ECONOMETRÍA II 1. La Econometría de Series de Tiempo

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1 ECONOMETRÍA II. La Economería de Series de Tiempo

2 Economería II Noas de clase.. Análisis Univariado de Series de Tiempo... Series de Tiempo Esacionarias Análisis univariado: se idenifica cada variable exclusivamene con su pasado, analizando su esacionariedad y descomponiendo sus elemenos cíclicos y endenciales. Qué enendemos por proceso esacionario? (i) Proceso Esocásico Discreo (PED): una sucesión de variables y, donde = -,..., -, -, 0,,,.... aleaorias { } (ii) Esacionariedad. Consideremos el PED { y,...y,..., y,..., } - T y- y cenrémonos en dos de sus miembros: y y y -k. Ese PED se denomina esacionario de un ipo paricular si deerminadas propiedades esocásicas de y y y -k no dependen de y -k (su ubicación absolua en la secuencia) pero sólo de k (su separación relaiva en la secuencia). - Esacionariedad esrica. Se verifica si las disribuciones de y y y -k (conjuna y marginal) no dependen de pero sólo de k, i.e. fy (z) = f (z) y para odo z, y f (z, w) k y, y depende sólo de k k y no de. - Esacionariedad débil o en covarianza. Se verifica cuando los dos primeros momenos de y y y -k dependen posiblemene de k pero no de, i.e. E(y ) = E(y k ) y Var (y ) = Var (y k ) k, y Cov(y, y k ) depende posiblemene de k pero no de. E(y ) = δ Var (y ) = σ y Cov(y, y k ) = Cov(ys, ys k ) = γk, k

3 Economería II Noas de clase 3 Series de iempo esacionarias (en el senido débil): se podrán modelar a ravés de especificaciones ARMA. Su objeivo es explicar el componene cíclico de la serie (o su componene esacionario) a ravés de su pasado por medio de diferenes ipos de relaciones. p ARMA(p,q): y = α y + ε + ε ε i.i.d(0, σ ) i= i i q j= i Por qué es imporane rabajar con series esacionarias? - En el rabajo empírico, cuando analizamos la esacionariedad en media de una serie, la gran preguna es: Y Esacionaria en endencia (ET) Esacionaria en diferencias (ED) - Esa disinción hace referencia a la ransformación que debemos realizar para garanizar la esacionariedad del proceso. - Qué riesgo corremos si ignoramos esa disinción? * Comparemos los procesos X y W. Qué elemenos conforman esos procesos? De dónde proviene la endencia deerminísica de X? Qué implican los resulados de la simulación propuesa? ε Condiciones para la esacionariedad. - Empecemos con el ejemplo más sencillo: un AR() y = αy + ε. * En ese caso noaremos que el proceso es esacionario si y sólo si α <.

4 Economería II Noas de clase 4 - Proceso MA finio: combinación lineal finia de ruidos blancos esacionario por definición. - Generalicemos ahora nuesros resulados para un proceso ARMA(p,q): y y ( α y ( z L)( z y p = α y + ε = i= i i L... α [ MA(q) + ε ] Esacionario q j= p i p L ) = MA(q) + ε L)...( z ( z + ε L) Esacionario si z < p L) = MA(q) + ε ( z... L) ( z Esacionario si z < y z <...ec. - Condición para la esacionariedad de un proceso ARMA(p,q): Las raíces caracerísicas del polinomio de rezagos del componene AR(p) son menores a uno en valor absoluo. p L) - De las ecuaciones aneriores: y p ( αl... αpl ) = MA (q) Polinomio de rezagos + ε

5 Economería II Noas de clase 5 p p α α z αz... αp = 0 p L... pl Ecuación caracerísica y ( zl)( zl)...( zpl) = MA(q) + ε Raíces de la ecuación caracerísica - * Veamos un ejemplo de odo eso considerando un proceso AR(). - En la prácica, el análisis de esacionariedad no pasa por la consrucción de ecuaciones caracerísicas y el cálculo de sus raíces. No obsane, se basa en los resulados que acabamos de ver. - Si parimos de la ecuación caracerísica z p α z p... αp = 0, cómo esperamos se comporen los coeficienes si alguna de las (p) raíces es igual a? - Podemos, enonces, pregunar si es que se cuena con suficiene evidencia esadísica para acepar que p * j j = α = α = 0. Eso es, precisamene, lo que hace el es que veremos más adelane.

