Modelación de la volatilidad

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1 Revisa Ingenierías Universidad de Medellín 5(9): julio-diciembre de 6 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café Fredy Ocaris Pérez Ramírez* Recibido: /7/6 Acepado: 7/9/6 RESUMEN En ese rabajo se presena una revisión del modelo GARCH (heeroscedasicidad condicional auorregresiva generalizada) y se dan algunas propiedades del proceso con sus demosraciones. Además, se presena una aplicación a los modelos ARIMA-GARCH, considerando el precio del café desde enero de hasa abril 7 de 6. De igual manera, se muesra el modelo de predicción más acerado para la esimar el precio y la volailidad esperada del café, con el objeivo de enconrar la mejor alernaiva a la hora de decidir en la vena o compra de ese produco en el fuuro, buscando ener la esraegia ideal a llevarse a cabo denro del negocio de un caficulor y lograr, de esa manera, una compeencia ideal a escala mundial. Palabras clave: GARCH, ARIMA, heeroscedasicidad, volailidad. ABSTRACT In his paper we can see a review or he GARCH model (heeroscedasiciy condiional auoregressive generalized) and i presens some of he properies of he process and is demonsraions. Also i presens he applicaion for he ARIMA-GARCH models, considering he price of he coffee from January - o April 7-6. The same way i shows he mos accurae predicion model o esimae he price and he expeced volailiy of he coffee, he arge is o find he bes choice o decide he sale and buy of his produc in he fuure, looing o find he ideal sraegy in he coffee business and o obain in his way an ideal compeiion in a worldwide level. Key words: GARCH, ARIMA, Heeroscedasiciy, Volailiy. * Maemáico de la Universidad de Anioquia, Magíser en Maemáicas Aplicadas de la Universidad EAFIT y Esudios de Especialización en Esadísica de la Universidad Nacional sede Medellín. Profesor de iempo compleo, Faculad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Financiera. Universidad de Medellín. foperez@udem.edu.co

2 46 Pérez e al. INTRODUCCIÓN La predicción de series de iempo en el mundo moderno se presena como una gran alernaiva que nos ayuda a diagnosicar la posible conduca presenada en los rendimienos de las series financieras, sirviendo de referencia para omar una acerada decisión a la hora de enfrenarse a diferenes alernaivas. La implemenación de modelos heeroscedásicos en el mercado financiero acual nos ayudan a idenificar con mayor cereza el posible comporamieno de un acivo a ravés del iempo. La prolongada siuación de un mercado de precios deprimidos y el exceso de ofera han modificado, de manera dramáica, las condiciones del negocio cafeero nacional y mundial, de igual forma el manejo de la caficulora colombiana durane varios años. La nueva visión sobre el fuuro del mercado cafeero resala la necesidad de idenificar y esablecer unos objeivos renovados y frescos que permian a la caficulora adaparse a los desafíos del nuevo enorno inernacional, ya que durane los úlimos años se han presenado crisis en la indusria cafeera debido a la disminución de los precios de producos básicos, a la sobreproducción mundial y a la inequidad en la disribución de los beneficios de su comercialización. De esa manera, en el siguiene rabajo reiraremos el comporamieno del precio del café durane las úlimas décadas, donde observaremos cómo ano precios inernos como exernos han presenado la misma endencia decreciene, eso debido a la dependencia esrecha que se iene con la evolución de los precios exernos, a pesar de que se encuenren regulados por la Federación Nacional de Cafeeros. Esa brecha, desde los años ochena, se hizo más grande, evidenciando una fuere presión de las políicas de esabilización de precios realizada por el gremio cafeero. Los facores fundamenales que influyen en la formación de los precios del café son la producción, el consumo y los movimienos de exisencias. Al mismo iempo, sin embargo, oros facores menos fundamenales enran ambién en juego en las acividades comerciales y se superponen a los facores principales para influenciar la evolución y la volailidad de los precios del café. En los cuaro años omados como daos hisóricos se dieron los siguienes aconecimienos: : los daos hisóricos comienza desde el de enero de. Para esa fecha la ofera de café mosraba cinco años consecuivos superando ampliamene el consumo, a pesar de darse en una época de crisis mundial; para muchos analisas, el año considerado como el más devasador en la hisoria del grano. Asimismo, la producción oal fue suficiene para aender la exporación y el consumo inerno. 