Modelos de Tiempo de Vida Aplicados al Análisis de Confiabilidad en Sistemas Eléctricos

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1 18 (2004) 4-10 Modelos de Tiempo de Vida Aplicados al Análisis de Confiabilidad en Sisemas Elécricos Juan M. Asorga 1 1. Insiuo Tecnológico, Universidad de Aacama, Chile jasorga@insec.uda.cl Resumen En ese rabajo se presena una descripción general del análisis de confiabilidad, se muesran los modelos de iempo de vida más usados para aplicaciones en sisemas elécricos, se comparan dichos modelos y se proponen oras disribuciones que pueden conribuir en el desarrollo de esa línea de invesigación. Palabras claves: Confiabilidad, Modelos de Tiempo de Vida. Absrac In his work a general descripion of he reliabiliy analysis is inroduced; furhermore, he mos used life disribuions are shown for applicaions in elecric sysems, such models are compared and oher disribuions which may conribue o he developmen of his research area are proposed. Keywords: Life Disribuions, Reliabiliy 1 4

2 1. Inroducción. En ese rabajo se propone la incorporación de nuevos modelos de iempo de vida para el esudio de confiabilidad en sisemas elécricos. El rabajo se desarrolla de la siguiene manera: En la sección 2 se inroducen los concepos generales de confiabilidad. En la sección 3 se muesran los índices de confiabilidad usados en sisemas elécricos. En la sección 4 se describen los principales modelos de iempo de vida y se inroducen nuevas disribuciones. Finalmene, en la sección 5, se dan algunas conclusiones. 2. Generalidades sobre Confiabilidad 2.1 Caracerísicas La confiabilidad depende de variables que acúan en forma aleaoria, es decir, la confiabilidad se modela como una función de probabilidad. Variables como perurbaciones, fallas, capacidad, disponibilidad y manenimieno, afecarán la confiabilidad de los sisemas. Los daos que normalmene se analizan en modelos de iempo de vida presenan censuras, covariables, canidad de causas de muere y número de evenos recurrenes Presencia de censuras En sisemas indusriales, habiualmene, la observación y consideración del oal de daos no se realiza compleamene, la censura considera ese efeco. La abla 1 describe los ipos de censuras. Tipo I II Aleaorias Por la izquierda y en inervalos Tabla 1: Tipos de censura Caracerísica Las observaciones se realizan hasa un iempo preesablecido. Algunos daos no son considerados. El esudio ermina después de una ciera canidad de fallas previamene definidas. El esudio finaliza sin analizar la variable de inerés El hecho ocurre anes de la observación periódica, no se conoce el insane preciso de la censura Presencia de covariables Cuando inervienen oras variables disinas al iempo y a las censuras, es necesario incluir covariables o variables explicaivas que permian ajusar el modelo a los daos reales Causas de muere La caracerísica causas de muere iene mayor uilización en el análisis de sobrevivencia, en dicho campo se conoce como daos de riesgos compeiivos Número de evenos recurrenes El número de evenos recurrenes se relaciona con las censuras y con las covariables, ya que enrega información valiosa sobre la canidad de veces que ocurre, por ejemplo, una falla durane el iempo de esudio. Es imporane señalar que en el análisis de confiabilidad, al menos debe considerarse la presencia de censuras, covariables y el número de evenos recurrenes Funciones usadas en confiabilidad Funciones f (), R () y h () La función de probabilidad f(), función de confiabilidad R() y función de riesgo h(), son usadas para esudiar problemas de iempo de vida. (1) (1) describe la función de densidad de probabilidad como el límie de probabilidad de la ocurrencia de una falla en el inervalo de iempo [, + ), por unidad de iempo. (2) (2) define la probabilidad que un sisema opere sin fallas hasa un deerminado iempo. F () represena la función de densidad de acumulada. Observe que: R (0)=1; R ( )=0 y 5

3 df() f ( ) =. d La función de riesgo, describe como la probabilidad insanánea de falla se modifica al aumenar el iempo. Esa función permie caracerizar clases especiales de disribuciones de confiabilidad, así, h() puede ser creciene, decreciene o consane, y modelarse a ravés de disribuciones ipo Exponencial, Weibull o Log Normal. La probabilidad condicionada expresada en (3) puede reducirse a (4) relacionando (1) y (2). (3) En el período premauro el índice de fallas es elevado y la asa de fallas es decreciene. Las fallas ocurren por errores de diseño o por problemas en el conrol de calidad. En el período llamado vida úil, las fallas son aleaorias y puede planearse la probabilidad de ocurrencia de un eveno indeseado. Ese periodo es de especial inerés para la planificación de programas de manenimieno. En el ercer período, la asa de fallas es creciene y se debe al desgase acelerado de las componenes del sisema. Sí T es una variable aleaoria posiiva, enonces la expecaiva de vida se define según (6) (4) (5) expresa la relación que exise enre la función de confiabilidad y la función de riesgo. (5) (6) Reemplazando (2) y (5) en (6), se obiene (7), que es la expecaiva de vida para una función h()= λ(). La esperanza calculada según (7) da como resulado 1/λ, que se inerprea como el iempo medio para fallas por unidad de iempo. Nóese que la selección conveniene de f() permie esimar adecuadamene las funciones R() y h() Tasa de fallas Una de las funciones más imporanes en el análisis de confiabilidad es la función bahub o ina de baño, ésa expresa la asa de fallas λ() en función del iempo. Se disinguen 3 períodos: premauro, vida úil y erminal. (7) 3. Índices de Confiabilidad en Sisemas Elécricos Los índices de calidad de servicio que acualmene considera la ley elécrica chilena, conlleva la aplicación de esudios de confiabilidad. Por ejemplo, el secor disribución elécrica, esima la confiabilidad basándose en la coninuidad del servicio Índices de confiabilidad aplicados en el secor disribución elécrica Tasa de fallas λ() Figura.1: Función bahub hazard o ina de baño Número de veces que un consumidor deja de recibir suminisro de energía elécrica en un período de iempo deerminado. 6

