representando la relación existente entre los datos observados en un instante y los observados en el instante anterior.

Transcripción

1 ALISADO SERIES EMPORALES Faculad Ciencias Económicas y Empresariales Deparameno de Economía Aplicada Profesor: Saniago de la Fuene Fernández ANÁLISIS DE AUOCORRELACIÓN Dada la serie emporal ( X ) ( X,X,,X ) se inroducen en el esudio disinos insanes de la observación, para ello se considera la auocovarianza muesral de orden s y el coeficiene de correlación muesral de orden k. (Xk X) (Xk X) k La auocovarianza muesral de primer orden: SXX g represenando la relación exisene enre los daos observados en un insane y los observados en el insane anerior. Análogamene, la auocovarianza muesral de orden s: S XX s g s k+ s (X X) (X X) s represena la relación exisene enre el valor observado en un insane y el observado hace s insanes en el pasado. g S X Para calcular la auocovarianza muesral de orden ( ), solo se dispone de una pareja de daos, de ahí que las inerpreaciones que se pueden hacer de auocovarianzas de orden alo son poco fiables al obenerse con muy pocas parejas de daos. Se aconseja calcular únicamene las auocovarianzas de orden r con r< /4 La auocorrelación muesral de primer orden: k k k (Xk X) k r k k s (X X) (X X) represena el grado de relación enre los valores de una serie en un insane y los observados en el insane inmediaamene anerior, se inerprea como el coeficiene de correlación de Pearson. Análogamene, auocorrelación muesral de orden s : r s k+ s (X X) (X X) k k k k s (X X) represena el grado de relación enre los valores de una serie en un insane y los observados hace s insanes en el pasado. Se denomina correlograma muesral o función de auocorrelación muesral al gráfico que resula al dibujar una barra de alura r s para cada valor s,, 3, Prácica: Sea la serie X { 5, 8,,, 3, 5, 8, 9,, 9} reardo 4., el correlograma muesral hasa el

2 El cálculo a mano se facilia escribiendo la serie original y los reardos hasa el orden requerido: X X X X X La auocovarianza y auocorrelación muesral se calculan eniendo en cuena la primera fila y la serie reardada correspondiene. La auocovarianza poblacional de orden s: E(X [ )(X )] γ μ μ siendo s x x γ σx El coeficiene de correlación poblacional de orden s : [ μ μ ] γ E(X )(X ) ρ s x x s γ E(X μx) Se denomina correlograma eórico o función de auocorrelación poblacional al gráfico que resula de levanar una barra de alura ρ s para cada reardo de la serie.

3 Auocovarianza y auocorrelación de primer orden X X X (X X) (X X) (X X) X X X (X X) (X X) 96 9 k k k g SXX,78 (X X) (X X) 96 r,75 74 k k k (Xk X) k Auocovarianza y auocorrelación de segundo y ercer orden X X X (X X) X X (X X) (X X) 3 X X X 3 X 3 (X X) (X X) Auocovarianza y auocorrelación de segundo orden (X X) (X X) 3 8 k k k+ s g SXX 4,5 (X X) (X X) 3 r,4 74 k k k+ s (Xk X) k Auocovarianza y auocorrelación de ercer orden (X X) (X X) k k 3 k+ s g3 SXX 5,74 3 (X X) (X X) 4 r,46 74 k k 3 k+ s 3 (Xk X) k Las auocovarianzas indican en que medida esán relacionados los valores de la variable con sus propios valores reardados en disinos períodos. El problema que presenan es que, al igual que la varianza, son medidas de carácer absoluo. Por esa razón, es preferible uilizar los coeficienes de auocorrelación 3

4 La represenación gráfica de los coeficienes de auocorrelación para disinos reardos se le conoce con el nombre de correlograma muesral. Los coeficienes de correlación muesral se obienen a parir de una serie emporal, mienras que los coeficienes de correlación eórica se deducen de un modelo. El correlograma es un insrumeno que iene diversas aplicaciones en el análisis de las series emporales, como en el proceso de evaluación de los modelos uilizados en la predicción. La principal resricción de la aplicación del correlograma muesral de los errores de predicción es que requiere una muesra con 6 o más observaciones, aunque para muesras inferiores se puede uilizar como un indicaivo de la auocorrelación exisene en los errores de predicción. ACF eórico del ruido blanco Se denomina ruido blanco gaussiano a una sucesión de variables aleaorias ε incorreladas, con media cero y varianza que se disribuye normalmene. Una sucesión de variables aleaorias que saisfaga las ε es un ruido blanco condiciones aneriores se denomina ruido blanco, más formalmene: { } cuando: [ ] [ ] E ε E εε, E ε σ ε N(, σ) 4,... Las perurbaciones del modelo lineal deben formar un ruido blanco y, para poder hacer inferencias, debe de ser gaussiano. ambién se denomina perurbación. Las cuaro condiciones descrias son, en general, las hipóesis básicas para validar un modelo economérico. El correlograma eórico de una serie que es ruido blanco esá en blanco, pueso que las variables que consiuyen un ruido blanco son incorreladas enre sí, para cualquier valor de r se iene que γ r, excepo γ σ. En consecuencia, el coeficiene de auocorrelación parcial de cualquier orden r es

5 cero. De ahí que el correlograma eórico se quede en blanco (no se levana ninguna barra), de donde procede el nombre de ese ipo especial de series emporales. En resumen, dada una serie de perurbaciones se decide si forman un ruido blanco si el correlograma muesral no iene barras que desaquen mucho. Conrase Q de Box Ljung Los conrases individuales de los coeficienes de correlación consisen en examinar si cada coeficiene esá o no denro de la banda de confianza. Por ello, se hace necesario uilizar un conrase global de un número suficiene de coeficienes de correlación que permia ener una visión de conjuno. Las hipóesis nula y alernaiva para el conrase global de auocorrelación: H: ρ ρ ρ M H : alguno no es nulo El esadísico Q de Box Ljung, formulado en 978 por esos auores, es el más idóneo para el conrase de hipóesis anerior. M Q ( ) r h h h El esadísico Q se disribuye como una χ con M grados de liberad. No exise una regla fija para deerminar el valor de M (número de coeficienes que se conrasan). La regla de decisión: Se acepa H cuando M Q ( ) r < χ h h h α,m Se rechaza H si M Q ( ) r χ h h h α,m En la Prácica: SUAVIZADO Y PREDICCIONES INCONDICIONALES DE SERIES EMPORALES Una predicción es aniciparse al fuuro. En el conexo emporal, y raándose de procedimienos cuaniaivos, puede hablarse de clases de predicciones: Predicciones condicionales que se realizan mediane modelos causales (una regresión que relaciona dos variables, Y predice X), o Predicciones incondicionales que se realizan mediane méodos auoproyecivos. 5

6 Los méodos auoproyecivos pueden esar basados en dos enfoques alernaivos: el deerminisa (o clásico) y el esocásico (o moderno) basado en la meodología de Box Jenkins. El méodo deerminisa es más adecuado cuando se dispone de un número limiado de observaciones, mienras que el enfoque esocásico es más adecuado cuando las series son de mayor amaño. Para cada ipo de predicciones (a coro, medio, y largo plazo) exisen méodos más adecuados: A coro plazo, méodos auoproyecivos A coro y medio plazo, modelos economéricos A largo plazo, análisis de endencia La prácica que se analiza raa de una predicción a coro plazo. En ese ipo de predicciones conviene ener presene ambién las variaciones esacionales, lo mismo que en las previsiones a medio plazo es conveniene ener presene ambién la componene cíclica. Los méodos auoproyecivos deerminisas se uilizan para suavizar irregularidades y flucuaciones de una serie emporal a fin de obener la línea de suavizado como una señal libre de variaciones esacionales y ópima para la predicción. Enre los méodos de suavizado se encuenran: Suavizado por medias móviles (cuando no hay endencia clara ni esacionalidad en la serie original). Suavizado lineal de Hol y Suavizado exponencial de Brown (hacen predicciones bajo el supueso de endencia lineal) y Suavizado esacional de Winers (generalizando el méodo de Hol para raar con daos que presenen variaciones esacionales). MÉODO DE ALISADO EXPONENCIAL Los méodos de alisado exponencial son muy adecuados en muchos de los problemas de predicción a coro plazo que e presenan en las empresas. Esos méodos son muy fáciles de aplicar y, además, por su esrucura recursiva permien revisar las predicciones a medida que se dispone de nueva información. Enre los méodos: alisado exponencial simple, alisado exponencial doble y el méodo de Hol. El alisado exponencial simple es apropiado en el caso de un modelo de media consane, mienras que el alisado exponencial doble y el méodo de Hol son apropiados en el caso de endencia lineal o endencia exponencial (después de realizar una ransformación logarímica de los daos). Uilizando la eoría esadísica que hay derás del alisado exponencial, pueden consruirse inervalos de confianza para el alisado exponencial simple (AES) y el alisado exponencial doble (AED). Los inervalos de confianza ienen la siguiene esrucura: donde, RECM e /( ) Xˆ (X Xˆ e /( ) ( + m)/ ± zα /.. gm /( ) ) raíz del error cuadráico medio con observaciones. gm consane o función del número de períodos hacia adelane para el que se hace la predicción (m) y del parámero de alisado. 6

