), i.e.: α = MTTF = /λ. Observar que aquí α es el parámero de escala, ambién llamado vida caracerísica. La f.d.p. de una disribución exponencial es de la forma: f( ) = λ exp { λ } 0 < <, λ > 0 f.d.p. de una Exponencial f.d. de una Exponencial 0,5,0 lamda = 0,50 lamda = 0,50 f() 0,5 F() 0,5 lamda = 0,5 lamda = 0, Función de Supervivencia de una Exponencial Tasa de Riesgo de una Exponencial,0 0,5 lamda = 0,50 S() 0,5 lamda = 0,5 h() lamda = 0,50 0,5 lamda = 0, Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

12 Concepos básicos de Fiabilidad Una generalización de la disribución anerior sería la disribución exponencial bi-paramérica, cuya f.d.p. es de la forma: γ f( ; α, γ) = exp, α α donde α = /λ > 0 es el parámero de escala, y γ es el parámero de localización. Noar que cuando γ = 0 se obiene la disribución exponencial de un único parámero. Disribución de Weibull: Se ha comenado anes que la disribución exponencial es uilizada a menudo para modelar los iempos de fallo cuando la asa de riesgo es consane. Si, por el conrario, la probabilidad de fallo varía con el iempo resula más apropiada una Weibull (de hecho la exponencial puede verse como un caso paricular de la Weibull). La Weibull es an flexible que, eligiendo adecuadamene sus parámeros, permie describir las res eapas de la función asa de fallos (curva de la bañera). Esa disribución viene caracerizada por dos parámeros: α (escala) y β (forma). Su f.d.p. es: f() β = α α β β exp α 0 < <, α > 0, β > 0 Observar que cuando β =, basa con omar α = /λ para obener la f.d.p. de la disribución exponencial. f.d.p. f() Weibull para escala = 0 f.d. F() Weibull para escala = 0 0,5,0 forma = forma = forma = f() F() 0,5 forma = 5 forma = forma = Función Supervivencia Weibull para escala = 0 Tasa Riesgo h() Weibull para escala = 0,0 0, forma = 0, forma = ) 0,5 forma = forma = h() 0, forma = forma = 0, Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

13 Concepos básicos de Fiabilidad Disribución Lognormal: La f.d.p. de una disribución normal es no nula en odo el eje real (y no sólo en el semieje posiivo). Por ese moivo, el uso de la normal implicaría que el fallo puede producirse anes del insane = 0. Para eviar esa inconveniencia que presena la disribución normal, se puede uilizar en su lugar la disribución Log-normal. Se dice que una variable aleaoria T sigue una disribución Lognormal (base e), de parámeros γ (localización) y α (escala), cuando su logarimo neperiano Y = Log(T) se disribuye de forma normal con media γ y desviación ípica α. Inversamene, dada una v.a. Y N(π,σ), la variable aleaoria T = e Y seguirá una disribución Lognormal (base e) de parámeros γ = µ (localización) y α = σ (escala), cuya f.d.p. será: f ( ) = exp σ π σ ( ln( ) µ ) > 0 f.d.p. f() Lognormal para mu = 0 f.d. F() Lognormal para mu = 0,5,0 sigma = 0, sigma = 0,,0 sigma = f() 0,5 sigma = 0,5 sigma = F() 0,5 sigma = 0, Función Supervivencia Lognormal para mu = 0 Tasa Riesgo h() Lognormal para mu = 0,0 sigma = 0, sigma = 0, sigma = 0, ) 0,5 sigma = 0, sigma = h() sigma = Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

14 Concepos básicos de Fiabilidad BIBLIOGRAFÍA [] Arsenaul, J.E.; Robers, J.A.(980): Reliabiliy and mainainnabiliy of elecronic sysems. Compuer Science Press. [] Ascher, H.; Feingold, H. (98), Repairable sysems reliabiliy. Dekker. [] Barlow & Proshan (98). Saisical heory of reliabiliy and life esing. To begin wih. [] Breuer, M.A.; Friedman, A.D (976), Diagnosis and reliable design of digial sysems. Compuer Science Press. [5] García Muñoz R., Quiles Flor F (99), Fiabilidad y Tes de Sisemas. Depo Informáica Albacee, UCLM. [6] Sundararajan, C.R. (99), Guide o reliabiliy engineering. VNR. [7] Trivedi (98). Probabiliy and saisics wih reliabiliy, queueing and compuer science applicaions. Ed. Prenice Hall. [8] Warlea, J. (97), "Fiabilidad. Bases eóricas y prácicas". INTA. [9] Zacks (99). Inroducion o reliabiliy analysis. Ed. Springer Verlag. ENLACES [W] Desde la página de la empresa española ISDEFE podemos bajarnos dos libros de la serie azul de las monografias. El primero de ellos es Fiabilidad de Joel A. Nachlas. así como ambién el libro Manenibilidad de Jezdimir Knezzevic. Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)

15 Concepos básicos de Fiabilidad ambos son excelenes inroduciones al ema. [W] Anonio Ángel Blesa de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria ha elaborado un excelene Tuorial sobre fiabilidad. Proyeco e-mah 5 Financiado por la Secrearía de Esado de Educación y Universidades (MECD)