4 Tiempo de reparación µ() Es el iempo promedio que dura una falla de suminisro de energía elécrica. Se expresa en horas Energía no suminisrada Ese índice cuanifica la canidad de energía que la empresa deja de vender, debido a una falla de suminisro Carga promedio desconecada Cuanifica la canidad de consumidores que se ven afecados por el core de suminisro Tiempo anual de desconexión esperado Se obiene muliplicando la asa de falla por su duración promedio y represena la indisponibilidad oal del suminisro de energía elécrica durane un año Índices generales de confiabilidad La nauraleza de esos índices puede clasificarse como se muesra en la abla 2. Clasificación Probabilidades Frecuencias Tiempos medios Esperanzas Tabla 2.: confiabilidad Índice Confiabilidad y disponibilidad Promedio de fallas por unidad de iempo Tiempo medio primera falla, iempo medio enre fallas, duración media de fallas. Esperanza por energía no suminisrada y por pérdida de suminisro a los consumidores Clasificación de índices de Algunos índices descrios en la abla 2 que se modelan como disribuciones de probabilidad son los siguienes: Probabilidad de pérdida de carga (LOLP) Mide la probabilidad que la carga de un sisema exceda la capacidad disponible de generación. Se calcula usando la curva de duración de carga, bajo la suposición que las cargas son consanes en inervalos de una hora Esperanza de pérdida de carga (LOLE) Permie calcular el número esperado de días, en un período de iempo especifico, para el cual ocurre la pérdida de carga Esperanza energía no suminisrada (EENS) Represena el valor esperado de energía no suminisrada a los consumidores. Los índices señalados en los punos 3.1 y 3.2 represenan variables aleaorias en función del iempo y pueden modelarse adecuadamene con disribuciones de iempo de vida Disponibilidad Sean las funciones λ() y µ(), la asa de fallas y el iempo de reparación respecivamene, enonces, la disponibilidad insanánea A() de un sisema se define en la ecuación (8): A() = 1 exp[ Q() ] [ ] exp Q() λ() d (8) 0 Donde Q() = [ λ() μ() ] d + 0 La disponibilidad media A () de un sisema se obiene de la relación (9): 1 A () = A() d (9) 0 7

5 Ejemplo: Supongamos que en un sisema las densidades para la asa de fallas y iempo de reparación se disribuyen exponencialmene, enonces, de (8) obenemos: λ ()= λ, µ()= µ, Q()= (λ + µ) µ λ (1 (exp ( λ + µ ))) A() = + λ + µ 2 ( λ + µ ) Luego, cuando, obenemos la disponibilidad en esado esacionario. (10) indica el valor A() en esado esacionario para densidades disribuidas exponencialmene. confiabilidad, disponibilidad, manenimieno, enre oras. Las disribuciones anes mencionadas y oras como el modelo Log Normal, pueden represenarse en forma generalizada por medio de un modelo mayor. Dicho modelo se conoce como disribución Gamma Generalizada Disribución Gamma Generalizada La ecuación (12) muesra la función de densidad de la disribución Gamma Generalizada Manenimieno prevenivo (10) Los modelos de iempo medio de deerioro de falla nacen como una exensión de los iempos de reparación y reemplazo que se presenan en los programas de manenimieno. La disribución Erlang, se usa con mucha frecuencia en modelos de manenimieno que consideran la presencia de iempos medio de deerioro de falla. La ecuación (11) muesra la función de densidad para una variable que se disribuye Erlang. Decimos T ~ Erl (ρ,r), si su densidad es: (12) θ represena el parámero de escala; k y β son los parámeros de forma. La paramerización mosrada en (13) permie escribir la función Gamma Generalizada según (14) µ = ln( θ ) + ln ; σ = ; α = 2 (13) β α β k k (11) r y ρ, son los parámeros de forma y escala, respecivamene. Cabe desacar que la disribución Erlang, es un caso paricular de la disribución Gamma. Comenarios: (14) 4. Modelos de Tiempo de Vida en el Análisis de Confiabilidad Las disribuciones Exponencial, Weibull, Erlang y Gamma son ampliamene usadas en modelos de iempo de vida. Esos modelos pueden represenar funciones de riesgo, Según (14) observamos lo siguiene: - Sí α=0, enonces g() es Log Normal - Sí α=σ, enonces g() es Gamma - Si α=1 y σ=1, enonces g() es Exponencial - Sí α=1, enonces g() es Weibull (σ>1, σ=1 y σ<1; β<1, β=1 y β>1) 8