7 ALISADO EXPONENCIAL SIMPLE (AES) El méodo del alisado exponencial simple se aplica a daos con media consane. Si una variable X es someida a un proceso de alisado exponencial simple se obiene como resulado la variable alisada S, que se obendría según la expresión: S 3 3 ( w) X + ( w) w X + ( w) w X + ( w) w X donde w es un parámero que oma valores comprendidos enre (, ) Puede comprobarse que la variable alisada S se obiene a parir de los valores acual y reardados de X. Los punos suspensivos indican que el número de érminos es infinio. Aunque, como es evidene, esa fórmula no es operaiva, es úil para comprender la nauraleza de la variable alisada. La expresión anerior de S puede conemplarse como una media ariméica ponderada de infinios valores, según se dealla a coninuación. Para que pueda aceparse que S es una media ariméica ponderada debe verificarse que las ponderaciones sumen. La ponderación de cada érmino puede expresarse genéricamene por j ( w) w con < j <. eniendo en cuena la expresión de la suma de infinios érminos de una progresión geomérica convergene se obiene: + j j ( w) w ( w) j j w ( w) w Cabe pregunarse por qué se denomina a S variable alisada exponencial simple. Alisada porque suaviza o alisa las oscilaciones que iene la serie, al obenerse como una medida ponderada de disinos valores. Exponencial se debe a que la ponderación o peso de las observaciones decrece exponencialmene a medida que se aleja del momeno acual. En oras palabras, las observaciones que esán alejadas ienen muy poca incidencia en el valor que oma S. Simple se aplica para disinguirla de oros casos en que una variable se somee a una doble operación de alisado. Para obener la variable alisada S se pare de la expresión: S ( w) X + ( w) w X + ( w) w X + ( w) w X 3 + () resando un período se iene: S ( w) w X + ( w) w X + ( w) w X + muliplicando la expresión por w se obiene: w.s ( w).w. X + ( w) w X + ( w) w X + () Resando miembro a miembro la expresión () de (): S ( w) X + w S 3

8 A la consane w se la denomina coeficiene de descueno. Denoando α ( w), la ecuación del alisado exponencial (AES): S α X + ( α) S La consane < α < se denomina coeficiene de alisado. Para que le ecuación de alisado exponencial S α X + ( α) S sea direcamene aplicable es necesario aplicar un valor a α y un valor inicial a S. En efeco, conocidos α y S, para una muesra de X que comience en el período, los valores de la variable alisada se van obeniendo de manera recursiva, según se muesra a coninuación: S α X + ( α) S, S α X + ( α) S, S3 α X3 + ( α) S,... Al asignar un valor a α hay que ener en cuena que un valor pequeño de α significa que, de acuerdo con la ecuación S α X + ( α) S, se esa dando mucho peso a las observaciones pasadas a ravés del érmino S. Por el conrario, cuando α es grande se da más imporancia a la observación acual de la variable X. De acuerdo con esudios realizados, parece que α, es un valor apropiado en muchos casos. Alernaivamene, se puede seleccionar aquel valor de α para el que se obenga una RECM (raíz del error cuadráico medio) menor en la predicción del período muesral. Algunos programas de ordenador calcular dicho valor ópimo. En la asignación de un valor a S se suelen hacer uno de los dos supuesos: (a) Si la serie iene muchas oscilaciones, se oma S X. (b) Cuando la serie iene ciera esabilidad se hace S X, uilizando una pare de las observaciones disponibles. En el modelo AES, al igual que en odos los méodos aplicables al modelo de media consane, el predicor será el mismo cualquiera que sea el número de períodos hacia adelane a predecir. En el caso concreo del AES, la ecuación de predicción será: Ecuación de predicción del AES: Xˆ + donde, m,, 3,... ( m)/ S Para calcular una predicción por inervalos en el alisado exponencial simple aplicado a un modelo de media consane, g m, 5, en el inervalo: e /( ) Xˆ ± ( m)/ zα /.. g + m Prácica AES: En el cuadro se recogen las capuras anuales de bonio (expresadas en oneladas) durane los años Se desea obener la predicción de las capuras de bonio por el méodo del alisado exponencial simple (AES). 8

9 Año X Año X Aplicando las écnicas de AES, iniciando las predicciones en el período, omando uilizando las diez primeras observaciones S X X 5, 5 y asignando el valor inicial α, A parir de S 974 5, 5 : Xˆ S 5, / Obeniendo el error de predicción: X Xˆ 464 5,5 68, 5 e975/ / 974 omando como valor inicial S 974 5, 5, considerando la ecuación del alisado exponencial simple S α X + ( α) S, se inicia el cálculo recursivo: S 975, (464) + (,) (5,5) 598,8 976 /975 X976 Xˆ 976/ ,8 4, e 975 Análogamene, se obiene las predicciones para el período muesral. Año X S Xˆ /( ) /( ) 9 e e /( ) e /( ) , ,8 5,5 68,5 3854,3 68, , 598,8 4, 78,8 4, ,4 57, 55, , 55, ,5 58,4 33,6 93,6 33, ,4 574,5 39,5 856,3 39, ,7 534,4,6 49,7, ,4 5384,7 93, ,8 93, ,9 543,4 53,4 8343,6 53, ,9 536,9 759, ,7 759, , 564,9 86, , 86, ,3 538, 45,9 7939,5 45, , 54,3 7,3 736, 7, , 5357, 559, 3536,5 559, ,4 545, 359, 953, 359, ,9 573,4 47,6 788, 47, ,9 5,9 4,9 985, 4, ,9 5,9 484,9 3557,8 484, ,6 494,9 68, 84,6 68, , 4938,6 7,6 389,3 7, ,6 7878,3

10 RECM e /( ) 44683, ,95 raíz del error cuadráico medio EAM e /( ) 7878,3 44,65 9 error absoluo medio Los valores de la RECM y el EAM se han obenido para un valor de α,, para cada valor de α se obendrán esadísicos con valores diferenes. Predicción punual y predicción por inervalos De acuerdo con la ecuación de predicción del AES, la predicción punual será: Xˆ ( + m)/ S Xˆ 994 /993 S será la misma para los años poseriores a 994 Con una fiabilidad del 9%, el inervalo de predicción para X 994 : e z /( ),5 g Xˆ ( m)/ z /.. g m 495 ±, ,95. + ± α m,5 [ 397,8; 59,8 ] ALISADO EXPONENCIAL DOBLE (AED) El méodo del alisado exponencial doble (AED), conocido ambién como el méodo de Brown, por ser el que lo propuso, somee a la variable a una doble operación de alisado: En un principio se alisa direcamene a la variable objeo de esudio; mienras que en la segunda operación se procede a alisar a la variable alisada previamene obenida. Así pues, las fórmulas del AED son las siguienes: Primer alisado: S Segundo alisado: S α X + ( α) S α S + ( α) S Señalar que en los dos alisados S y S se uiliza el mismo coeficiene α El modelo eórico al que se aplica el AED es el modelo de endencia lineal X b + b + ε A parir de las dos ecuaciones de alisado se esiman los coeficienes de la reca para uilizarlo en la predicción, con un pequeño maiz que se expresa a coninuación. Cuando se uilizan méodos recursivos conviene ir desplazando el origen de forma que, en la esimación obenida con observaciones, el érmino independiene b sea la ordenada de la reca en el puno.