6 Economería II Noas de clase 6 Esadísicos que caracerizan procesos esacionarios (a) Función de Auocovarianza (FAC) La FAC de un PED { y } es una función igual a: γk = Cov(y, y k ), k (.) (b) Función de Auocorrelación Simple (FAS) La FAS de un PED { y } es una función igual a: ( y, y-k ) ( y ) Var( y ) Cov ρ k =, k (.) Var -k Nóese que, si la serie es esacionaria, las varianzas serán consanes a lo largo del iempo, es decir, Var(y ) = Var(y -k ), con lo cual el denominador de (.) es simplemene Var(y) o γ 0, por lo que: γ ρ k k = (3.) γo Para esimar la FAS de orden k de un PED, se pueden uilizar las conrapares muesrales de los érminos de varianza y covarianza: ( y - y )( y -k - y ) T - k ρˆ = = k + (4.) k T T ( ) ( ) y - y y -k - y T T - K = T = k + no obsane, hay que observar que, asinóicamene ( T ),

7 Economería II Noas de clase 7 T k T, T = T = k+ por lo ano, podemos reescribir (4.) como: T ( y - y)( y-k - y) ρˆ = = k+ k (5.) T ( y-k - y) = k+ lo que equivale a esimar el coeficiene de la ecuación que relaciona y y y -k. (c) Función de Auocorrelación Parcial (FAP) y es igual a su FAS, pero corregida por los rezagos inermedios, ya que indica el efeco marginal que cada -k iene sobre. En adelane, denominaremos a la FAP como φ k. La FAP de un PED { } Para esimar la FAP de orden k de un PED es necesario correr una regresión que relacione y y y -k pero en presencia de los rezagos inermedios. Así, por ejemplo, para hallar la FAP de orden (que es igual a la FAS del mismo orden, ya que no habrían rezagos inermedios), se corre la regresión: y~ = φ ~ y + ε donde y ~ es la desviación de y respeco a su media. Para esimar la FAP de orden, se requiere correr la regresión: y~ = λy~ - + φy ~ - + ε

8 Economería II Noas de clase 8 donde φ es la FAP de orden, pero l no es la FAP de orden. Algo similar ocurre si queremos esimar la FAP de orden 3 corriendo la regresión: y~ = λy~ - + τy~ - + φ3 ~ y -3 + ε3 siendo φ 3 la FAP de orden 3, pero eniendo en cuena que ni l ni son las FAP de orden y, respecivamene. La FAC, FAS y FAP de algunos procesos (i) Un proceso AR(): y = αy + ε Anes de analizar el comporamieno de las funciones de auocorrelación hay que esablecer la relación que exise enre y y los errores de la ecuación. Podemos planear ésa a dos niveles: - La relación de y con errores fuuros (sucesivos reemplazos...): s Ε( y -kε ) = Ε -k-s α ε ε = 0 s= 0 En ese caso el valor esperado planeado va a ser siempre igual a 0 ya que se relacionan errores (ruidos blancos) no conemporáneos. - La relación de y con errores presenes o pasados: s k Ε( yε-k ) = Ε -s -k α ε ε = α σε s= 0 En ese caso el valor esperado planeado se hace disino de cero siempre que s = k (momeno en el cual se relacionan dos errores conemporáneos), siendo k la disancia que hay enre y y ε.

9 Economería II Noas de clase 9 Ese análisis demuesra que y va a ener relación con los errores pasados y presenes, pero nunca con los fuuros. (a) Análisis de la FAC σ γ o = σ y = ε α ( y ) = Ε( αy + y ε ) = αγ 0 γ y = Ε ( y ) ( ) y- = Ε θy-y- + y-ε = αγ + = α γ0 γ = Ε 0 Y así sucesivamene, por lo que, en general, se puede decir que: γ k = α k γ0 k 0 Además, y como α <, puede observarse que a medida que k crece, la FAC converge a cero a una asa α. (b) Análisis de la FAS Como vimos previamene ρ k ρ 0 = = γk γ0, de forma al que: ρ = γ γ0 = αγ0 γ0 = α

10 Economería II Noas de clase 0 γ α γ0 ρ = = = α γ0 γ0 Y en general, ρ k = γk γ0 = α k k 0 De forma al que a medida que k crece la FAS converge a cero a la misma asa α. (c) Análisis de la FAP Para hallar la FAP(k) es necesario esimar los coeficienes de una regresión que relacione y con el k-ésimo rezago y odos los inermedios. y = φy- + ε Para una muesra lo suficienemene grande, el desvío de y respeco a la media es igual a y dado que E(y ) = 0. FAP () = FAS() = φ = α Lo mismo se aplica en el caso de que k =, usando el modelo y = λy- + φy- + ε Debido a que el proceso en cuesión es un AR(), ningún regresor excepo el primer rezago endrá un efeco marginal significaivo sobre y. En oras palabras, luego de conrolar por el primer rezago, ningún oro de orden superior endrá un efeco significaivo.

