4. SERIES TEMPORALES Y

Transcripción

1 4. SERIES TEMPORALES Y NÚMEROS ÍNDICE Objeivo Esudiar la evolución de una variable en el iempo. Bibliografia recomendada Peña y Romo (1997). Capíulos 11 y 12. Índice 1. Represenación gráfica de una serie emporal 2. Componenes de una serie: a) endencia b) esacionalidad 3. Números índice 184

2 Series Temporales: Inroducción Una serie emporal es una serie de observaciones de una variable omadas en varios insanes de iempo. Se ineresa por los cambios en la variable con respeo al iempo. Ejemplos de series emporales provienen de muchos campos. En economía: precios de acciones semanales, ganancias mensuales de la empresa. En meeorología: canidad de lluvia diária. En sociología: niveles de desempleo, número de crimenes. 185

3 Represenación gráfica de una serie emporal A menudo, se represena la serie en un gráfico emporal, con el valor de la serie en el eje de ordenadas y los iempos en el eje de abscisas. Ejemplo 89 Los daos son los amaños relaivos de los anillos de crecimieno cada año de una especie de arbol (pino lapiz) en Ausralia, con daos desde el año 1028 a El siguiene gráfico muesra los cambios en el iempo de la serie. No vemos ninguna relación obvia con el iempo. Daos sacados del Time Series Daa Library hp://www-personal.buseco.monash.edu.au/~hyndman/tsdl/ 186

4 El gráfico emporal amaño año 187

5 Ejemplo 90 El siguiene gráfico ilusra la producción mensual de cerveza en Ausralia desde 1956 hasa producción de cerveza Se ve una endencia creciene hasa finales de los 70 y un fuere efeco esacional. 188

6 Clasificación de series emporales Una serie es esacionaria si la media y la variabilidad son más o menos consanes a lo largo del iempo. Una serie es no esacionaria si la media y/o la variabilidad cambian a lo largo del iempo. Series no esacionarias pueden mosrar una endencia, es decir que la media crece o baja a lo largo del iempo. Además, pueden presenar efecos esacionales, es decir que el comporamieno de la serie es parecido en cieros iempos periodicos en el iempo. Por ejemplo, cada diciembre y enero suben las venas de juguees. 189

7 Componenes de una Serie En muchos casos, se supone que el valor de la serie esá compuesa de una endencia, un componene esacional y una pare irregular o esacionaria, es decir que si {X } represena la sucesión de observaciones de la serie, luego: X = T + S + I valor observado = Tendencia+Esacionalidad+Irregular En esos casos, es ineresane esimar los disínos componenes. 190

8 Análisis de la Tendencia En algunos casos, se puede suponer una relación deerminísa o fija enre T y, por ejemplo una endencia lineal T = a + b que se esima mediane el méodo de mínimos cuadrados. Ejemplo 91 Los siguienes daos son los niveles de concenración mensuales de dioxido de carbon en el observaorio de Muana Loa enre 1974 y Thoning, K., Tans, P. y Komhyr, W. (1989). Journal of Geophysical Research, 94,

9 nivel de co Se ve una clara endencia creciene lineal, además de efecos esacionales. El siguiene gráfico ilusra el ajuse de la reca de regresión. 192

10 nivel de co Hacemos un gráfico de los residuos X T frene al iempo después de eliminar la endencia. 193

11 Residuos R =X T Todavía se ve un claro efeco esacional en los residuos. 194

12 Tendencia evoluiva A menudo, la endencia de la serie no sigue una reca y evoluciona a lo largo del iempo. En ese caso, un méodo general de esimar la endencia es de suponer que T es una función que evoluciona lenamene en el iempo, y que se puede aproximar con una función sencilla en inervalos coros del iempo. Un méodo es aplicar una media móvil. Definición 21 Para iempo, se define la media móvil de la serie de orden 3 como m = x 1 + x + x Luego, la endencia T es T = m + I 1 + I + I Obviamene es posible calcular medias móviles de ordenes más alos. Cómo crece el orden, el valor de m cambia más suavamene. 195