3: el año comienza con una volailidad elevada proveniene del año anerior, pero en descenso hasa el mes de marzo donde empieza a manener una volailidad más consane comparada con los años aneriores; eniendo en cuena que esa presena elevaciones cuando el precio del café esá bajando y viceversa, se noa que la volailidad iene un comporamieno más calmado, maneniendo la misma endencia. Ese año se observó un descenso cercano a los millones de sacos frene a la producción del año anerior, algo que no se había dado desde hacía 5 años donde la ofera era inferior al consumo, dándose un resablecimieno de algún grado de equilibrio enre ofera y demanda generando una mejoría nominal en los precios. 4: el año comienza con alza en los precios del café, mosrando volailidades más bruscas, con un descenso mucho más rápido comparado con el año inmediaamene anerior en el que la ofera esaba por debajo de lo que se había venido presenando úlimamene como efeco de la reducción de la producción en Brasil; esa es la razón principal por la cual se da en el mercado un alza en los precios a Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

3 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 47 finales de ese período y principios del 4; ora razón es la inceridumbre climáica que afecó la producción en algunas zonas de ese país. El aumeno de los precios del café a parir del úlimo rimesre de 4 es paricularmene benéfico para los producores colombianos, gracias a los avances en producividad logrados en los úlimos años y a los cambios en la políica cafeera, mediane un incenivo por palo renovado equivalene a casi el % del valor. 5: vemos para ese año una coninuidad en el alza de los precios del grano para los primeros meses, sin embargo, a parir de mediados del mes de marzo comienza un leve descenso hasa el mes de julio donde hay una aceleración en su caída. La volailidad de los precios del grano y la debilidad del dólar realzan la imporancia de rabajar con clienes que cubran sus riesgos de mercado (que cierren precios de compra y vena de café de manera casi simulánea) y sus riesgos cambiarios (que engan financiación en dólares o uilicen derivados cambiarios). Se puede decir que los principales facores que conribuyen al alza de los precios en los úlimos años son los siguienes:. Especulación de fondos de inversión: buscando alernaivas diferenes al dólar y a las bajas asas de inerés.. Menor producción esimada en Brasil: clima adverso y susiución por culivo de soya en algunas regiones. 3. Consumo superior a la producción en aproximadamene 7 MM de sacos: el invenario mundial esaba esimado en 4 MM de sacos. 4. Relaiva escasez de cafés arábigos y abundancia de robusas. 6: el año comienza con un descenso después del buen precio alcanzado en el 5. En enero siguieron firmes los precios del café donde se inensificaron los cambios en la volailidad de los precios, debido principalmene a la gran acividad de los fondos de inversión en el mercado de fuuros de Nueva Yor. En marzo los precios del café descendieron ora vez ligeramene con respeco al nivel de febrero, como resulado de una serie de correcciones del mercado, aunque los facores fundamenales siguen siendo favorables a que se manenga una endencia firme. La volailidad de los precios, en cambio, disminuyó un poco en marzo. En el mes de abril, debido a la influencia del reroceso en los precios del peróleo y el índice de maerias primas, el precio del café uvo descenso Hoy en día la diplomacia cafeera ha permiido que los acores de café miren hacia la acual crisis cafeera, generando una conribución cafeera previsible de esimar y adapada a las nuevas circunsancias del mercado, además de mejorar su recaudo y consular los inereses de los perenecienes al negocio cafeero. Esas circunsancias han raído varios beneficios como la reducción de la volailidad en el presene y la consecución de recursos denro de la esabilidad financiera. En el caso de los precios del café, la volailidad esá muy influida por las condiciones de la ofera y la demanda. Para los producores de café, la volailidad se conviere en un problema preocupane cuando hay un descenso del precio o una corrección de los precios. En cambio, cuando hay una subida imporane de los precios, se presa poca aención a la volailidad. Cabe señalar que la volailidad regisrada a parir de no es más fuere que la de años aneriores, aunque la endencia sigue siendo ascendene. De hecho, si bien la volailidad depende básicamene de aconecimienos específicos que afecan la indusria del café, esá cada vez más influenciada por las acividades de los fondos de inversión. También conribuyen al aumeno de la volailidad 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