11 En el méodo del alisado doble, así como en el méodo de Hol, se cambia de origen cada vez que se añade una observación a la muesra. Es decir, cuando se ienen observaciones resula que Xˆ. b Noa. En el ajuse de la reca por mínimos cuadrados se oma como origen inicial el año anerior a la primera observación, después se hace un cambio de origen, aunque solo a efecos de faciliar los cálculos del ajuse. Si con la información disponible en se desea realizar una predicción de la variable para el momeno (+m), con la inerpreación Xˆ, se aplica la fórmula: Xˆ b b m b ( + m)/ + Si b es la ordenada en el momeno, se suma a dicho valor una vez la pendiene con el objeo de obener una esimación para el momeno (+), dos veces la pendiene para una predicción del período (+), ec. Esa forma de proceder es aplicable al méodo de Hol y, en general, en los méodos que esán preparados para ser aplicados de forma recursiva. Las fórmulas que permien pasar de los coeficienes de alisado a los coeficienes de la reca son: Relación enre los parámeros de la ecuación de predicción y las ecuaciones de alisado en el AED b b S S α (S α S ) Las equivalencias expuesas no son fáciles de ver de manera inuiiva, pero pueden demosrarse que son cieras mediane procedimienos esadísicos de ciera laboriosidad. En el momeno, para predecir con el méodo AED se procede de la forma siguiene: (a) Se calculan S y S de acuerdo con las fórmulas S α X + ( α) S S α S + ( α) S (b) Se calculan b y b de acuerdo con las fórmulas b b S S α (S α S ) (c) Se calculan las predicciones, dando a m el valor requerido, según Xˆ ( + m)/ b + b m Cuando se conozca X + y, en general cuando se conozca una nueva observación, se repeirá el proceso aneriormene descrio. Nauralmene, de igual forma que en el AES, para aplicar S α X + ( α) S y S α S + ( α) S será necesario conocer los valores iniciales, que en ese caso serán: S y S Respeco al valor de α es aconsejable omar el valor α,, o alernaivamene seleccionar aquel valor de α que haga mínima la RECM.

12 RECM e /( ) (X Xˆ /( ) ) Para deerminar S y S se realiza un ajuse de la reca por mínimos cuadrados con oda la información disponible se obienen las esimaciones bˆ y bˆ, haciendo que: b bˆ y b bˆ y las ecuaciones: b b S S α (S α S ) S S b b b b α α α α A parir de esos valores se inicia la recursión anes señalada. Para calcular una predicción por inervalos se uiliza la expresión: e /( ) Xˆ ± ( m)/ zα /.. g + m donde el valor de g m viene dado por la expresión: g m,5 α + 3 ( α) α + ( α) [ + 4( α) + 5( α) + α(4 3α) m + α m ] 3 [ + 4( α) + 5( α) + α(4 3α) + α ] Prácica AED: En la abla adjuna se presenan la vena de arros de poios (expresadas en cienos de miles de unidades) durane los años Se raa de obener: a) Calcular la reca de regresión ajusada para predicciones punuales b) Inervalo de predicción del 9% para el año 993, por el méodo de mínimos cuadrados c) Predicción de venas de arros por el méodo del alisado exponencial doble (AED) Año X Año X

13 a) El modelo de endencia lineal X b + b + ε le corresponde el modelo esimado Xˆ bˆ + bˆ donde bˆ y bˆ son los esimadores de b y b, al residuo que se obiene en el ajuse para el período se le denomina ˆε El inervalo de predicción, con nivel de significación α, es: ( Xˆ. ˆ. ) ±, ( + m)/ α /, h σε f( + m)/ ( m,, 3,...) y h es el número de parámeros del modelo, en el caso lineal h σˆ ε es la esimación de σ ε, dada por la expresión: σˆ ε εˆ h (X Xˆ ) h. En el caso de endencia lineal: σˆ ε εˆ (X bˆ bˆ ) Para una endencia consane, la función f + : ( m)/ f (+ m) / + ( + m ) + ( ) abla para calcular la reca de regresión ajusada: Año X. X Xˆ + ε X bˆ bˆ ˆ Xˆ ˆε ( ) ,83 8, 66, ,3 3, 539, ,63 3,6 85, ,3, 439, ,43,4 3, ,83, 4, ,3 4, 7, ,63 3,4, ,3 5, 4, ,43 4,6 63, ,83 9,8 96, ,3,, ,63 3,6 3, ,3 3, 68, ,43 8,4 7, ,83,, ,3, 49, ,63,5 643,7 48 Cov(X, ) (4397/7) (4369/7). (53/7) bˆ σ (785/7) (53/7),4 3

14 bˆ (4369/7),4. (53/7) 54,43 La ecuación de la reca de regresión por mínimos cuadrados: X bˆ bˆ 54,43 +,4 La predicción para el año 993 (período 8) será: Xˆ8 54,43+, , 63 b) Inervalo de predicción: Xˆ ±. σˆ ( + m ) + + ( ) (+ m)/ α /, h ε. Para realizar un inervalo de predicción para el año 993 (período 8): 53 Xˆ 8 359,63, 7, m, 9 7,5 ; 7 7 εˆ εˆ 643,7,753, ˆ σε 3, La función ( + m ) (7 + 9) f (+ m)/ , ( ) El inervalo de predicción para 993, con un nivel de confianza del 9%: ( 359,63 ±,753. 3,75.,888) [ 334,49 ; 384,77 ] c) Predicción de venas de arros por el méodo del alisado exponencial doble (AED) omando como puno inicial α, y las esimaciones realizadas en al ajuse de la reca de regresión: Xˆ bˆ bˆ 54,43 +,4 haciendo que: bˆ 54, 43 y bˆ, 4 b ( Xˆ b b. ) b + Aplicando: S S b b b b α α α α se iene: S S, 54,43,4 8,84,, 54,43.,4 63,5, S Conociendo S 8, 84 y 63, 5 se puede iniciar el proceso recursivo. I. De acuerdo con las fórmulas S α X + ( α) S S α S + ( α) S 4 se calculan:

15 S 8,84 S α X + ( α) S S, (,). 8,84, 87 S α X + ( α) S S, (,).,87 8,3... S S S 63,5 α S + ( α) S S,.,87 + (,). 63,5 α S + ( α) S S,. 8,3 + (,). 74,97 74,97 85,64... II. De acuerdo con las fórmulas b b S S α (S α S ) se calculan: b 54,43 b S S b.,87 74,97 b S S b. 8,3 85,64 bˆ 68,77 7,95... bˆ,4 b α, b (S S) b (,87 74,97),7 α, α, b (S S) b (8,3 85,64),66 α,... III. Considerando la ecuación de predicción en el AED, haciendo predicción un período hace adelane: Xˆ + m)/ b b m ( m período hacia adelane) ( + Xˆ / b + b. 68,77 +,7. 8,49 Xˆ b + b. 7,95 +,66. 8,6 3 /... El proceso recursivo coninuaría indefinidamene, en la abla adjuna se recogen los cálculos para la información muesral disponible, realizando siempre predicciones de un período hacia adelane. Con apoyo de las dos úlimas columnas de la abla se puede calcular la RECM (raíz del error cuadráico medio) y el EAM (error absoluo medio): RECM e /( ) (X Xˆ /( ) ) 3677, 5,6 6 EAM 7 e /( ) 7 98,69,4 6 5