11 Economería II Noas de clase Concluimos enonces que: FAP() = ρ = α FAP(k) = 0 k > Qué sabemos hasa ahora? - Los coeficienes de correlación simple de un proceso AR() esacionario convergen a cero conforme aumene el grado de los mismos. - Sólo el primer coeficiene de correlación parcial de un AR() esacionario es disino de cero. * Verifiquemos eso generando un proceso AR() esacionario. (ii) Un proceso AR(): y = αy + αy + ε Tomando la esperanza de la serie podemos comprobar que ésa es igual a cero (siempre que el modelo no enga consane). Así: Ε ( y ) = α Ε( y ) + α Ε( y ) - - dado que se raa de una serie esacionaria, las res esperanzas de la expresión anerior son iguales, por lo que E(y ) sólo puede ser igual a cero. (a) Análisis de la FAC Tal como se hizo en el caso del proceso AR(), uilizaremos las ecuaciones de Yule-Walker. En érminos generales (usando el k-ésimo rezago):

12 Economería II Noas de clase yy-k = αy-y-k + αy-y-k + εy-k Ε ( y y ) = α Ε( y y ) + α Ε( y y ) + Ε( ε y ) -k - -k - -k obeniéndose la siguiene expresión, para odo k>0 -k γ k = αγk- + αγk- por lo que se puede concluir que la FAC ambién sigue un proceso auorregresivo. * Veamos ese resulado con algo más de dealle de modo que nos quede claro como es que, omando en cuena que γ p = γ p, se obiene lo siguiene: γ 0 = αγ + αγ + σε γ = αγ0 + αγ γ = αγ + αγ0 Resolviendo ese sisema de ecuaciones es posible hallar γ 0, γ y γ. γ0 = ( α) σε ( + α )(( ) α α ) αγ γ 0 = α γ = α ( α ) + α γ0 α

13 Economería II Noas de clase 3 (b) Análisis de la FAS Uilizando las relaciones aneriores enemos que: ρ = γ γ0 α = α + αρ = α ρ = γ γ0 = αρ + α = α α + α Así, en general: γ ρ k k = = αρ k- + αρk- k > 0 γ0 A parir de esas expresiones, es posible demosrar que la FAS de un AR() converge a cero, bajo diferenes formas (direca u oscilaoria), dependiendo de los valores que omen α y α. De hecho, la condición de esacionariedad para y nos indica que las raíces caracerísicas de ρk = αρ k- + αρk- deben caer denro del círculo uniario por lo que ρ es convergene. la secuencia { } s (c) Análisis de la FAP La esimación de la FAP requiere, ora vez, la esimación de un conjuno de ecuaciones donde el úlimo rezago incluido es el del orden respecivo de la FAP a esimar. Así: y y = φy - + ε, se usará para hallar la FAP() = φ = λy - + φy- + ε, se usará para esimar la FAP() = φ

14 Economería II Noas de clase 4 Nóese que la FAP() es igual, por definición, a α, mienras que la FAP() no es igual a α. Si es ciero, no obsane, que FAP() = FAS(). Si deseamos hallar la FAP(3): y = λy- + λ y- + φ3y -3 + ε donde observaremos que, de acuerdo a la especificación del modelo (de orden ), φ 3 es cero. Eso será además ciero para odo k >. Qué sabemos hasa ahora? Generalizando esos resulados para procesos AR(p) esacionarios enemos que: - La FAC y la FAS convergen a cero. - La FAP es igual a cero k > p. Diagnósico - Ausencia de una FAS convergene: evidencia en conra de la esacionariedad de la serie. - Hasa qué orden es la FAP significaiva?: orden de auorregresión (AR) de la serie. (iii) Un proceso MA(): y = ε βε Nóese que un proceso de medias móviles es siempre esacionario porque es una combinación lineal de ruidos blancos, y esos, por definición, son esacionarios. Tomando la esperanza y la varianza a la expresión anerior se puede verificar que: E V ( y ) = 0 ( y ) = σ + σ β = σ ( + β ) ε ε ε