4 48 Pérez e al. las conmociones exógenas que no ienen que ver con los facores fundamenales, en especial, los problemas climáicos en los principales países exporadores. Es así como en el presene arículo se observará el comporamieno de la serie del café, desde enero del hasa mediados del mes de abril del 6; cuaro años que nos permiirán idenificar de manera más acerada cuál será el rumbo que podría llegar a omar el café denro del mercado ano nacional como mundial. EL MODELO GARCH (modelo ARCH generalizado) El modelo GARCH (,) La modelación del GARCH proviene de avances en la modelación de la volailidad en los años ochena; ese proceso se inroduce en el grupo de análisis que raa el exceso de urosis y el agrupamieno de la volailidad, dos de las caracerísicas más comunes en las series financieras. Los modelos de volailidad condicional proporcionan una adecuada manera de modelar y pronosicar las varianzas y covarianzas de los reornos de los acivos. Se pueden aplicar modelos GARCH en cualquiera de los diversos campos de la adminisración del riesgo, de la adminisración de porafolio, en la asignación de acivos, en las opciones de precio, en las asas de cambio, en la esrucura de asas de inerés, ecéera. Se pueden enconrar grandes efecos significaivos del GARCH en mercados accionarios, no sólo para choques individuales, sino ambién para soc de porafolios e índices, y para mercados fuuros accionarios. Esos efecos son imporanes en algunas de las áreas de la valoración del riesgo (VaR), y en oras aplicaciones de la adminisración del riesgo concernienes a la eficiencia de la colocación del capial. Se pueden usar los modelos GARCH para examinar la relación enre las asas de inerés de coro y largo plazo, debido a la inceridumbre de las asas el modelo sirve ambién en el análisis de la variación del iempo en el reorno de las asas. A coninuación se muesran algunas definiciones y eoremas del modelo GARCH, desarrolladas por Bollerslev (986). DEFINICIÓN El modelo GARCH(,) para un proceso ε se define como ε = a donde a ~ N (,), y a independienes, ε Ω ~ N(, ) y = + ε + θ, >,, θ () θ < es una condición necesaria para la esacionalidad del modelo. Bajo esa condición, el modelo GARCH(,) equivale a un modelo ARCH de orden infinio. = + ε. θ θ L Veamos la jusificación de que un proceso GARCH(,) puede aproximarse a un proceso ARCH(p) si p es lo suficienemene grande. Sea = + ε + θ, >,, θ, por lo ano Luego = + ε + θ, = + ε + θ + ε + θ = + θ + ε + θ ε + θ = + θ + θ + ε + θ ε + θ ε + θ = + θ + θ + θ + ε + θ ε + θ ε + θ ε + θ ( +...) + ( ε + θ ε + θ ε + θ ε +...) (...) ( L L L...) = + θ + θ + θ = + θ + θ + θ + + ε + θ + θ + θ + ε = + ε θ < θ θ L, Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

5 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 49 TEOREMA Si los ε siguen un proceso GARCH(,), enonces la varianza no condicional de ε esa dada por = E ε =, + θ < ( ) ε + DEMOSTRACIÓN: ( θ ) ( ) ( ) ( ( ) ( ε θ ) ( ε ) θ ( ) = E ε = E h a = E a + ε + θ h ε = E + + h = + E + E h = + + θ = + + θ Por lo ano, uilizando la fórmula de recurrencia = + ( + θ), y suponiendo que es finia, se iene que = + + θ = + + θ = + + θ + + θ = + + θ + + θ = + + θ 3 = + + θ + + θ + + θ = + + θ 4 3 = + + θ + + θ + + θ + + θ ( + ) ( + ) + ( + ) ( + θ ) = + ( + θ) ( + θ) ( + θ) = + ( + θ) ( + θ ) ( + θ ) = + + θ + + θ + + θ 3 θ θ θ enonces, si y se cumple que + θ <, ( + ) θ lim + ( + θ ) = ( + θ ) + θ + θ Al aumenar el horizone de previsión s, puede probarse que el valor esperado de la varianza con- E h + converge hacia. dicional ( s) En general, n-ésimo momeno del modelo GAR- CH(,), exise si n n j n j h(, θ, m) = a j θ < j= j () j ;, donde a = a j = ( j ) j. i= El n-ésimo momeno se puede expresar por la siguiene fórmula recursiva: m m n m n m E( ε ) = am an E( ε ) h (, θ, n) h(, θ, m) n= m n Por ejemplo, en el caso del proceso ARCH(), si n θ = la condición () se reduce a a n <. Por ora pare, paricularizado (), el momeno de cuaro orden en el modelo GARCH(,), exise si 3 + θ + θ <, en cuyo caso E 4 ( ε ) E( ε ) = y ( θ ) 3 ( + + θ ) ( θ )( θ θ 3 ) = por lo ano, el coeficiene de Kurosis es E( ) ( E( ε ) ε α θ K = = > 3 4 3[ ( + ) ] ( α + θ) por lo que el proceso GARCH(,), es lepocúrico, al igual que ocurre con los modelos ARCH. En las aplicaciones prácicas de ese modelo, se iene con frecuencia que + θ es aproximadamene igual a la unidad, con lo que el proceso no se separa mucho de uno no esacionario. Tal proceso se dice que es inegrado en varianza, ya que la primera diferencia de ese sería un proceso esacionario. En al modelo, la previsión de la varianza condicional E( + s) para s >, no converge hacia al crecer en el horizone de previsión, sino que depende explíciamene de Ω. 