16 Año X S S 975 8,84 63,5 b ,87 74,97 68,77,7 e b Xˆ /( ) /( ) e /( ) e /( ) ,3 85,64 7,96,66 8,49 6,49 7,93 6, ,64 96,4 79,4,4 8,6 6,6 43,83 6, ,3 7,69,93,65 89,64 3,36 983,63 3, ,45 8,84 8,5,5,58,58 58,3, ,56 3,59 4,53,74 9, 4,8 8,93 4, ,5 4,8 34,,49 36,7 6,7 39,35 6, ,4 53,7 46,76,63 45,5 3,49, 3, ,59 65,49 59,69,78 58,4 3,6,99 3, ,67 78, 79,,64 7,47,53 463,57, ,94 89,89 83,99,76 9,86,86 477,75, ,75,46 94,4,57 95,75 4,75,58 4, ,,77 33,3,3 35,6 6,6 43,74 6, ,8 4,57 39,3,8 34,54,46 55,3, ,84 35,83 35,85,5 33,83 3,83 9,34 3, ,7 47,8 337,7,5 337,,,, ,86 57,83 343,88,76 348,3,3 5,7,3 3677, 98,69 ALISADO POR EL MÉODO DE HOL El méodo propueso por Hol es un méodo de alisado exponencial que uiliza dos parámeros de alisado en lugar de uno solo, como ocurre con el méodo de AED. Es aplicable ambién a series que engan una endencia aproximadamene lineal, y ha dado muy buenos resulados en la previsión de disinas áreas de la economía empresarial: gesión de socks, financiación, venas, ec. Las dos variables alisadas que se calculan en ese méodo ienen una relación direca e inmediaa con los parámeros del modelo lineal X b + b + ε, con la salvedad de que la esimación del érmino independiene uilizando observaciones da, como en el AED, la ordenada o nivel de la endencia para ese puno. En el méodo de Hol se calculan direcamene dos variables de alisado para cada momeno del iempo: S : esimación del nivel de la serie en b : esimación de la pendiene de la serie en Si el modelo X b + b + ε no uviera componene aleaorio, es decir, si el modelo uviera una endencia deerminisa represenada por una reca, enonces S omaría el siguiene valor en el período : S + b b () 6

17 donde b y b son los parámeros del modelo lineal que represenan la ordenada en el período y la pendiene, respecivamene. En el período ( ), S omará el valor: S b + b( ) () Resando () de () resula: S S + b A la visa del resulado [ S S + b ] en el méodo de Hol se propone obener primera ecuación o ecuación de nivel: αx + ( α) (S b ) (3) S + S mediane: Se observa que esa ecuación es una media ponderada enre X y ( S + b ), siendo ( S + b ) una esimación de [ S b + b( ) ] donde se ha susiuido el parámero de la pendiene b por b. Así pues, la primera ecuación o ecuación de nivel proporciona direcamene el valor del nivel de la endencia en el momeno, eniendo el mismo papel que b en el méodo del AED. La segunda ecuación del méodo de Hol permie, a su vez, calcular la pendiene b de forma recursiva, mediane la ecuación de alisado: segunda ecuación o ecuación de nivel: b β (S S ) + ( β) b (4) Como esimación de la pendiene se oma la diferencia enre el nivel de la endencia en y en ( ) : ( S S ). En el segundo érmino, como ocurre en odas las ecuaciones de alisado exponencial, aparece la variable alisada con un reardo. Con objeo de deerminar el valor de la pendiene b sobre el eje de ordenadas, se oma como referencia la paralela al eje de abscisas que pasa por S. En el core realizado en se observa que b esá siuado enre ( S S ) y b, siendo ese úlimo érmino la pendiene que ya se había obenido en ( ). La ecuación de predicción en el méodo de Hol: Xˆ + m)/ S b m (5) ( + b β (S S ) + ( β) b Para la aplicación de las ecuaciones es necesario conocer los Xˆ (+ m)/ S + b m valores iniciales de S y b, así como los coeficienes de alisado de α y β Los valores iniciales para comenzar la recursión se puede obener direcamene a parir de los coeficienes ( bˆ y bˆ ) obenidos en el ajuse de una reca de regresión por mínimos cuadrados S bˆ uilizando oda la información disponible, haciendo: b bˆ 7

18 El méodo de Hol iene, a diferencia del méodo del AED, dos coeficienes de alisado ( α, β), razón por la que a veces se denomina AED con dos parámeros. El hecho de rabajar con dos parámeros confiere mayor fiabilidad, aunque como es lógico, la búsqueda de los valores que hacen mínima la RECM (raíz error cuadráico medio) es más laboriosa que cuando se iene un solo coeficiene de alisado. En cualquier caso, según se desprende de varios experimenos realizados, se obienen los mejores resulados en la predicción cuando se oman los valores α, 5 y β, Prácica méodo de Hol: En la abla adjuna se presenan la vena de arros de poios (expresadas en cienos de miles de unidades) durane los años Se raa de obener la predicción de venas de arros por el méodo de Hol Año X Año X Se aplica el méodo de Hol omando α, y β, Como puno de parida inicial se oma las esimaciones realizadas aneriormene cuando se ajusaba una reca con oda la información disponible en el momeno. Con lo cual, S bˆ 54,43 bˆ, 4 b omando la primera ecuación o ecuación de nivel: αx + ( α) (S b ) S S + α X + ( α) (S + b ), (,) (54,43 +,4) 66,65 A parir de S se puede acualizar la pendiene aplicando: b β (S S ) + ( β) b b β (S S) + ( β) b, (66,64 54,43) + (,),4,48 Para realizar la predicción Xˆ ( + m)/ S + b m con un período hacia adelane ( m ) Xˆ / S + b. 66,65 +,48. 78,3 Ese proceso recursivo se coninúa indefinidamene. En la abla adjuna se recogen los cálculos para el período muesral, realizando siempre predicciones de un período hacia adelane ( m ), calculando RECM y EAM, uilizando como crierio RECM es mejor la predicción por el méodo de Hol. 8

19 Año X S ,43, ,65,48 e b Xˆ /( ) /( ) e /( ) e /( ) ,7,4 78,3 4,3 58,9 4, ,76, 86,96,96 4,95, ,9,36 96,88 4, 58,7 4, ,59,6,66,66 3,54, ,6,39,85 3,5 73,5 3, ,9,35 33,55 3,55,59 3, ,99,4 44,54 4,46 9,85 4, ,95,45 56,39 5,6 3,5 5, ,86,7 68,4 4,6 65,7 4, ,3,57 8,56,56 57,7, ,69,55 9,87,87 3,5, ,7,5 34,4 5,4 7,47 5, ,4,6 35,,78 38,8, ,9,5 38,,,36, ,8,49 338,4,4,3, ,4,36 349,78 3,78 89,79 3,78 93, 79,9 RECM e /( ) (X Xˆ /( ) ) 93, 3,47 6 EAM 7 e /( ) 7 79,9,4 6 9

20 MÉODO DE HOL WINERS: ESQUEMA MULIPLICAIVO Es un méodo diseñado para realizar predicciones de series que siguen una endencia aproximadamene lineal, someidas a la influencia del facor esacional. Enre las disinas modalidades que se pueden considerar denro del méodo de Hol Winers, se planea el caso en que la endencia y la esacionalidad siguen un esquema muliplicaivo, mienras que el componene irregular (represenado por una perurbación aleaoria) se inroduce de forma adiiva. Así pues, se raa de un sisema de inegración mixo, con expresión: X. E + ε donde b b + El modelo eórico que va a uilizarse de base para la predicción se expresa: X (b + b ). E + ε donde b nivel o componene permanene b pendiene de la reca E facor esacional muliplicaivo En el modelo de Hol Winers se proponen res ecuaciones de alisado para esimar esos componenes. El coeficiene de alisado puede ser diferene en cada una de esas ecuaciones. Se analizan las ecuaciones que inegran el méodo de Hol Winers, esimándose, respecivamene, los componenes b, b y mediane las variables de alisado S,b, yc. E El nivel b se esima mediane la variable de alisado S X C L X S α + ( α )(S + b ) < α <,( ) C L serie desesacionalizada al ser C una esimación del facor de esacionalidad para la L misma esación que pero un año anerior. En caso de aplicar C (facor de esacionalidad correspondiene al momeno acual) obliga a resolver ecuaciones de forma simulanea, lo que complicaría de forma considerable los cálculos. En cualquier caso, es conveniene uilizar una serie desesacionalizada en el cálculo de la endencia con objeo de eviar sesgos que pueden producirse por la influencia del facor esacional. La pendiene b se esima por la variable de alisado b que viene dada por la ecuación de la pendiene: b β(s S ) + ( β )b < β <,,( ) El facor esacional E se esima por la variable de alisado C X γ + ( γ) C L < γ < S C, la ecuación del facor esacional:

21 La variable X, esá dividida por el nivel de endencia en ese puno S, con lo que el cociene X / S es una variable sin endencia. Así pues, el facor esacional se obiene mediane el alisado de una serie en la que se eliminado previamene la endencia. A su vez, el procedimieno de alisado elimina, en mayor o menor grado, el comporamieno irregular. Señalar que, en el proceso del cálculo de esas res ecuaciones de acualización de las esimaciones, la primera ecuación que se debe calcular necesariamene es: X S α + ( α )(S + b ),( ) C L ya que el resulado obenido inerviene en el cálculo de las oras dos ecuaciones para ese mismo período de iempo. Para hacer operaivo el méodo de Hol Winers se requiere conocer los valores iniciales y los valores de las consanes α, β y γ. Los valores iniciales necesarios para iniciar los cálculos recursivos son ( L + ), correspondienes a los L facores esacionales del año anerior, a la primera observación y al nivel y pendiene de período. Los valores iniciales requeridos para L 4 se recogen en la abla adjuna: Período F. esacional Nivel Pendiene 3 C 3 C C C S b, Generalmene, los índices de variación esacional calculados en el méodo de la razón de la media móvil se oman como valores iniciales de los coeficienes esacionales. Por ora pare, la pendiene y la ordenada en el origen obenidas al ajusar una reca a la serie desesacionalizada se pueden uilizar como esimaciones de b, y S. Alernaivamene, para obener los valores iniciales de esos dos úlimos coeficienes se pueden aplicar las siguienes fórmulas: Xk X b, (k ) L L S X b, Xk X En la primera fórmula b, se divide la diferencia de la media anual de X enre el primero y (k ) L el úlimo año (año k ésimo) por el número de períodos ranscurridos, indicando el promedio de incremeno de cada año y se oma como valor inicial de la pendiene. L En la segunda fórmula S X b, al resar de la media del primer año la miad del crecimieno correspondiene a un año, se obiene el valor inicial de la variable correspondiene al período.

22 Respeco a los coeficienes de alisado, por los esudios de simulación realizados, los valores ópimos esán siuados enre,5 y,4, aunque deerminadas series requieren un valor de α muy superior. Por ora pare, en los programas de ordenador para la aplicación de ese méodo exise la posibilidad de que el programa realice la búsqueda de los valores de los coeficienes que hagan mínima la RECM. Con la información disponible en se pueden realizar predicciones de o más períodos en adelane. La fórmula genérica del predicor de m períodos viene dada por: ecuación de predicción: ˆX ( m)/ (S + b, m)c m L m L + + La fórmula es válida hasa L períodos en adelane, ya que uiliza el facor esacional de la misma esación correspondiene al año anerior. Si se quiere hacer predicciones a más de año, se endría que modificar ligeramene la fórmula para uilizar el facor esacional de la misma esación, pero correspondiene a dos o más años anes. De odas formas, ese méodo esá diseñado especialmene para la previsión a coro plazo, eso es, inferior al año. Prácica méodo de Hol Winers: En la abla adjuna se presenan los índices rimesrales de obras realizadas en ingeniería civil enre Se raa de obener: (a) Predicciones para los cuaro rimesres de 994 (b) Predicción para los cuaro rimesres de 994 por el méodo de Hol Winers (a) Para realizar las predicciones de los cuaro rimesres de 994, se comienza desesacionalizando la serie original rimesres Primero 77, 5, 4,8 44 5, 9 Segundo 9,8 5,5 55, 69,3 56,5 35, ercero 3, 38, 6,3 63, 45,7 43, Cuaro 6,9 46,4 7,5 7,5 44,5 5,8 Cálculo de los Índices de variación esacional: SERIE NO CENRADA DE MEDIAS MÓVILES rimesres º º 3,9 46,7 6, 55,7 35,5 º 3º, 8,8 53, 6,8 49, 37,3 3º 4º 7, 33,7 57,8 63,3 4,4 4º º 5, 4, 6,3 6, 36, SERIE CENRADA DE MEDIAS MÓVILES rimesres Primero 9,6 43,9 6,6 57,9 35,8 Segundo 6,4 49,8 6,9 5,5 36,4 ercero 3,5 3,3 55,4 6,5 45,3 Cuaro, 37,4 59,5 6,7 38,8

23 SERIE COMPONENES ESACIONAL Y ACCIDENAL IBVE IVE Primero,879,867,899,957,8765,899,898 Segundo,993,36,459,66,997,85,7 ercero,997,59,39,4,7,77,65 Cuaro,43,65,75,546,44,757,744 4,48 4 rimesre X.E.C.A Medias móviles descenrada. C Medias móviles cenrada. C X E. A. C IBVE IVE SERIE DESESABILIZADA X /IVE.E.C.A/IVE Q ,,899,898 86,5 Q 988 9,8,,85,7 9, Q , 7, 3,5,997,77,65,5 Q ,9 5,,,43,757,744 8, Q 989 5, 3,9 9,6,879,899,898 7,9 Q 989 5,5 8,8 6,4,993,85,7 3,4 Q , 33,7 3,3,59,77,65 36, Q ,4 4, 37,4,65,757,744 36,3 Q 99 4,8 46,7 43,9,867,899,898 39,9 Q 99 55, 53, 49,8,36,85,7 5,6 Q3 99 6,3 57,8 55,4,39,77,65 57,7 Q4 99 7,5 6,3 59,5,75,757,744 59,6 Q , 6,6,899,899,898 6,5 Q 99 69,3 6,8 6,9,459,85,7 66,4 Q , 63,3 6,5,4,77,65 6,5 Q4 99 7,5 6, 6,7,546,757,744 58,7 Q 99 5, 55,7 57,9,957,899,898 68,3 Q 99 56,5 49, 5,5,66,85,7 53,8 Q ,7 4,4 45,3,7,77,65 43,3 Q ,5 36, 38,8,44,757,744 34,5 Q ,5 35,8,8765,899,898 33,4 Q , 37,3 36,4,997,85,7 3,8 Q ,,77,65 4,9 Q ,8,757,744 4,3 SERIE DESESACIONALIZADA: X /IVE.E.C.A/IVE rimesres Primero 86,5 7,9 39,9 6,5 68,3 33,4 Segundo 9, 3,4 5,6 66,4 53,8 3,8 ercero,5 36, 57,7 6,5 43,3 4,9 Cuaro 8, 36,3 59,6 58,7 34,5 4,3 Para realizar predicciones de las obras de ingeniería civil bajo el supueso de esacionalidad esable en el año 994 (Q 994, Q 994, Q3 994, Q4 994) se requiere ajusar una reca de regresión con la serie desesacionalizada Y 3