15 Economería II Noas de clase 5 (a) Análisis de la FAC γ 0 = σy = ( + β ) σε ( y ) [( )( )] = Ε ε βε ε βε = βσε ( yy ) = Ε[ ( ε βε )( ε βε 3) ] 0 ( y ) 0 γ = Ε y γ = Ε = γ3 = Ε y 3 = y así sucesivamene, por lo que podemos generalizar ese resulado diciendo que: γ k = 0 k > (b) Análisis de la FAS Si recordamos la fórmula para la FAS enemos que: ρ 0 = γ ρ = γ0 β = + β γ ρ = = 0 γ0 por lo que generalizando se iene que: ρ k = 0 k > (c) Análisis de la FAP Dado que el modelo de medias móviles sólo evidencia una relación enre y y los errores presenes y pasados, es necesario realizar un proceso de inversión a fin de rescaar la relación enre la primera y sus propios valores pasados.

16 Economería II Noas de clase 6 ε = y + βε y rezagando sucesivas veces: ε = y +βε ε = y +βε 3 (...) por lo que: ( ) ε = y +β y +β y +βε 3 ε 3 = y + βy + β y + β ε 3 De donde se puede despejar y para obener: y 3 = βy β y β ε 3 + ε de lo que podríamos deducir que, si coninuáramos reemplazando los rezagos de ε, y esaría en función de su propio pasado: y = β s y s s= + ε La ecuación anerior es la represenación AR de un proceso MA. Para que dicha represenación sea esacionaria, sabemos ya que debe cumplirse que β sea menor a uno en valor absoluo. En ese caso, se dice que el proceso MA es inverible. Eso además implica que la FAP de un proceso MA() inverible converge a cero, bajo diferenes formas, dependiendo del signo de β. * Cómo quedaría la FAP si represenamos el MA: y = ε + βε?

17 Economería II Noas de clase 7 Qué sabemos hasa ahora? Generalizando esos resulados para procesos MA(q) inveribles enemos que: - La FAC y la FAS son iguales a cero k > q. - La FAP converge a cero de disinas formas dependiendo de los signos de los coeficienes β. En resumen: Función de auocorrelación simple (k) Función de auocorrelación parcial (k) AR(p) Converge a 0, k Igual a cero para k > p MA(q) Igual a cero para k > q Converge a 0, k FAP idea del orden AR. FAS idea del orden MA. (iv) Un proceso ARMA(,): y = αy + ε βε El proceso ARMA (,) será esacionario cuando α <, es decir, cuando la pare AR de la serie lo sea, mienras que será inverible oda vez que β <.

18 Economería II Noas de clase 8 No es difícil darse cuena que: Ε ( y ) = 0 Var (y ) = Ε( y ) = Ε( α y + ε + β ε + αy ε αβy ε βεε ) de modo que: Var(y ) = α Var(y ) + σε + β σε αβσε σ ( + β αβ) Var(y ) = ε ( α ) (a) Análisis de la FAC γ0 = Var(y ) = σε ( + β αβ) ( α ) ( y ) = Ε( αy + ε y βε y ) γ y = Ε ( αβ)( α β) γ = αγ0 βσε = σ ε α ( y y ) = Ε( αy y + ε y βε ) γ = Ε y γ = αγ Generalizando, la FAC de un proceso ARMA (,) iene el siguiene comporamieno:

19 Economería II Noas de clase 9 γk = αγk k > (b) Análisis de la FAS y la FAP ρ 0 = γ ρ = γ 0 = ( αβ)( α β) + β αβ γ αγ ρ = = = αρ γ0 γ0 Generalizando: γk αγ ρ k k = = = αρk k > γ0 γ0 Las expresiones aneriores nos permien verificar que el comporamieno de la FAC y la FAS de un ARMA (,) es muy similar al de un AR(): decrece a una asa α. Nóese, sin embargo, que ello ocurre desde el momeno en que k>, o mejor dicho, a parir del momeno en que k es mayor que el orden de la pare MA; ello es así porque, como hemos viso anes, la FAC y FAS del MA se hace cero para odo k mayor que su orden, por lo que en el comporamieno de esas funciones sólo prima el componene AR de la serie. Lo conrario ocurrirá en el caso del FAP: a parir del k> primará el comporamieno del componene MA, porque la FAP de la pare AR se hace cero. Así: FAS ARMA (,) FAS AR() para odo k> FAP ARMA (,) FAP MA() para odo k>