13 Ejemplo 92 Reomamos el Ejemplo 90 sobre producción de cerveza. Se ve que la endencia no es lineal. Ajusamosla con medias móviles de ordenes 3, 15 y 25 respeivamene. media móvil media móvil media móvil Con medias móviles de ordenes alos, suavizamos los efecos esacionales. 196

14 Diferenciación de la serie Es el méodo más general de raar la endencia. Se supone que la endencia evoluciona lenamene en el iempo al que la endencia en el insane es próxima a la endencia en el insane 1. Luego se consruye una nueva serie emporal y = x x 1 que se denomina la serie diferenciada. Diferenciar la serie así equivale a suponer que la endencia en el insane es T = x 1. Ejemplo 93 Consruimos una serie diferenciada para los daos del Ejemplo

15 y_ La serie diferenciada no iene endencia. 198

16 Análisis de la esacionalidad Si los daos son mensuales y se piensa que exise un efeco esacional, un méodo de esimar el efeco es consruyendo una abla de doble enradadelasiguieneforma: mes Año 1 2 n Medias S enero x 11 x 12 x 1n x 1 S 1 febrero x 21 x 22 x 2n x 2 S noviembre x 11 1 x 11 2 x 11 n x 11 S 11 diciembre x 12 1 x 12 2 x 12 n x 12 S 12 Medias M 1 M 2 M n M Aqui M es la media de odos los daos en la serie. Los coeficienes esacionales son S i = x i M para i =1,...,12. Ahora, el efeco esacional S cumple con S = S +12 = S +24 =

17 Ejemplo 94 Volvemos al Ejemplo 91. Aquí enemos daos anuales y parece que exisen efecos esacionales. El gráfico muesra la serie de coeficienes esacionales. coeficienes esacionales

18 Descomposición de la serie en componenes Se muesra la serie original y las esimaciones de la endencia, la pare esacional y la pare irregular. Ejemplo 95 Reomando el Ejemplo 91, enemos el siguiene gráfico. Vemos que el componene irregular parece aproximadamene esacionario. 201

19 l endencia coeficienes esacionales irregular

20 Preguna del examen Ejemplo 96 (Examen de sepiembre 2005) Los daos que se presenan a coninuación, referenes a esudios universiarios, se han obenido de las bases de daos del Insiuo de Esadísica de la Comunidad de Madrid: Mariculados Graduados Curso 94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02 a) Realizar un gráfico de los daos. (0,5 punos). b) Los daos de mariculados muesran un decrecimieno según el iempo avanza. Eliminar esa endencia de forma deerminisa y realizar un nuevo gráfico. (1 puno) 203

21 c) En los daos de graduados enemos una siuación conraria a la anerior. Eliminar la endencia diferenciando ahora la serie y realizar después el nuevo gráfico. (1 puno) Es una preguna difícil ( y basane mal escria!). a) Qué gráfico quieren que hacemos? Ponemos dos gráficos de mariculados y graduados frene al iempo 204

22 2.05 x x mariculados 1.9 graduados /95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02 curso /95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 curso b) En ese caso ajusamos un modelo de regresión y = a + bx donde y es el número de mariculados y x es el curso. Observamos que lo más fácil es definir los valores de x como 0 para el curso 94/95 hasa 7 para el curso 01/02. Tenemos x =3,5, s 2 x =5,25, ȳ = , s 2 y = y s xy = Luego: b = = 3780,6 a = y la reca de regresión ajusada es y = ,6x. 205

23 Ahora calculamos los residuos: x y ŷ y ŷ y hacemos un gráfico de los residuos, es decir los números de mariculados menos la endencia, frene a x mariculados (sin endencia) /95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02 curso 206

24 c) En ese caso, calculamos una serie de primeras diferencias. x y y i y i Diferencias /95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 curso 207