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

6 5 Pérez e al. EL MODELO GARCH (p,q) DEFINICIÓN El modelo GARCH(p, q) para el proceso ε, se define como q p = + i i + i i i= i= ( L) ( L) ε = a, donde a ~ N,, ε Ω ~ N, ε θ = + ε + θ donde (3) p, q >, >, i =,..., q; θ i =,..., p i Para p = el proceso se reduce a un modelo ARCH(q) y para p = q = ε es simplemene un proceso de ruido blanco. Si odas las raíces del polinomio θ ( L) = esán fuera del círculo uniario, la ecuación (3) puede escribirse como = θ + ( L) θ ( L) ε = θ + α ε p m i i i i= i= donde θ denoa el valor numérico que resula de susiuir L por en el polinomio θ ( L). Es decir, el proceso en (3) puede escribirse como un ARCH ( ), donde los coeficienes α i provienen de la expansión en series de poencias de ( q L L = )( 3 L + L ql + L + L + 3L +...), θ θ θ θ es decir, que los coeficienes i i j i j j= j= n i α i son de la forma α = + θ, i =,..., q n = θ, i = q +,... j i j donde n = min ( p, i ). Si θ <, va decreciendo para i más grande que m = max{ p, q}. Así, si i θ <, el proceso GARCH(p, q) puede aproximarse a un modelo esacionario ARCH(q), para un valor de q lo suficienemene grande. ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN Y AUTOCORRELACIÓN PARCIAL Las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial son úiles para idenificar y chequear los comporamienos de series de iempo en la varianza condicional del proceso GARCH. Consideremos el proceso general GARCH (p,q) especificado en (3) y asumamos que en el proceso el momeno de cuaro orden es finio. Denoemos la función de covarianza de ε por γ = cov ε, ε. Por lo ano, se iene que q p = i i + i i i= i= γ γ θ γ, por ser un proceso ARMA m = ϕi γ i, p + (4) i= Donde m = max{ p, q}, ϕi = i + θi, i =,, q, θi = para i > p y i = para i > q. De (4) es inmediao deducir que las auocorrelaciones de ε vienen dadas por ρ = γ γ m = ϕi ρ i, p + (5) i= De esa forma, las p primeras auocorrelaciones de ε dependen direcamene de los parámeros,, p y θ,, θq, mienras que las auocorrelaciones parciales de orden superior se calculan recursivamene a parir de (5). Esos resulados son similares a los resulados de las auocorrelaciones de un proceso ARMA (m, p). Por ora pare, dado que las ecuaciones en (5), son análogas a las de Yule-Waler, la auocorrelación parcial de orden paraε que denoamos por φ, se obiene a parir de la resolución del siguiene sisema de ecuaciones con parámeros φ,, φ. ρ = φ ρ, n =,, n i n i i= Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

7 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 5 De (5) φ es cero después de q rezagos para un proceso ARCH(q), es decir φ, q =, > q Ese comporamieno es idénico al de la función de auocorrelación parcial de un proceso AR(q). También, si el proceso es un GARCH(p,q) esacionario, las auocorrelaciones simples y parciales no se hacen cero, pero decaen rápidamene. MODELOS ARCH ASIMÉTRICOS Ora de las principales caracerísicas de los mercados financieros es que ane malas noicias se producen caídas en las coizaciones que ienen una volailidad mayor, es decir, son de mayor magniud que cuando se producen alzas en las coizaciones por buenas noicias, en cuyo caso la volailidad es de menor magniud. Para esos casos de volailidad asimérica se desarrollaron los modelos TARCH, EGARCH (enre muchos oros). En paricular, los modelos TAR- CH(,) o Threshold ARCH proponen la siguiene ecuación para esimar la varianza condicional = + ε + γ d ε + θ Por ora pare, el modelo EGARCH(,), se define como ε ε log( ) = α + + γ + β log( ) En ese caso, la influencia de los residuos sobre la varianza condicional es de ipo exponencial, ya que se puede escribir como ε ε β = ( ) exp α + + γ Donde el parámero γ mide el efeco de apalancamieno. APLICACIÓN Para ilusrar el uso de los modelos ARIMA-ARCH en las