Normalidad de los errores. Fortino Vela Peón Universidad Autónoma Metropolitana

Transcripción

1 Normalidad de los errores Forino Vela Peón Universidad Auónoma Meropoliana Ocubre, 00 0/0/0 México, D. F.

2 Inroducción Uno de los supuesos básicos del modelo de regresión lineal clásico es el que los errores engan disribución normal, eso es: y β + x + u i β donde u i N (0, σ i ) y Xβ + 0/0/0 i,o bien, u σ,o bien, u N ( 0, I) Con el cumplimieno del supueso de normalidad se iene la jusificación eórica para la uilización de pruebas esadísicas que involucren a las disribuciones, F y χ (de uso muy común en la pare inferencial del modelo). No obsane, el supueso de normalidad puede no ser an crucial cuando se emplean muesras grandes.

3 Una propiedad de la disribución normal es que cualquier función lineal de variables normalmene disribuidas esará ambién normalmene disribuidas. Dado que los esimadores de MCO, βˆ y βˆ, son funciones lineales de u i enonces ambién siguen una disribución normal. ˆ i N ( βi, σ β β De esa manera, si se rabaja con muesras de menos de 00 observaciones resula crucial el verificar si los errores cumplen, de manera aproximada, una disribución normal. ˆi ) 0/0/0

4 La prueba Jarque-Bera(JB) La lieraura referene a probar la normalidad es vasa (veáse Whie y MacDonald, 980). La prueba Jarque-Bera (987) es una prueba que considera los siguienes elemenos para probar la normalidad de los errores de un modelo de regresión lineal. y Xβ + u donde E [ u] 0 E[ uu' ] σ Sea Si u se encuenra normalmene disribuido, enonces µ [ ] 0 E u [ ] 4 4 µ 4 E u σ La prueba JB oma ese principio: que ano se desvían los coeficienes de asimería y curosis 0/0/0 4

5 Las medidas convencionales de asimería (A) y curósis (K) esán dadas, respecivamene *, por: µ σ µ σ 4 b b 4 La noación b y b es radicional en esadísica y no debe confundirse con los esimadores del modelo. Los momenosseñalados, b A y b K, se pueden esimar a parir de los residuales de MCO considerando que: ˆµ donde i,,4 i i u 0/0/0 5

6 Así, el coeficiene de asimería(a) es el ercer momeno respeco a la media. Mide el grado de simería de la disribución de probabilidad (que an equilibrada o balanceada se encuenra). Si el coeficiene es mayor a cero, la disribución es sesgada a la derecha, y en consecuencia presena mayor número de observaciones a la izquierda. A u u n n () 0/0/0 6

7 Por su pare, el coeficiene de curosis (K) es el cuaro momeno respeco a la media. Mide el grado de picudez o apunamieno de la disribución de probabilidad (que an concenrada se encuenra). Cuando el coeficiene es cenrado, si esé es diferene a res (mesocúrica), la disribución muesra problemas. Plaicúricasi b >o lepocúricasi b <. K u u 4 n n () Las formulaciones () y () son las más uilizadas por los diferenes paquees esadísicos. 0/0/0 7

8 0/0/0 8 Bajo la hipóesis nula de que los errores se encuenran disribuidos normalmene, el esadísico JB se disribuye asinóicamene como una, siendo igual a χ () n u n u u n u JB ( ) K A JB

9 Noe que bajo H o ano A como K son cero. Ese esadísico iende a ser grande si A o K o ambos son significaivamene diferenes de 0. 0/0/0 9

10 Ejemplo Considerando la información sobre venas y publicidad de una empresa deerminada, verifique si los residuales resulanes del modelo siguen aproximadamene una disribución normal. Aplique la prueba Jarque-Bera. id Y X residual (u) u u u /0/0 0 oal

11 Reomando () y () para los daos de ese ejemplo se iene: A.75/ ( 87 /) K 907.4/ ( 87 /).99 id Y X residual (u) u u u /0/0 oal

12 Consruyendo el esadísico de prueba Jarque-Bera (JB) se iene A.75/ ( 87 /) K 907.4/ ( 87 /).99 JB A 6 + ( K ) 4 ( ) JB 6 + (.99 ) El valor de ablas es χ ( ), < 5.99 No se rechaza H o, los errores del modelo se disribuyen aprox. normal 0/0/0

13 La prueba JB en Saa En Saase pueden enconrar los coeficienes A y K. reg y x predic residual, resid sum residual, d Residuals Perceniles Smalles % % % Obs 5% Sum of Wg. 50%.65 Mean 0 Larges Sd. Dev % % Variance % Skewness /0/0 99% Kurosis.9

