Curso 2006/07. Tema 2: El incumplimiento de la hipótesis de estacionariedad. Cómo resolverla. 2. La falta de estacionariedad en varianza

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1 Economería II Tema 2: El incumplimieno de la hipóesis de esacionariedad. Cómo resolverla. Inroducción 2. La fala de esacionariedad en varianza 3. La fala de esacionariedad en media Tema 2 2. Inroducción Pocas series emporales reales son esacionarias. Moivos: a) Presenan endencia b) Varianza no consane c) Variación esacional Solución: Operaciones algebraicas Un proceso no esacionario que se conviere en esacionario después de h operaciones de diferencia se denomina homogéneo de orden h o inegrado de orden h. Deección: inspección del gráfico de la serie y de su FAS Si presena endencia lineal Si presena endencia cuadráica ransf.: X X = ΔX ransf.: 2 Δ X Tema 2 2

2 Economería II Series emporales Proceso esacionario? Tema 2 3 Correlogramas Proceso esacionario? Tema 2 4 2

3 Economería II Paseo Aleaorio: Caso específico de proceso inegrado. Se suele usar como modelo para las coizaciones de bolsa. Expresión: X = X + ε Media consane, pero varianza creciene. Aplicando diferencias primeras, resula: Δ X = X X = ε Dado que ε ya es un proceso puramene aleaorio, podemos decir que X es inegrada de primer orden. Conclusión: La aplicación de diferencias finias a procesos no esacionarios reduce, hasa ciero grado, la varianza. La sobrediferenciación produce el efeco conrario. Si la serie presena variación esacional, se soluciona omando diferencias esacionales Tema 2 5 Camino Aleaorio Tras primeras diferencias Tema 2 6 3

4 Economería II Tema 2: El incumplimieno de la hipóesis de esacionariedad. Cómo resolverla. Inroducción 2. La fala de esacionariedad en varianza 3. La fala de esacionariedad en media Tema La fala de esacionariedad en varianza Muchas series emporales económicas no son esacionarias, si bien suelen ser homogéneas, eso es, son suscepibles de converirse en esacionarias aplicando ransformaciones: ransformación de Box-Cox: deerminación de λ diferencias sucesivas: deerminación de d Cuando la serie X no es esacionaria en varianza se ransforma la misma mediane la ransformación de Box-Cox X ( λ) = w λ X = λ lnx λ 0 λ = 0 Tema 2 8 4

5 Economería II Para deecar si X es esacionaria en varianza podemos analizar la serie emporal o el diagrama rango/media Cómo? EXPORT Gráfico Rango Media: Dividir la serie en inervalos (si hay esacionalidad, inervalo=período esacional; si no, inervalos de 5 a 0 daos) Calcular el rango y la media de cada inervalo. RANGOEXPORT MEDIAEXPORT λ=0 (aplicar ln) λ= (X =w ) Tema 2 9 Graficar los pares de valores (media,rango) Decidir el valor de λ según la pendiene de la reca de regresión ajusada (normalmene =0 ó =) Como es difícil deerminar a ojo el valor de λ, se opa por calcular la siguiene regresión, que vuelve a relacionar dispersión con valores medios: x i ( λ) μx i lnσ 2 = lnδ + ln + ε Se conrasa si el parámero asociado al logarimo de la media es significaivo o no. Si lo es, hay que ransformar el modelo (con Box-Cox, para el valor λ obenido). Si no lo es, no se ransforma el modelo. i Tema 2 0 5

6 Economería II 6 Tema 2 Tema desv.ip rango media Diciemb Noviem Ocubre Sepiem agoso julio junio mayo abril marzo febrero enero

7 Economería II Gráfico D.T.- Media Desviación Típica Media Tema 2 3 ln media ln varianza Decisión? Tema 2 4 7

8 Economería II Tema 2: El incumplimieno de la hipóesis de esacionariedad. Cómo resolverla. Inroducción 2. La fala de esacionariedad en varianza 3. La fala de esacionariedad en media Tema 2 5 Cuando la serie X no es esacionaria en media se ransforma la misma calculando diferencias sucesivas. w = X X = De manera general: ( L) X = ΔX 2 w w = Δ X d ( λ) w = Δ X Valor de d? ; ; Analizar el gráfico de la serie original y sus correlogramas Serie oscila en orno a un valor, FAS decrece rápido: d=0 Serie con disinos niveles, FAS con decrecimieno leno, FAP con primer valor cercano a : diferenciamos y volvemos a El proceso se repie hasa obener un valor d que asegure que es esacionaria (normalmene d 0,, 2 ) [ ] Tema 2 6 8