aplicaciones financieras, se realizará el análisis del precio del café considerando una muesra que va desde el de enero de hasa el 7 de abril de 6, incluyendo 74 daos diarios de cierre del precio. La figura muesra el comporamieno de cierre del precio del café en el periodo muesral y la renabilidad diaria, respecivamene. donde d si ε < = si ε Es decir, valores negaivos del residuo de la regresión son inerpreados como malas noicias para el mercado y los valores posiivos represenan las buenas noicias. Las malas noicias endrán un impaco ( + γ ) sobre la varianza condicional, mienras que las buenas noicias solo impacarán en. Si γ >, se dice que exise el efeco de apalancamieno (leverage effec); dicho efeco se refiere al hecho de que a renabilidades negaivas corresponda una mayor volailidad condicional que a renabilidades posiivas. Si γ, se dice que el impaco de las noicias es asimérico. Figura. Comporamieno del precio del café y la renabilidad diaria del precio del mismo enre enero de y abril de 6. Fuene: Base de daos obenida de Corfinsura. (Inerne, Abril de 6) 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

8 5 Pérez e al. En la figura, los precios del café se represenan en el eje derecho y la renabilidad de los mismos en el eje izquierdo (calculado como el logarimo del precio de hoy dividido por el precio de ayer). Se observa una endencia creciene en la curva superior, lo que indica que dicha variable parece ser no esacionaria en media, es decir, la media no será consane para odas las observaciones del proceso aleaorio a modelar. La serie de renabilidades muesra ciera volailidad y, además, que los períodos de mayor volailidad coinciden con los períodos descendienes en los valores de cierre del precio de la curva superior. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA RENTABILIDAD DIARIA DEL PRECIO DEL CAFÉ (RCAFE) En la figura se observa que la disribución de la renabilidad diaria del precio es lepocúrica (una de las principales caracerísicas de las series financieras) ya que el coeficiene de Kurosis es mayor que el coeficiene que se obiene de una disribución normal. Esa es una prueba clara de que exise un mayor número de valores exremos de lo que se esperaría de una disribución normal esándar. El valor-p asociado al esadísico de prueba de Jarque- Bera muesra que la renabilidad diaria del precio no sigue una disribución normal. Ora forma de verificar si la disribución de la renabilidad diaria del precio sigue una disribución normal es por medio del gráfico Quanile Quanile. La figura 3 muesra como una S, lo que indica que la renabilidad diaria del café no sigue una disribución normal y, además, presena valores exremos. a) Exceso de Kurosis Se inicia el análisis de la renabilidad diaria del precio del café, observando el hisograma y sus esadísicas principales. Figura. Hisograma y esadísicos principales de RCAFE enre enero de y abril de 6. Fuene: Base de daos obenida de Corfinsura. (Inerne, abril de 6). Figura 3. Cuanil-cuanil de la renabilidad diaria del precio del café enre enero de y abril de 6. Fuene: Base de daos obenida de Corfinsura. (Inerne, abril de 6). b) Agrupamieno de la volailidad Ora de las caracerísicas relevanes en las series financieras es el agrupamieno de la volailidad, es decir, cuando la volailidad es elevada es probable que permanezca elevada y cuando ésa es baja es probable que permanezca baja. Para comprobar si exisen clusers de volailidad se raza el siguiene correlograma de la renabilidad diaria de los precios al cuadrado. Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

9 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 53 cuando es baja ésa permanezca baja, confirmando de nuevo el agrupamieno de la volailidad. ELECCIÓN DEL MODELO Para obener el modelo de predicción que permia esimar los precios fuuros del café (PCAFE) y su volailidad, se consruirá primero el modelo ARI- MA uilizando la esraegia de Box and Jenins (976) y segundo el modelo GARCH uilizando los pasos de Bollerslev (986). Figura 4. Correlograma de la renabilidad diaria de los precios al cuadrado Se observa en la figura 4 que algunas probabilidades en el correlograma son inferiores al 5%, por lo ano, se verifica que la renabilidad diaria del precio del café presena agrupamienos de volailidades (clusers). Ahora analicemos el gráfico de la renabilidad diaria del precio del café al cuadrado. Al razar el correlograma muesral de la variable PCAFE, se observó