20 Economería II Noas de clase 0 Generalizando para los modelos ARMA de orden mayor podemos decir que, en el caso de un modelo ARMA (p,q) se iene que: FAS ARMA (p,q) FAS AR(p) k > q FAP ARMA (p,q) FAP MA(q) k > p Esimación de modelos univariados (i) Procesos AR - En el caso de un AR() es posible esimar el coeficiene auorregresivo uilizando MICO: αˆ MCO = yy y Al respeco, se debe omar en cuena lo siguiene:. X, la variable explicaiva, es en realidad Y -, y en general, X +j =Y +j- Por lo que al verificar la relación exisene enre la variable explicaiva y el error, se observa que: Cov Cov ( x, ) = Cov(y ε ) 0 ε = ( x, ε ) = Cov(y ε ) = α j σ 0 + j + j Por lo ano, sólo hay ausencia de correlación conemporánea, pero no con los valores fuuros de las X s. ε

21 Economería II Noas de clase. Las variables explicaivas no son exógenas, son endógenas rezagadas o predeerminadas. 3. Por lo anerior, el esimador MICO es sesgado, es decir, ( α) α Ε ˆ. Eso se debe a que el vecor de errores no es independiene en media del valor realizado de y -. * Ane eso es indispensable verificar las propiedades asinóicas del esimador. Paramos de: α ˆ = αy + y y ε = α + y y ε y verifiquemos si ˆαMICO α p * Además, podemos verificar la disribución asinóica de dicho esimador: T( α ˆ MICO α)? d De los resulados obenidos se desprende que es apropiado usar MICO para esimar modelos de series de iempo siempre que engamos muesras grandes. Asimismo, podemos hacer inferencia de la manera habiual apelando a la normalidad asinóica de ˆα. MICO (ii) Procesos MA - Una alernaiva sencilla es usar la represenación AR de un MA, lo que además iene la venaja de faciliar la inerpreación de resulados (siempre es más fácil inerprear la relación enre la variable y sus valores pasados que con los respecivos errores).

22 Economería II Noas de clase - Sin embargo, surge el problema de que la represenación AR de un MA es infinia, por lo que no podría ser esimada. Cabe recordar, no obsane, que si un MA se puede represenar como un AR, o mejor dicho si es inverible, deberá ser ciero que β <, por lo que los rezagos más alejados endrán cada vez menor relevancia para explicar el valor presene de la variable en cuesión. Una aproximación del puno de core relevane nos lo da el siguiene eorema: Teorema de Said y Dickey (984): Un proceso ARMA (p,q) se puede aproximar por un ARMA(n,0), donde n no debe ser mayor a T /3. De esa forma, el valor T /3 será uilizado para esablecer el grado de correlación de la serie con su pasado, a fin de garanizar errores no correlacionados en la ecuación final esimada. (iii) Procesos ARMA Para esimar un modelo de ese ipo se propone un proceso de esimación en dos eapas: (i) Hallar la represenación AR(p) que se ajusa mejor a la serie que se analiza. (ii) Verificar que los errores de la ecuación esimada no esén correlacionados; de lo conrario incorporar elemenos MA a fin de resolver ese problema. De esa manera, se privilegiarán aquellos modelos con menor canidad de érminos MA y, muy probablemene, de menor grado (más parsimoniosos, como lo explicaremos más adelane).

23 Economería II Noas de clase 3 Box-Jenkins (976) (i) Idenificación: análisis gráfico de la serie, inspección del correlograma. - Presencia de valores exremos (oulayers). - No esacionariedad. - Presencia de cambios esrucurales. Corregidos odos esos problemas será necesario inspeccionar el correlograma de la serie, específicamene la FAS y la FAP. La primera nos permiirá esablecer los posibles érminos MA presenes en el modelo, mienras que la segunda hará lo propio con los érminos AR. (ii) Esimación: - Los modelos que arroja la primera eapa son esimados verificando la significancia de incluir las diferenes combinaciones de érminos idenificados a parir del correlograma. Aquellos que pasen esa primera prueba serán someidos al análisis de correlación de errores y al de parsimonia. Correlación de errores prueba de Ljung-Box (978). Recuerden la Ho: no hay correlación hasa de orden k. k Q = T( T + ) j= ρ j ( T - j) χ k p q Parsimonia crierios de Akaike y Schwarz (iii) Diagnósico: Someer el modelo elegido a odas las pruebas radicionales. Verificar, especialmene, si odavía se observa auocorrelación en los errores.