6 - Sí λ, enonces, φ(x,λ) iende a Half Normal - Sí X ~ SN (λ), enonces, -X~ SN (-λ) 4.3. Disribución Log Skew Normal Azzalini, Dal Cappello y Koz [5], inroducen y uilizan el modelo Log Skew Normal en el esudio de ingresos de renas en familias noreamericanas. Su función de densidad es: Figura 2: Disribución Gamma Generalizada La función de confiabilidad R(),para la densidad definida en (14), se presena en (15). (17) (17) corresponde a la disribución Log Skew Normal y se denoa por X~LogSN(λ). Debido al parámero de asimería (λ), que se incorpora en la disribución Log Skew Normal, se logra mayor flexibilidad con respeco a la disribución Log Normal. Si X~LogSN(0), se obiene la disribución Log Normal, ese comporamieno se muesra en la figura 3. (15) Claramene, la razón enre (14) y (15), genera la función de riesgo h(), conocida en sisemas elécricos como asa de falla λ() Disribución Skew Normal Azzalini [4], inroduce una nueva disribución llamada Skew Normal y su densidad es: Figura 3: Función de densidad Log SN (0) (16) Donde φ y Φ son la densidad normal esándar N (0,1) y su función de disribución respecivamene. λ es el parámero de asimería. Si X iene una densidad como en (16) se dice que X es una variable aleaoria Skew Normal y se denoa por X ~ SN(λ). Algunas propiedades de la disribución Skew Normal, son las siguienes: - SN(λ=0) = N(0,1) Figura.4: Funciones Log SN (2) v/s Log Normal 9

7 Al calcular los índices de confiabilidad, usando disribuciones que conienen parámeros de asimería, se logra mayor flexibilidad. Los modelos de iempo de vida que conienen parámeros de asimería pueden aplicarse en el cálculo del iempo de reparación de fallas. Figura 5: Funciones Log SN (-5) v/s Log Normal Comenarios: La figura 3, muesra que la disribución Log SN coniene a la disribución Log Normal. Las figuras 4 y 5, muesran el efeco del parámero de asimería. Nóese que la disribución Log SN considera daos que no son rescaados por la disribución Log Normal. La disribución Gamma Generalizada represena modelos de confiabilidad cuyas funciones de densidad son Exponencial, Weibull, Gamma, Erlang o Log Normal; pero si un conjuno de daos se compora como en las figuras 4 y 5, la disribución Gamma Generalizada no sería represenaiva. Por oro lado, Arellano-Valle, Gómez y Quinana [2], presenan una exensión de la disribución Skew Normal, ésa exensión es llamada Skew Normal Generalizada. Recienemene, Asorga y Gómez [3], inroducen el modelo Log Skew Normal Generalizado (Log SNG), modelo que coniene a las disribuciones Log Normal y Log Skew Normal. El modelo Log SNG, consiuye una familia de disribuciones paralela a la disribución Gamma Generalizada. 5. Conclusiones La presencia de evenos como fallas, perurbaciones o deerioros en los sisemas elécricos, no siempre pueden modelarse por la disribución Gamma Generalizada, dada esa condición, dicho modelo se ajusa forzadamene a los daos reales. Acualmene, se esa rabajando en el esudio de las propiedades, de las aplicaciones y de la influencia que podría causar la disribución Log SNG, sobre los índices de confiabilidad en los sisemas elécricos. 6. Referencias Anders, G.J., Probabiliy Conceps in Elecric Sysems, John Wiley & Sons, New York, Arellano-Valle, R., Gómez, H.W., Quinana, F.A., A new class of skew normal disribuions, Communicaions in Sais: Series A, 33(7), pp , Asorga, J.M., Gómez, H.W., Una exensión del modelo log skew normal, Revisa de la Faculad de Ingeniería Universidad de Aacama, N 17, pp , Azzalini, A., A class of disribuions which includes he normal ones, Scand J Sais, 12, pp , Azzalini, A., Dal Cappello, T., Koz, S., Logskew-normal and log-skew- disribuions as models for family income daa, Journal of Income Disribuion, vol. 11, pp , Louzada-Neo, F., Mazucheli, J., Achcar, J.A., Uma Inrodução à Análise de Sobrevivência e Confiabilidade, XXVIII Jornadas Nacionales de Esadísica, Anofagasa Chile,