que los valores de auocorrelación decaen lenamene a cero, indicando que el proceso no es esacionario, sino explosivo. Una prueba más formal para conrasar la esacionariedad o no del PCAFE es el desarrollar el siguiene es de raíz uniaria de Dicey-Fuller aumenado, donde la hipóesis nula es que la serie no es esacionaria. Valor críico* % Tes esadísiico Valor críico 5% ADF Valor críico % -3.3 * Valores críicos MacKinnon para rechazo de hipóesis de una raíz uniaria Prueba del Tes Dicey-Fuller aumenada Se observa que el valor de esadísico τ = , por lo que no hay evidencia para rechazar la hipóesis nula de exisencia de raíz uniaria. Tampoco fue posible rechazar la hipóesis nula por medio de la prueba de Phillips y Perron donde el valor del esadísico fue de Por lo ano, la serie PCAFE no es esacionara. Ese resulado nos lleva a analizar una serie derivada de la misma, la cuál es la renabilidad diaria del precio de cierre del café. ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD DIARIA DEL PRECIO DEL CAFÉ (RCAFE) Figura 5. Renabilidad diaria del precio del café al cuadrado Se observa ambién en la figura 5 que cuando la volailidad es elevada ésa permanece elevada y Para analizar la esacionariedad de la RCAFE se realiza el conrase de raíz uniaria de Dicey-Fuller aumenado, donde la hipóesis nula es que la serie no es esacionaria. 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

10 54 Pérez e al. Tes esadísiico ADF Valor críico* % Valor críico 5% Valor críico % * Valores críicos MacKinnon para rechazo de hipóesis de una raíz uniaria Prueba del Tes Dicey-Fuller aumenada Con base en lo anerior, se observa que el esadísico de prueba de Dicey-Fuller en valor absoluo es y el esadísico de prueba en valor absoluo uilizando la pruebe de Phillips y Perron fue de 33.53, el cual conduce a rechazar la hipóesis nula de exisencia de raíz uniaria, lo que indica que la serie renabilidad diaria del precio del café es esacionaria en media. Por lo ano, es aplicable la meodología de análisis de series de iempo a la variable RCAFE. Para enconrar el modelo que permia esimar la renabilidad diaria del precio del café, se observaron los gráficos del ACF y PACF, los cuales indican que podemos considerar los siguienes modelos: AR(7), MA(5) y ARMA(7,5). De los res modelos el mejor es el AR(7), ya que los parámeros son significaivos y el correlograma de los residuos muesra que los errores son ruido blanco, indicando que el modelo es adecuado. La siguiene salida del Eviews muesra la esimación del modelo AR(7) para la renabilidad diaria del precio del café Por lo ano, el modelo ARMA para esimar la renabilidad es RCAFE = RCAFE + ε 7 Para verificar que la especificación del modelo AR(7) es correca, se realiza la prueba de auocorrelación conocida como el esadísico Q de Ljung Box, para lo cual se analiza el siguiene correlograma de los residuos del modelo esimado Figura 6. Correlograma de la residuos del modelo AR(7) ajusado. Variable dependiene RCAFE Méodo : Mínimos cuadrados Muesra (ajusada) : 9 74 Observaciones incluidas: 56 después de ajusar punos finales Convergencia alcanzada después de ieraciones Variable Coeficiene Error Esándar -esadísica Prob. C AR(7) R -cuadrado.44 Media variable Dependiene.8 R- cuadrado ajusado.397 D.E variable dependiene.49 E.S de la regresión.397 Crierio de información Aaie -4.6 Suma residuos cuadrados.6568 Crierio Schwarz Log lielihood F- esadísica Esadísico Durbin-Wason.575 Prob.(F- esadísica) i.84+.6i i.7+.45i.5+.68i i.3+.8i.3 -.8i Raíces AR inveridas i i i i i i i i -.85 Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

11 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 55 En la figura 6, se observa que los residuales del modelo ajusado son ruido blanco, ya que la probabilidad de odas las observaciones presenan un p- value mayor a.5, eso significa que los residuales no esán correlacionados, indicando así que dicho modelo esa bien idenificado. EXISTENCIA DE EFECTO ARCH Para deerminar si exise efeco de volailidad condicional heeroscedásica se realiza el siguiene correlograma de los residuos al cuadrado del modelo AR(7) para la renabilidad diaria. Tes ARCH F-Esadísica.9976 Probabilidad.554 Obs.*R cuadrado Probabilidad.566 Prueba del Tes Variable Dependiene: RESID^ Méodo : Mínimos cuadrados Muesra (ajusada) : 74 Observaciones incluidas: 55 después de ajusar punos finales Variable Coeficiene Error Esándar -esadísica Prob. C E RESID^(-) R -cuadrado.65 Media variable Dependiene.574 R- cuadrado ajusado.36 D.E variable dependiene.54 E.S de la Crierio de información.48 regresión Aaie Suma residuos.388 Crierio Schwarz cuadrados Log lielihood F- esadísica.9976 Esadísico Durbin- Wason Prob.