14 A coninuación se elabora el esadísico de prueba JB reurn lis scalar JB (r(n)/6) *((r(skewness)^)+((r(kurosis)- )^)/4) di "JB" JB JB.495 No se rechaza H o, los errores del modelo se disribuyen aprox. normal 0/0/0 4

15 Pruebas gráficas: hisograma El hisograma de los residuales es quizás el méodo gráfico más ampliamene usado para verificar la normalidad del érmino de error. En Saa el comando hisogram es seguido por la variable sobre la cual se consruirá el La opción normalagrega una curva de densidad normal al gráfico. Densiy Residuals 0/0/0 5

16 Oras pruebas gráficas: probabilidadprobabilidad(p-p) y cuanil-cuanil(q-q) El gráfico de probabilidad-probabilidad (P-P plo o gráfica porcenual) compara una función de disribución acumulada empírica con una función de disribución eórica (e.g., la función de disribución normal esándar). El comando pnorm esandarizado normal. produces un gráfico P-P La forma de inerprearese gráfico es la siguiene: si los punos se aproximan al comporamieno lineal señalado en el gráfico, se puede considerar que la función empírica de la disribución acumulada es similar a la eórica, y por ano se compora normalmene. Si los punos se alejan a la línea reca, la variable se aleja de una disribución normal. 0/0/0 6

17 En el gráfico P-P que ofrece Saa la disribución acumulada de la variable empírica se ubica sobre el eje x mienras que la disribución acumulada eórica normal sobre el eje y. N o rm a l F [(re s id u a l-m )/s ] Empirical P[i] i/(n+) 0/0/0 7

18 Similarmene, la gráfica cuanil-cuanil (Q-Q plo) compara los valores ordenados de una variable con los cuaniles de una disribución eórica especifica (i.e., la disribución normal). Si las dos disribuciones son consisenes, los punos sobre la gráfica asumen un parón lineal que pasa a aravésdel origen con una reca de pendiene uniaria. Las gráficas P-P y Q-Q se emplean para deerminar visualmeneque an bien se ajusan los daos empíricos al comporamieno de una disribución eórica. 0/0/0 8

19 La insrucción en Saaes qnorm. R e sid ua ls Inverse Normal 0/0/0 9

20 Pruebas formales de normalidad en Saa La prueba skes (Skewness-Kurosis) que realiza Saa sigue los mismos principios que la prueba JB. Para su correca aplicación se requiere un mínimo de 8 observaciones. Auque uiliza a los coeficienes de asimería y curosis, skes presena una prueba de normalidad basada en la asimería y ora susenada en la curosis. Finalmene combina las dos pruebas en un esadísico resumen. La opción noadjus suprime el ajuse propueso por Royson(99). skes residual Skewness/Kurosis ess for Normaliy join Variable Obs Pr(Skewness) Pr(Kurosis) chi() Prob>chi residual /0/0 0

21 Oras pruebas de normalidad en Saa Saa iene incorporadas además las pruebas Shapiro- Wilk(swilk) y Shapiro-Francia (sfrancia). swilk puede uilizarse cuando 4 n 000 observaciones, y sfranciasi 5 n 5000 observaciones. En ese senido, la prueba skes es la que puede realizarse con más observaciones. Shapiro-Wilk W es for normal daa Variable Obs W V z Prob>z residual Shapiro-Francia W' es for normal daa Variable Obs W' V' z Prob>z residual /0/0

22 Conclusiones De no verificarse el supueso de normalidad de los errores, los esimadores coninúan siendo insesgados. No obsane de no cumplirse la inferencia esadísica derivada del modelo puede no ser valida. Conforme aumene el amaño de la muesra los errores (y los esimadores de MCO) ienden a una disribución normal. Por lo ano, bajo muesras grandes la inferencia esadísica del modelo puede ser valida. Con muesras reducidas es alamene recomendable verificar el supueso. 0/0/0

23 Referencias Gujarai, D. y D. Porer (00). Economería, 5ª. Ed., Mac Graw Hill, México, cap. 4. Jarque, Carlos M. y A. K. Bera (987). A es for Normaliy of Observaions and Regression Residuals, Inernaional Saisics Review, Vol. 55, pp Judge, George e. al. (988). Inroduccion o heory and Pracice of Economerics, John Wiley & Sons, Esados Unidos, pp Vogelvang, Ben (005). Economerics. heory an Applicaions wih EViews, Addison-Wesley, Malaysia, pp Whie H. y G. M. MacDonald (980). Some Large- Sample es for Non-normaliy in Linear Regression Model, Journal of American Saisical Associaion, Vol. 75, pp /0/0