24 ECONOMETRÍA II. La Economería de Series de Tiempo

25 Economería II Noas de clase.. Análisis Univariado de Series de Tiempo... No esacionariedad en varianza De qué hemos esado hablando hasa ahora? - La mayoría de series de iempo asociadas a variables económicas exhibe una media y/o una varianza que no se maniene consane en el iempo. - Sabemos que lo anerior implica que dichos procesos no pueden ser caracerizados como esacionarios. Por lo mismo, la meodología sugerida por Box y Jenkins requiere una exensión si deseamos modelar esas series. - En el capíulo anerior hemos lidiado con series cuya media no es consane en el iempo. Hemos viso que la exensión perinene a la meodología de Box y Jenkins pasa por ransformar la serie de modo que se garanice su esacionariedad. Además, hemos discuido cómo dicha ransformación puede ser la remoción de una endencia lineal o la primera diferencia de la serie, dependiendo de si ésa exhibe sólo una endencia deerminísica (ET) o ambién (o sólo) una endencia esocásica (ED), respecivamene. - Frene a esa disinción, y a la necesidad de implemenar ransformaciones disinas según sea el caso, hemos viso cómo deecar una raíz uniaria en la ecuación caracerísica del polinomio de rezagos del proceso. Frene a la presencia de una raíz uniaria, el efeco de los shocks pasados no se diluye y es eso, precisamene, lo que le imprime una endencia esocásica a la serie. Un proceso con raíz uniaria caraceriza, por ano, a una serie ED.

26 Economería II Noas de clase 3 - En lo que sigue nos concenraremos en la exensión perinene para lidiar con procesos cuya varianza no es consane (i.e. procesos heerocedásicos). Paramos del proceso: y =µ +ε donde µ es la pare deerminísica y ε la aleaoria. Asumamos, además, que el error de la ecuación depende de una variable cualquiera x, de forma al que: ε = vx siendo v un ruido blanco con media 0 y varianza σ. De lo anerior se desprende que la varianza de ε no es consane. Al respeco, debemos considerar dos siuaciones. (i) Si x es conocida (observable en ) y s es consane: En ese caso, = ε =σ V(y x) V( x) x y podemos suponer que la variable x esá en función de µ: por lo que: ( ) x = h µ ( ) h ( ) V y x = µ σ Sabiendo ello, se puede ransformar el proceso a fin de esabilizar la varianza (que no dependa de ). Así, se planea una ransformación de y, g(y ), vía una aproximación de Taylor alrededor de µ :

27 Economería II Noas de clase 4 ' g(y ) g( µ ) + ( y- µ ) g ( y ) y =µ ' ( ) y V g(y )x = g y V(y x) =µ ' ( ) h ( ) y =µ = g y µ σ Enonces, para esabilizar la varianza la ransformación a aplicar deberá ser al que garanice que: ' g ( y ) = y =µ h µ ( ) de forma al que la varianza de la serie ransformada sea igual a σ. Por ejemplo, si y iene una desviación esándar proporcional a su nivel, es decir, h(µ )=µ, enonces: por lo que: ' g( y ) = y =µ µ ( ) g y = Ln(y ) es decir, se iene una ransformación logarímica de la serie a ravés de la cual se garanizaría la esabilidad de su varianza.

28 Economería II Noas de clase 5 (ii) Si no se cumple algunas de las dos condiciones aneriores: La principal dificulad con la esraegia anerior es que asume una causa específica para la heerocedasicidad. Comúnmene, no se ienen razones eóricas que jusifiquen la elección de deerminada secuencia {x }. Por lo mismo, se puede opar por modelar la volailidad de una serie sobre la base de un proceso auorregresivo. Anes de formalizar dicho proceso y ver a qué variable se refiere, veamos por qué puede resular ineresane modelar la varianza condicional de una serie. Para qué modelar la varianza condicional? Hasa ahora, hemos modelado la media condicional de una variable aleaoria (condicional a los valores realizados de los regresores: las X s que pueden ser los valores pasados de la misma variable como en un modelo AR). Ahora revisaremos las écnicas diseñadas para modelar y predecir la varianza condicional de un proceso. Por qué nos puede ineresar modelar su varianza condicional? Por definición, la varianza condicional oma en cuena información pasada. Si bien la varianza incondicional (o de largo plazo) de un proceso puede resular consane, la varianza condicional frecuenemene depende del valor realizado de shocks pasados. Enender la nauraleza de esa dependencia emporal nos puede ayudar a explicar fenómenos como: (i) Colas anchas : La evidencia indica que los reornos de muchos acivos se caracerizan por ener una disribución con una ala probabilidad de ocurrencia de evenos exremos.