(F- esadísica).554 La probabilidad asociada al esadísico F del conrase se encuenra en la región de rechazo de la hipóesis nula, es decir, se rechaza la hipóesis nula de varianza consane y se valida la exisencia de heeroscedasicidad. Con base en esa información se procede a esimar de nuevo el modelo. ESTIMACIÓN DE LA VOLATILIDAD Figura 7. Correlograma de los residuos al cuadrado. Se observa en la figura 7 que posiblemene exise volailidad condicional heeroscedásica, ya que las probabilidades indican que los valores de auocorrelación de los residuos al cuadrado son significaivos. Para validar la posible exisencia de heeroscedasicidad condicional en la varianza, se efecúa el es ARCH-LM sobre los residuos al cuadrado de la regresión de la media que coniene el érmino consane y un AR(7). El conrase de hipóesis es el siguiene H : No exise efeco ARCH H : Exise efeco ARCH a A coninuación se procede a esimar la renabilidad diaria del precio esperado y la varianza condicional heeroscedásica con un proceso TARCH(,) ya que al esimar los diferenes modelos se llegó a la conclusión que exisen efecos de asimería, descarando así los modelos ARCH() y GARCH(,) y ambién es mejor que el modelo EGARCH(,) por ener menor crierio de información de Aaie (AIC) y menor crierio de Schwarz. Además, el correlograma muesral de los residuos del modelo TARCH(,) mosró que los residuales son ruido blanco y el correlograma muesral de los residuos al cuadrado no muesran ningún comporamieno sisemáico, por lo que no habría evidencia de érminos ARCH adicionales. En la siguiene abla 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

12 56 Pérez e al. se muesran el AIC y el crierio de Schwarz de los aneriores modelos esimados. Modelo Esimado Crierio de inf de Aaie Crierio de Schwarz ARCH() GARCH(,) TARCH(,) EGARCH(,) Por lo ano, se eligió el modelo TARCH(,) como el más adecuado ya que refleja mucho mejor el comporamieno asimérico de la renabilidad diaria del precio del café. La esimación de la varianza condicional heeroscedásica se muesra en el siguiene modelo ajusado. Variable Dependiene: RCAFE Méodo : ML - ARCH Fecha: 7/6/6 Hora: 5:5 Muesra (ajusada) : 74 Observaciones incluidas: 73 después de ajusar punos finales Convergencia alcanzada después de 3 ieraciones Variable Coeficiene Error Esándar z-esadísica Prob. C Ecuación de Varianza C 7.4E-5 3.3E ARCH() (RESID<)* ARCH() GARCH() R -cuadrado -.3 R- cuadrado ajusado E.S de la regresión Suma residuos cuadrados Log lielihood Media variable dependiene D.E variable dependiene Crierio de información Aaie Crierio Schwarz Esadísico Durbin- Wason.473 donde la ecuación para la renabilidad diaria del precio esperada es RCAFE =.9 + ε () y la ecuación para la varianza condicional heeroscedásica es = ε 5.793d ε () La esimación del modelo TARCH(,) en la abla 3 muesra que odos los coeficienes son significaivos, en paricular, el érmino de asimería. Además, como γ enonces se puede decir que el impaco de las noicias es asimérico. Para validar el modelo TARCH(,) se graficó el correlograma muesral de los residuos, indicando ruido blanco y el correlograma muesral de los residuos al cuadrado mosrando que no exise ningún comporamieno sisemáico en los residuos, por lo que no habría evidencia de érminos ARCH remanenes o adicionales. La ecuación () nos indica que la renabilidad esperada del precio del café es del.9% diario, lo que equivale a un.8% mensual (suponiendo días) y a un.96% anual (suponiendo 44 días). Si la renabilidad en el período ( ) esá por debajo de su media ( ε < ), enonces la renabilidad del precio del café iene una varianza no condicional o de largo plazo de.43% diario, lo que equivale a una volailidad diaria de.7% y a una volailidad anual del 3.8% (suponiendo 44 días). Si la renabilidad en el periodo ( ) esá por encima de su media ( ε > ), enonces la renabilidad del precio del café iene una varianza no condicional o de largo plazo de.8% diario, lo que equivale a una volailidad diaria de.86% y a una volailidad anual de 44.75% (suponiendo 44 días). Si la renabilidad en el periodo ( ) esá por debajo de su media ( ε < ), enonces la renabilidad del precio del café iene una varianza condicional de.5% diaria, lo que equivale a una volailidad condicional diaria de.8% y a una anual de 35.67% (suponiendo 44 días). Revisa Ingenierías Universidad de Medellín