9 Economería II Ejemplos: d=0 d= d= SERIE SERIE RENTA El valor d ambién puede obenerse aplicando los conrases de DF y DFA (nos darán mayor fiabilidad) Tema 2 7 Los procesos a los que se les aplica diferenciación, se conocen como procesos ARIMA(p,d,q), donde d indica el número de diferenciaciones realizadas. X ARIMA(p,d,q) Ejemplo: Paseo aleaorio Diferenciación Δ d Inegración Δ w ARMA(p,q) Ruido Blanco La serie de inerés para nosoros es X y no w, por eso enemos que aplicar el proceso de inegración, una vez realizado odo el esudio: (Ej. d=) ( L) X = X X w = Δ X = X = w + X Tema 2 8 9

10 Economería II Conrases de inegración. Los es de DF y de DFA Los conrases de inegración son más conocidos como conrases de raíces uniarias. Sirven para decidir el valor de d. Deeca la posibilidad de ener que diferenciar. Una serie es inegrada de orden, X ~I( ), cuando al realizar su primera diferencia,, conseguimos que sea esacionaria. ( L) X = ΔX Un AR() puede ser: X = φx + ε () X = δ + φx + ε (2) X = δ + β + φx + ε (3) Si φ = no es esacionario, pero si aplico una diferencia sí. Dem: De () Δ X = ε Tema 2 9 El conrase de D-F se basa en esa idea. Por lo ano, esima (3) y planea el conrase: H0: φ= H: φ< φ = ˆ ~ ˆ σ ˆ φ Una forma alernaiva de planearlo es resando X - a ambos lados del modelo (3). Así: * ( ) Δ X = δ + β + φ X + ε = δ+ β + φ X + ε DF Enonces el conrase se planeará como: H : φ = 0 ˆ φ 0 ~ * * 0 * = H: φ < 0 ˆ σ ˆ * φ DF Tema

11 Economería II Ejemplo: X = Tipos de cambio del franco canadiense frene al dólar (desde 973 hasa 989) RANGTC MEDTC TIPOCAMBIO Tema 2 2 Tema 2 22

12 Economería II Residuos no correlacionados? Tema 2 23 La forma de realizar ese conrase ya no pare de un AR() con ruido blanco, sino que generaliza para un AR(p). Sea: X δ β φx φ X φ X ε = p p+ Se puede reescribir como: p p p X = δ + β + φi X φi Δ X k + ε i= k= i= k+ Y a parir de aquí: p * * () i i i= Δ X = δ + β + φ X + φδ X + ε (4) * δ = φδ () φ = φ φ φ p () 2 Tema

13 Economería II Enonces el conrase se vuelve a planear como: 0 : φ() = 0 ˆ φ() 0 = ~ : φ() < 0 ˆ σ H H Si acepamos Ho endremos que diferenciar una vez. Y dos? Se repeiría odo el proceso pariendo de la serie ya diferenciada una vez. ˆ φ() DF Dudas: Cuános reardos debe incluir la ecuación (4)? Es necesario incluir en la ecuación (4) consane? Y endencia? Tema 2 25 Los pasos a seguir a la hora de hacer el conrase serán: Hacer el conrase DF/DFA con consane y endencia, para seleccionar el número de reardos necesarios hasa que el residuo enga un FAS y FAP ruido blanco. Selección de consane y/o endencia: Sin modificar el número de reardos de, aplicar los siguienes conrases, que se resuelven odos con el siguiene esadísico: φ = i ( e' e e' e ) r e' e nr nr r ( T k) r = nº de resricciones en la Ho T = nº de observaciones usadas k = nº de parámeros del modelo no resringido Tema

14 Economería II Acepo Ho Ho: MCO con consane H: MCO con consane y endencia ( ) φ 3 Acepo H Ho: MCO sin consane H: MCO con consane Acepo Ho Acepo H Ho: MCO sin consane ni endencia H: MCO con consane y endencia φ 2 Acepo Ho Acepo H ( φ ) ( ) Sin consane ni endencia Sólo con consane Sin consane ni endencia Con consane y endencia Noa: el modelo resringido aparece siempre en la Ho. Tema 2 27 ( φ 3 ) ( φ ) Tema

15 Economería II ( φ 2 ) Tema 2 29 Ejemplo: Tema

16 Economería II Dependen Variable: DTIPOCAMBIO Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 973:04 989: Included observaions: 200 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. TIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-2) Sum squared resid Schwarz crierion Dependen Variable: DTIPOCAMBIO Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 973:04 989: Included observaions: 200 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C TIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-2) Sum squared resid Schwarz crierion Tema 2 3 Dependen Variable: DTIPOCAMBIO Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 973:04 989: Included observaions: 200 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C T 2.46E-05.99E TIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-) DTIPOCAMBIO(-2) Sum squared resid Schwarz crierion ADF Tes Saisic % Criical Value* % Criical Value % Criical Value *MacKinnon criical values for rejecion of hypohesis of a uni roo. Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(TIPOCAMBIO) ADF Tes Saisic % Criical Value* % Criical Value % Criical Value *MacKinnon criical values for rejecion of hypohesis of a uni roo. Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(TIPOCAMBIO,2) Tema