29 Economería II Noas de clase Series: R_VOLCAN Sample /9/997 4/3/004 Observaions 33 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera 99.5 Probabiliy (ii) Clusers de volailidad: cambios pronunciados ienden a ser seguidos por cambios pronunciados (de cualquier signo) y viceversa R_VOLCAN

30 Economería II Noas de clase 7 (iii) Efecos apalancamieno (leverage effecs): los cambios en el precio de acciones ienden a esar negaivamene correlacionados con su volailidad. Una caída en el precio es seguida por más volailidad que un incremeno de igual magniud. La volailidad hoy SIG El shock Z de ayer La definición Tal como se indicó aneriormene, se puede opar por modelar la volailidad de una serie sobre la base de un proceso auorregresivo. En general, eso configura un proceso ARCH (heerocedasicidad condicional auorregresiva). En general, decimos que el proceso ε sigue un modelo ARCH si: (i) Su media condicional es igual a cero: E ( ε ) = 0 (ii) Su varianza condicional σ Var ( ) E ( = ε = ε ) depende de observaciones pasadas.

31 Economería II Noas de clase 8 Un ARCH(q) - Engle (98) ε = v α0 q + αiε i i = donde v es un ruido blanco (media igual a 0 y varianza igual a ) independiene de la secuencia de shocks pasados. Dada esa especificación, no es difícil darse cuena cómo la información pasada deermina la varianza condicional: E ε = ε = σ ( ) Var ( ) = α0 q + α ε i i i = De lo anerior se desprende que los parámeros α deben ser ales que α 0 > 0 y α 0,..., αq 0 para garanizar que dicha varianza sea posiiva. Nóese que si definimos ARCH(q) como: v ε σ es posible rescribir el proceso q ε = α0 + αiε i i= + v Dado que E (v ) = 0, el modelo planeado corresponde a un AR(q) para el cuadrado de las innovaciones. Ese proceso será q esacionario si y sólo si αi <, en cuyo caso la varianza i = incondicional vendrá dada por:

32 Economería II Noas de clase 9 q α E( ε ) Var( ) 0 = ε = σε = α0 + αiσε =, i= ( α + α αq) posiiva y finia. A pesar de que los ε ' s no muesran correlación serial, ésos no son independienes a ravés del iempo. De acuerdo con la evidencia empírica mosrada, valores absoluos grandes (pequeños) del proceso ienden a ser seguidos por valores grandes (pequeños) de signo impredecible (clusers de volailidad). Un GARCH(p,q) - Bollerslev (986) Bollerslev (986) exendió el modelo anerior al especificar la varianza condicional como un proceso ARMA, dando origen a un modelo GARCH (p,q) de la forma: donde: ε = v h h = αo q p + α ε i i + i= i= β ih i en el que se incorpora una esrucura dinámica más compleja en la ecuación de la varianza, con componenes auorregresivos y de medias móviles. La sumaoria de los α s y β s debe ser menor que para que el proceso no sea explosivo.

33 Economería II Noas de clase 0 Se puede observar en ese caso que: E ε = σ ( ) = h q p = α + α ε o i i + i= i= β h i i La ecuación anerior nos dice que la predicción de la varianza para ese período (dada la información disponible hasa -) es un promedio ponderado del promedio de largo plazo (el inercepo), información sobre la volailidad en períodos pasados (el érmino ARCH ) y la predicción de la varianza de períodos pasados (el érmino GARCH ). Exisen dos represenaciones alernaivas que pueden resular úiles para inerprear el modelo. Paramos, para fines del ejemplo, de un GARCH(,). σ = α0 + αε - + βσ - (i) Si susiuimos de manera recursiva la ecuación correspondiene al rezago de la varianza, podemos expresar la varianza condicional como una suma ponderada del cuadrado de odos los residuos pasados: σ α = 0 + α β j- ε β - j= Nóese que la expresión anerior es similar al esimador de la varianza muesral pero con pesos menores para rezagos más disanes de ε, lo que parece más apropiado que uilizar ponderaciones iguales para odos los rezagos de los errores al cuadrado. El modelo, enonces, esimará esos pesos dejando que la daa deermine las mejores ponderaciones para predecir la varianza.