24 rimesre Y Y. Ŷ bˆ + bˆ ˆ ε ˆ Y Y ˆε Q ,5 86,5 6,4 9,9 895,4 Q 988 9, 8,4 4 8,3 7, 735,9 Q3 988,5 3 34,5 9, 8,7 349,9 Q , 4 47,4 6, 4, 5,97 Q 989 7, ,5 5 3,99 6,9 37,6 Q 989 3,4 6 74,4 36 5,88,48 6,4 Q ,77 8,3 67,74 Q ,3 8 9,4 64 9,66 6,64 44,8 Q 99 39,9 9 59, 8 3,55 8,35 69,69 Q 99 5, ,44 9,6 366,99 Q ,7 734,7 35,33,37 5,3 Q ,6 95, 44 37,3,37 5,63 Q 99 6,5 3 99, ,,38 5,3 Q 99 66,4 4 39,6 96 4, 5,39 644,78 Q3 99 6,5 5 47,5 5 4,9 7,6 39,8 Q , , 56 44,79 3,9 93,5 Q 99 68,3 7 86, 89 46,68,6 467,39 Q 99 53, , ,57 5,3 7,33 Q ,3 9 7,7 36 5,46 7,6 5,3 Q , ,35 7,85 38,76 Q ,4 8, ,5,85 434,5 Q 993 3,8 9, ,4 3,34 544,58 Q ,9 3 34, ,3 7,3 93,34 Q , , ,9 8,6 346,64 336, , Cov(Y, ) (4366 / 4) (336, / 4). (3 / 4) 9,65 ˆb,89 (49 / 4) (3 / 4) 47,97 σ ˆb (336, / 4),89. (3 / 4) 4,5 La ecuación de la reca de regresión por mínimos cuadrados: ˆ b b Y 4,5 +,89 ˆ Los coeficienes esimados son: bˆ ˆ 4,5 y b,89 La reca ajusada puede servir ano para represenar la endencia como para realizar predicciones a medio o largo plazo. En la predicción a coro plazo iene una escasa aplicación en la predicción. El gráfico represenando la serie original y la serie desesacionalizada de las obras de ingeniería civil: 4

25 Bajo el supueso de esacionalidad esable, la predicción viene dada por la expresión: Xˆ ˆ Eˆ m,,,l,, (+ m)/ (+ m)/ m donde ˆ ( + m)/ es la predicción obenida de la endencia mediane el ajuse de una función a los daos desesacionalizados, prescindiendo del ciclo, ya que ése es un componene difícil de predecir. Podría pensarse que la endencia puede calcularse ajusando direcamene la serie original a la función (reca, parábola; si en la serie original se oman previamene logarimos es adecuado ajusar una reca). Ese procedimieno no es aconsejable, ya que el facor esacional disorsiona gravemene los resulados de la esimación, en especial si la esacionalidad es fuere (no exise esacional cuando E ). Para predecir los cuaro rimesres del año 994 (períodos 5, 6, 7 y 8) se recurre a la fórmula: Xˆ ˆ Eˆ donde ˆ b ˆ ( m) bˆ Xˆ b ˆ ( m) bˆ Eˆ ( m)/ ( m)/ m ( m)/ ( m)/ m con lo cual, [ ] Xˆ 5/4 bˆ ˆ ˆ 5 b + E 4,5 + 5.,89,898 44,3 [ ] Xˆ 6/4 bˆ ˆ ˆ 6 b + E 4,5 + 6.,89,7 66,5 [ ] Xˆ 7/4 bˆ ˆ ˆ 7 b + E 4,5 + 7.,89,65 68,3 [ ] Xˆ 8/4 bˆ ˆ ˆ 8 b + E 4,5 + 8.,89,744 8 (b) Predicción de los índices para 994 por el méodo de Hol Winers Se oma α,, β, y γ,5 5

26 Para obener los valores iniciales de S y b se aplican las ecuaciones: X X 37,75 (k ) L (6 ). 4 k b,,864 con (k ) años y Lperíodos (rimesres) L 4 S X b,.,864 96,3,, m L m L m m aplicar el méodo de la razón a la media móvil: - Los valores iniciales [ C E IVE ], de los facores esacionales obenidos al C E,898 C E,7 C E,65 C E, La fórmula genérica del predicor de m períodos: ˆX ( m)/ (S + b, m)c m L En el período : [ ] /, ˆX (S + b. ) C 96,3 +,864.,898 87,5 La predicción del período esá condicionada a los valores iniciales, que, a su vez se han calculado inroduciendo oda la información muesral. Por ese moivo, no se endrá en cuena en el cálculo de la RECM (raíz cuadrada del error medio) y del EAM (error absoluo medio). Considerando las fórmulas respecivas de las ecuaciones de nivel, pendiene y facor esacional: X S α + ( α)(s + b ) ecuación de nivel,( ) C L b β (S S ) + ( β)b ecuación de la pendiene,,( ) X + ecuación del facor esacional C γ ( γ)c L S para, se iene: X 77, S α + ( α) (S + b ), + (,) (96,3 +,864) 95,8 C,898, 3 b, β (S S ) + ( β) b,, (95,8 96,3) + (,),864,63 X 77, C γ + ( γ) C,5 + (,5),898,8875 S 95,8 3 A parir del período, conociendo S y b,, se pueden realizar predicciones. 6

27 Para realizar la predicción ˆX /, es decir, un período hacia delane (m ), se uilizan S y b, como el valor inicial C :, así ˆX (S + b. ) C (95,8 +,63. ).,7 99, /, A su vez, el facor esacional C, que se calcula aneriormene, se uilizará en la predicción del período cinco, que corresponde al primer rimesre de 989. Períodos rimesre X S b, C ˆX /( ) /( ) e e /( e ) /( ) -3,898 -,7 -,65 96,3,864,744 Q , 95,8,63, ,5 Q 988 9,8 96,,56,46 99, -6,3 39,8 6,3 3 Q , 98,5,583,8 99,3 3,9 5, 3,9 4 Q ,9 3,7,944,89 7,5 9,4 376,7 9,4 5 Q 989 5, 8,,,897 93,7,4 9,5,4 6 Q 989 5,5 3,,467,94, 3,5 8,9 3,5 7 Q , 9,5,87,5 7,6,6 44,9,6 8 Q ,4 5, 3,3,864 3,4 4, 94,6 4, 9 Q 99 4,8 3,5 3,366,8949 4,3,5,3,5 Q 99 55, 37,5 3,734,48 36,5 8,7 35,4 8,7 Q3 99 6,3 44,3 4,36,93 44,8 5,5 4, 5,5 Q4 99 7,5 5, 4,7,89 6,,4 7,,4 3 Q ,8 4,356, , 5,8 33, 5,8 4 Q 99 69,3 6, 4,458,6 64, 5, 7, 5, 5 Q , 64, 4,37,75 7,4-7, 5,3 7, 6 Q4 99 7,5 66, 4,78,86 83,5-3, 69,4 3, 7 Q 99 5, 69,6 4,3,8958 5,6 -,5 6,,5 8 Q 99 56,5 69,4 3,6, 78, -,7 47,8,7 9 Q ,7 66,8,976,98 77,8-3, 9,9 3, Q ,5 6,4,4,76 84,4-39,9 588,9 39,9 Q ,3,65, ,5-8,5 8,7 8,5 Q , 54,4,54,37 63,3-8, 793, 8, 3 Q , 5,4,753,58 58,5-5,3 34,7 5,3 4 Q ,8 5,8,5,77 64,9-3, 7,5 3, 756,3 356,6 7

28 El proceso recursivo se coninúa indefinidamene. e/( ) 756,3 RECM 8,3 3 7 e/( ) 356,6 EAM 5,5 7 3 Las predicciones para 994 (Q 994, Q 994, Q3 994, Q4 994), períodos 5, 6, 7 y 8: ˆX (S + b m)c (+ m)/, + m L ˆX 5/4 (S4 + b, 4. ) C (5,8 +,5. )., ,4 ˆX 6/4 (S4 + b, 4. ) C (5,8 +,5. ).,37 53,9 ˆX 7/4 (S4 + b, 4. 3) C 3 (5,8 +,5. 3).,58 54,7 ˆX 8/4 (S4 + b, 4. 4) C 4 (5,8 +,5. 4).,77 63,9 El valor dado a los coeficienes α y β puede influir de forma imporane en la precisión de los esimadores. Con ese moivo, se han analizado los daos aneriores con el SPSS para aplicar el méodo de Hol Winers muliplicaivo. Ese programa permie realizar la búsqueda de los coeficienes con los que se obiene el RECM más pequeño. 8