13 Modelación de la volailidad y pronósico del precio del café 57 Si la renabilidad en el periodo ( ) esá por encima de su media ( ε > ), enonces la renabilidad del precio del café iene una varianza condicional de.55% diaria, lo que equivale a una volailidad condicional diaria de.33% y a una anual de 36.53% (suponiendo 44 días). En la figura 8 se muesran las volailidades condicionales generadas por el modelo TARCH(,) VOLATILIDAD Figura 8. Volailidad condicional TARCH(,). Renabilidad diaria del precio del café CONCLUSIONES. En el presene arículo se uilizaron los modelos de heeroscedasicidad condicional, ARCH(), GARCH(,), TARCH(,) y EGARCH(,), para esimar la volailidad de los rendimienos del precio de cierre del café. El modelo que mejor se ajusó fue el TAR- CH(,), lo cual permie concluir que para el período de análisis la serie de rendimienos de los precios del café muesra presencia de efecos ARCH. Eso indica que la volailidad de dicha serie no permanece consane a lo largo del iempo. Además, exise evidencia de asimería en la incorporación de nueva información en los precios, así, las malas noicias se raducen en rendimienos negaivos que superan en magniud a aquellos rendimienos posiivos que ocurren como consecuencia de la incorporación de buenas noicias.. Enender el comporamieno de la volailidad de la serie de precios del café permie a los agenes que acúan omando posiciones en dicho acivo prever el impaco que ienen las variaciones del precio del café en el valor de sus porafolios. De acuerdo con los resulados del esudio, se espera que las pérdidas derivadas de cambios desfavorables en el precio del café, cada vez que esos ocurren, iendan a superar las ganancias que usualmene se obienen cuando ocurren cambios favorables. 3. El modelo TARCH(,) especificado puede servir de herramiena para la predicción de la volailidad con el objeo de uilizarla en negociaciones OTC de opciones sobre el café, para el cálculo de medidas de riesgo ales como el VaR (Value a Ris), CFaR (Cash Flow a Ris) y el EaR (Earnings a Ris); asimismo conribuye a comprender el proceso esocásico asociado a dicha serie con el propósio de ser uilizada en ejercicios de simulación, que permian esablecer programas de coberuras para los agenes expuesos al riesgo asociado a las variaciones del precio del café. BIBLIOGRAFÍA ANDERSEN, T. & BOLLERSLEV, T Answering he sepics: Yes, sandard volailiy models do provide accurae forecass. Inernaional Economic Review 39: BOLLERSLEV, T. 986, Generalized auoregressive condiional heeroscedasiciy. Journal of Economerics, 3f: BOX, G. E. P. & JENKINS, G Time Series Analysis: Forecasing and conrol, Holden-Day. 5 (9):45-58 Julio - diciembre de 6

14 58 Pérez e al. ENDERS, W Applied economerics ime series. Wiley series in: Probabiliy and mahemaical saisics, New Yor, John Wiley and Sons, Inc. ENGLE, R. 98. Auoregresive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaion. Economerica, 5(4): ENGLE, R. 983.Esimaes of he variance of U.S. inflaion based upon he ARCH model. Journal of Money, Credi and Baning, 5(3): ENGLE, R. & BOLLERSLEV, T Modelling he persisence of condiional variances. Economerics Review, 5():-5. ENGLE, R., LILLIEN, F. & ROBINS, D. 987.Esimaing une varing ris premia in he erm esrucure: he ARCH-M model. Economerica, 55: GRIFFITHS-HILL-JUDGE 993.Learning and pracicing economerics. Nueva Yor, John Wiley and Sons, Inc. HAMILTON, J. D. 989.A new approach o he economic analysis of nonsaionary ime series and business cycle. Economerica 57: NOVALES, A. y GRACIA-DIEZ M Guía para la esimación de modelos ARCH. Esadísica Española, 35(3):5-38. TSAY, R. S. 986-Nonlineariy es for ime series. Biomerica, 73:46-f466. TSAY, R. S Tesing and modeling hreshold auoregressive processes. Journal of he American Saisical Associaion, 84:3-4. TSAY, R.. Analysis of Financial Time Series. Wüey series in probabiliy and saisics, John Wiley and Sons, Inc. TIAO, G. C. & TSAY R. S. 994.Some advances in non-linear and adapive modelling in ime series. Journal of forecasing, 3:9-3. TONG, H. & LIM, K. S. 98. Threshold auregresion, limied cycles and cyclical daa. Journal of he Royal Saisical Sociey, Series B, 4:45-9. WHITE, H. 98. A heeroscedasiciy consisen covariance marix esimaion and a direc es for heeroscedasiciy. Economérica 48: Revisa Ingenierías Universidad de Medellín