34 Economería II Noas de clase De lo anerior ambién se desprende que un modelo ARCH de orden alo puede ener una represenación GARCH más parsimoniosa, que es más sencilla de idenificar y esimar. (ii) Si de nuevo definimos v ε σ, noaremos que es posible expresar un GARCH(,) de la forma: ε = α 0 + ( α + β) ε + v βv Un modelo ARMA(,) para el cuadrado de las innovaciones donde la raíz que gobierna la persisencia del proceso viene dada por ( α + β). La especificación de un modelo ARCH Para especificar un modelo ARCH se proponen las siguienes eapas:. Especificar correcamene la media de la serie, a ravés del méodo de selección Box & Jenkins; esimar el modelo y recoger los residuos.. Analizar los residuos al cuadrado de la esimación de. a ravés de dos procedimienos: - Observar el correlograma de los residuos al cuadrado, para deerminar qué componenes ARCH son significaivos. - Llevar a cabo el ARCH-LM es, cuya hipóesis nula es que no hay érminos ARCH, es decir, dado: ( ε, ε, ; α's) ε ˆ f = - - Ho: α ' s = 0 (no hay érminos ARCH) Para ello se uiliza el esadísico TR χ q

35 Economería II Noas de clase Podremos usar ese es para discriminar enre un proceso ARCH y un proceso GARCH? Qué ipo de información puedo exraer del correlograma de residuos al cuadrado? 3. Con el modelo ARCH(q) elegido probar de nuevo a fin de verificar que odo el componene auoregresivo la varianza haya sido bien recogido. Considere, finalmene, que verificar la idoneidad de un modelo GARCH (p,q) equivale a aplicar el es para un modelo ARCH(p+q) (Balagi (998)). Un ARCH-M - Engel, Liluen, Robins (987) Ese modelo permie que la media de una serie dependa, enre oras variables, de su propia varianza condicional (o su desviación esándar). El objeivo del modelo es deerminar la relación exisene enre la media y la varianza de la serie. Así, ese ipo de modelos se uilizan para esudiar mercados de acciones, y esablecer el rade-off que exise enre el riesgo (su volailidad) y el rendimieno (su valor medio) de una acción. Así, suponiendo que la serie y es el rendimieno adicional que se puede obener al manener una acción por un período largo de iempo, y que ése se puede descomponer en: y = µ + ε donde µ es la prima por riesgo necesaria para que sea aracivo manener esa acción durane ese plazo, podemos expresar esa prima de la siguiene forma:

36 Economería II Noas de clase 3 µ = β + δh siendo h la varianza condicional del proceso. Verificar δ>0 implicaría, enonces, conrasar la hipóesis que sugiere que, a mayor volailidad de la acción, mayor es la prima por riesgo exigida. Modelos Asiméricos Los modelos ARCH/GARCH suelen ignorar la información relacionada con la dirección de los reornos: sólo las magniudes ineresan. No obsane, hay evidencia empírica que demuesra que las variables financieras son más voláiles ane shocks negaivos que ane shocks posiivos. TARCH - Zakaian, Glosen, Jaganahan y Runkle (993) Ese modelo consise en una especificación cuadráica de la asimería de la forma: σ = α0 + αε - + γε - d- + βσ - donde: d - = si ε- < 0 d - = 0 d.o.m. Nóese que las buenas noicias ienen un impaco α, mienras que las malas ienen uno α +γ. Por ano si γ > 0 se confirma el efeco leverage; si γ < 0 no hay dicho efeco sino sólo asimería.

37 Economería II Noas de clase 4 EGARCH - Nelson (99) Es una especificación logarímica de la asimería, de la forma: log ( σ ) = α + βlog( σ ) 0 - ε + α - σ- ε + γ - σ - por lo que el efeco asimérico sería exponencial anes que cuadráico. El efeco leverage se produce siempre que γ < 0. * Inenemos modelar la volailidad asociada a los reornos de las acciones de la empresa Volcan.