29 Para cada uno de los parámeros hay que indicar el valor máximo y el mínimo enre los que se realiza la búsqueda, así como el incremeno dado enre cada valor y el siguiene. En ese caso, el inervalo de búsqueda para los res parámeros ha sido (,,9), el incremeno seleccionado ha sido de,. En la salida, los valores que minimizan el RECM son: α,9, β,3, γ, como puede verse el valor ópimo del coeficiene α para esa serie es muy elevado. e/( ) 559,38444 Se obiene RECM 8,3 3 Con lo cual, la RECM ha pasado de un valor de 8,3 para valores de los parámeros elegidos arbirariamene (aunque denro de los límies aconsejados) a un valor de 8,3 para valores que minimizan la RECM. La disminución es muy considerable, por lo que es muy conveniene uilizar esos méodos de búsqueda en las aplicaciones prácicas mediane algún programa de ordenador. El gráfico con valores observados y pronosicados con esos valores ópimos de parámeros: 9

30 Con el objeo de deerminar si el méodo de Hol Winers explica saisfacoriamene la pare sisemáica de la evolución de la serie, se obiene la función de auocorrelación esimada (ACF) de los errores de predicción. Como la muesra es de 4 observaciones se calculan esos coeficienes para los 6 primeros reardos, debido a la pérdida de fiabilidad no conviene que el número de coeficienes calculado sea superior a /4 del amaño muesral. Los 6 coeficienes esán denro de la banda de confianza, por lo que a un nivel individual se rechaza la hipóesis de que cada uno de los coeficienes ρs sea disino de cero. 3

31 En el conrase global se planean las hipóesis: H: ρ ρ ρ 6 H : alguno no es nulo El esadísico Q de Box Ljung: Q ( ) r M h (M número coeficienes que se conrasan) h h 6 Q 4(4 ) rh,875 h h pueso que Q,875 <,59 χ se acepa la,5;6 hipóesis nula para un nivel de confianza del 95%. En consecuencia, se puede concluir que el méodo de Hol Winers explica razonablemene la pare sisemáica de la serie, ya que los errores que se comeen en la predicción se aproximan a una variable de ruido blanco en el senido de que no esán correlacionados enre sí. MÉODO DE HOL WINERS: ESQUEMA ADIIVO Recordar que el méodo de Hol Winers esá diseñado para realizar predicciones de series que sigan una endencia aproximadamene lineal y, además, esén someidas a la influencia del facor esacional. El modelo eórico en el méodo de Hol Winers adiivo: X (b + b ) + E + ε En la versión adiiva se uilizan, como en la versión muliplicaiva, res ecuaciones de alisado para la obención de las esimaciones de b,b ye. Los valores iniciales, al igual que en el méodo muliplicaivo, se obienen mediane las ecuaciones: b, Xk X (k ) L con (k ) años y L períodos L S X b, El nivel (b ) se esima mediane la variable de alisado S que viene dada por la ecuación de nivel: S α (X C ) + ( α)(s + b ) < α < L,( ) En esa ecuación X se desesacionaliza resándole al facor esacional, mienras que en el méodo muliplicaivo se desesacionaliza dividiendo por dicho facor. 3

32 La pendiene (b ) se esima por la variable de alisado b, que viene dada por la ecuación de la pendiene: b, β (S S ) + ( β)b,( ) < β < esa ecuación coincide exacamene con la ecuación de la pendiene del méodo muliplicaivo. El facor esacional (E ) se esima por la variable de alisado C dada por la ecuación del facor esacional: C γ (X S ) + ( γ)c < γ < L La diferencia (X S ) es una variable en la que la endencia esá eliminada, en mayor o menor grado. Para hacer operaivo el méodo de Hol Winers en su versión adiiva se necesia conocer el mismo número de valores iniciales que en la versión muliplicaiva. Como valores iniciales de los coeficienes esacionales se oman generalmene los índices de variación esacional calculados por el méodo de la diferencia a la media móvil. Para la pendiene y la ordenada en el origen se pueden uilizar los mismos valores que en el méodo muliplicaivo. Con la información disponible en se pueden realizar predicciones de o más períodos en adelane. La fórmula genérica del predicor de m períodos en adelane viene dada por: ˆX (S + b m) + C m L ( + m)/, + m L Prácica méodo adiivo de Hol Winers: Pariendo de la abla de rabajo con los índices rimesrales de obras realizadas en ingeniería civil enre Se raa de obener la predicción de los cuaro rimesres de 994 por el méodo adiivo de Hol Winers. rimesres Primero 77, 5, 4,8 44 5, 9 Segundo 9,8 5,5 55, 69,3 56,5 35, ercero 3, 38, 6,3 63, 45,7 43, Cuaro 6,9 46,4 7,5 7,5 44,5 5,8 X 8,8 5,95 6,75 49, 37,75 Anes de comenzar con el méodo de Hol Winers se requiere conocer los valores iniciales de los facores esacionales obenidos al aplicar el méodo de las diferencias a la media móvil. Para ello, se aplica el méodo adiivo de las medias móviles: X E + ( + C ) + A, con el objeivo de esimar el componene esacional E Cálculo de los Índices de variación esacional: 3

33 SERIE NO CENRADA DE MEDIAS MÓVILES rimesres º º 3,9 46,7 6, 55,7 35,5 º 3º, 8,8 53, 6,8 49, 37,3 3º 4º 7, 33,7 57,8 63,3 4,4 4º º 5, 4, 6,3 6, 36, SERIE CENRADA DE MEDIAS MÓVILES rimesres Primero 9,6 43,9 6,6 57,9 35,8 Segundo 6,4 49,8 6,9 5,5 36,4 ercero 3,5 3,3 55,4 6,5 45,3 Cuaro, 37,4 59,5 6,7 38,8 Excel SC_ + ERR SAF_ SAS_ X SAF_ Medias Medias IBVE SERIE móviles móviles rimesre X + E + C + A E + A X ( + C) IBVE normalizado DESESACIONALIZADA descenrada cenrada IVE (E ) X IVE + C + C Q , 5,5 5,994 9,4 Q 988 9,8,,9475,798 9, Q , 7, 3,5,3,535,383,8 Q ,9 5,, 5,85,675,8 6,78 Q 989 5, 3,9 9,6 4,45 5,5 5,994,4 Q 989 5,5 8,8 6,4,865,9475,798,7 Q , 33,7 3,3 6,9375,535,383 35,8 Q ,4 4, 37,4 8,965,675,8 36,8 Q 99 4,8 46,7 43,9 9,5 5,5 5,994 4, Q 99 55, 53, 49,8 5,3875,9475,798 5,4 Q3 99 6,3 57,8 55,4 4,95,535,383 57,9 Q4 99 7,5 6,3 59,5,9875,675,8 6,38 Q , 6,6 7,6375 5,5 5,994 59,3 Q 99 69,3 6,8 6,9 7,45,9475,798 66,5 Q , 63,3 6,5,6875,535,383 6,8 Q4 99 7,5 6, 6,7 8,85,675,8 6,38 Q 99 5, 55,7 57,9 7,7875 5,5 5,994 65,4 Q 99 56,5 49, 5,5 4,5,9475,798 53,7 Q ,7 4,4 45,3,3875,535,383 43,3 Q ,5 36, 38,8 5,75,675,8 34,38 Q ,5 35,8 6,765 5,5 5,994 34,3 Q , 37,3 36,4,65,9475,798 3,3 Q ,,535,383 4,8 Q ,8,675,8 4,68 33

34 SERIE COMPONENES ESACIONAL Y ACCIDENAL rimesres IBVE IVE Primero 4,45 9, 7,64 7,79 6,76 5,5 5,994 Segundo,86 5,39 7,43 4,5,6,9475,798 ercero,3 6,94 4,95,69,39,535,383 Cuaro 5,8 8,96,99 8,8 5,75,675,8,5975, SERIE DESESACIONALIZADA: X IVE (+ E+ C+ A) IVE rimesres Primero 86,5 7,9 39,9 6,5 68,3 33,4 Segundo 9, 3,4 5,6 66,4 53,8 3,8 ercero,5 36, 57,7 6,5 43,3 4,9 Cuaro 8, 36,3 59,6 58,7 34,5 4,3 Uilizando el SPSS para aplicar el méodo de las medias móviles: 34

35 NOA. SPSS anes de hacer la media elimina los IBVE mayor y menor, es decir, calcula el valor medio en lugar de la media, puede uilizar ambién la mediana. En definiiva, se raa de uilizar una medida que miigue el efeco que pueden causar períodos con comporamieno exremo. Los coeficienes esacionales no ienen por qué ser fijos en el iempo. De ahí que se omen como facores esacionales el resulado de realizar una media móvil para los IBVE de cada esación, e incluso una regresión lineal sobre cada conjuno de IBVE en cada esación. Obenidos los facores esacionales: E 5,994, E,798, E3,383, E4,8 Se procede a la aplicación del méodo Hol Winers adiivo, omando α,, β, y γ,5 Los valores iniciales de S y b se obienen de la misma forma que en el méodo muliplicaivo, aplicando las ecuaciones: X X X X 37,75 (k ) L (6 ) k b,,864 k años y L períodos (rimesres) L 4 S X b,.,864 96,3,, m L m L m m aplicar el méodo de la razón a la media móvil: - Los valores iniciales [ C E IVE ], de los facores esacionales obenidos al C E 5,94, C E,798, C E,383, C E,

36 En el período se obienen los esadísicos S,b, y C uilizando, respecivamene, las fórmulas: S α (X C ) + ( α)(s + b ) L,( ) b β (S S ) + ( β)b,,( ) C γ (X S ) + ( γ)c L S α (X C ) + ( α) (S + b ), (77, + 5,94) + (,)(96,3 +,864) 96,3 4,( ) b β (S S ) + ( β) b, (97 96,3) + (,),864,746,,( ) C γ (X S ) + ( γ) C,5 (77, 97) + (,5)( 5,94) 5, Las predicciones vienen dadas por la fórmula: ˆX ( + m)/ (S + b, m) + C + m L m L ˆX (S + b ) C (97 +,746) +,798,5 ( + )/ + 4 A parir del período, el proceso recursivo se coninúa de forma indefinida mienras que se disponga de nuevos daos de la variable X. En la siguiene abla se recogen los cálculos para el período muesral. Períodos rimesre X S b, C ˆX /( ) /( ) e e /( e ) /( ) -3 5,94 -,798 -,383 96,3,864,8 Q , 97,,746 5,3855 Q 988 9,8 97,,57,4483,5 8,7 76,5 8,7 3 Q , 99,,66,473,, 5,, 4 Q ,9 3,9,939,764,8 6, 6,8 6, 5 Q 989 5, 8,7,37 4,798 9,4 4,7 5,6 4,7 6 Q 989 5,5 3,4,4743,935 3,4, 45,9, 7 Q , 9,8,876 3,676 8,3 9,9 394,6 9,9 8 Q ,4 5,3 3,3,8 33,5,9 67,,9 9 Q 99 4,8 3,7 3,3537 4,35 3,6, 4,9, Q 99 55, 37,7 3,788 3,668 36,9 8,3 333,3 8,3 Q3 99 6,3 44,5 4,38 3, ,6 5,7 44,9 5,7 Q4 99 7,5 5,9 4,653,748 59,8,7 36,3,7 3 Q ,8 4,395 4,9 4,8 3,,3 3, 4 Q 99 69,3 6, 4,4399 3,887 63,8 5,5 3,5 5,5 5 Q , 64,4 4,39 3, ,6 6,4 4,4 6,4 6 Q4 99 7,5 66,7 4,39,35 8,4 9,9 99, 9,9 7 Q 99 5, 69,5 3,9838 4,483 56,6 6,5 4,3 6,5 8 Q 99 56,5 69,3 3,566 3,47 77,4,9 436,5,9 9 Q ,7 66,7,9493,46 76,5 3,8 95,9 3,8 Q ,5 6,4,87 9,889 8, 36,5 334,4 36,5 Q ,4,5965 5,773 5, 3, 967,7 3, Q , 54,4,383,935 63, 7,9 779, 7,9 3 Q , 5,5,7457,8 57,8 4,6 4, 4,6 4 Q ,8 5,,59 9, ,,3 8,4,3 738,4 348, 36

37 A parir de las dos úlimas columnas: e/( ) 738,4 RECM 7,6 3 e 348, 3 /( ) EAM 5,4 En esa serie, uilizando los mismos parámeros ( α,, β, y γ,5), el méodo muliplicaivo ofrece peores resulados que el méodo adiivo, en el senido de que ano la RECM como el EAM son menores en el méodo adiivo. A parir de las variables de alisado S4 5, b4,59, C 5,773, C,935, C3,8 y C4 9,4358, se hacen las predicciones para 994 (Q 994, Q 994, Q3 994, Q4 994), períodos 5, 6, 7 y 8, con un período hacia adelane: ˆX (S + b m) + C ( + m)/, + m L ˆX 5/4 (S4 + b, 4. ) + C (5 +,59. ) + ( 5,773) 35,8 ˆX 6/4 (S4 + b, 4. ) + C (5 +,59. ) +, ˆX 7/4 (S4 + b, 4. 3) + C 3 (5 +,59. 3) +,8 54,4 ˆX 8/4 (S4 + b, 4. 4) + C 4 (5 +,59. 4) + 9,4358 6,5 Las predicciones obenidas para 994 obenidas con las dos versiones (muliplicaivo, adiivo) del méodo de Hol Winers difieren poco enre sí, enconrándose muy alejadas de las predicciones obenidas cuando se aplica el IVE conjunamene con predicciones de la endencia, obenidas a parir del ajuse de una reca a la serie desesacionalizada. El valor dado a los coeficienes α y β puede influir de forma imporane en la precisión de los esimadores. Con ese moivo, se han analizan los daos de la serie con el SPSS para aplicar el méodo de Hol Winers adiivo. Ese programa permie realizar la búsqueda de los coeficienes con los que se obiene el RECM más pequeño. 37

38 Para cada uno de los parámeros hay que indicar el valor máximo y el mínimo enre los que se realiza la búsqueda, así como el incremeno dado enre cada valor y el siguiene. En ese caso, el inervalo de búsqueda para los res parámeros ha sido (,,9), el incremeno seleccionado ha sido de,. Los valores que minimizan RECM: α,9 β,4 γ, El valor ópimo del coeficiene α para esa serie es muy elevado. e/( ) 4,86645 RECM 7,345 3 (menor que en el caso muliplicaivo) 38

39 En la siguiene gráfica se represena la serie original y las series pronosicadas (con los disinos valores analizados para la RECM) según el méodo adiivo de Hol Winers: Con objeo de deerminar si el méodo de Hol Winers explica saisfacoriamene la pare sisemáica de la evolución de la serie, se obiene la función de auocorrelación esimada (ACF) de los errores de predicción. Como la muesra es de 4 observaciones se calculan esos coeficienes para los 6 primeros reardos, debido a la pérdida de fiabilidad no conviene que el número de coeficienes calculado sea superior a /4 del amaño muesral. Los 6 coeficienes esán denro de la banda de confianza, por lo que a un nivel individual se rechaza la hipóesis de que cada uno de los coeficienes ρs sea disino de cero. 39

40 En el conrase global se planean las hipóesis: H: ρ ρ ρ 6 H : alguno no es nulo El esadísico Q de Box Ljung: Q ( ) r M h (M número coeficienes que se conrasan) h h 6 Q 4(4 ) rh,577 h h pueso que Q,557 <,59 χ se acepa la,5;6 hipóesis nula para un nivel de confianza del 95%. Se puede concluir que el méodo de Hol Winers explica razonablemene la pare sisemáica de la serie, ya que los errores que se comeen en la predicción se aproximan a una variable de ruido blanco en el senido de que no esán correlacionados enre sí. En consecuencia, el méodo de Hol Winers en el esquema adiivo permie conseguir mejores resulados que en la versión muliplicaiva, aunque con diferencias muy pequeñas. 4